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2025屆河南省漯河實(shí)驗(yàn)高中高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿足,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.2.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.3.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為84.()A. B. C. D.5.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列通項(xiàng)公式為,則該數(shù)列是等差數(shù)列;②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等,則;③在中,“”是“”的必要不充分條件;④若,則的最大值為2.A.1 B.2 C.3 D.06.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限7.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.1210.某程序框圖如圖所示,若輸出的,則判斷框內(nèi)為()A. B. C. D.11.在中,,,,為的外心,若,,,則()A. B. C. D.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a214.已知函數(shù),若關(guān)于的方程在定義域上有四個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15.若的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是________.16.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足,則點(diǎn)表示的區(qū)域面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為常數(shù),且).以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.設(shè)點(diǎn)在圓外.(1)求的取值范圍.(2)設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn),若,求的值.18.(12分)在以為頂點(diǎn)的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.19.(12分)已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且、、成等比數(shù)列,.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;(2)令,證明:.20.(12分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn).分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點(diǎn),得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為、,過左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(異于、兩點(diǎn)),當(dāng)直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點(diǎn)為;試問的橫坐標(biāo)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,過的直線與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)若的斜率為2,求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、D【解析】
由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.4、A【解析】
分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的定義,線面關(guān)系,余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可;【詳解】解:①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,可得為一次項(xiàng)系數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列,故①正確;②若直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離相等,則與可以相交或平行,故②錯(cuò)誤;③在中,,而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要條件,故③錯(cuò)誤;④若,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故④正確;綜上可得正確的有①④共2個(gè);故選:B【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷,主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.6、D【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限,故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為.7、A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋室玫?,只需將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對(duì)值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對(duì)于命題q,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),,由,得,無(wú)解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯(cuò)誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯(cuò)誤;為真命題,D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.9、A【解析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項(xiàng),列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列,一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來(lái),繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計(jì)算量大大減少.10、C【解析】程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表:KS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛:使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時(shí),要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征,決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí),注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.11、B【解析】
首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出,,即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線,垂足分別為,,,過分別做,的平行線,,由題知,則外接圓半徑,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,,由題可知,所以,,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.12、B【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)?,所以,故,解得,又切線過點(diǎn),所以,解得,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】試題分析:∵a2考點(diǎn):等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式14、【解析】
由題意可在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),運(yùn)用參變分離和構(gòu)造函數(shù),進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值,畫出函數(shù)圖象,即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立可得有兩個(gè)解,即可設(shè),則,進(jìn)而且不恒為零,可得在單調(diào)遞增.由可得時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增,即在處取得極小值且為作出的圖象,可得時(shí),有兩個(gè)解.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題,還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于難題.15、【解析】
由題意得出展開式中共有11項(xiàng),;再令求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】由的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以展開式中共有11項(xiàng),所以;令,可求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)和的求法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用定積分即可求解.【詳解】畫出實(shí)數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)首先將曲線化為直角坐標(biāo)方程,由點(diǎn)在圓外,則解得即可;(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程,設(shè)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,列出韋達(dá)定理,由及在圓的上方,得,即即可解得;【詳解】解:(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為.由點(diǎn)在圓外,得點(diǎn)的坐標(biāo)為,結(jié)合,解得.故的取值范圍是.(2)由直線的參數(shù)方程,得直線過點(diǎn),傾斜角為,將直線的參數(shù)方程代入,并整理得,其中.設(shè)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,.由及在圓的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,結(jié)合,解得.故的值是.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,直線的參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié),證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量為,平面的法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié)因?yàn)闉榱庑?,所?因?yàn)?,所?因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵云矫嫫矫?,且平面平面,所以平面所以因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅?,所?所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)設(shè)平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.19、(1),(2)證明見解析【解析】
(1)利用首項(xiàng)和公差構(gòu)成方程組,從而求解出的通項(xiàng)公式;由的通項(xiàng)公式求解出的表達(dá)式,根據(jù)以及,求解出的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法求解出的前項(xiàng)和,根據(jù)不等關(guān)系證明即可.【詳解】(1)設(shè)首項(xiàng)為,公差為.由題意,得,解得,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),∴,.當(dāng)時(shí),滿足上式.∴(2),令數(shù)列的前項(xiàng)和為.兩式相減得∴恒成立,得證.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,難度一般.(1)當(dāng)用求解的通項(xiàng)公式時(shí),一定要注意驗(yàn)證是否成立;(2)當(dāng)一個(gè)數(shù)列符合等差乘以等比的形式,優(yōu)先考慮采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和,同時(shí)注意對(duì)于錯(cuò)位的理解.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)先證,再證,由可得平面,從而推出平面;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量與,坐標(biāo)代入線面角的正弦值公式即可得解.【詳解】(1)證明:連接,,由圖1知,四邊形為菱形,且,所以是正三角形,從而.同理可證,,所以平面.又,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以平面平?易知,且為的中點(diǎn),所以,所以平面.(2)解:由(1)可知,,且四邊形為正方形.設(shè)的中點(diǎn)為,以為原點(diǎn),以,,所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由得取.設(shè)直線與平面所成的角為,所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,直線與平面所成的角,要求一定的空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)是為定值,的橫坐標(biāo)為定值【解析】
(1)根據(jù)“直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡(jiǎn)后寫出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn),求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考
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