三輪沖刺卷04-2022年高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷（全國(guó)卷專用）

備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)（理）模擬卷（全國(guó)卷）三輪沖刺卷04（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，則.故選：D2．若為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】，為純虛數(shù)，，解得，故選：D.3．設(shè)滿足約束條件，且的最小值為7，則a=（

）A．5 B．3 C．5或3 D．5或3【答案】B【解析】滿足的約束條件表示的平面區(qū)域是直線與所夾的一個(gè)角所在區(qū)域，它是一個(gè)開放性區(qū)域，這個(gè)區(qū)域有唯一邊界頂點(diǎn)，即直線與的交點(diǎn)，因此是目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解，由解得或，當(dāng)時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影區(qū)域，它是一個(gè)開放性區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)，即，表示斜率為，縱截距為的平行直線系，要取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)取最大，將直線向上平移，其縱截距增大，顯然不存在最大縱截距，即無最小值，當(dāng)時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影區(qū)域，它是一個(gè)開放性區(qū)域，

目標(biāo)函數(shù)，即，表示斜率為，縱截距為的平行直線系，要取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)取最小，畫直線，再平移到，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，的縱截距最小，最小，由解得點(diǎn)，，符合題意，所以.故選：B4．設(shè)點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，是其焦點(diǎn)，且，則的面積是A．4 B．5 C．1 D．2【答案】C【解析】設(shè)：（）根據(jù)雙曲線定義可知，∵，∴則：5．函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)，當(dāng)時(shí),因?yàn)?，令，的含義是點(diǎn)與單位圓上的點(diǎn)的連線的斜率，所以，所以所以，即，綜合得，，故最小值為：.故選：B.6．在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有以下三條性質(zhì)：（1）對(duì)任意，；（2）對(duì)任意a，，；（3）對(duì)任意a，b，，.給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②對(duì)任意a，b，，；③存在a，b，，；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】①，錯(cuò)誤；②，而，故，正確；③當(dāng)且時(shí)，，而，顯然成立，正確.故選：C7．中，點(diǎn)滿足，則一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】，設(shè)是中點(diǎn)，則，，故點(diǎn)在三角形的中線所在直線上.，，即，即.即，故三角形的邊上的中線與高線重合，所以，三角形是等腰三角形，其中.故選：B.8．函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，即，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖像，如圖所示：

由圖可知，函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，由于函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)，與有2個(gè)交點(diǎn)，在上，與有1個(gè)交點(diǎn)，所以根據(jù)函數(shù)周期性可知，當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn).所以關(guān)于x的方程在上的解的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B9．已知是球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面，，，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，作出三棱錐，如圖所示，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，則兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，如下圖所示，又是球面上的四個(gè)點(diǎn)，所以球的直徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，又，，所以該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，即球的直徑，其中是球的半徑；所以球的表面積為.故選:B.10．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，故有兩個(gè)根，即和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，若，顯然1個(gè)交點(diǎn)，不合題意；若，設(shè)直線和相切于點(diǎn)，則，解得，故切點(diǎn)是，故，解得.故選：C.11．已知是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，，則的值是A．3 B．3 C． D．【答案】D【解析】由余弦定理可得，又由和分別可得和，即，也即，故，應(yīng)選答案D．12．已知在上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，，因?yàn)?，恒成立，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，因?yàn)椋?故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．式子的值為___________【答案】##0.5【解析】原式，故答案：14．函數(shù)，則_________【答案】【解析】，由，可得，所以，.故答案為：.15．已知函數(shù)，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)取最小值時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)取最小值時(shí)，，．函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，，求得，則實(shí)數(shù)的范圍為，故答案為：16．如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)成.若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中：①是定值；②點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；③存在某個(gè)位置，使；④存在某個(gè)位置，使平面.其中正確的命題是_________.【答案】①②④【解析】取CD中點(diǎn)F，連接MF,BF，則MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正確.由，由余弦定理可得，所以為定值，所以①正確；B是定點(diǎn)，M是在以B為圓心，MB為半徑的球面上，故②正確.假設(shè)③正確，即在某個(gè)位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，滿足，從而DE⊥平面A1EC，則DE⊥A1E，這與DA1⊥A1E矛盾.所以存在某個(gè)位置，使得DE⊥A1C不正確，即③不正確.綜上，正確的命題是①②④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某超市在2017年五一正式開業(yè)，開業(yè)期間舉行開業(yè)大酬賓活動(dòng)，規(guī)定：一次購(gòu)買總額在區(qū)間內(nèi)者可以參與一次抽獎(jiǎng)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)參與一次抽獎(jiǎng)的顧客每次購(gòu)買金額分布情況如下：(1)求參與一次抽獎(jiǎng)的顧客購(gòu)買金額的平均數(shù)與中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留到整數(shù)）；(2)若根據(jù)超市的經(jīng)營(yíng)規(guī)律，購(gòu)買金額與平均利潤(rùn)有以下四組數(shù)據(jù)：購(gòu)買金額x(單位:元)100200300400利潤(rùn):(單位:元)15254060試根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程，并根據(jù)1中計(jì)算的結(jié)果估計(jì)超市對(duì)每位顧客所得的利潤(rùn)參考公式:，【解析】(1)由所給頻率分布直方圖可知，這5組數(shù)據(jù)的頻率分別為0.1，0.2，0.3，0.25，0.15，故這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；因?yàn)椋?所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為(2)，，，，回歸直線方程為：由此可以估計(jì)，把帶入可得每位顧客貢獻(xiàn)給超市的平均利潤(rùn)為：（元）.18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．19．如圖，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．?）在平面中，過作，在平面中，過作．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，所以，所以兩兩互相垂?以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，，

7分所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，得．設(shè)直線與平面所成角為．則，所以直線與平面所成角的正弦值為．點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明和線面角的求法，意在考查學(xué)生位置關(guān)系的證明和線面角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本運(yùn)算能力.位置關(guān)系的證明和空間角的求法都有兩種方法，一是幾何方法，一是向量的方法，注意理解掌握和靈活運(yùn)用.20．已知橢圓過點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的三條弦，所在的直線分別與軸交于點(diǎn)，且，求直線的方程.【解析】(1)依題意，得，又解得橢圓方程為.(2)由題意知直線的斜率存在，設(shè).據(jù)，得，，又直線的斜率為.用代替，得，.又直線的方程為，即.21．已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，所以?令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故的單調(diào)速增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）.因?yàn)?，，又，所以，則.令，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)?，所以，使?且當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故.由，得.由，得，即.結(jié)合，得，所以.令.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.故的最小值為.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．【解析】(1)求C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程；由可得所以，因?yàn)?，所?/p>