數(shù)學學案：互動課堂第一講一平面直角坐標系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破本課時的重點是坐標法思想與坐標伸縮變換,難點是怎樣建立適當?shù)淖鴺讼导白⒁鈫栴}，對坐標伸縮變換的理解與應(yīng)用.一、坐標法思想1.坐標法是在坐標系的基礎(chǔ)上，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法。它是解析幾何中最基本的研究方法。例如在平面直角坐標系中，根據(jù)確定直線位置的幾何要素，我們可以探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）,體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。在空間坐標系中，通過高次方程的計算，使人們對一些星體的軌跡運動和變化規(guī)律有所了解和掌握.2。坐標法解決幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步:通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題;第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.坐標系包括平面直角坐標系、極坐標系、柱坐標系、球坐標系等.對于不同類型的幾何圖形，選用相應(yīng)的坐標系可以使建立的方程更加簡單.如要確定體育館內(nèi)一個位置，建立柱坐標系就比較適合，通過柱坐標我們可以比較精確地找到這個位置的所在地。3?！白鴺朔ā睉?yīng)貫穿解析幾何教學的始終，幫助同學們不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.在教學中應(yīng)自始至終強化這一思想方法，這是解析幾何的特點.在通過代數(shù)方法研究幾何對象的位置以后，還可以畫出其圖形，驗證代數(shù)結(jié)果;同時，通過觀察幾何圖形得到數(shù)學結(jié)論,對結(jié)論進行代數(shù)證明，即用解析方法解決某些代數(shù)問題，不應(yīng)割斷它們之間的聯(lián)系。4。平面直角坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)，同學們應(yīng)在已有知識的基礎(chǔ)上做好自我完善，從解決問題中提高學習興趣,激發(fā)學習的積極性和主動性,養(yǎng)成不斷探求知識、完善自我的良好個性品質(zhì)。進一步理解平面直角坐標系在對實際問題的解決中的重要作用,會用平面直角坐標系解決實際問題.二、用數(shù)學知識和方法解決實際問題1。教材中從實際問題引入數(shù)學方法，逐步把實際問題歸結(jié)為數(shù)學模型,然后運用數(shù)學方法加以解決.如:利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，此時還不能確定爆炸點的準確位置.再增設(shè)一個觀測點C，利用B、C兩處測得的爆炸聲的時間相同,可以求出一條直線的方程,解這兩個方程組成的方程組,就能確定爆炸點的準確位置。2。存在的問題:把實際問題歸結(jié)為數(shù)學模型是需要一定功底的，而我們普遍存在著一些問題：(1)不喜歡應(yīng)用性問題中煩瑣的文字敘述，不愿讀下去，勉強讀完也弄不清題意；(2)學過的概念、公式、方法到解題時用不上，找不到數(shù)學關(guān)系式,思路不清，容易混淆;(3）平時學習中對應(yīng)用性問題接觸太少，所以學習感到困難，不知如何下手,也不愿多做，導致心理上不愿學等等.我們應(yīng)注意運用數(shù)學方法、思想、觀點去觀察和分析各種實際問題，從中抽象出數(shù)學知識和數(shù)學規(guī)律，建立數(shù)學模型，并運用數(shù)學知識進行正確的運算和推理。3。要善于在普通語言中尋找數(shù)量關(guān)系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是間接未知量,用數(shù)學語言把這些數(shù)量關(guān)系表示出來。4?；瘜嶋H問題為數(shù)學模型，一方面要深入分析實際問題中的空間形式和各種數(shù)量關(guān)系，另一方面在學習數(shù)學理論的過程中，要仔細體會和尋求這些理論對解決實際問題的指導作用，努力把它應(yīng)用于現(xiàn)實世界，以解決人們迫切需要解決的實際問題.三、平面直角坐標系中的坐標伸縮變換1。設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下,點P(x,y）對應(yīng)到點P＇（x＇,y＇),稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.2.在坐標伸縮變換的作用下，可以實現(xiàn)平面圖形的伸縮。因此，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示。3.坐標伸縮變換與我們前面學的坐標變換之間的關(guān)系。兩者都是將平面圖形進行伸縮平移的變換。實質(zhì)是一樣的。比如正弦曲線經(jīng)過這兩種變換后,所得圖形的形狀是沒有改變的.在一定的變換規(guī)律下橢圓能夠變成橢圓，也能夠變成圓。只是說法上和認識上的一點不同.我們結(jié)合函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的形成過程(與y=Acos(ωx+φ)相類似），看看在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況吧.函數(shù)y=sinωx,x∈R(其中ω>0,ω≠1）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短（當ω>1時）或伸長（當0〈ω<1時)到原來的倍（縱坐標不變)而得到。平面直角坐標系伸縮變換認為是一個坐標伸縮過程:保持縱坐標不變,將x軸進行壓縮或伸長。函數(shù)y=Asinx，x∈R（其中A〉0,ω≠1)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時)或縮短（當0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到.平面直角坐標系伸縮變換認為是一個坐標伸縮過程：保持橫坐標不變，將y軸進行壓縮或伸長。由此看出，兩者只是說法上的不同,本質(zhì)上是一樣的.另外，我們應(yīng)該注意到：通過一個表達式,平面直角坐標系中坐標伸縮變換將x與y的伸縮變換統(tǒng)一成一個式子了，即我們在使用時，要注意點的對應(yīng)性,即分清新舊。P＇(x＇，y＇)是變換圖形后的點的坐標，P（x,y）是變換前圖形的點的坐標.活學巧用【例1】究竟以什么樣的方法建立平面直角坐標系，才能夠使方程最為簡單呢？在建立坐標系的過程中我們應(yīng)該注意什么呢？探究:一般情況下我們有這樣一個建立坐標系的規(guī)律：（1）當題目中有兩條互相垂直的直線，以這兩直線為坐標軸；（2）當題目中有對稱圖形，以對稱圖形的對稱軸為坐標軸；（3）當題目中有已知長度的線段，以線段所在直線為對稱軸，以端點或中點為原點.直角坐標系建立完后，需仔細分析曲線的特征，注意揭示隱含條件，抓住曲線上任意點有關(guān)的等量關(guān)系、所滿足的幾何條件,列出方程。在將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的過程中，要注意圓錐曲線定義和初中平面幾何知識的應(yīng)用，還會用到一些基本公式，如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、直線斜率公式等。另外，在化簡過程中，我們要注意運算和變形的合理性與準確性,避免“失解"和“增解".這一步內(nèi)容中學階段不作要求（從理論上講則是必要的）,多數(shù)情況下不會有什么問題,但若遇特殊情況則應(yīng)該適當予以說明.【例2】(2005江蘇高考)如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2｜=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點）,使得PM=PN，試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點P的軌跡方程.解析:本題是解析幾何中求軌跡方程問題，由題意建立適當坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，由幾何關(guān)系式：PM=PN,即(PM)2=2(PN）2，結(jié)合圖形，由勾股定理轉(zhuǎn)化為PO12-1=2(PO22-1)，設(shè)P（x，y），由距離公式寫出代數(shù)關(guān)系式,化簡整理可得。解:如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系,則兩圓心的坐標分別為O1（—2,0）,O2（2，0).設(shè)P（x,y)，則PM2=PO12—MO12=(x+2）2+y2—1。同理，PN2=（x-2）2+y2—1.∵PM=PN,即（x+2）2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1]，即x2—12x+y2+3=0，即（x-6)2+y2=33.這就是動點P的軌跡方程.點評：這道高考題是考查解析幾何中求點的軌跡方程的方法應(yīng)用，考查建立坐標系、數(shù)形結(jié)合思想、勾股定理、兩點間距離公式等相關(guān)知識點，及分析推理、計算化簡技能、技巧等，是一道很綜合的題目.【例3】（1）在同一平面直角坐標系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。①y2=2x；②y=3sin2x。（2)將曲線C按伸縮變換公式變換后的曲線方程為x＇2+y＇2=1,則曲線C的方程為（)A。B.C.4x2+9y2=36D。4x2+9y2=1解：(1）由伸縮變換(＊)①將(*）代入y2=2x,得(y＇)2=2·（2x＇）?！鄖＇2=64x＇?！嘟?jīng)過伸縮變換后拋物線y2=2x變成了拋物線y＇2=64x＇.②將（*）代入y=3sin2x，得y＇=3sin2·（2x＇),∴y＇=12sin4x＇。∴經(jīng)過伸縮變換后，曲線y=3sin2x變成了曲線y＇=12sin4x＇。(2）將代入方程x＇2+y＇2=1，得4x2+9y2=1。故選D。【例4】在同一平面直角坐標系中，將直線x—2y=2變成直線2x＇-y＇=4,求滿足圖象變換的伸縮變換.解:設(shè)變換為代入方程2x＇—y＇=4,得2λx-μy=4,與x-2y=2比較系數(shù)得λ=1，μ=4。∴即直線x-2y=2上所有點的橫坐標不變,縱坐標伸長為原來的4倍可得到直線2x＇-y＇=4.點評:（1）求滿足圖象變換的伸縮變換，實際上是讓我們求出其變換公式,我們將新舊坐標分清，代入對應(yīng)的直線方程，然后比較系數(shù)就可得了。（2)原曲線的方程f(x，y）=0，新曲線的方程g（x＇,y＇)=0，以及坐標伸縮變換公式中,“知二可求一”.【例5】已知f1（x)=cosx,f2(x）=cosωx（ω〉0）,f2(x)的圖象可以看作是把f1（x)的圖象在其所在的坐標系中的橫坐標壓縮到原來的倍（縱坐標不變）而