新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第23講 三角恒等變換（1）（解析版）

第23講三角恒等變換（1）【基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖】簡(jiǎn)單的三角簡(jiǎn)單的三角恒等變換三角恒等變換兩角和與差的三角函數(shù)公式倍角公式【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，簡(jiǎn)記作S(α±β)；cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ，簡(jiǎn)記作C(α±β)；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanα·tanβ)，簡(jiǎn)記作T(α±β)．2.二倍角公式sin2α＝2sinα·cosα；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．3.輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ為輔助角，且其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq\f(b,a).4.公式的逆用及有關(guān)變形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)；sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4))；sinα·cosα＝eq\f(1,2)sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α)(降冪公式)；1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升冪公式)．【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01化簡(jiǎn)與求值1.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)(4)(5)Ⅰ試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù)Ⅱ根據(jù)(Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論.【點(diǎn)撥】注意到（2）中可以轉(zhuǎn)換為的函數(shù)值，從（2）計(jì)算入手.【解析】Ⅰ.選擇(2)式計(jì)算如下Ⅱ.證明:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結(jié)】例1是對(duì)公式的正用．本題主要考查同角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、考查運(yùn)算能力、特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.【變式1-1】已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值?！敬鸢浮縎KIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式1-2】已知SKIPIF1<0為第二象限的角，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為第二象限的角，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以原式SKIPIF1<0考點(diǎn)02角的變換與求值2.求值：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【點(diǎn)撥】要使能利用公式化簡(jiǎn)，分子分母同乘以第一個(gè)角的正弦值.【解析】（1）原式=SKIPIF1<0；（2）原式=SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結(jié)】此種類(lèi)型題比較特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一個(gè)角是前一個(gè)角的2倍；③最大角的2倍與最小角的和與差是。三個(gè)條件缺一不可。另外需要注意2的個(gè)數(shù)。應(yīng)看到掌握了這些方法后可解決一類(lèi)問(wèn)題，若通過(guò)恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成具有這種特征的結(jié)構(gòu)，則可考慮采用這個(gè)方法。【變式2-1】求值：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0考點(diǎn)03三角形恒等綜合3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【點(diǎn)撥】題設(shè)中給出是角的正切值，故考慮SKIPIF1<0正切值的計(jì)算，同時(shí)通過(guò)估算SKIPIF1<0的區(qū)間求出正確的值.【解析】SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【總結(jié)】對(duì)給值求角問(wèn)題，一般是通過(guò)求三角函數(shù)值實(shí)現(xiàn)的，先求出某一種三角函數(shù)值，再考慮角的范圍，然后得出滿足條件的角．本例就是給值求角，關(guān)鍵是估算SKIPIF1<0的區(qū)間，給值求角一定要將所求角限制在某個(gè)單值區(qū)間內(nèi)，這是關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)．在本例中使用了配角技巧，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這些都要予以注意.【考點(diǎn)易錯(cuò)】1、已知0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，求cos(α＋β)．【解析】∵0＜β＜eq\f(π,2)＜α＜π，∴－eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)－β＜eq\f(π,2)，eq\f(π,4)＜α－eq\f(β,2)＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\f(\r(5),3)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\f(4\r(5),9)，∴coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27)，∴cos(α＋β)＝2cos2eq\f(α＋β,2)－1＝2×eq\f(49×5,729)－1＝－eq\f(239,729).2、(1)已知SKIPIF1<0＝eq\f(3,5)，則sin2x＝________．(2)已知SKIPIF1<0，則cos4x的值為_(kāi)_______．【答案】：(1)－eq\f(7,25)(2)－eq\f(17,32)【解析】：(1)因?yàn)閟in2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1，所以sin2x＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25)．(2)由已知得sinSKIPIF1<0coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)，∴cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)．∴sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1＝－eq\f(1,2)．∴cos4x＝1－2sin22x＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)．3、化簡(jiǎn)：eq\f(（1＋sinθ＋cosθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)．【解析】：由θSKIPIF1<0(0，π)，得0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴coseq\f(θ,2)>0．因此eq\r(2＋2cosθ)＝eq\r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2)．又(1＋sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2)))＝2coseq\f(θ,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2)))＝－2coseq\f(θ,2)cosθ．故原式＝eq\f(－2cos\f(θ,2)cosθ,2cos\f(θ,2))＝－cosθ．【鞏固提升】1．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意可得：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.2、已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），又SKIPIF1<0，故選A．3．在△ABC中，cosC=SKIPIF1<0，AC=4，BC=3，則tanB=A．SKIPIF1<0 B．2SKIPIF1<0 C．4SKIPIF1<0 D．8SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4、已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意可得：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選B．5、已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選SKIPIF1<0．6．2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日(SKIPIF1<0Day)．歷史上，求圓周率SKIPIF1<0的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)SKIPIF1<0充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正SKIPIF1<0邊形的周長(zhǎng)和外切正SKIPIF1<0邊形(各邊均與圓相切的正SKIPIF1<0邊形)的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為SKIPIF1<0的近似值．按照阿爾·卡西的方法，SKIPIF1<0的近似值的表達(dá)式是A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】單位圓內(nèi)接正SKIPIF1<0邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓周角為SKIPIF1<0，每條邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以，單位圓的內(nèi)接正SKIPIF1<0邊形的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，單位圓的外切正SKIPIF1<0邊形的每條邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，其周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓周率SKIPIF1<0的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正SKIPIF1<0邊形和外切正SKIPIF1<0邊形的周長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7、已知SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根據(jù)兩角和差的余弦公式得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0,得到sinSKIPIF1<0=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0代入得到結(jié)果為SKIPIF1<0.故答案為:A．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)必會(huì)的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=SKIPIF1<0;形如SKIPIF1<0,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等類(lèi)型可進(jìn)行弦化切；(2)“1”的靈活代換法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tanSKIPIF1<0等；(3)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.8．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.故答案SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9．已知SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是▲．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______，SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.11、已知SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<012、SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.(1)若a=SKIPIF1<0c，b=2SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；(2)若sinA+SKIPIF1<0sinC=SKIPIF1<0，求C.【解析】(1)由題設(shè)及余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍去)，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13、在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為鈍角，而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為銳角.故SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.14、已知sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．【解析】(1)由題意得(sinα＋cosα)2＝eq\f(9,5)，∴1＋sin2α＝eq\f(9,5)，∴sin2α＝eq\f(4,5).又2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(3,5)，∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(4,3).(2)∵β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，