數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第二講三直線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破本課時重點是對直線參數(shù)方程的理解,關(guān)鍵是理解參數(shù)t的幾何意義，難點是應(yīng)用直線的參數(shù)方程解決相關(guān)問題.一、直線參數(shù)方程的意義相對于直線的一般方程，參數(shù)方程更能反映一條直線上點的特征.判斷與其他曲線的關(guān)系時，直接代入橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)對應(yīng)的參數(shù)表達(dá)式,方便運算。又由于直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)有一定的幾何意義，對于那些需要直接求線段長度或者求有向線段的數(shù)量值的問題會更加方便快捷.用坐標(biāo)的觀點理解直線參數(shù)方程中的參數(shù)，在解決有關(guān)直線問題時，可以自然地將新舊知識聯(lián)系起來,特別是在求直線被圓錐曲線所截得的弦長或弦中點問題時，可以提供更廣闊的思考空間；具體問題中根據(jù)實際情況可以使用參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式和非標(biāo)準(zhǔn)式,使解題的方法靈活多樣，有利于一題多解和創(chuàng)新思維的培養(yǎng).二、直線參數(shù)方程的形式對于同一條直線的普通方程隨著參數(shù)選取的不同，會得到不同的參數(shù)方程。例如，對于直線普通方程y=2x+1，如果令x=t即可得到參數(shù)方程（t為參數(shù))；如果令x=2t則得到參數(shù)方程(t為參數(shù))。這樣隨便給出的參數(shù)方程中的參數(shù)t不具有一定的幾何意義，但是在實際應(yīng)用中也能簡化某些運算.而過定點M0(x0，y0）、傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程都可以寫成為（t為參數(shù)），我們把這一形式稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,其中t表示直線l上以定點M0為起點,任意一點M(x，y）為終點的有向線段的數(shù)量且cos2α+sin2α=1是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的基本特征。三、直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義1.對于一般的參數(shù)方程，其中的參數(shù)可能不具有一定的幾何意義，但是對于直線參數(shù)方程中的參數(shù)有一定的幾何意義.過定點M0(x0，y0）、傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程都可以寫成為x=x0+tcosα，y=y0+tsinα（t為參數(shù)）,其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M(x,y)為終點的有向線段M0M的數(shù)量,也就是:(1)直線l上的動點M到定點M0的距離等于參數(shù)t的絕對值,即｜M0M|=｜t｜。（2)若t>0,則M0M的方向向上;若t〈0，則M0M的方向向下；若t=0，則點M與點M2.根據(jù)直線的參數(shù)方程判斷直線的傾斜角。根據(jù)參數(shù)方程判斷傾斜角，首先要看參數(shù)方程的形式是不是標(biāo)準(zhǔn)形式，如果是標(biāo)準(zhǔn)形式,根據(jù)方程就可以判斷出傾斜角，例如x=2+tcos20°，y=-4+tsin20°（t為參數(shù)),可以直接判斷出直線的傾斜角是20°.但是如果不是標(biāo)準(zhǔn)形式，就不能直接判斷出傾斜角了.例如判斷直線x=tsin20°+3，y=—tcos20°（t為參數(shù)）的傾斜角，有兩種方法:第一種方法:化為普通方程,求傾斜角。把參數(shù)方程改寫成消去t，有y=-（x-3)cot20°，即y=(x-3)tan110°，所以直線的傾斜角為110°。第二種方法:化參數(shù)方程為直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程令-t=t＇,則所以直線的傾斜角為110°。3.直線的一般參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的方法。給出直線的非標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程(t為參數(shù))，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式的特點，參數(shù)t的系數(shù)應(yīng)分別是傾斜角的正弦和余弦值,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),知其平方和為1,所以可以化為2(t為參數(shù))，再近一步令,根據(jù)直線傾斜角的范圍讓α在［0,π）范圍內(nèi)取值，并且把看成相應(yīng)的參數(shù)t＇，即得標(biāo)準(zhǔn)式的參數(shù)方程(t＇為參數(shù)).由轉(zhuǎn)化的過程可以看出,在一般參數(shù)方程(t為參數(shù))中，具有標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義。所以有些較簡單的問題可以不必轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式而直接使用,求出相應(yīng)的t,再乘以即可繼續(xù)使用參數(shù)的幾何意義。四、根據(jù)直線的參數(shù)方程，判斷直線間的平行和垂直等問題對于斜率存在的直線方程,主要從斜率的關(guān)系進(jìn)行考慮,根據(jù)斜率進(jìn)行判斷。而直線的參數(shù)方程可以和普通方程之間進(jìn)行互化，所以對于直線的參數(shù)方程也可以找到直線平行和垂直的關(guān)系.下面分別對直線參數(shù)方程的一般形式和標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行說明.首先給出直線l1的參數(shù)方程（t為參數(shù))和直線l2的參數(shù)方程（t為參數(shù)）。先考慮直線斜率都存在（b1和b2都不為0）的情況：直線l1和l2的斜率分別為和.如果斜率相等即＝a1b2-a2b1=0且兩條直線不重合時,直線l1和l2平行。如果斜率都不存在即b1=b2=0時，如果兩條直線不重合，則一定有直線l1和l2平行，代入上式仍然成立。所以可得一般性結(jié)論:如果不重合的兩條直線l1和l2平行，那么a1b2—a2b1=0，反之也成立，即不重合的直線l1∥l2a1b2—a2b1=0。由兩條直線垂直的條件知斜率存在的直線斜率乘積應(yīng)為—1,即=-1a1a2+b1b2=0.并且易證，對于斜率不存在的情況上式也正確。所以若直線l1和l2垂直，則a1a2+b1b2=0，反之也成立，即l1⊥l2a1a2+b1b2=0.對于標(biāo)準(zhǔn)方程，由于容易看出直線的傾斜角，所以可以直接根據(jù)傾斜角來判斷直線的平行和垂直.五、根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)t的幾何意義解題時，有如下常用結(jié)論1。直線與圓錐曲線相交,交點分別對應(yīng)t1、t2，則弦長l=|t1—t2|.2.弦的中點M對應(yīng)的參數(shù)tm=3。若直線的定點P0（x0，y0）恰是弦的中點，則t1+t2=0,反之亦然?；顚W(xué)巧用【例1】寫出直線2x-y+1=0的參數(shù)方程,并求直線上的點M（1，3)到點A（3,7)、B（8,6)的距離。解析：要寫出參數(shù)方程，首先根據(jù)直線的普通方程可以看出直線的斜率為2，設(shè)直線的傾斜角為α,則tanα=2，則sinα=,cosα=，根據(jù)后邊要求的點M恰好在直線上，為了后邊的運算方便,選擇M作為直線上的定點。要求點M到A、B的距離可以根據(jù)參數(shù)方程的特點及幾何意義或者兩點之間的距離公式都可以.解:根據(jù)直線的普通方程可知斜率是2，設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα=2，sinα=，cosα=，所以直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù))。經(jīng)驗證易知點A(3，7)恰好在直線上,所以有1+t=3，即t=5，即點M到點A的距離是5.而點B（8,6)不在直線上，所以不能使用參數(shù)t的幾何意義,可以根據(jù)兩點之間的距離公式求出距離為點評:本題主要考查直線參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化和參數(shù)的幾何意義.常見錯誤：①轉(zhuǎn)化參數(shù)方程時不注意后邊的題目內(nèi)容，隨便取一個定點；②把點B（8，6)當(dāng)成直線上的點很容易由1+t=8,得t=.【例2】設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)),點P在直線上,且與點M0（—4，0)的距離為2，如果該直線的參數(shù)方程改寫成（t為參數(shù))，則在這個方程中點P對應(yīng)的t值為（）A?！?B.0C.±D?！澜馕觯河桑黀M0|=，知PM0=或PM0=—,即t=±代入第一個參數(shù)方程,得點P的坐標(biāo)分別為（-3，1）或(—5，—1)；再把點P的坐標(biāo)代入第二個參數(shù)方程可得t=1或t=—1。答案：A點評:直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)具有相應(yīng)的幾何意義，合理使用其幾何意義，可以簡化運算，使解題過程更加簡潔.這也正是直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式的優(yōu)越性所在.【例3】求直線l1：(t為參數(shù)）與直線l2：x+y-2=0的交點到定點（4,3)的距離。解：∵l1的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程,則利用換參數(shù)的方法把l1的參數(shù)方程改寫成（t＇為參數(shù)）.把l1的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入x+y-2=0中，得4+t＇+3+t＇—2=0.解得t＇=—，∴｜t＇｜=.由|t＇｜的幾何意義為交點到點(4，3）的距離,∴所求的距離為|t＇｜=.【例4】求經(jīng)過點（1，1），傾斜角為135°的直線截橢圓+y2=1所得的弦長。解析：首先可以根據(jù)條件寫出直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))，代入橢圓的方程可得一個關(guān)于t的二次方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知所求弦長就是方程兩根之差的絕對值。解：由條件可知直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù))，代入橢圓方程可得，即5t2+62t+2=0.設(shè)方程的兩實根分別為t1、t2,則由二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得則直線截橢圓的弦長是|t1-t2|=點評:本題主要使用參數(shù)方程中兩點的距離公式，易錯的地方是:轉(zhuǎn)化參數(shù)方程時，計算135°的正弦和余弦值時出錯，再者就是距離公式不會靈活使用，而一味地要使用參數(shù)的幾何意義?！纠?】已知直線l過點P（3，2)，且與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點,求｜PA|·|PB|的值為最小時的直線l的方程。解析：本題可以使用直線的普通方程來解，也可以使用參數(shù)方程來解，但是使用普通方程解，運算較為麻煩.如果設(shè)出直線的傾斜角，寫出直線的參數(shù)方程來解，就可以把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最小值問題，便于計算.解:設(shè)直線的傾斜角為α，則它的方程為(t為參數(shù)）,由A、B是坐標(biāo)軸上的點知yA=0，xB=0，∴0=2+tsinα，即｜PA|=|t|=;0=3+tcosα，即｜PB|=|t｜=-故｜PA｜·|PB|=∵90°<α〈180°，∴當(dāng)2α=270°，即α=135°時，｜PA｜·｜PB|有最小值.∴直線方程為（t為參數(shù))，化為普通方程即x+y—5=0.點評：直線的參數(shù)方程和普通方程可以進(jìn)行互化，特別是要求直線上某一定點到直線與曲線交點距離時通常要使用參數(shù)的幾何意義，宜用參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，而對于某些比較簡單的直線問題比如求直線和坐標(biāo)軸或者與某條直線交點時宜用直線的普通方程.【例6】設(shè)直線l過點P（—3,3），且傾斜角為.（1)寫出直線l的參數(shù)方程;（2)設(shè)此直線與曲線C:(θ為參數(shù)）交于A、B兩點,求|PA｜·|PB｜;（3)設(shè)A、