98離散型隨機(jī)變量及其分布列數(shù)字特征（精講）

9.8離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征【題型解讀】【知識儲備】1．離散型隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．3．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．5．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．常用結(jié)論均值與方差的四個常用性質(zhì)(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．【題型精講】【題型一分布列的性質(zhì)】必備技巧離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用（1）利用“總概率之和為”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)及，判斷所求的分布列是否正確．例1（2022·華師大二附中高三練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，有，且，，解得，故選：B.例2已知隨機(jī)變量X的概率分布為，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】依題意，，由分布列的性質(zhì)得，解得，所以實(shí)數(shù).故答案為：【題型精練】1.（2022·河南高三月考）隨機(jī)變量X的分布列為XP若，，成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意知，，∴，∴．又，∴，∴．同理，由，，∴，∴，即公差的取值范圍是故答案為：2．（2022·全國高三課時練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則___________.【答案】【解析】由題意，，所以，得，所以.故答案為：【題型二求離散型隨機(jī)變量的分布列】例3（2022·四川模擬）一袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為（

）A．123B．1234C．123D．123【答案】C【解析】隨機(jī)變量ξ的可能取值為1，2，3故選：C.例4（2022·武昌模擬）設(shè)某人有5發(fā)子彈，當(dāng)他向某一目標(biāo)射擊時，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3).若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；(2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列．【解析】記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨(dú)立，且P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(A)k)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.(1)方法一他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P(A1eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1A2)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).方法二(2)X的所有可能值為2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1eq\x\to(A)2A3A4)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(2,3)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝P(A1eq\x\to(A)2A3eq\x\to(A)4)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,81).故X的分布列為X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)【題型精練】1．（2022·石家莊模擬）甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會答題，同樣也是兩次機(jī)會.每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為.若乙有機(jī)會答題的概率為.(1)求;(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.【解析】（1）由已知得，當(dāng)甲至少答對1題后，乙才有機(jī)會答題.所以乙有機(jī)會答題的概率為，解得；（2）X的可能取值為0，10，20，30，40；所以X的分布列為：X010203040P.2.（2022·臨沂二模）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月，兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：，，大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月，兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．【解析】（Ⅰ）由題意得：從全校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，，兩種支付方式都不使用的有5人，僅使用的有30人，僅使用的有25人，，兩種支付方式都使用的人數(shù)有：，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月，兩種支付方式都使用的概率．（Ⅱ）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，樣本僅使用的學(xué)生有30人，其中支付金額在，的有18人，超過1000元的有12人，樣本僅使用的學(xué)生有25人，其中支付金額在，的有10人，超過1000元的有15人，，，，的分布列為：012數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）不能認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，理由如下：從樣本僅使用的學(xué)生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金額大于2000元，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為，雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為．故不能認(rèn)為認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化．【題型三離散型隨機(jī)變量的均值和方差】例5（2022·唐山二模）已知隨機(jī)變量X滿足，，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)方差和期望的性質(zhì)可得：,,故選：D例6今年3月份以來，隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā)，國內(nèi)消費(fèi)受到影響，為了促進(jìn)消費(fèi)回暖，全國超過19個省份都派發(fā)了消費(fèi)券，合計金額高達(dá)50億元通過發(fā)放消費(fèi)券的形式，可以有效補(bǔ)貼中低收入階層，帶動消費(fèi)，從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能，最終拉動經(jīng)濟(jì)增長，除此之外，消費(fèi)券還能在假期留住本市居民，減少節(jié)日期間在各個城市之間的往來，客觀上能夠達(dá)到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應(yīng)政策號召，組織本單位員工參加抽獎得消費(fèi)優(yōu)惠券活動，抽獎規(guī)則是：從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的2個黃球、3個紅球的箱子中隨機(jī)摸出2個球，若恰有1個紅球可獲得20元優(yōu)惠券，2個都是紅球可獲得50元優(yōu)惠券，其它情況無優(yōu)惠券，則在一次抽獎中：(1)求摸出2個紅球的概率；(2)設(shè)獲得優(yōu)惠券金額為X，求X的方差．【解析】（1）記事件A：摸出2個紅球.則.（2）由題意可得：X的可能取值為：0，20，50.則：；；.所以數(shù)學(xué)期望，方差.【題型精練】1．（2022·高三課時練習(xí)）隨機(jī)變量的可能值，且，則D的最大值為___________.【答案】1【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量的可能值有1，2，3，且，所以，由，得所以.，，當(dāng)時，的最大值為故答案為：12.（2022·廣東高三模擬）2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和.某校環(huán)保社團(tuán)為了解本校學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：假設(shè)每位學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨(dú)立.高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834(1)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率；(2)從樣本高中部和初中部的學(xué)生中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，以表示這人中清楚垃圾分類后處理方式的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從樣本中隨機(jī)抽取一名男生和一名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式.直接寫出方差和的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望為；(3).【解析】(1)解：由已知得，清楚垃圾分類后處理方式的有人，所以從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率為；(2)解：高中部共有名學(xué)生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，不清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，初中部共有名學(xué)生，其中清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，不清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有人，從樣本高中部和初中部的學(xué)生中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，以表示這人中清楚垃圾分類后處理方式的人數(shù)，則的取值有0，1，2，所以，，，所以的分布列為：X012P所以的數(shù)學(xué)期望為；(3)解：.【題型四均值和方差在決策問題中應(yīng)用】例7（2022·山東·高密三中高三階段練習(xí)）2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺開展銷售活動．現(xiàn)有甲、乙兩個平臺供選擇，且當(dāng)每件商品的售價為元時，從該商品在兩個平臺所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計如下，商品日銷售量（單位：件）678910甲平臺的天數(shù)1426262410乙平臺的天數(shù)1025352010假設(shè)該商品在兩個平臺日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，(1)求“甲平臺日銷售量不低于8件”的概率，并計算“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平臺的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺收費(fèi)30元；乙平臺的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個平臺中選擇一個長期合作，從日銷售收入（單價×日銷售量平臺費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．【解析】（1）令事件“甲平臺日銷售量不低于8件”，則，令事件“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，則（2）設(shè)甲平臺的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為所以，，設(shè)乙平臺的日銷售收入為，則的所有可能取值為所以，的分布列為：所以，.所以，令得，令得所以，當(dāng)時，選擇甲平臺；當(dāng)時，甲乙平臺均可；當(dāng)時，選擇乙平臺.【題型精練】1．（2022·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù)，為答謝各位員工一年來的銳意進(jìn)取和辛勤努力，公司決定在聯(lián)歡晚會后，擬通過摸球兌獎的方式對500位員工進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位員工從一個裝有4種面值的獎券的箱子中，一次隨機(jī)摸出2張獎券，獎券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額．(1)若箱子中所裝的4種面值的獎券中有1張面值為80元，其余3張均為40元，試比較員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率的大??；(2)公司對獎勵總額的預(yù)算是6萬元，預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎券有兩種方案：第一方案是2張面值20元和2張面值100元；第二方案是2張面值40元和2張面值80元．為了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請問選擇哪一種方案比較好？并說明理由．【答案】(1)員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等(2)應(yīng)選擇第二種方案；理由見解析【解析】(1)用X表示員工所獲得的獎勵額．因?yàn)?，，所以，故員工獲得80元獎勵額與獲得120元獎勵額的概率相等．(2)第一種方案為，設(shè)員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為40120200P所以的數(shù)學(xué)期望為，的方差為；第二種方案為，設(shè)員工所獲得的獎勵額為，則的分布列為80120160P所以的數(shù)學(xué)期望為，的方差為，又因?yàn)椋ㄔ?，所以兩種方案獎勵額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小，故應(yīng)選擇第二種方案．2.（2022·濟(jì)北中學(xué)高三月考）2020年12月4日，“直播帶貨”入選《咬文嚼字》2020年度十大流行語，與電商直播相關(guān)的職業(yè)成了年輕人就業(yè)新選擇.有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品直播間，直播主持人的日工資方案如下：甲直播間底薪100元，直播主持人每箱抽成3元；乙直播間無底薪，