數(shù)學(xué)學(xué)案：互動(dòng)課堂第一講一平面直角坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂重難突破本課時(shí)的重點(diǎn)是坐標(biāo)法思想與坐標(biāo)伸縮變換,難點(diǎn)是怎樣建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及注意問題，對坐標(biāo)伸縮變換的理解與應(yīng)用.一、坐標(biāo)法思想1.坐標(biāo)法是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法。它是解析幾何中最基本的研究方法。例如在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)確定直線位置的幾何要素，我們可以探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式）,體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。在空間坐標(biāo)系中，通過高次方程的計(jì)算，使人們對一些星體的軌跡運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律有所了解和掌握.2。坐標(biāo)法解決幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步:通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題;第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.坐標(biāo)系包括平面直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等.對于不同類型的幾何圖形，選用相應(yīng)的坐標(biāo)系可以使建立的方程更加簡單.如要確定體育館內(nèi)一個(gè)位置，建立柱坐標(biāo)系就比較適合，通過柱坐標(biāo)我們可以比較精確地找到這個(gè)位置的所在地。3。“坐標(biāo)法”應(yīng)貫穿解析幾何教學(xué)的始終，幫助同學(xué)們不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.在教學(xué)中應(yīng)自始至終強(qiáng)化這一思想方法，這是解析幾何的特點(diǎn).在通過代數(shù)方法研究幾何對象的位置以后，還可以畫出其圖形，驗(yàn)證代數(shù)結(jié)果;同時(shí)，通過觀察幾何圖形得到數(shù)學(xué)結(jié)論,對結(jié)論進(jìn)行代數(shù)證明，即用解析方法解決某些代數(shù)問題，不應(yīng)割斷它們之間的聯(lián)系。4。平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)，同學(xué)們應(yīng)在已有知識的基礎(chǔ)上做好自我完善，從解決問題中提高學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性,養(yǎng)成不斷探求知識、完善自我的良好個(gè)性品質(zhì)。進(jìn)一步理解平面直角坐標(biāo)系在對實(shí)際問題的解決中的重要作用,會用平面直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題.二、用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題1。教材中從實(shí)際問題引入數(shù)學(xué)方法，逐步把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加以解決.如:利用兩個(gè)不同的觀測點(diǎn)測得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程，此時(shí)還不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.再增設(shè)一個(gè)觀測點(diǎn)C，利用B、C兩處測得的爆炸聲的時(shí)間相同,可以求出一條直線的方程,解這兩個(gè)方程組成的方程組,就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。2。存在的問題:把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型是需要一定功底的，而我們普遍存在著一些問題：(1)不喜歡應(yīng)用性問題中煩瑣的文字?jǐn)⑹?，不愿讀下去，勉強(qiáng)讀完也弄不清題意；(2)學(xué)過的概念、公式、方法到解題時(shí)用不上，找不到數(shù)學(xué)關(guān)系式,思路不清，容易混淆;(3）平時(shí)學(xué)習(xí)中對應(yīng)用性問題接觸太少，所以學(xué)習(xí)感到困難，不知如何下手,也不愿多做，導(dǎo)致心理上不愿學(xué)等等.我們應(yīng)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、思想、觀點(diǎn)去觀察和分析各種實(shí)際問題，從中抽象出數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行正確的運(yùn)算和推理。3。要善于在普通語言中尋找數(shù)量關(guān)系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是間接未知量,用數(shù)學(xué)語言把這些數(shù)量關(guān)系表示出來。4?；瘜?shí)際問題為數(shù)學(xué)模型，一方面要深入分析實(shí)際問題中的空間形式和各種數(shù)量關(guān)系，另一方面在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的過程中，要仔細(xì)體會和尋求這些理論對解決實(shí)際問題的指導(dǎo)作用，努力把它應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，以解決人們迫切需要解決的實(shí)際問題.三、平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換1。設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下,點(diǎn)P(x,y）對應(yīng)到點(diǎn)P＇（x＇,y＇),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變換.2.在坐標(biāo)伸縮變換的作用下，可以實(shí)現(xiàn)平面圖形的伸縮。因此，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示。3.坐標(biāo)伸縮變換與我們前面學(xué)的坐標(biāo)變換之間的關(guān)系。兩者都是將平面圖形進(jìn)行伸縮平移的變換。實(shí)質(zhì)是一樣的。比如正弦曲線經(jīng)過這兩種變換后,所得圖形的形狀是沒有改變的.在一定的變換規(guī)律下橢圓能夠變成橢圓，也能夠變成圓。只是說法上和認(rèn)識上的一點(diǎn)不同.我們結(jié)合函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的形成過程(與y=Acos(ωx+φ)相類似），看看在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況吧.函數(shù)y=sinωx,x∈R(其中ω>0,ω≠1）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω>1時(shí)）或伸長（當(dāng)0〈ω<1時(shí))到原來的倍（縱坐標(biāo)不變)而得到。平面直角坐標(biāo)系伸縮變換認(rèn)為是一個(gè)坐標(biāo)伸縮過程:保持縱坐標(biāo)不變,將x軸進(jìn)行壓縮或伸長。函數(shù)y=Asinx，x∈R（其中A〉0,ω≠1)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A＞1時(shí))或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到.平面直角坐標(biāo)系伸縮變換認(rèn)為是一個(gè)坐標(biāo)伸縮過程：保持橫坐標(biāo)不變，將y軸進(jìn)行壓縮或伸長。由此看出，兩者只是說法上的不同,本質(zhì)上是一樣的.另外，我們應(yīng)該注意到：通過一個(gè)表達(dá)式,平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)伸縮變換將x與y的伸縮變換統(tǒng)一成一個(gè)式子了，即我們在使用時(shí)，要注意點(diǎn)的對應(yīng)性,即分清新舊。P＇(x＇，y＇)是變換圖形后的點(diǎn)的坐標(biāo)，P（x,y）是變換前圖形的點(diǎn)的坐標(biāo).活學(xué)巧用【例1】究竟以什么樣的方法建立平面直角坐標(biāo)系，才能夠使方程最為簡單呢？在建立坐標(biāo)系的過程中我們應(yīng)該注意什么呢？探究:一般情況下我們有這樣一個(gè)建立坐標(biāo)系的規(guī)律：（1）當(dāng)題目中有兩條互相垂直的直線，以這兩直線為坐標(biāo)軸；（2）當(dāng)題目中有對稱圖形，以對稱圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸；（3）當(dāng)題目中有已知長度的線段，以線段所在直線為對稱軸，以端點(diǎn)或中點(diǎn)為原點(diǎn).直角坐標(biāo)系建立完后，需仔細(xì)分析曲線的特征，注意揭示隱含條件，抓住曲線上任意點(diǎn)有關(guān)的等量關(guān)系、所滿足的幾何條件,列出方程。在將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的過程中，要注意圓錐曲線定義和初中平面幾何知識的應(yīng)用，還會用到一些基本公式，如兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線斜率公式等。另外，在化簡過程中，我們要注意運(yùn)算和變形的合理性與準(zhǔn)確性,避免“失解"和“增解".這一步內(nèi)容中學(xué)階段不作要求（從理論上講則是必要的）,多數(shù)情況下不會有什么問題,但若遇特殊情況則應(yīng)該適當(dāng)予以說明.【例2】(2005江蘇高考)如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2｜=4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)）,使得PM=PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解析:本題是解析幾何中求軌跡方程問題，由題意建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由幾何關(guān)系式：PM=PN,即(PM)2=2(PN）2，結(jié)合圖形，由勾股定理轉(zhuǎn)化為PO12-1=2(PO22-1)，設(shè)P（x，y），由距離公式寫出代數(shù)關(guān)系式,化簡整理可得。解:如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,則兩圓心的坐標(biāo)分別為O1（—2,0）,O2（2，0).設(shè)P（x,y)，則PM2=PO12—MO12=(x+2）2+y2—1。同理，PN2=（x-2）2+y2—1.∵PM=PN,即（x+2）2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1]，即x2—12x+y2+3=0，即（x-6)2+y2=33.這就是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.點(diǎn)評：這道高考題是考查解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程的方法應(yīng)用，考查建立坐標(biāo)系、數(shù)形結(jié)合思想、勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式等相關(guān)知識點(diǎn)，及分析推理、計(jì)算化簡技能、技巧等，是一道很綜合的題目.【例3】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。①y2=2x；②y=3sin2x。（2)將曲線C按伸縮變換公式變換后的曲線方程為x＇2+y＇2=1,則曲線C的方程為（)A。B.C.4x2+9y2=36D。4x2+9y2=1解：(1）由伸縮變換(＊)①將(*）代入y2=2x,得(y＇)2=2·（2x＇）。∴y＇2=64x＇。∴經(jīng)過伸縮變換后拋物線y2=2x變成了拋物線y＇2=64x＇.②將（*）代入y=3sin2x，得y＇=3sin2·（2x＇),∴y＇=12sin4x＇?！嘟?jīng)過伸縮變換后，曲線y=3sin2x變成了曲線y＇=12sin4x＇。(2）將代入方程x＇2+y＇2=1，得4x2+9y2=1。故選D。【例4】在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x—2y=2變成直線2x＇-y＇=4,求滿足圖象變換的伸縮變換.解:設(shè)變換為代入方程2x＇—y＇=4,得2λx-μy=4,與x-2y=2比較系數(shù)得λ=1，μ=4?！嗉粗本€x-2y=2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長為原來的4倍可得到直線2x＇-y＇=4.點(diǎn)評:（1）求滿足圖象變換的伸縮變換，實(shí)際上是讓我們求出其變換公式,我們將新舊坐標(biāo)分清，代入對應(yīng)的直線方程，然后比較系數(shù)就可得了。（2)原曲線的方程f(x，y）=0，新曲線的方程g（x＇,y＇)=0，以及坐標(biāo)伸縮變換公式中,“知二可求一”.【例5】已知f1（x)=cosx,f2(x）=cosωx（ω〉0）,f2(x)的圖象可以看作是把f1（x)的圖象在其所在的坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)壓縮到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）而