2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【新定義問題】四邊形中的新定義問題（解析版）

四邊形中的新定義問題知識方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認(rèn)真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細(xì)研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認(rèn)真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.3．多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．一．填空題（共3小題）1．（2021?梓潼縣模擬）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為9．【考點】解直角三角形【分析】如圖，過點作于，過點作于，連接．解直角三角形求出，即可解決問題【解答】解：如圖，過點作于，過點作于，連接．在中，，可以假設(shè)，，則，，，，，，，，，，在中，，，，，，．故答案為：9．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2020秋?武漢期中）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形，如圖，在對余四邊形中，，，，，則線段．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【分析】對余四邊形的定義得出，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則，，得出，，，則是等邊三角形，得出，易證，由，得出，則，由勾股定理即可得出結(jié)果．【解答】解：對余四邊形中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，如圖所示，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了對余四邊形的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識；熟練掌握對余四邊形的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2020?奉化區(qū)校級模擬）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形．如圖，在中，，，，將沿的平分線的方向平移，得到，連接，，若四邊形是等鄰邊四邊形，則平移距離的長度是1或．【考點】勾股定理；平移的性質(zhì)【分析】由平移的性質(zhì)得到，，，，，①如圖，當(dāng)時，；②如圖，當(dāng)時，③如圖2，當(dāng)時，則，延長交于，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：將平移得到△，，，，，，①如圖1，當(dāng)時，；②如圖1，當(dāng)時，，是的角平分線，，延長交于，，，，，設(shè)，，，，，，整理方程為：，△，此方程無實數(shù)根，故這種情況不存在；③如圖2，當(dāng)時，則，延長交于，，，，，設(shè)，，，，，，解得：，，綜上所述，若四邊形是等鄰邊四邊形，則平移距離的長度是1或，故答案為：1或．【點評】此題主要考查勾股定理，平移的性質(zhì)，理解“等鄰邊四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵．二．解答題（共18小題）4．（2021秋?荔灣區(qū)期末）如圖，共頂點的兩個三角形，△，若，，且，我們稱與△互為“頂補三角形”．（1）如圖2，是等腰三角形，，是等腰直角三角形，連接；求證：與互為頂補三角形．（2）在（1）的條件下，與交于點，連接并延長交于點．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，四邊形中，，．在平面內(nèi)是否存在點，使與互為頂補三角形，若存在，請畫出圖形，并證明；若不存在，請說明理由．【考點】三角形綜合題【分析】（1）等腰三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，可證，可得結(jié)論；（2）先證是的垂直平分線，再由“”可證，可得，即可得結(jié)論；（3）延長交延長線于點，作的垂直平分線交的垂直平分線于點，連接，，，，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，可證，即可證與互為“頂補三角形”．【解答】（1）證明：是等腰三角形，，是等腰直角三角形，，，，，與互為頂補三角形；（2），理由如下：如圖2，設(shè)與的交點為，與交于點，與交于點，是等腰三角形，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，又，，，，又，是的垂直平分線，又，，，又，，，，，，又，，，，．（3）證明：如圖，延長交延長線于點，作的垂直平分線交的垂直平分線于點，連接，，，，垂直平分，垂直平分，，，，，，，，，又，，，，，，且，，與互為“頂補三角形”．【點評】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．5．（2021?任城區(qū)校級三模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子：矩形或正方形；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形中，，，的中垂線恰好交于邊上一點，連結(jié)，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在與中，，，，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)角得到△（如圖，當(dāng)凸四邊形為等鄰角四邊形時，求出它的面積．【考點】四邊形綜合題【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）結(jié)論：，證明；（3）分兩種情況考慮：Ⅰ、當(dāng)時，延長，交于點，如圖1，由，求出四邊形面積；Ⅱ、當(dāng)時，過點作于點，如圖2，由，求出四邊形面積即可．【解答】解：（1）矩形或正方形是一個等鄰角四邊形．故答案為：矩形，正方形；（2）結(jié)論：，理由：連接，，如圖1所示：是的垂直平分線，是的垂直平分線，，，，，，，即，，，；（3）分兩種情況考慮：當(dāng)時，延長，交于點，如圖所示，，，設(shè)，由勾股定理得：，解得：，過點作于，，△，，即，解得：，；，則；當(dāng)時，過點作于點，如圖所示，四邊形是矩形，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，，則．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點，是一道中考?？碱}．6．（2020秋?崇川區(qū)期末）定義：三角形中，連接一個頂點和它所對的邊上一點，如果所得線段把三角形的周長分成相等的兩部分，則稱這條線段為三角形的“周長平分線”．（1）下列與等腰三角形相關(guān)的線段中，一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是②（只要填序號）；①腰上的高；②底邊上的中線；③底角平分線．（2）如圖1，在四邊形中，，為的中點，．取中點，連接．求證：是的“周長平分線”．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分別取，的中點，，如圖2．請在上找點，，使為的“周長平分線”，為的“周長平分線”．①用無刻度直尺確定點，的位置（保留畫圖痕跡）；②若，，直接寫出的長．【考點】四邊形綜合題【分析】（1）由等腰三角形的底邊上的中線平分底邊可求解；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；（3）①由是的中垂線，是的中垂線可求解；②如圖2，過點作于，過點作于，連接，，由“”可證，可得，，由勾股定理可求，的長，即可求解．【解答】（1）解：一定是所在等腰三角形的“周長平分線”的是底邊上的中線，故答案為：②；（2）證明：如圖1，延長，交于點，連接，，，，為的中點，，，，，，，，點是的中點，，，是的“周長平分線”；（3）①如圖2，連接并延長交于點，連接并延長交于點，則點，點為所求，②如圖2，過點作于，過點作于，連接，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，點是的中點，，，點，點分別是，的中點，是的中垂線，是的中垂線，，，，，，同理可求，．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，理解三角形的“周長平分線”的定義并運用是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?諸暨市期中）【了解概念】在凸四邊形中（內(nèi)角度數(shù)都小于，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個四邊形的鄰等邊．【理解應(yīng)用】（1）鄰等四邊形中，，，則的度數(shù)130；（2）如圖，四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，且，求證：；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與軸重合，已知，，，若在邊上使的點有且只有1個，求的值．【考點】相似形綜合題【分析】（1）分三種情況考慮：①由為鄰等邊，②由為鄰等邊，③由為鄰等邊，根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（3）分兩種情況：①若點在點右側(cè)，如圖1，過點作軸于點，過點作軸于點，由為鄰等邊，則有，可證，可得，設(shè)點，由三角函數(shù)可求，可求、橫坐標(biāo)之差為2，，將，，，，代入得：，由于在邊上使的點有且只有1個，即上述方程有且只有1個實數(shù)根，運用根的判別式即可求得答案；②若點在點左側(cè)，如圖2，過點作軸于點，過點作軸于點，根據(jù)，可得，同①方法即可求得答案．【解答】解：（1）①若為鄰等邊，則，不為凸四邊形，所以舍去；②若為鄰等邊，則，（舍；③若為鄰等邊，則，，．故答案為：130；（2）證明：四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，，，，，，，；（3）①若點在點右側(cè)，如圖1，過點作軸于點，過點作軸于點，為鄰等邊，，，，，，，，，設(shè)點，，，，，，，，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，在邊上使的點有且只有1個，即上述方程有且只有1個實數(shù)根，△，，點在點右側(cè)，；②若點在點左側(cè)，如圖2，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，，，，，，由①得：，，，，，，，，，在邊上使的點有且只有1個，即上述方程有且只有1個實數(shù)根，△，，點在點左側(cè)，；綜上所述，．【點評】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會驗證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程是解題關(guān)鍵．8．（2021秋?駐馬店期中）定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形．（1）矩形是垂等四邊形（填“是”或“不是”；（2）如圖1，在正方形中，點，，分別在，，邊上．若四邊形是垂等四邊形，且，，求證：；（3）如圖2，在中，，，，以為對角線，作垂等四邊形，過點作的延長線的垂線，垂足為，且與相似，求四邊形的面積．【考點】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)“垂等四邊形”的定義進(jìn)行分析；（2）通過的性質(zhì)推知；然后根據(jù)四邊形是垂等四邊形的性質(zhì)知；最后由等量代換證得結(jié)論；（3）如圖2，過點作，垂足為，構(gòu)造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四邊形四邊形的性質(zhì)知．分兩種情況：當(dāng)時，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果；當(dāng)時，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果．【解答】（1）解：矩形有一組鄰邊垂直且對角線相等，故矩形是垂等四邊形．故答案為：是；（2）證明：四邊形為正方形，，．又，，．四邊形是垂等四邊形，，；（3）解：如圖2，過點作，垂足為，四邊形為矩形．，．在中，，根據(jù)勾股定理得，，即，，．四邊形為垂等四邊形，．第一種情況：當(dāng)時，，設(shè)，則，．在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，（舍去），，，；第二種情況：當(dāng)時，，設(shè)，則，．在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，（舍去），，，．綜上所述，四邊形的面積為或．故答案為：或．【點評】本題主要考查了相似綜合題，綜合運用相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識點解題，解題的關(guān)鍵是掌握“垂等四邊形”的定義，另外解題過程中，注意方程思想的應(yīng)用．難度較大．9．（2021秋?市北區(qū)期中）閱讀理解：如圖1，在四邊形的邊上任取一點（點不與點、點重合），分別連接，，可以把四邊形分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把叫做四邊形的邊上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把叫做四邊形的邊上的強相似點．解決問題：（1）如圖1，，試判斷點是否是四邊形的邊上的相似點，并說明理由；（2）如圖2，在矩形中，，，，，，四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個最小正方形的邊長為的格點（即每個最小正方形的頂點）上，若圖2中，矩形的邊上存在強相似點，則或；拓展探究：（3）如圖3，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處．若點恰好是四邊形的邊上的一個強相似點，試探究和的數(shù)量關(guān)系．【考點】相似形綜合題【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)可得，則可證明；（2）根據(jù)強相似點的定義，可找出符合條件的點，即可得出答案；（3）由題意知，則，可說明點為的中點，從而解決問題．【解答】解：（1）是，理由如下：，，，又，，點是否是四邊形的邊上的相似點；（2）如圖，故或．故答案為：或；（3）點恰好是四邊形的邊上的一個強相似點，，，，，，即．【點評】本題是四邊形中的新定義題，主要考查了對新定義的理解，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，讀懂題意，熟悉基本模型是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?蘇家屯區(qū)期中）我們定義對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．如圖點是四邊形內(nèi)一點，已知，，，對角線與交于點，與交于點，與交于點．（1）求證：四邊形是垂美四邊形；（2）猜想四邊形兩組對邊、與、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）若，，，則的長為．【考點】四邊形綜合題【分析】（1）先，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)垂美四邊形的定義可得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理解答即可；（3）根據(jù)等腰直角三角形和勾股定理可得和的長，代入（2）中的結(jié)論可得的長．【解答】（1）證明：，，即，，，，，，，，四邊形是垂美四邊形；（2）解：猜想：；理由如下：，，由勾股定理得，，，；（3）和是等腰直角三角形，且，，，，，，．故答案為：．【點評】本題是四邊形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．我們學(xué)過了特殊的四邊形，體驗了通過作平行線、垂線、延長線等常用方法，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的重要思想．除了我們學(xué)過的特殊四邊形，還有很多特殊四邊形．我們定義：四邊形中，除一邊以外其余的部分都在這條邊的同側(cè)，這個四邊形就叫做凸四邊形；有一組鄰角相等的凸四邊形就叫做“等鄰角四邊形”，根據(jù)這個定義，請解決下列問題．（1）概念理解如圖（1），在中，于，點、、分別是、、的中點，連接、、、、，寫一個圖形中的“等鄰角四邊形”：四邊形（不再添加除圖形以外的字母）；（2）解決問題如圖（2），四邊形是“等鄰角四邊形”，且，延長、交于點．求證：；（3）探索研究如圖（3），中，，，，，點是邊上的一個動點，當(dāng)四邊形成為“等鄰角四邊形”時，求四邊形的面積．【考點】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得，所以，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，所以，得到，進(jìn)一步推理即可得到四邊形為“等鄰角四邊形”；（2）過點作交于點，可證，，得，進(jìn)一步變形即可得出結(jié)論；（3）分三種情況考慮：①，四邊形為直角梯形，根據(jù)梯形面積公式求出即可，②時，，求出和即可，③時，，求出和即可．【解答】（1）解：點、分別是、的中點，是的中位線，，，于，點是的中點，，，，，，四邊形為凸四邊形，四邊形為“等鄰角四邊形”，故答案為：四邊形；（2）證明：過點作交于點，，，，，，，，，；（3）解：分三種情：①當(dāng)時，如圖：，，，，，，，，，，，②當(dāng)時，如圖：過點作于點，，，，，中，，，，，，，，，，，，③當(dāng)時，如圖：過點作交于點，過點作于點，過點作于點，過點作于點，過點作于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，即，，，綜上所述，四邊形的面積為．【點評】本題是相似綜合題，理解新定義的條件，正確作出輔助線，找到相似三角形是解決問題的關(guān)鍵，分類討論是難點．12．（2021?鄞州區(qū)模擬）定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形稱為垂等四邊形．（1）寫出一個已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是矩形；（2）如圖1，在正方形中，點，，分別在，，上，四邊形是垂等四邊形，且，．①求證：；②若，求的值；（3）如圖2，在中，，，以為對角線，作垂等四邊形．過點作的延長線的垂線，垂足為，且與相似，求四邊形的面積．【考點】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)“垂等四邊形”的定義進(jìn)行分析；（2）①通過的性質(zhì)推知；然后根據(jù)四邊形是垂等四邊形的性質(zhì)知；最后由等量代換證得結(jié)論；②如圖1，過點作，垂足為，首先證明為等腰直角三角形，則；然后證得為等腰直角三角形；再次，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件得到：，．代入求值即可；（3）解：如圖2，過點作，垂足為，構(gòu)造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四邊形四邊形的性質(zhì)知．分兩種情況：當(dāng)時，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果；當(dāng)時，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得相關(guān)線段的長度，由求得結(jié)果．【解答】（1）解：矩形有一組鄰邊垂直且對角線相等，故矩形的垂等四邊形．故答案是：矩形；（2）①證明：四邊形為正方形，，．又，，．四邊形是垂等四邊形，，．②解：如圖1，過點作，垂足為，四邊形為矩形，．由①知，．由題意知，，，，即，為等腰直角三角形，．又，，為等腰直角三角形，，，，．，．（3）解：如圖2，過點作，垂足為，四邊形為矩形．，．在中，，根據(jù)勾股定理得，，即，，．四邊形為垂等四邊形，．第一種情況：當(dāng)時，，設(shè)，則，．在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，（舍去），，，；第二種情況：當(dāng)時，，設(shè)，則，．在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，（舍去），，，．綜上所述，四邊形的面積為或．【點評】本題主要考查了相似綜合題，綜合運用相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識點解題，解題的關(guān)鍵是掌握“垂等四邊形”的定義，另外解題過程中，注意方程思想的應(yīng)用．難度較大．13．（2021秋?鄞州區(qū)月考）新定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．（1）已知：如圖1，四邊形是“等對角四邊形”，，，，求，的度數(shù)（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：小紅畫了一個“等對角四邊形”（如圖，其中，，此時她發(fā)現(xiàn)成立．請你證明此結(jié)論（3）已知：在“等對角四邊形中，，，，．求對角線的長．【考點】四邊形綜合題【分析】（1）根據(jù)四邊形是“等對角四邊形”得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出即可；（2）連接，根據(jù)等邊對等角得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；（3）分兩種情況：①當(dāng)時，延長，相交于點，先用含角的直角三角形的性質(zhì)求出，得出，再用三角函數(shù)求出，由勾股定理求出；②當(dāng)時，過點作于點，于點，則，四邊形是矩形，先求出、，再由矩形的性質(zhì)得出，，求出、，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】（1）解：四邊形是“等對角四邊形”，，，，，；（2）證明：如圖2，連接，，，，，，；（3）解：分兩種情況：①當(dāng)時，延長，相交于點，如圖3所示：，，，，，，，，，，；②當(dāng)時，過點作于點，于點，如圖4所示：則，四邊形是矩形，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，．綜上所述：的長為或．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了新定義、四邊形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、矩形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論，通過作輔助線運用三角函數(shù)和勾股定理才能得出結(jié)果．14．（2021?新吳區(qū)二模）定義：長寬比為為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖所示．操作1：將正方形沿過點的直線折疊，使折疊后的點落在對角線上的點處，折痕為．操作2：將沿過點的直線折疊，使點、點分別落在邊，上，折痕為．則四邊形為矩形．（1）證明：四邊形為矩形；（2）點是邊上一動點．①如圖，是對角線的中點，若點在邊上，，連接．求的值；②若，點在邊上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的值；③連接，作，垂足為．若，則的最小值2．【考點】相似形綜合題【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出四邊形是矩形，再求出的值，即可得出結(jié)論；（2）①如圖，先判斷出四邊形是矩形，進(jìn)而得出，，再判斷出，進(jìn)而判斷出．，即可得出結(jié)論；②作關(guān)于直線對稱的點，則的周長最小，判斷出，得出．進(jìn)而得出．即可得出結(jié)論；③先求出，再判斷出點是為直徑的圓上，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）設(shè)正方形的邊長為，是正方形的對角線，，由折疊性質(zhì)可知，，則四邊形為矩形，是等腰直角三角形．，．四邊形為矩形；（2）①解：如圖，作，，垂足分別為，．四邊形是矩形，，四邊形是矩形．，，．，．為中點，，．，．．．．②解：如圖，作關(guān)于直線對稱的點，連接交于點，連接．則的周長最小，，，設(shè)，則．．，③如備用圖，四邊形為矩形，，，，點在以為直徑的圓上，記的中點為，，最小故答案為：2【點評】此題相似形綜合題，主要考查了新定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，利用對稱性和垂線段最短確定出最小值是解本題的關(guān)鍵．15．（2020?柯城區(qū)校級一模）【定義】若四邊形的一條對角線能將四邊形分割成兩個相似的直角三角形，那么我們將這種四邊形叫孿生分割四邊形，這條對角線叫這個四邊形的孿生割線．【理解】（1）如圖①，已知在正方形網(wǎng)格中，請在網(wǎng)格中找到一個格點（網(wǎng)格線的交點即為格點），使以，，，為頂點的四邊形為孿生分割四邊形．（2）若在四邊形中，，為孿生割線，若，求的長．（3）如圖②，在四邊形中，，，為上一點．若四邊形，均為孿生分割四邊形，求．【考點】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)“孿生分割四邊形”的定義即可找出符合題意的點；（2）分兩種情況：①當(dāng)時，如圖②，過點作交的延長線于，利用三角函數(shù)求得，，再證明四邊形是矩形，可得出，，進(jìn)而求得，再運用勾股定理即可；②當(dāng)時，如圖③，過點作交的延長線于，運用三角函數(shù)求出、、，再運用勾股定理即可；（3）分兩種情況：①當(dāng)時，如圖④，利用平行線性質(zhì)和判定求得：，再運用三角函數(shù)即可；②當(dāng)時，如圖⑤，過點于，可得出：，，，再運用角平分線性質(zhì)即可．【解答】解：（1）如圖①，點、、即為所求的格點；（2）四邊形中，，為孿生割線，，與相似，①當(dāng)時，如圖②，過點作交的延長線于，，，，，，四邊形是矩形，，，，；②當(dāng)時，如圖③，過點作交的延長線于，，，，，，，，，，，；綜上所述，的長為或．（3）①當(dāng)時，如圖④，，，，，，，，，，；②當(dāng)時，如圖⑤，過點于，，，，，，，，同理，，，；綜上所述，或1．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，勾股定理，新定義“孿生分割四邊形”等，理解并應(yīng)用新定義，運用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想思考解決問題是解題關(guān)鍵．16．（2020秋?安徽月考）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：（1）如圖1，的三個頂點均在正方形網(wǎng)格中的格點上，若四邊形是以為“相似對角線”的四邊形，請用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出點（保留畫圖痕跡，找出3個即可）；（2）①如圖2，在四邊形中，，，對角線平分．請問是四邊形的“相似對角線”嗎？請說明理由；②若，求的值．運用：（3）如圖3，已知是四邊形的“相似對角線”，．連接，若的面積為，求的長．【考點】相似形綜合題【分析】（1）先求出，，，再分情況求出或，即可畫出圖形；（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，得出，再判斷出，繼而求出，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1所示．，，，，四邊形是以為“相似對角線”的四邊形，①當(dāng)時，或，，，或，同理：當(dāng)時，或，如圖中，，，，即為所求；（2）①如圖2，是四邊形的“相似對角線”，理由如下：，平分，，，，，，是四邊形的“相似對角線”；②，，，又，；（3）如圖3，是四邊形的“相似對角線”，與相似．又，，，，過點作垂足為，可得，，，，，．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，理解新定義，銳角三角函數(shù)，判斷兩三角形相似是解本題的關(guān)鍵．17．（2020春?開福區(qū)校級月考）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．（1）如圖1，已知四邊形在正方形網(wǎng)格中，頂點都在格點上，判斷：四邊形是（填“是”或“不是”以為“相似對角線”的四邊形；（2）如圖2，在四邊形中，，，對角線平分．求證：是四邊形的“相似對角線”；（3）如圖3，已知是四邊形的“相似對角線”，．連接，若的面積為，求的長．【考點】相似形綜合題【分析】（1）根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，得出，再判斷出，繼而求出，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由圖1知，，，，，，，，，，，，四邊形是以為“相似對角線”的四邊形；故答案為：是；（2）證明：如圖2中，，平分，，，，，，是四邊形的“相似對角線”；（3）如圖3，是四邊形的“相似對角線”，與相似，，，，，過點作于，，，，，，．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，理解新定義，銳角三角函數(shù)，判斷兩三角形相似是解本題的關(guān)鍵．18．（2020秋?思明區(qū)校級期末）定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”，回答下列問題．（1）如圖1，四邊形中，，，，，判斷四邊形是不是“等鄰邊四邊形”，并說明理由；（2）如圖2，中，，，，現(xiàn)將沿的平分線方向平移得到△，連接，，若平移后的四邊形是“等鄰邊四邊形”，求的長．【考點】幾何變換綜合題【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)“等鄰邊四邊形”的定義解答即可；（2）延長交于點，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：（1）四邊形是“等鄰邊四邊形”，理由如下：，，，在中，，，四邊形是“等鄰邊四邊形”；（2）如圖2，延長交于點，△由平移得到，，，，，平分，，，設(shè)，，，中，，整理得：，，，（舍去），，．【點評】本題考查的是平移的性質(zhì)、“等鄰邊四邊形”的定義，掌握“等鄰邊四邊形”的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2020春?赫山區(qū)期末）閱讀與探究我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方