第15講解三角形中角平分線中線內(nèi)切外接圓問題

第15講解三角形中角平分線中線內(nèi)切外接圓問題【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：角平分線相關(guān)的定理遇到角平分線問題一般有兩種思路：思路一：角平分線定理：思路二：等面積法：考點(diǎn)二：有關(guān)三角形中線問題遇到角平分線問題一般有兩種思路：思路一：中線倍長法：延長中線，構(gòu)造平行四邊形思路二：利用平面向量：上圖中若為的中點(diǎn)，則，兩邊平方即得考點(diǎn)三：有關(guān)三角形外接圓內(nèi)切圓問題三角形外接圓：利用正弦定理（其中為三角形內(nèi)切圓的半徑）三角形面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系：（其中為三角形內(nèi)切圓的半徑）【題型目錄】題型一：角平分線相關(guān)的定理及應(yīng)用題型二：有關(guān)三角形中線問題題型三：有關(guān)外接圓，內(nèi)切圓問題（正弦定理，等面積法）【典型例題】題型一：角平分線相關(guān)的定理及應(yīng)用【例1】（多選題）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面積最小值是【答案】ABD【分析】由三角形面積公式尋找，關(guān)系，再利用基本不等式判斷．【詳解】解：由題意得：，由角平分線以及面積公式得，化簡得，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D正確；由余弦定理所以，即的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；對于選項(xiàng)：由得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故C錯(cuò)誤；故選：ABD．【例2】在中，內(nèi)角A的平分線與邊BC交于點(diǎn)D且，，若的面積，則AD的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積公式建立方程，求出，再由三角形面積范圍求出角A的范圍，利用三角函數(shù)即可求解.【詳解】，，，，即，即，解得，又因?yàn)椋?，即，，，故選：D【例3】中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．【詳解】（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．設(shè)，則，在△與△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．【例4】在中，角，，所對的邊分別為，，，，交AC于點(diǎn)，且，則的最小值為．解析：由題意知，所以，即即，所以，所以【題型專練】1．在中，角所對的邊分別為的平分線交于點(diǎn)，且，則滿足的方程關(guān)系為__________；的最小值為_______.【答案】

a＋c＝ac

9【分析】空1：根據(jù)面積關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式化簡整理即可；空2：由可得，利用“乘1法”結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】空1：∵，則即，整理得空2：∵，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立∴的是小值為9故答案為：；9.【點(diǎn)睛】利用基本不等式破解三角形中的最值問題時(shí)，當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值.2.在中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)，，則的最小值為．解析：，所以，即，即，所以，所以3．在平面四邊形中，，，，，.(1)證明：平分；(2)求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理及三角函數(shù)，再結(jié)合角平分線的定義即可證明；（2）利用三角函數(shù)及二倍角的正弦公式，再結(jié)合三角形的面積公式即可求解.（1）在中，由余弦定理及已知，得，即.在中，，所以，在中，由余弦定理得所以，所以.故平分.（2）由（1）知，,.在中，.，所以的面積為.所以的面積為.4.△ABC中D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得因?yàn)锳D平分BAC,BD=2DC,所以.（Ⅱ）因?yàn)樗杂桑↖）知,所以題型二：有關(guān)三角形中線問題遇到角平分線問題一般有兩種思路：思路一：中線倍長法思路二：利用平面向量【例1】在中，，，邊上的中線，則面積S為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，利用余弦定理求出∠ACE的余弦值，進(jìn)而求出正弦值，利用面積公式求出答案.【詳解】延長AD到點(diǎn)E使DE=AD，連接CE，則因?yàn)檫吷系闹芯€，所以△ABD≌△ECD所以，，面積等于的面積在三角形ACE中，由余弦定理得：，則所以故選：C【例2】中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)若，，為邊上的中點(diǎn)，求的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理，結(jié)合完全和公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可.(1)，因?yàn)?，所以?2)因?yàn)?，，，所以有，（舍去），，解得?【例3】銳角中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且(1)求角C的大?。?2)若邊，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及正弦定理化簡求解，因?yàn)?，所以；?）由余弦定理與正弦定理，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解其取值范圍即可.(1)因?yàn)?，所以，即，又因，所以又由題意可知，所以，因?yàn)?，所?(2)由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以所以所以所以中線CD長的取值范圍為【題型專練】1.在中，分別是內(nèi)角所對的邊，且滿足，（1）求角的值；（2）若，AC邊上的中線，求的面積.【詳解】（1）,..所以,（2）解法一：中線倍長法：延長BD到E，使BD=DE，易知四邊形AECD為平行四邊形，在中，EC=2，BE=2BD=,因?yàn)?，所以，由余弦定理，即，，解得，所以解法二：，所以，即即，即，，解得，所?.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A；(2)若是的中線，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化邊及余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)特殊值對應(yīng)特殊角及角的范圍即可求解；（2）根據(jù)已知條件及中線的向量的線性表示，再利用向量的數(shù)量積極及基本不等式即可求解.(1)由及二倍角的余弦公式，得，即，于是有，及正弦定理，得，由余弦定理，得，.(2)因?yàn)槭堑闹芯€，所以，兩邊平方，得,由（1）知，，，所以，所以即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為.題型三：有關(guān)外接圓，內(nèi)切圓問題（正弦定理，等面積法）【例1】在中，角所對的邊分別為，，，則外接圓的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知等式配湊出余弦定理的形式，可求得，進(jìn)而得到，利用正弦定理可求得外接圓半徑，由此可求得外接圓面積.【詳解】，，即，，又，，設(shè)外接圓半徑為，則，，外接圓的面積.故選：A.【例2】在中,角，，所對的邊分別為，，，，則的外接圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用三角恒等變形化簡，并利用同角三角函數(shù)公式求得，并利用正弦定理求外接圓半徑，即可求得三角形的面積.【詳解】由正弦定理可知,,即，因?yàn)?，，根據(jù)正弦定理可知，得，則的外接圓面積.故選：D【例3】在中，內(nèi)角的對邊分別為為銳角，若，且，則（

）A．B．C．的外接圓的半徑為4D．的外接圓的半徑為【答案】BC【分析】由正弦定理采用邊角互化得，又由為銳角得，再由面積公式可得，由余弦定理求出的值，從而判斷A，B的正誤；再由正弦定理求出的外接圓的半徑，從而判斷C，D的正誤.【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，由余弦定理可得：，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；由正弦定理可得，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.【例4】已知中，，，，O為外接圓的圓心，為內(nèi)切圓的圓心，則下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．外接圓半徑為 B．內(nèi)切圓半徑為C． D．【答案】D【分析】對A，由余弦定理求得，即可得出，再由正弦定理即可求出；對B，利用三角形面積關(guān)系可求出；對C，由可求出；對D，由可求出.【詳解】在中，，所以，設(shè)外接圓半徑為，則，則，故A正確；設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，故B正確；因?yàn)?，，所以，故C正確；設(shè)內(nèi)切圓與三角形分別切于，則設(shè)，，解得，所以，則，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：D.【例5】在?ABC中，sinC2=55，BC=1A.AB=25 B.C.?ABC外接圓直徑是552 D.?ABC【答案】ACD【解答】解：∵sinC2又BC=1，AC=5，∴由余弦定理，AB2=AC2∵cosC=35且C為三角形內(nèi)角，∴sinC=1?cos2C=45，所以△ABC即△ABC外接圓的直徑為552，故如圖，設(shè)△ABC內(nèi)切圓圓心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，因?yàn)閮?nèi)切圓與邊AB，BC，AC相切，故設(shè)切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，連接OE，OF，OG，可知：OE=OF=OG=r，且OE⊥AB，OF⊥BC，，根據(jù)題意：S△ABC利用等面積可得：S△AOC即：12∴r=4AB+AC+BC=故選ACD．

【題型專練】1．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且的外接圓面積為，則的面積為（

）A．24 B．25 C．27 D．28【答案】D【分析】根的外接圓面積為可得的外接圓半徑，再根據(jù)，結(jié)合正弦定理化簡可得，再根據(jù)面積公式求解即可.【詳解】易知的外接圓半徑.由可得，所以，，由，結(jié)合正弦定理可得，所以.故選：D2．設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，，且，則的外接圓的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和兩角和與差的余弦公式化簡題中的等量關(guān)系，根據(jù)bc的乘積正弦定理求解三角形的外接圓的半徑，從而得到三角形外接圓的周長.【詳解】由得,即，所以，又因?yàn)?，結(jié)合正弦定理（其中R為△ABC的外接圓的半徑）得，解得，則△的外接圓的周長為.故選：B.3.三角形有一個(gè)角是，夾在這個(gè)角的兩邊長分別為8和5，則(

)A.三角形另一邊長為6 B.三角形的周長為20C.三角形內(nèi)切圓面積為3π D.三角形外接圓周長為7【答案】BC【解答】解：因?yàn)槿切斡幸粋€(gè)角是，夾在這個(gè)角的兩邊長分別為8和5，A.由余弦定理得：三角形另一邊長為82+5B.三角形的周長為8+5+7=20，故B正確；C.設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r，由面積法得到：12×8×5×sin所以內(nèi)切圓的面積為，故C正確；D.設(shè)三角形外接圓的半徑為R，則由正弦定理得到7sin解得R=733，所以三角形外接圓周長為，故故選BC．

4．在中，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．外接圓的面積為 B．若，則C．的面積有最大值 D．當(dāng)時(shí)，有一解【答案】AC【分析】由正弦定理可判斷AB，由余弦定理和基本不等式可判斷C，由方程的解的情況可判斷D.【詳解】由可知，由正弦定理得：，所以，所以外接圓的面積，A正確；若，由正弦定理得：，解得：，所以或（均符合題意），B錯(cuò)誤；由得，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，C正確；得，，此方程有唯一正解等價(jià)于或，又，解得：或，D錯(cuò)誤.故選：AC5．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，，則（

）A．外接圓的半徑為 B．外接圓的半徑為3C． D．【答案】AC【分析】由的值，求出，由正弦定理可判斷A，B；由正弦定理求出，再由兩角和的余弦公式求出，則，則可判斷C，D.【詳解】因?yàn)?，A為三角形內(nèi)角，所以.設(shè)外接圓的半徑為R，則，所以外接圓的半徑為.由.得.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，則.故選：AC.6．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.其面積為，周長為.若，且，則（

）A． B．的最大值為C．的外接圓半徑為 D．的最小值為6【答案】BC【分析】由已知式子利用正弦定理結(jié)合二倍角公式化簡可求出角，再利用正弦定理可求出的外接圓半徑，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出的最大值，利用正弦定理結(jié)果三角函數(shù)恒等變換公式可求出的范圍【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，因?yàn)椋?所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以A錯(cuò)誤，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理得，，得，所以C正確，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最大值為4，所以的最大值為，所以B正確，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以周長的最大值為6，無最小值，所以D錯(cuò)誤，故選：BC7．在中，角A，B，C