湖北省宜昌市部分省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

宜昌市部分省級(jí)示范高中2024秋季學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：葛洲壩中學(xué)命題人：彭曉琳審題學(xué)校：三峽高中審題人：楊華審題學(xué)校：枝江一中審題人：鄧攀考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必在答題卡上填寫自己的姓名，并粘貼條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用黑色水性筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分；每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，則，所以，又，所以.故選：C2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和分式的分母不為零，列不等式組，解不等式組可求得結(jié)果【詳解】要使函數(shù)有意義，必須，解得且，則函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：D．3.設(shè)函數(shù)則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷自變量的范圍，選擇對應(yīng)解析式求解.【詳解】因，故，又成立，故，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕蔬x：B.4.冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m的值為（）A.﹣6 B.1 C.6 D.1或﹣6【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，且為偶數(shù)，由此求得m的值．【詳解】∵冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴，且為偶數(shù)或當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，舍去因此：m＝1故選：B5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)定義域，然后判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以排除A，當(dāng)時(shí)，，所以排除C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹驮谏线f增，所以在上遞增，所以排除B，故選：D6.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可以得到關(guān)于的不等式組，解這個(gè)不等式組即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，所以有，解得，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可求出函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即可得出的大小.【詳解】函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，恒成立知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分情況求解不等式，結(jié)合一元二次不等式的解法，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，可得，，解得，則；當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，則.綜上所述，由，解得，當(dāng)x>0時(shí)，由，可得，，解得，則；當(dāng)x=0時(shí)，由，可得，顯然成立，則x=0；當(dāng)時(shí)，由，可得，，解得或，則.綜上所述，，解得故選：C.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分；全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.已知不等式的解集是，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，得到和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，結(jié)合韋達(dá)定理，可得判定A正確，C正確，D正確，再令，可得判定B正確.【詳解】由不等式的解集是，可得和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則，可得，所以A錯(cuò)誤，C正確；由，可得，所以D正確；又由，令，可得，所以B正確.故選：BCD.10.已知，則下列結(jié)論正確的有（

）A.的最大值 B.的最小值為1C.的最小值 D.+的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由題意，根據(jù)基本不等式、二次函數(shù)以及“1”的妙用，可得答案.【詳解】對于A，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對于B，由，則，由，則當(dāng)時(shí)，取得最小值45，故B錯(cuò)誤；對于C，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對于D，設(shè)，解得，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD.11.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)滿足：B.函數(shù)的值域是C.對于任意，都有D.在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形【答案】AC【解析】【分析】利用，對選項(xiàng)A，B和C逐一分析判斷，即可得出選項(xiàng)A，B和C的正誤，選項(xiàng)D，通過取特殊點(diǎn)，此時(shí)為等邊三角形，即可求解.【詳解】由于，對于選項(xiàng)A，設(shè)任意，則；設(shè)任意，則，總之，對于任意實(shí)數(shù)恒成立，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，的值域?yàn)椋?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，當(dāng)，則，當(dāng)，則，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，取，此時(shí)，得到為等邊三角形，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)為上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，__________.【答案】【解析】分析】根據(jù)奇函數(shù)定義即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即.所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】或【解析】【分析】，及分類討論后可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，故最小值為即，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，故最小值為不合題意舍；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在為減函數(shù)，故最小值為即，符合題意；綜上，或.故答案為:或.14.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，若對任意的，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，再利用性質(zhì)解不等式.【詳解】令，由是定義在R上的奇函數(shù)，得，則為偶函數(shù)，由對任意的，當(dāng)時(shí)，有成立，得在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，不等式，因此，解得或，所以不等式的解集為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值集合.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）代入求出集合，解一元二次不等式的到集合，再由補(bǔ)集和并集的運(yùn)算得到結(jié)果；（2）把問題轉(zhuǎn)化為是的真子集，再列不等式組求解即可；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.由,得,則或，所以或【小問2詳解】有題意得?,則得,所以的取值集合為16.設(shè)命題，不等式恒成立；命題，使得不等式成立.（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若命題有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，解不等式即可；（2）分類討論結(jié)合集合的關(guān)系計(jì)算即可.【小問1詳解】，由題意可知，解得；【小問2詳解】當(dāng)為真命題時(shí)，對于二次函數(shù)，其圖象對稱軸為，在區(qū)間上有，則，故，成立等價(jià)于，即，若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，若命題真假，結(jié)合（1）可知且，故，綜上，.17.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）用定義證明：函數(shù)在上是遞減函數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)t的范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而解方程得，再檢驗(yàn)滿足奇函數(shù)性質(zhì)即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)奇偶性得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，又因?yàn)椋越獾茫?dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)滿足，即函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，所以，所求函數(shù)的解析式為【小問2詳解】證明：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，則函數(shù)在上是遞減函數(shù)【小問3詳解】解：因?yàn)椋?，又因?yàn)橛桑?）知函數(shù)在上是遞減函數(shù)，所以，即，解得:，所以，所求實(shí)數(shù)的范圍為18.隨著城市居民汽車使用率的增加，交通擁堵問題日益嚴(yán)重，而建設(shè)高架道路、地下隧道以及城市軌道公共運(yùn)輸系統(tǒng)等是解決交通擁堵問題的有效措施.某市城市規(guī)劃部門為提高早晚高峰期間某條地下隧道的車輛通行能力，研究了該隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時(shí)）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：.研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度是0千米/小時(shí).（1）若車流速度不小于40千米/小時(shí)，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)的車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）車流密度的取值范圍是（2）隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為83輛/千米.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，再根據(jù)分段函數(shù)解不等式即可得答案；（2）由題意得，再根據(jù)基本不等式求解最值即可得答案.【小問1詳解】解：由題意知當(dāng)（輛/千米）時(shí)，（千米/小時(shí)），代入，解得，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以.所以，若車流速度不小于40千米/小時(shí)，則車流密度的取值范圍是.【小問2詳解】解：由題意得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，隧道內(nèi)車流量的最大值約為3667輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為83輛/千米.19.已知函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意，都有成立，則稱函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明：若不是，請說明理由；（2）若函數(shù)是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得是定義域上的“利普希茲條件函數(shù)”，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】（1）是，證明見解析（2