第03講以三角知識(shí)為背景的綜合應(yīng)用

第03講以三角知識(shí)為背景的綜合應(yīng)用1．某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：隨時(shí)間（單位：的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，，（Ⅰ）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；（Ⅱ）若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于，則在哪個(gè)時(shí)間段實(shí)驗(yàn)室需要降溫？【解答】解：（Ⅰ），，，，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為，故實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差為．（Ⅱ）由題意可得，當(dāng)時(shí)，需要降溫，由（Ⅰ）可得，由，求得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得，即，解得，即在12時(shí)到20時(shí)，需要降溫．2．如圖，中國(guó)海軍為了加強(qiáng)南海的軍事力量，對(duì)南海某處海底進(jìn)行科考研究，在海平面內(nèi)一條直線上的，，三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，，于處測(cè)得水深，于處測(cè)得水深，于處測(cè)得水深，（單位：百米），求的余弦值．【解答】解：如圖所示，作交于，交于．則由題意可得：，，．則在中，由余弦定理可得．3．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量得，，為鈍角．（1）求纜車線路的長(zhǎng)：（2）問(wèn)乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短．【解答】解：（1）因?yàn)?，，由正弦定理，得．可得的長(zhǎng)為．（2）假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，因?yàn)?，，為鈍角，可得，，所以，所以由余弦定理得：，因，即，所以當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．4．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再勻速步行到．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量得，，為鈍角．（1）問(wèn)乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短；（2）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)．【解答】解：（1）在中，因?yàn)?，，為鈍角，所以，，所以，由正弦定理，得．假設(shè)乙出發(fā)分鐘后，甲、乙兩游客距離為，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．（2）由正弦定理，得，乙從出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了，還需走才能到達(dá)．設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，所以為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在，范圍內(nèi)．5．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．已知，，．求：（Ⅰ）和的值；（Ⅱ）的值．【解答】解（Ⅰ）由，得．又，．由余弦定理，得．又，．解得，或，．，，．（Ⅱ）在中，，由正弦定理，得．因?yàn)椋詾殇J角．因此．于是．6．已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)滿足，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），，，，，；（Ⅱ），，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，線段長(zhǎng)度的取值范圍．7．已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．（1）求；（2）若，且，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）由已知，則，或（舍去），則；（2）由題可知，是上靠近的三等分點(diǎn)，，，解得，，，8．設(shè)是銳角三角形，，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)邊長(zhǎng)，并且．（1）求角的值；（2）若．【解答】解：（1）因?yàn)椋裕譃殇J角，所以．（2）由，可得．由（1）可知，所以．由余弦定理知，把，，代入可得．9．設(shè)向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求的最大值及取得最大值時(shí)的值．【解答】解：，且，，，可得，等式兩邊約去，得，因此，可得；，，，．，可得，，當(dāng)即時(shí)，有最大值為1，由此可得：的最大值為，相應(yīng)的值為．10．已知向量，，，．（1）若與共線，求的值；（2）記，求的最大值和最小值，及相應(yīng)的的值．【解答】解：（1）與共線，，，，，；（2），，，，，，當(dāng)即時(shí)，取得最大值2；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．11．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【解答】解：（1）函數(shù)，故它的最小正周期為．（2）在區(qū)間上，，，故的值域?yàn)椋?2．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，有，且當(dāng)，時(shí)，．求函數(shù)在，上的解析式．【解答】解：（1）函數(shù)化簡(jiǎn)可得：函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)，時(shí)，．即．當(dāng)，時(shí)，由于，則，那么：．當(dāng)，時(shí)，則，可得：．函數(shù)在，上的解析式為13．已知函數(shù)（1）求的最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間以及函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程；（2）恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，的最小正周期為，當(dāng)，；即，；即，時(shí)，單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，；令，，得的對(duì)稱軸方程為，；（2），，，，，，，；由，得，，解得，即．14．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式在定義域上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）．又，，即，，．（Ⅱ），，且，，即的取值范圍是．15．設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）證明：．【解答】解：．當(dāng)時(shí)，，因此．當(dāng)時(shí)，，令，則是在，上的最大值，，（1），且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，（二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得極值）令，得（舍或．①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，，（1），（1），，②當(dāng)時(shí)，由（1），得（1），又，，綜上，．證明：由可得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，綜上：．16．設(shè)函數(shù)其中，記的最大值為．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）求．【解答】解：（1），函數(shù)等價(jià)為，令，，則，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸始終在定義域范圍內(nèi)．函數(shù)在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，因此．當(dāng)時(shí)，等價(jià)為，令，則是在，上的最大值，，（1），且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得極值）令，解得：（舍去）或．因此．①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)極