專題61隨機事件的條件概率（3類必考點）（北師大版2019選擇性）（原卷版）

專題6.1隨機事件的條件概率TOC\o"13"\t"正文,1"\h【考點1：條件概率】 1【考點2：乘法公式與事件的獨立性】 6【考點3：全概率公式】 13【考點1：條件概率】【知識點：條件概率】定義設A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)[方法技巧]解決條件概率問題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進行第二步．第二步，計算概率，這里有兩種思路：思路一縮減樣本空間法計算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)計算思路二直接利用公式計算條件概率，即先分別計算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)計算[提醒]要注意P(B|A)與P(A|B)的不同：前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．1．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）甲、乙兩個家庭出去游玩，準備分別從北京、上海、重慶和天津4個地點中隨機選擇一個，記事件A：甲和乙選擇的地點不同，事件B：甲和乙恰有一個選擇北京，則P(B∣A)=（

）A．14 B．34 C．232．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┙?jīng)統(tǒng)計，某射擊運動員進行兩次射擊時，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環(huán)的概率為（

）A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.753．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）近年來，準南市全力推進全國文明城市創(chuàng)建工作，構(gòu)建良好的宜居環(huán)境，城市公園越來越多，某周末，甲、乙兩位市民準備從龍湖公園、八公山森林公園、上密森林公園、山南中央公園4個景點中隨機選擇共中一個景點游玩，記事件M：甲和乙至少一人選擇八公山森林公園，事件N：甲和乙選擇的景點不同，則PNM=A．716 B．78 C．374．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學?？计谀┬∶髅刻焐蠈W途中必須經(jīng)過2個紅綠燈，經(jīng)過一段時間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個紅綠燈處遇到紅燈的概率是12，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是16，則在第一個紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（A．23 B．34 C．135．（江蘇省南京市六校聯(lián)合體20222023學年高三下學期1月聯(lián)考數(shù)學試題）寒假期間，甲，乙，丙，丁，戊共5位同學被安排到A，B，C，D四個小區(qū)參加社會實踐活動，要求每個小區(qū)至少安排一位同學，且每位同學只能到一個小區(qū)參加實踐活動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不同的安排方法共有240種B．甲同學被安排到A小區(qū)的概率是1C．甲乙兩位同學被安排在同一小區(qū)的概率為1D．在甲同學被安排到A小區(qū)的前提下，A小區(qū)有兩位同學的概率是26．（2023·全國·高三對口高考）從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，事件B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則PB7．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學?？茧A段練習）我國的中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎有顯著療效，功不可沒.“三藥”分別為金花清感顆粒?蓮花清?膠囊和血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯?化濕敗毒方和宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出三種，A表示事件“選出的三種中至少有一藥”，B表示事件“選出的三種中有且僅有一方”，則PB∣A8．（2022春·安徽滁州·高二校考階段練習）某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學校學生會的干部競選.(1)求女生乙被選中的概率；(2)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率.9．（2023·全國·高二專題練習）盒中裝有5個同種產(chǎn)品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個，求；(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率．10．（2022·高二課時練習）一個袋中有大小與質(zhì)地相同的2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取2個球，記事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”．(1)分別求事件A、B、A∩B發(fā)生的概率；(2)求PB【考點2：乘法公式與事件的獨立性】【知識點：乘法公式與事件的獨立性】定義設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立性質(zhì)①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨立相互獨立事件概率的求法與相互獨立事件A，B有關的概率的計算公式如下表：事件A，B相互獨立概率計算公式A，B同時發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同時不發(fā)生P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一個不發(fā)生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一個發(fā)生P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一個發(fā)生P＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)[方法技巧]求相互獨立事件概率的步驟第一步，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，并把題中涉及的事件分為若干個彼此互斥的事件的和；第二步，求出這些彼此互斥的事件的概率；第三步，根據(jù)互斥事件的概率計算公式求出結(jié)果．此外，也可以從對立事件入手計算概率．1．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）對于事件A，B，下列命題不正確的是（

）A．若A，B互斥，則PB．若A，B對立，則PC．若A，B獨立，則PD．若A，B獨立，則P2．（2023秋·遼寧·高二遼河油田第二高級中學?？计谀┮阎狝、B是隨機事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若A、B是互斥事件，則PB．若A、B是對立事件，則A、B是互斥事件C．若事件A、B相互獨立，則PD．事件A、B至少有一個發(fā)生的概率不小于A、B恰好有一個發(fā)生的概率3．（2023·全國·模擬預測）某校10月份舉行校運動會，甲?乙?丙三位同學計劃從長跑，跳繩，跳遠中任選一項參加，每人選擇各項目的概率均為13，且每人選擇相互獨立，則（

A．三人都選擇長跑的概率為1B．三人都不選擇長跑的概率為2C．至少有兩人選擇跳繩的概率為4D．在至少有兩人選擇跳遠的前提下，丙同學選擇跳遠的概率為54．（2023·高三課時練習）甲、乙、丙三家企業(yè)都有意向購買同一種型號的機床設備，他們購買該機床設備的概率分別為12、13、5．（2023秋·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）甲、乙兩人獨立解同一道數(shù)學題目，甲解出這道題目的概率是23，乙解出這道題目的概率是36．（2022秋·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）甲、乙兩人約定進行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為137．（2022秋·上海虹口·高二校考期末）在高中學生軍訓表演中，學生甲的命中率為0.4，學生乙的命中率為0.3，甲乙兩人的擊互不影響，求：(1)甲乙同時射中目標的概率；(2)甲乙中至少有一人擊中目標的概率.8．（2022秋·上海浦東新·高二?？计谀┘?、乙兩位同學上課后獨自完成自我檢測題，甲及格概率為45，乙及格概率為3(1)求甲、乙兩人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．9．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）某工廠為了保障安全生產(chǎn)，舉行技能測試，甲、乙、丙3名技術(shù)工人組成一隊參加技能測試，甲通過測試的概率是0.8，乙通過測試的概率為0.9，丙通過測試的概率為0.5，假定甲、乙、丙3人是否通過測試相互之間沒有影響.(1)求甲、乙、丙3名工人都通過測試的概率P1(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通過測試的概率P210．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙、丙、丁進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：第一輪：甲和乙進行比賽，同時丙和丁進行比賽，兩個獲勝者進入勝者組，兩個敗者進入敗者組；第二輪：勝者組進行比賽，同時敗者組進行比賽，敗者組中失敗的選手淘汰；第三輪：敗者組的勝者與勝者組的敗者進行比賽，失敗的選手淘汰；第四輪：第三輪中的勝者與第二輪中勝者組的勝者進行決賽，勝者為冠軍．已知甲與乙、丙、丁比賽，甲的勝率分別為12,23,(1)求丙在第二輪被淘汰的概率；(2)在丙在第二輪被淘汰的條件下，求甲所有比賽全勝并獲得冠軍的概率．【考點3：全概率公式】【知識點：全概率公式】若樣本空間中的事件滿足：（1）任意兩個事件均互斥，即，．（2）．（3）．則對任意事件，都有，則稱該公式為全概率公式．上述公式可借助圖形來理解：1．（2023·全國·模擬預測）某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊，10塊，10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率分別為0.1，0.2，0.3，則從這25塊芯片中任取一塊芯片，是正品的概率為（

）A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.482．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%、合格品率為95%，第二批占60%、合格品率為96A．95.6% B．42.4% C．59.6%3．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預測）長白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風光，查干冬漁，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季來的概率是23，夏季來的概率是13，如果冬季來，則看不到長白飛瀑，鶴舞向海和凈月風光，若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬捕，無論什么時候來，由于時間原因，只能在可去景點當中選擇兩處參觀，則某人去了“一眼望三國”景點的概率為（A．1115 B．1645 C．17454．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級中學?？计谀┘状杏?個紅球，2個白球和3個黑球，乙袋中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別以A1,A2,A．PBA1C．PA1B5．（2023秋·海南·高三統(tǒng)考期末）已知小明每天步行上學的概率為0.6，騎自行車上學的概率為0.4，且步行上學有0.05的概率遲到，騎自行車上學有0.02的概率遲到．若小明今天上學遲到了，則他今天騎自行車上學的概率為________．6．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在臨床上，經(jīng)常用某種試驗來診斷試驗者是否患有某種癌癥，設A=“試驗結(jié)果為陽性”，B=“試驗者患有此癌癥”，據(jù)臨床統(tǒng)計顯示PAB=0.99，P7．（2023·全國·高三專題練習）某病毒會造成“持續(xù)的人傳人”，即存在甲傳乙，乙又傳丙，丙又傳丁的傳染現(xiàn)象，那么甲，乙，丙就被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設一個身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.5.已知健康的小明參加了一次多人宴會，參加宴會的人中有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，若小明參加宴會僅和感染的10個人中的一個有所接觸，則被感染的概率為______.8．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？计谀┬∶髅刻烊W校有A，B兩條路線可供選擇，小明上學時隨機地選擇一條路線.如果小明上學時選擇A路線，那么放學時選擇A路線的概率為0.6;如果小明上學時選擇B路線，那么放學時選擇A路線的概率為0.8.(1)求小明放學時選擇A路線的概率;(2)已知小明放學時選擇A路線，求小明上學時選擇B路線的概率.9．（2023·山西·統(tǒng)考一模）假設有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3個白球2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球4個紅球，這些小球除顏色外完全相同.(1)每次從第一個盒子里隨機取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；(2)若先從第一個盒子里隨機取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，