考點09復(fù)數(shù)（7種題型5個易錯考點）

考點09復(fù)數(shù)（7種題型5個易錯考點）【課程安排細目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點清單三、題型方法四、易錯分析五.、刷壓軸一一、真題搶先刷，考向提前知一．復(fù)數(shù)的運算（共4小題）1．（2023?上海）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1+iz|＝．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算，即可求解．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，屬基礎(chǔ)題．2．（2021?上海）已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝3+4i．【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)，求出z1+z2即可．【解答】解：因為z1＝1+i，z2＝2+3i，所以z1+z2＝3+4i．故答案為：3+4i．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的加法運算，屬基礎(chǔ)題．3．（2020?上海）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣2i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝．【分析】由已知直接利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)的計算題．4．（2019?上海）已知z∈C，且滿足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案為：5﹣i．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題．二．共軛復(fù)數(shù)（共6小題）5．（2022?上海）已知z＝1+i（其中i為虛數(shù)單位），則2＝2﹣2i．【分析】直接利用共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．【解答】解：z＝1+i，則＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．故答案為：2﹣2i．【點評】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．6．（2022?上海）已知z＝2+i（其中i為虛數(shù)單位），則＝2﹣i．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解．【解答】解：∵z＝2+i，∴．故答案為：2﹣i．【點評】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．7．（2021?上海）已知z＝1﹣3i，則|﹣i|＝．【分析】由已知求得，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【解答】解：∵z＝1﹣3i，∴，則|﹣i|＝|1+2i|＝．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的加減運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．8．（2020?上海）已知復(fù)數(shù)z滿足z+2＝6+i，則z的實部為2．【分析】設(shè)z＝a+bi，（a，b∈R）．根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足z+2＝6+i，利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出．【解答】解：設(shè)z＝a+bi，（a，b∈R）．∵復(fù)數(shù)z滿足z+2＝6+i，∴3a﹣bi＝6+i，可得：3a＝6，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1．則z的實部為2．故答案為：2．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2019?上海）設(shè)i為虛數(shù)單位，，則|z|的值為2【分析】把已知等式變形求得再由|z|＝||，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【解答】解：由，得3＝6+6i，即，∴|z|＝||＝．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．10．（2023?上海）已知z1，z2∈C且z1＝i（i為虛數(shù)單位），滿足|z1﹣1|＝1，則|z1﹣z2|的取值范圍為[0，]．【分析】引入復(fù)數(shù)的三角形式，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題求解．【解答】解：設(shè)z1﹣1＝cosθ+isinθ，則z1＝1+cosθ+isinθ，因為z1＝i?，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，顯然當(dāng)＝時，原式取最小值0，當(dāng)＝﹣1時，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范圍為[0，]．故答案為：[0，]．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的三角形式以及三角恒等變換，同時考查了復(fù)數(shù)的模長公式，屬于中檔題．二二、考點清單1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是a，虛部是b．(2)復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)（a＝0，b≠0），,非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.))))(3)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\f(→,\s\up6(一一對應(yīng))))復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．3．復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．<常用結(jié)論>1．三個易誤點(1)兩個虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．2．復(fù)數(shù)代數(shù)運算中常用的三個結(jié)論在進行復(fù)數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結(jié)論，可提高計算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.三三、題型方法一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共2小題）1．（2023?普陀區(qū)校級模擬）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1﹣i的虛部是﹣1．【分析】利用復(fù)數(shù)的概念求解．【解答】解：由復(fù)數(shù)的概念，知：復(fù)數(shù)1﹣i的虛部是﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要熟練掌握復(fù)數(shù)的概念．2．（2023?寶山區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3（其中i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m＝﹣1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3，則，解得m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題．二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共3小題）3．（2023?長寧區(qū)二模）設(shè)復(fù)平面上表示2﹣i和3+4i的點分別為點A和點B，則表示向量的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)條件可寫出表示向量的復(fù)數(shù)，然后即可得出該復(fù)數(shù)所位于的象限．【解答】解：根據(jù)題意知，表示向量的復(fù)數(shù)為1+5i，∴在復(fù)平面上所對應(yīng)的點為（1，5）位于第一象限．故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)和向量的對應(yīng)關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?浦東新區(qū)模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|＝2，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x，y），則（）A．（x﹣1）2+y2＝4 B．（x+1）2+y2＝4 C．x2+（y﹣1）2＝4 D．x2+（y+1）2＝4【分析】由已知直接利用復(fù)數(shù)模的幾何意義得答案．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|＝2，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓，又z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（x，y），∴軌跡方程為（x﹣1）2+y2＝4．故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．5．（2023?奉賢區(qū)校級三模）復(fù)數(shù)（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則，解得，故實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．三．純虛數(shù)（共2小題）6．（2023?寶山區(qū)校級模擬）（sinθ﹣）+（cosθ﹣）i是純虛數(shù)，則tanθ＝．【分析】由給出復(fù)數(shù)的實部等于0且虛部不等于0求出sinθ和cosθ的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanθ的值．【解答】解：∵（sinθ﹣）+（cosθ﹣）i是純虛數(shù)，則，解得：．∴tanθ＝．故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了三角函數(shù)的象限符號，是基礎(chǔ)題．7．（2023?黃浦區(qū)校級三模）若復(fù)數(shù)（1﹣i）（a+i）為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝﹣1．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求解．【解答】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i為純虛數(shù)，∴，即a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．四．復(fù)數(shù)的運算（共21小題）8．（2023?奉賢區(qū)二模）已知x∈R，y∈R，且x+i＝y(tǒng)+yi，i是虛數(shù)單位，則x+y＝2．【分析】根據(jù)x+i＝y(tǒng)+yi可求出x，y的值，進而得出x+y的值．【解答】解：∵x+i＝y(tǒng)+yi，且x∈R，y∈R，∴，∴x+y＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了a+bi＝c+di時，a＝c，b＝d，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?普陀區(qū)二模）設(shè)3i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2+m＝0（m∈R）的根，則m＝9．【分析】由已知直接把x＝3i代入方程求解m的值．【解答】解：∵3i（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程x2+m＝0（m∈R）的根，∴（3i）2+m＝0，即m＝9．故答案為：9．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題．10．（2023?黃浦區(qū)二模）設(shè)復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2+i（i為虛數(shù)單位），則z1?z2＝﹣5．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則與共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義即可得出．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2+i，∴z2＝﹣2+i．∴z1?z2＝﹣（2+i）（2﹣i）＝﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則與共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?閔行區(qū)校級二模）在復(fù)平面內(nèi)，點A（﹣2，1）對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，則|z+1|＝．【分析】求出復(fù)數(shù)z+1，然后求解復(fù)數(shù)的模．【解答】解：在復(fù)平面內(nèi)，點A（﹣2，1）對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，則|z+1|＝|﹣2+i+1|＝|﹣1+i|＝＝．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計算能力．12．（2023?浦東新區(qū)校級一模）若復(fù)數(shù)z滿足i?z＝1+2i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實部為2．【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：由i?z＝1+2i，得z＝，∴z的實部為2．故答案為：2．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．13．（2023?浦東新區(qū)校級三模）設(shè)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則Imz＝﹣3．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則，先求出復(fù)數(shù)z的最簡形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z＝＝＝＝2﹣3i，∴Imz＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意復(fù)數(shù)的乘除運算法則的合理運用．14．（2023?寶山區(qū)校級模擬）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足＝i，則|z|＝1．【分析】設(shè)出z＝a+bi，得到1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，根據(jù)系數(shù)相等得到關(guān)于a，b的方程組，解出a，b的值，求出z，從而求出z的模．【解答】解：設(shè)z＝a+bi，則＝＝i，∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z＝﹣i，|z|＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題，考查解方程組問題以及對應(yīng)思想，是一道基礎(chǔ)題．15．（2023?閔行區(qū)校級三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1．．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，共軛復(fù)數(shù)和虛部的定義，即可求解．【解答】解：，則＝＝，即z＝﹣i，故復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，共軛復(fù)數(shù)和虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?閔行區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解．【解答】解：z（1﹣i）＝i，則z＝＝，其虛部為．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023?松江區(qū)校級模擬）i2018＝﹣1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：i2018＝（i4）505?i2＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?嘉定區(qū)校級三模）已知復(fù)數(shù)x滿足方程x2＝﹣3，那么x＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)x滿足方程x2＝﹣3，則x＝．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023?徐匯區(qū)校級三模）復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的虛部是﹣4．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解．【解答】解：＝﹣5﹣4i，其虛部為﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023?徐匯區(qū)校級三模）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則實數(shù)a的值為﹣1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：＝＝＝，∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，∴，解得a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．21．（2023?黃浦區(qū)校級三模）在復(fù)數(shù)集中，若復(fù)數(shù)z滿足z2＝﹣1，則z＝±i．【分析】設(shè)出z＝a+bi（a，b∈R），再利用復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)相等的定義即可得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則z2＝a2﹣b2+2abi＝﹣1，則，解得a＝0，b＝1或b＝﹣1，所以z＝i或z＝﹣i，故答案為：z＝±i．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．22．（2023?楊浦區(qū)二模）復(fù)數(shù)的虛部是．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解．【解答】解：＝＝，其虛部為．故答案為：．【點評】本題主要考查合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．23．（2023?浦東新區(qū)二模）若復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝1+2i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：z（1﹣i）＝1+2i，則z＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023?普陀區(qū)校級模擬）復(fù)數(shù)3+2i（i為虛數(shù)單位）是實系數(shù)方程x2+ax+b＝0的一個解，則實數(shù)b＝13．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達定理，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)3+2i（i為虛數(shù)單位）是實系數(shù)方程x2+ax+b＝0的一個解，則復(fù)數(shù)3﹣2i是實系數(shù)方程x2+ax+b＝0的另一個解，故（3﹣2i）（2+2i）＝13＝b．故答案為：13．【點評】本題主要考查韋達定理，以及復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．25．（2023?虹口區(qū)二模）復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為Z1（2，1），Z2（1，﹣2），則z1+z2＝3﹣i．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及四則運算，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為Z1（2，1），Z2（1，﹣2），則z1＝2+i，z2＝1﹣2i，故z1+z2＝3﹣i．故答案為：3﹣i．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．26．（2023?黃浦區(qū)模擬）已知復(fù)數(shù)，|z2|＝2，z1z2是正實數(shù)，則復(fù)數(shù)z2＝1﹣．【分析】設(shè)z2＝a+bi（a，b∈R），由已知列關(guān)于a，b的方程組，求解a，b的值得答案．【解答】解：設(shè)z2＝a+bi（a，b∈R）．由，|z2|＝2，z1z2是正實數(shù)，得，解得或．∴z2＝﹣1+或1﹣．當(dāng)z2＝﹣1+時，z1z2＝﹣4，舍去，∴z2＝1﹣．故答案為：1﹣．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．27．（2023?崇明區(qū)二模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i（i是虛數(shù)單位），則z＝﹣1+i．【分析】把給出的等式變形后直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求值．【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，∴．故答案為：﹣1+i．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題．28．（2023?楊浦區(qū)校級模擬）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是A，其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是B，O是坐標原點，若A在第一象限，且OA⊥OB，則＝﹣i．【分析】設(shè)點A坐標，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得B坐標，再由OA⊥OB得A橫縱坐標的關(guān)系式，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求值即可．【解答】解：設(shè)A（m，n）（m＞0，n＞0），則由共軛復(fù)數(shù)的概念可得：B（m，﹣n），由得：m2﹣n2＝0，因為m＞0，n＞0，所以m＝n，故，故．故答案為：﹣i．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于中檔題．五．共軛復(fù)數(shù)（共7小題）29．（2023?長寧區(qū)校級三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點為（1，1）．則＝2．【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得到z，，再由復(fù)數(shù)的運算法則直接求得．【解答】解：由題得：z＝1+i，，∴．故答案為：2．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．30．（2023?金山區(qū)二模）若復(fù)數(shù)z＝2+i（i是虛數(shù)單位），則＝5．【分析】由復(fù)數(shù)z，可得它的共軛復(fù)數(shù)的值，進而求出z?的值．【解答】解：因為z＝2+i，所以＝2﹣i，所以z?＝（2+i）（2﹣i）＝22﹣i2＝4+1＝5，故答案為：5．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．31．（2023?松江區(qū)校級模擬）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則＝．【分析】由已知直接利用及商的模等于模的商求解．【解答】解：∵，∴＝||＝．故答案為：【點評】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．32．（2023?虹口區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z?＝（）A． B． C． D．2【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：＝，則z＝．故選：A．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．33．（2023?浦東新區(qū)校級模擬）復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝．【分析】設(shè)出z＝a+bi（a，b∈R），利用得到方程組，解方程組求出a，b的值，從而可求出|z|．【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則，所以，則，所以，解得：，所以，故．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．34．（2023?松江區(qū)二模）若復(fù)數(shù)z滿足i?z＝3﹣4i，則||＝5．【分析】根據(jù)已知條件，先對z化簡，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：∵i?z＝3﹣4i，∴＝，∴，∴．故答案為：5．【點評】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．35．（2023?上海模擬）已知復(fù)數(shù)z＝1+2i，則＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝1+2i，則，故＝＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．六．復(fù)數(shù)的模（共18小題）36．（2023?楊浦區(qū)校級三模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z3＝2+2i，則|z|＝．【分析】由|z|3＝|z3|直接求解即可．【解答】解：由z3＝2+2i，得|z|3＝|z3|＝，則|z|＝，故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的模的運算，屬基礎(chǔ)題．37．（2023?寶山區(qū)校級三模）復(fù)數(shù)的模為．【分析】法一：先將復(fù)數(shù)z化簡，再求模；法二，根據(jù)復(fù)數(shù)的模等于分子的模除以分母的模，直接計算．【解答】解：法一：，∴z＝﹣i，∴．法二：．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算，屬于基礎(chǔ)題．38．（2023?虹口區(qū)校級三模）若復(fù)數(shù)z滿足z+＝0，則|z|＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：z+＝0，則z＝﹣，故|z|＝|﹣|＝，即|z|2＝2，解得|z|＝（負值舍去）．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．39．（2023?上海模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝﹣2i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝．【分析】求出，進而利用復(fù)數(shù)的模長性質(zhì)求出答案．【解答】解：，故．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．40．（2023?普陀區(qū)校級三模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝i（1+3i），則＝．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求得z＝﹣3+i，可得，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算即得答案．【解答】解：由z＝i（1+3i）可得z＝﹣3+i，故，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．41．（2023?閔行區(qū)校級一模）若復(fù)數(shù)z是x2+x+2＝0的一個根，則|z|＝．【分析】設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，b≠0，代入z2+z+2＝0中，得到方程組，求出a，b，求出模長．【解答】解：由題意得z2+z+2＝0，設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，b≠0，則a2+2abi﹣b2+a+bi+2＝0，即a2﹣b2+a+2+（2ab+b）i＝0，所以，因為b≠0，所以，故，故．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．42．（2023?嘉定區(qū)校級三模）若復(fù)數(shù)z是x2﹣0.1x+3＝0的一個根，則|z|＝．【分析】在復(fù)數(shù)域內(nèi)解題中方程求出z，從而求出|z|．【解答】解：由x2﹣0.1x+3＝0解得，∵復(fù)數(shù)z是x2﹣0.1x+3＝0的一個根，∴，∴＝．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的模與復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．43．（2023?徐匯區(qū)三模）設(shè)i是虛數(shù)單位，則|i6+i7+i8|＝1．【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可求代數(shù)式的值．【解答】解：∵i2＝﹣1，∴|i6+i7+i8|＝|i2+i3+1|＝|﹣1﹣i+1|＝|i|＝1，故答案為：1．【點評】本題考查虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．44．（2023?靜安區(qū)二模）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z﹣i|＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：＝，則|z﹣i|＝．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．45．（2023?青浦區(qū)校級模擬）已知z1、z2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+2＝0的兩個根，則|z2|＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：x2﹣2x+2＝0，解得z1＝1+i，z2＝1﹣i或z1＝1﹣i，z2＝1+i，故．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．46．（2023?浦東新區(qū)三模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z﹣2|＝|z|＝2，則z3＝﹣8．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），∵|z﹣2|＝|z|＝2，∴，解得a＝1，b＝，當(dāng)z＝1+i時，＝＝，同理可得，z＝i時，z3＝﹣8．故答案為：﹣8．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．47．（2023?青浦區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝5．【分析】把已知等式變形求得，再由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解．【解答】解：由，得，∴．故答案為：5．【點評】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．48．（2023?黃浦區(qū)校級模擬）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的模為．【分析】利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：由題意可得，即1+＝，||＝|﹣1|＝||，即＝，解得|z|＝．故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的模，解題的關(guān)鍵是掌握模的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．49．（2023?浦東新區(qū)模擬）已知復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z＝3+4i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和模的定義求解．【解答】解：由（2+i）z＝3+4i得，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．50．（2023?普陀區(qū)校級模擬）若復(fù)數(shù)，則|z﹣i|＝．【分析】先對z化簡，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：＝，則|z﹣i|＝|1﹣2i|＝．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．51．（2023?嘉定區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)z＝3+4i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝5．【分析】直接利用復(fù)數(shù)模的計算公式得答案．【解答】解：∵z＝3+4i，∴|z|＝．故答案為：5．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．52．（2023?松江區(qū)模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）＝2i（i為虛數(shù)單位），則z的模為．【分析】先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的模長公式求解．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）＝2i（i為虛數(shù)單位），∴z＝＝＝＝＝1+i，∴z的模為＝．故答案為：．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的模長公式，是基礎(chǔ)題．53．（2023?黃浦區(qū)校級三模）若復(fù)數(shù)z＝1+i（i為虛數(shù)單位）是方程x2+cx+d＝0（c、d均為實數(shù)）的一個根，則|c+di|＝【分析】由已知可得（1+i）+（1﹣i）＝﹣c，（1+i）（1﹣i）＝d，求得c，d的值，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【解答】解：∵z＝1+i是方程x2+cx+d＝0（c、d均為實數(shù)）的一個根，∴（1+i）+（1﹣i）＝﹣c，（1+i）（1﹣i）＝d，則c＝﹣2，d＝2．則|c+di|＝|﹣2+2i|＝．故答案為：．【點評】本題考查實系數(shù)一元二次方程虛根成對原理的應(yīng)用，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．七．復(fù)數(shù)的三角表示（共7小題）54．（2022春?嘉定區(qū)校級期末）復(fù)數(shù)的三角形式（用輻角主值表示）為cos+isin．【分析】由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的三角形式可得答案．【解答】解：＝cos（﹣）+isin（﹣）＝cos+isin．故答案為：cos+isin．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的求法，以及三角形式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．55．（2022春?虹口區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)z滿足2iz＝z1，則復(fù)數(shù)z的輻角主值為．【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，先對z化簡，再結(jié)合輻角的定義，即可求解．【解答】解：∵，2iz＝z1，∴＝，故復(fù)數(shù)z的輻角主值為．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及輻角的定義，屬于基礎(chǔ)題．56．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則argz＝．【分析】化為復(fù)數(shù)的三角形式即可得出結(jié)論．【解答】解：復(fù)數(shù)＝2（﹣+i）＝2（cos+i），則argz＝，故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．57．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）的三角形式是（）A． B． C． D．【分析】提取復(fù)數(shù)的模，結(jié)合三角函數(shù)的值即可化代數(shù)形式為三角形式．【解答】解：＝．故選：B．【點評】本題考查化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為三角形式，考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．58．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）復(fù)數(shù)1+i的輻角主值是．【分析】判斷復(fù)數(shù)所在象限及輻角的正切值，求出輻角的主值．【解答】解：復(fù)數(shù)1+i的模是＝，因為1+i對應(yīng)的點在第一象限且輻角的正切tanθ＝1，它的輻角主值為，三角形式為：（cos+isin），所以復(fù)數(shù)1+i的輻角主值是，故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的模及輻角主值以及復(fù)數(shù)三角形式的求法，是基礎(chǔ)題．59．（2022春?閔行區(qū)校級期末）將復(fù)數(shù)化為三角形式：＝．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角表示的定義計算即可．【解答】解：復(fù)數(shù)中，，設(shè)θ為復(fù)數(shù)的輻角主值，θ∈[0，2π），又，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的三角表示，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．60．（2022?寶山區(qū)校級開學(xué)）已知復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ（θ∈R，i為虛數(shù)單位），ω＝．（Ⅰ）若0＜θ＜2π，求滿足|ω|＝1的復(fù)數(shù)z所組成的集合；（Ⅱ）若0＜θ＜π，試討論復(fù)數(shù)ω的輻角（用θ表示）．【分析】（I）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解．（Ⅱ）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，再結(jié)合輻角的定義，即可求解．【解答】解：（I）ω＝＝1+z+z2＝1+cosθ+isinθ+cos2θ+isin2θ，則ω＝1+cosθ+cos2θ+（sinθ+sin2θ）i＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），其中0＜θ＜2π，∵|ω|＝1，∴|2cosθ+1|＝1，解得cosθ＝﹣1或cosθ＝0，即z＝﹣1或±i，故滿足|ω|＝1的復(fù)數(shù)z所組成的集合{﹣1，i，﹣i}．（Ⅱ）ω＝（2cosθ+1）（cosθ+isinθ），0＜θ＜π，當(dāng)2cosθ+1＝0，即，此時ω＝0，其輻角為任意實數(shù)，當(dāng)2cosθ+1＞0，即0＜，此時ω其輻角為2kπ+θ，k∈N，當(dāng)2cosθ+1＜0，即，此時ω其輻角為（2k+1）π+θ，k∈N，綜上所述，復(fù)數(shù)ω的輻角為．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的三角表示，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．四四、易錯分析易錯點1：純虛數(shù)的條件不明晰1、若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)（）A.B.C.D.【錯解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù),得,解得：,故選A．【錯因】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是，錯解中沒有考慮實部不為零。忽略了.【正解】B，由復(fù)數(shù)是純虛數(shù),得,解得：,易錯點2：對復(fù)數(shù)的虛部理解錯誤2、復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）A.B.C.D.【錯解】因為,故選B.【錯因】誤認為復(fù)數(shù)的虛部是.虛部是,不是.【正解】復(fù)數(shù)的虛部是,不是.的虛部是,不是，選B。易錯點3：亂用判別式3、已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根,求的取值范圍.【錯解】由于一元二次方程有實數(shù)根,可得判別式：,解得：或.【錯因】對于一元二次方程通過根的判別式來確定根的個數(shù),這是在實數(shù)范圍內(nèi)才能成立的,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)就不適用了.而本題中所給一元二次方程,其中含有虛數(shù)單位,則首先要將其整理成復(fù)數(shù)的形式：,利用復(fù)數(shù)相等的條件有：,進而可求出.【正解】設(shè)方程的實數(shù)根為,代入方程有：,整理化簡可得：,則有：,可解得：或.易錯點4：忽略虛數(shù)不能比較大小4、給出下列命題：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③,其中正確命題的個數(shù)為.A.0B.1C.2D.3【錯解】D【錯因】兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù),不能比較大小.本題易出現(xiàn)的錯誤是誤認為=2\*GB3②正確.【正解】=1\*GB3①正確；=2\*GB3②錯誤,因為虛數(shù)不能比較大??；,=3\*GB3③錯誤.故選B.易錯點5：利用解題,忽略前提條件：為實數(shù)5、已知x為實數(shù),y為純虛數(shù),且,求的值.A.B.C.D.【錯解】由得,所以.【錯因】當(dāng)為實數(shù)時，有.錯解中忽略了y為純虛數(shù).【正解】因為x為實數(shù),y為純虛數(shù),設(shè),由得,所以,所以.五五.刷壓軸一、單選題1．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)的模為1，其中為虛數(shù)單位，，則這樣的一共有（

）個.A．9 B．10 C．11 D．無數(shù)【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的模為1及復(fù)數(shù)模的運算公式，求得即，接下來分與兩種情況進行求解，結(jié)合，求出的個數(shù).【詳解】，其中，所以，即，，當(dāng)時，①，，所以，，因為，所以或；②，，所以，，因為，所以，，，，或；當(dāng)時，①，，即，，因為，所以，②，，即，，因為，所以，，，，，綜上：，，一共有11個.故選：C2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）關(guān)于x的實系數(shù)方程和有四個不同的根，若這四個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點共圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件分別設(shè)四個不同的解所對應(yīng)的點為ABCD，討論根的判別式，根據(jù)圓的對稱性得到相應(yīng)判斷.【詳解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解為，設(shè)對應(yīng)的兩點分別為A，B，得A（2，1），B（2，﹣1），設(shè)x2+2mx+m＝0的解所對應(yīng)的兩點分別為C，D，記為C（x1，y1），D（x2，y2），（1）當(dāng)△＜0，即0＜m＜1時，的根為共軛復(fù)數(shù)，必有C、D關(guān)于x軸對稱，又因為A、B關(guān)于x軸對稱，且顯然四點共圓；（2）當(dāng)△＞0，即m＞1或m＜0時，此時C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，故此圓的圓心為（﹣m，0），半徑，又圓心O1到A的距離O1A＝，解得m＝﹣1，綜上：m∈（0，1）∪{﹣1}.故選：D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)與坐標系內(nèi)點坐標的對應(yīng)，考查一元二次方程根的判別式，屬于難題.3．（2022秋·上海普陀·高三曹楊二中?？计谥校┮阎?，且為虛數(shù)單位，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知中對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，而表示圓上的點到的距離，由圓的圖形可得的的最大值.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知中對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.表示圓C上的點到的距離，的最大值是，故選B【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，圓的性質(zhì)，屬于中檔題.4．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，若是虛數(shù)，是實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】是實系數(shù)一元二次方程的兩個根，是共軛虛數(shù),是實數(shù),結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì),可得是1的立方虛根,再由1的立方虛根的特性,可得答案.【詳解】是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)根,,是實數(shù),,,即或，而.故選:C【點睛】本題考查實系數(shù)一元二次方程虛數(shù)根的關(guān)系,以及共軛復(fù)數(shù)的運算關(guān)系.對特殊復(fù)數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵,屬于難題.二、多選題5．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）設(shè)數(shù)集滿足下列兩個條件：（1）；（2），若則.則下論斷正確的是（

）A．中必有一個為0B．a(chǎn)，b，c，d中必有一個為1C．若且，則D．，使得【答案】BCD【分析】根據(jù)（1）（2）得到，，A錯誤，B正確；再分，，兩種情況，經(jīng)過推理得到C正確；在C選項的分析基礎(chǔ)上，得到若，此時求出，，使得，若，推理出中至少有2個相同，這與集合中元素的互異性矛盾，得到D正確.【詳解】由（1）得：數(shù)集中必有1或0，由（2）得：，故，A錯誤，B正確；由（1）知：，故等于中的一個，不妨設(shè)，因為，所以，故，下面證明C正確，因為，若，則，由（1）知：，滿足要求，同理若，則，滿足要求，若，則，滿足要求，若，因為，若，則，滿足要求，若，則中某個等于1，不妨設(shè)，由得，由（1）知：，又因為，，所以，，故，同理可得，所以相乘得，解得：，因為，所以，故取，滿足要求，綜上：若且，則，C正確；下面證明D正確；由（1）知：，故等于中的一個，不妨設(shè)，因為，所以，故，若，則，因為中某個等于1，不妨設(shè)，由得，根據(jù)C選項的分析可知：，，，則，故，故，，若，，此時，，使得，D正確；若，則，，由（1）知：，若，則，不可能，若，則，不可能，若，則，不可能，所以，故，同理可得：，因為的平方根有且只有2個，所以中至少有2個相同，這與集合中元素的互異性矛盾，故不存在即的情況，故，使得，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：集合新定義問題，命題新穎，且存在知識點交叉，常常會和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進行結(jié)合，很好的考慮了知識遷移，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進行解決.三、填空題6．在下列命題中,正確的命題有(填寫正確的序號)①若,則的最小值是6;②如果不等式的解集是,那么恒成立;③設(shè)x,,且,則的最小值是;④對于任意,恒成立,則t的取值范圍是;⑤“”是“復(fù)數(shù)()是純虛數(shù)”的必要非充分條件;⑥若,,,則必有;【答案】①②③④⑥【分析】①,利用均值定理求最值即可；②由一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系,利用韋達定理求解即可；③由得,代入式子中可得關(guān)于的函數(shù),進而求得最值即可；④設(shè),則可轉(zhuǎn)化為在時,,進而求解即可；⑤由純虛數(shù)的定義可知虛部不為0,實部為0,進而判斷即可；⑥由可得,代入中可得,再將代入求解即可【詳解】①因為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,故①正確；②由不等式與方程的關(guān)系可知和是方程的解,所以,,所以,,則,故②正確；③因為,所以,則,則當(dāng)時,的最小值為,故③正確；④由題,因為,即在時恒成立,當(dāng)時,,不成立；當(dāng)時,設(shè),當(dāng)時,,解得或,所以；當(dāng)時,,解得或,所以,綜上,,故④正確；⑤因為()是純虛數(shù),所以,解得或,所以“”是“復(fù)數(shù)()是純虛數(shù)”的充分不必要條件,故⑤錯誤；⑥因為,,所以,代入可得,則,即,所以,即,所以,故⑥正確；故答案為:①②③④⑥【點睛】本題考查均值定理求最值,考查不等式與方程的關(guān)系的應(yīng)用,考查不等式恒成立問題,考查復(fù)數(shù)的概念,考查同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,此題考查了多個知識點的應(yīng)用,熟練掌握不等式、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等知識點是解題關(guān)鍵7．（2022秋·上海浦東新·高三上海市進才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面中，已知點，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為，且滿足，則的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由，分析得關(guān)于原點對稱，所以確定，再利用平面向量的三角形法則與數(shù)量積的運算性質(zhì)，將所求問題轉(zhuǎn)化為平面向量數(shù)量積的最值問題.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為且則可確定點在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上又，所以為圓的直徑，即關(guān)于原點對稱所以因為所以又，，則所以即的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.8．（2022春·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且z是復(fù)數(shù)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，則.【答案】【分析】由可知，，化簡可得其最值為，進而求出的值.【詳解】設(shè)，因為，所以，，所以，因為，所以，因為，所以，所以，解得，，故答案為：.9．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，其中、為常數(shù)，則【答案】【分析】由奇偶函數(shù)的定義列出關(guān)于、的方程組，求出它們的和與積的值，在轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程的根，進而求出復(fù)數(shù)和，再利用和與積的值和求出，，等，找出具有周期性為3，再利用周期性求出式子的和．【詳解】解：為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，即，解得；復(fù)數(shù)、是方程的兩個根，解得，，；已知，；則，，同理可求，，，，歸納出有周期性且，故答案為：．【點睛】本題考查了奇（偶函數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運算，再求復(fù)數(shù)的值時用到轉(zhuǎn)化思想，求和式的值時利用找出每項的和的周期，利用周期性求所求和式的值．10．已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)、對應(yīng)的點分別為、，若，其中是坐標原點，則函數(shù)的最小正周期為.【答案】【分析】根據(jù)垂直得到，化簡得到，利用周期公式得到答案.【詳解】，，則函數(shù)的最小正周期為故答案為【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，三角函數(shù)化簡，周期，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力11．已知數(shù)列是無窮等比數(shù)列，它的前項的和為，該數(shù)列的首項是二項式展開式中的的系數(shù)，公比是復(fù)數(shù)的模，其中是虛數(shù)單位，則=．【答案】；【詳解】的展開式通項為,令,有的系數(shù)為,所以數(shù)列的首項為35,,所以,所以數(shù)列公比為,故,則.點睛:本題主要考查了求等比數(shù)列的前項和的極限,涉及的知識點有二項式定理,復(fù)數(shù)的模,等比數(shù)列前項和公式,極限等,屬于中檔題.12．在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實數(shù)排了一個序，類似地，我們在復(fù)數(shù)集C上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“”，定義如下：對于任意兩個復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，下面命題①1i0;②若，，則；③若，則對于任意，；④對于復(fù)數(shù)，則其中真命題是【答案】①②③【詳解】試題分析：命題①，1的實部是1,的實部是0,①正確；命題②，設(shè)，由已知得或，或，顯然有，若，則，若，則，，也有，故②正確；命題③，設(shè)，由得或，從而或且，∴,③正確；命題4，，，，則有，但，，顯然有，故④錯誤．填空①②③．考點：新定義運算，復(fù)數(shù)的運算．四、解答題13．（2022·上?！じ呷？紡娀媱潱┮阎瘮?shù)，其中，證明：存在，且.的根的實部全部大于0.【答案】證明見解析【分析】取，利用反證法可證根的實部全部大于0.【詳解】證明：取，反設(shè)，且.則這要求，矛盾！14．（2022秋·上海浦東新·高三上海市實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)b、c均為實數(shù)，關(guān)于的方程.(1)是否存在實數(shù)b、c，使得該方程在復(fù)數(shù)集上僅有兩個共軛虛根，如存在，請寫出一組b、c；如不存在，請說明理由；(2)試求該方程在復(fù)數(shù)集上有最多個互不相等的根時，實數(shù)b、c滿足的條件.【答案】(1)答案不唯一，如，(2)方程復(fù)數(shù)集上根最多有6個，實數(shù)b、c滿足的條件為.【分析】（1）若，時，方程在復(fù)數(shù)集上僅有兩個共軛虛根；（2）分與的大小關(guān)系討論，復(fù)數(shù)集上根的情況分實數(shù)根與虛數(shù)根討論，實數(shù)根的個數(shù)決定于關(guān)于的方程解的個數(shù)；虛數(shù)根決定于關(guān)于的方程解的個數(shù)，最后綜合復(fù)數(shù)集上根的情況.【詳解】（1）答案不唯一，如，時，滿足題意.（2）先舉例說明該方程在復(fù)數(shù)集上有6個互不相等的根如，，時，方程的實數(shù)根有四個，虛數(shù)根有，所以此方程在復(fù)數(shù)集上有6個互不相等的根.下面說明當(dāng)時此方程在復(fù)數(shù)集上根不會超過6個.（1）當(dāng)時，方程只能有兩個實數(shù)根或兩個虛數(shù)根.（2）當(dāng)時，方程化簡為，①當(dāng)時，此方程恰有三個實數(shù)根；若有虛數(shù)根，設(shè)虛數(shù)根為代入得，則所以，得，這個關(guān)于的方程無解，故無虛數(shù)根，所以此時方程只能有三個實數(shù)根.②當(dāng)時，此方程無實根，若有虛數(shù)根，設(shè)虛數(shù)根為同上可得，這個關(guān)于的方程有兩解，所以此時方程只能有兩個虛數(shù)根.下面說明當(dāng)時方程在復(fù)數(shù)集上根的個數(shù)情況，分實數(shù)根與虛數(shù)根討論.（1）若方程有盡可能多的實數(shù)根，則首先滿足，令，設(shè)方程兩根為，，且①當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程無實數(shù)解.②當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)解.③當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)解.④當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程四個不相等的實數(shù)解.（2）若方程有虛數(shù)根，設(shè)虛數(shù)根為，代入方程得，則，所以，得，此方程有盡可能多的根首先滿足令，記方程的兩根為，且，①當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)解，即方程有兩個不相等的虛數(shù)根.②當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)解，即方程有四個不相等的虛數(shù)根.③當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程無實數(shù)解，即方程無虛數(shù)根.④當(dāng)時，，此時，，所以關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)解，即方程有兩個不相等的虛數(shù)根.綜上方程復(fù)數(shù)集上根的所有情況：當(dāng)時，復(fù)數(shù)集上根的個數(shù)不超過6個；當(dāng)時，無實數(shù)根，2個虛數(shù)根，復(fù)數(shù)集上根的個數(shù)共2個；當(dāng)時，2個實數(shù)根，4個虛數(shù)根，復(fù)數(shù)集上根的個數(shù)共6個；當(dāng)時，2個實數(shù)根，無虛數(shù)根，復(fù)數(shù)集上根的個數(shù)共2個；當(dāng)時，4個實數(shù)根，2個虛數(shù)根，復(fù)數(shù)集上根的個數(shù)共6個；故方程復(fù)數(shù)集上根最多有6個，實數(shù)b、c滿足的條件為.15．已知復(fù)數(shù)和，其中均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)z，有．(1)試求m的值，并分別寫出和用x、y表示的關(guān)系式；(2)將作為點P的坐標，作為點Q的坐標，上述關(guān)系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q，當(dāng)點P在直線上移動時，試求點P經(jīng)該變換后得到的點Q的軌跡方程；(3)是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由．【答案】(1)，(2)(3)這樣的直線存在，其方程為或.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)，求得；再由兩復(fù)數(shù)相等就是實部與虛部對應(yīng)相等得、與x、y表示的關(guān)系式.（2）變換后的點坐標均用表示為，再消去參數(shù)得到Q的軌跡方程.（3）將變換后的點坐標代入直線，用對應(yīng)系數(shù)相等或?qū)?yīng)成比例求得值.【詳解】（1）由題設(shè)，，于是由，且，得，因此由，得關(guān)系式（2）設(shè)點在直線上，則其經(jīng)變換后的點滿足，消去，得，故點的軌跡方程為（3）假設(shè)存在這樣的直線，∵平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，∴所求直線可設(shè)為，∵該直線上的任一點，其經(jīng)變換后得到的點仍在該直線上，∴，即，當(dāng)時，方程組無解，故這樣的直線不存在。當(dāng)時，由得，解得或，故這樣的直線存在，其方程為或.16．已知復(fù)數(shù)．(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若虛數(shù)是方程的一個根，求實數(shù)m的值．【答案】(1)(2)13【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的減法，確定實部與虛部，根據(jù)其幾何意義，可得實部與虛部的取值范圍，可得答案；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，再由韋達定理，可得答案.【詳解】（1）．因為在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點落在第一象限，所以即解得．因此，實數(shù)a的取值范圍是．（2）因為虛數(shù)是方程的一個根，所以也是方程的一個根，于是，解得．把代入，得，，所以．17．已知的頂點分別為，，．(1)若，，，求的值；(2)若虛數(shù)是實系數(shù)方程的根，且是鈍角，求的取值范圍．【答案】(1)(2)且．【分析】（1）根據(jù)坐標，可作圖，利用方格圖，在構(gòu)造的直角三角形中，利用三角函數(shù)定義，可得答案；（2）根據(jù)一元二次方程的根的性質(zhì)，以及余弦定理，可得答案.【詳解】（1）（1）因為，，，所以，，．所以，，，如圖，因為，所以．（2）將代入得，展開得，即，解得（舍去）或（舍去）或，所以，，，則，．因為是鈍角，所以且，，三點不共線，即且，解得且．18．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，.（1）若為實數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，存在使等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）計算為實數(shù)，則，得到，計算得到答案.（2）化簡得到，計算，，得到，根據(jù)范圍解不等式得到答案.【詳解】（1）為實數(shù)，則因為，所以，（2），所以，因為，所以，進而，解得.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)和向量的運算，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19．設(shè)復(fù)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為．（1）求復(fù)數(shù)的值；（2）證明：當(dāng)時，；（3）求數(shù)列的前100項之和．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求解即可；(2)由題設(shè)條件得出，當(dāng)時，，結(jié)合向量共線定理即可證明；(3)由題設(shè)條件推導(dǎo)出，利用這個條件以及等比數(shù)列的求和公式化簡即可得出答案.【詳解】(1)，(2)由已知得當(dāng)時，令，則，即即存在非零實數(shù)，使得所以當(dāng)時，(3),得又，，則【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、向量共線定理、等比數(shù)列的求和公式，屬于較難題.20．設(shè)復(fù)數(shù)，其中xnyn∈R，n∈N*，i為虛數(shù)單位，，z1=3+4i，復(fù)數(shù)zn在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Zn.（1）求復(fù)數(shù)z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整數(shù)n使得？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由；（3）求數(shù)列的前項之和.【答案】（1）z2=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102【分析】（1）利用已知條件之間求解z2，z3，z4；（2）求出，利用復(fù)數(shù)的冪運算，求解即可；（3）通過，推出xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，得到xn+4yn+4=16xnyn，然后求解數(shù)列的和即可.【詳解】（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，，.（2）若，則存在實數(shù)λ，使得，故，即（xn，yn）=λ（x1，y1），又zn+1=（1+i）zn，故，即為實數(shù)，，，故n﹣1為4的倍數(shù)，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N；（3）因為，故xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，所以xn+4yn+4=16xnyn，又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）=，而，，所以數(shù)列{xnyn}的前102項之和為1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算，考查數(shù)列求和，考查計算能力，屬于難題.21．（2022·上海浦東新·上海市實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)復(fù)平面上點對應(yīng)的復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）滿足，點的軌跡方程為曲線.雙曲線:與曲線有共同焦點，傾斜角為的直線與雙曲線