第11講 函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（含答案解析）

第11講函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【人教A版2019】模塊一模塊一函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值.(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).關(guān)系如下表所示：根零點(diǎn)交點(diǎn)方程f(x)=0的根函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程f(x)=g(x)的根函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的幾何意義：在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(diǎn)(a,f(a))與終點(diǎn)(b,f(b))分別在x軸的兩側(cè)，則連續(xù)曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).3．確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).【題型1求函數(shù)的零點(diǎn)（個(gè)數(shù)）】【例1.1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=lnx，則函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)為（A．1 B．0 C．e D．e【解題思路】先根據(jù)函數(shù)解析式，求出y=f(f(x))的解析式，再由函數(shù)的零點(diǎn)定義，解對(duì)數(shù)方程即得.【解答過(guò)程】由f(x)=lnx可得由f(f(x))=0可得，lnx=1，解得x=故選：C.【例1.2】（23-24高一上·甘肅武威·期末）已知函數(shù)fx=xx+3,x<0,A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】分類(lèi)求出函數(shù)零點(diǎn)即可.【解答過(guò)程】當(dāng)x<0時(shí)，由xx+3=0，得當(dāng)x≥0時(shí)，由xx?3=0解得x=0或故共有3個(gè)零點(diǎn).故選：C.【變式1.1】（2024·陜西西安·一模）函數(shù)f(x)=log2x?A．4 B．4或5 C．5 D．?4或5【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解，注意函數(shù)的定義域.【解答過(guò)程】由題意可得：x>0x+20>0，解得x>0，故f(x)的定義域?yàn)?,+令f(x)=log2x?log4(x+20)=0，得log4又∵x>0，所以x=5．故選：C.【變式1.2】（23-24高一上·吉林·期末）函數(shù)fx=xA．l B．2 C．3 D．4【解題思路】先解出x≤0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，令gx【解答過(guò)程】當(dāng)x≤0時(shí)，由x5?x3=0當(dāng)x>0時(shí)，由lnx?令gx由y=lnx以及y=?1gx=ln又g1=ln根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，gx在1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，gx=ln所以，lnx?綜上所述，fx故選：C.【題型2零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用】【例2.1】（23-24高一下·湖南·期中）函數(shù)fx=xA．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,5【解題思路】運(yùn)用零點(diǎn)的存在性定理判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于fx=x3+而f1=?47，f(2)=?38，f(3)=?15，f(4)=30，f(5)=107，由于根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，知道函數(shù)fx=x故選：C.【例2.2】（24-25高三上·河北唐山·階段練習(xí)）“a≤?2”是“函數(shù)fx=ax+3在區(qū)間?1,2上存在零點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，列出不等式求解a的范圍，再根據(jù)充分必要條件的知識(shí)判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=ax+3在區(qū)間[?1,2]上存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(?1)·f(2)≤0,解得a≥3或a≤?3因?yàn)榧蟵a|a<?2}是集合{a|a≤?32或所以“a≤?2”是“函數(shù)f(x)在[?1,2]上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.【變式2.1】（23-24高二下·河北邯鄲·階段練習(xí)）函數(shù)fx=2A．?2,?1 B．0,1 C．?1,0 D．?1,0【解題思路】由函數(shù)解析式，明確其單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理求解即可.【解答過(guò)程】由函數(shù)fx=2因?yàn)閒?2=1f0=1+0?2=?1<0，所以fx零點(diǎn)所在區(qū)間是0,1故選：B.【變式2.2】（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）函數(shù)fx=xA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【解題思路】先驗(yàn)證函數(shù)fx的單調(diào)性，再代入f【解答過(guò)程】當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)x1則fx故fx在0,+又f2=4+4ln由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)fx的零點(diǎn)所在的區(qū)間為2,3故選：C.【題型3\o"比較零點(diǎn)的大小關(guān)系"\t"/gzsx/zj145218/_blank"比較零點(diǎn)的大小關(guān)系】【例3.1】（2024·廣東梅州·二模）三個(gè)函數(shù)fx=x3+x?3，gx=lnx+x?3A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a【解題思路】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即可得出答案.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)y=x3，y=ex，所以函數(shù)f(x)=x3+x?3，g因?yàn)閒1所以函數(shù)fx的零點(diǎn)在1,2上，即a∈因?yàn)間2所以函數(shù)gx的零點(diǎn)在2,3上，即b∈因?yàn)?0所以函數(shù)?x的零點(diǎn)在0,1上，即c∈綜上，c<a<b．故選：B．【例3.2】（2024·新疆烏魯木齊·二模）設(shè)x>0，函數(shù)y=x2+x?7,y=2xA．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【解題思路】由題意a,b,c分別為函數(shù)y=?x+7與函數(shù)y=x2,y=【解答過(guò)程】分別令y=x則x2則a,b,c分別為函數(shù)y=?x+7與函數(shù)y=x分別作出函數(shù)y=x

由圖可知，a<b<c.故選：A.【變式3.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）若函數(shù)f(x)=12x?x，g(x)=log13x?x，?(x)=xA．a(chǎn)>b>c B．c>a>b C．a(chǎn)>c>b D．c>b>a【解題思路】根據(jù)條件，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)，再根據(jù)圖象即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】由f(x)=12x?x=0，得到12由?(x)=x+0.1?x=0，得到在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y1由圖知，b<a<c故選：B.【變式3.2】（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿(mǎn)足x12A．x3<xC．x1<x【解題思路】依題意可得x1+1x1=2x1【解答過(guò)程】因?yàn)閤1，x2，x3為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足x12則x12+1=x1所以x12+1x1=2x1?2，x令fx=x+1由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得fx=x+1x在0,1上單調(diào)遞減，在滿(mǎn)足x1+1x1=2滿(mǎn)足x2+1x2=3滿(mǎn)足x3+1x3=4在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=fx、y=2x?2、由圖可知x3故選：A.【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍】【例4.1】（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x?2+a,x≥2ax?2,x<2（a>0且a≠1），若存在實(shí)數(shù)A．0<a<1 B．a(chǎn)>1 C．12<a<1 【解題思路】先求得y=fx?a的一個(gè)零點(diǎn)為2，然后對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，由此來(lái)求得【解答過(guò)程】y=fx當(dāng)x≥2時(shí)，y=x?2單調(diào)遞增，且零點(diǎn)為x=2當(dāng)x<2時(shí)，令y=fx?a=0，得若a>1，畫(huà)出y=ax?2（x∈R）與y=a則loga所以a2?2≥22這兩個(gè)方程組無(wú)解，所以a>1不符合題意.若0<a<1，畫(huà)出y=ax?2（x∈R

此時(shí)loga2<0<2，由圖可知y=a綜上所述，a的取值范圍是0,1.故選：A.【例4.2】（24-25高三上·重慶沙坪壩·開(kāi)學(xué)考試）已知fx=|log21?x|，x<1A．(1,2) B．2,C．13+12,4【解題思路】先畫(huà)出函數(shù)圖象，ft=0有兩根t1=0和t2=2+m【解答過(guò)程】觀察各選項(xiàng)可得m>1，作出fx

f1=m?1，f令t=fx，先解ft=0，知其有兩根t則方程fx=t1=0提供2故m?1≤t2<m，即m?1≤2+故選：D.【變式4.1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+2a,x<0x2?ax,x≥0，若關(guān)于x的方程【解題思路】先討論a≤0，結(jié)合函數(shù)解析式，確定顯然不滿(mǎn)足題意；再討論a>0，畫(huà)出fx【解答過(guò)程】若a≤0，當(dāng)x<0時(shí)，fx當(dāng)x≥0時(shí)，由fx=x2?ax=xx?a=0所以由f[f(x)]=0可得fx=0，則x=0；即方程故不滿(mǎn)足f[f(x)]=0有8個(gè)不同的實(shí)根；若a>0時(shí)，畫(huà)出fx由f[f(x)]=0可得f1x=?2a，f又f[f(x)]=0有8個(gè)不同的實(shí)根，由圖象可得，f2x=0所以f1x=?2a必有三個(gè)根，而?2a<0為使f1x=?2a有三個(gè)根，只需?2a>?a2綜上，a>8，即a的取值范圍是(8,+∞【變式4.2】（23-24高一上·貴州黔西·期末）已知函數(shù)f(1)若fx=1，求x的值；(2)若函數(shù)y=ff【解題思路】（1）分x≤0和x>0兩種情況，結(jié)合分段函數(shù)解析式運(yùn)算求解；（2）令fx=0，分x≤0和x>0兩種情況，解得x的值為?12或1，由題意可得y=fx【解答過(guò)程】（1）若fx當(dāng)x≤0時(shí)，可得2x+1=1，解得x=0；當(dāng)x>0時(shí)，可得lnx=1，則lnx=1或lnx=?1，解得綜上所述：x的值為0或e或1e（2）若fx當(dāng)x≤0時(shí)，可得2x+1=0，解得x=?1當(dāng)x>0時(shí)，可得lnx=0，則lnx=0綜上所述：x的值為?1令y=ffx?m=0，可得即fx=m?1由題意可知：y=fx的圖象與y=m?12作出y=fx由圖可得：0<m?12≤1m+1>1或所以實(shí)數(shù)m的取值范圍12模塊模塊二二分法1．二分法(1)二分法的定義：

對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.(2)區(qū)間的中點(diǎn)：一般地，我們把x=稱(chēng)為區(qū)間(a,b)的中點(diǎn).

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一個(gè)包含根的區(qū)間，然后多次將包含根的區(qū)間一分為二，直至根落在要求的區(qū)間內(nèi)，即用區(qū)間中點(diǎn)將區(qū)間(a,b)一分為二，從而得到兩個(gè)區(qū)間(a,)和(,b)，其中一個(gè)區(qū)間一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我們便知區(qū)間(a,)包含根，如圖，不斷重復(fù)上述步驟，根最終落在要求的區(qū)間內(nèi).(4)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟

給定精確度，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：

1.確定零點(diǎn)的初始區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0.

2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.

3.計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

(1)若f(c)=0(此時(shí)=c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

(2)若f(a)f(c)<0(此時(shí)∈(a,c))，則令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此時(shí)∈(c,b))，則令a=c.

4.判斷是否達(dá)到精確度：若|a-b|<，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2~4.【題型5\o"用二分法求近似解的條件"\t"/gzsx/zj145219/_blank"用二分法求近似解的條件】【例5.1】（23-24高一上·吉林延邊·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）A．fx=2x C．fx=x+1【解題思路】利用二分法求零點(diǎn)的要求，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【解答過(guò)程】不能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，要么沒(méi)有零點(diǎn)，要么零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)；對(duì)于A，fx=2x有唯一零點(diǎn)對(duì)于B，fx=x但y=x+對(duì)于C，fx=x+1對(duì)于D，fx=ln故選：B.【例5.2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的為（

）A．log2x+x=0 B．ex+x=0 C．【解題思路】轉(zhuǎn)化為不能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)問(wèn)題，必須滿(mǎn)足函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】對(duì)于A，fx=log2x+x可以使用二分法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，fx=ex+x故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，x2對(duì)于D，fx=x+ln可以使用二分法，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式5.1】（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)二分法求解函數(shù)零點(diǎn)的要求判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】由二分法的定義，可知只有當(dāng)函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的圖象連續(xù)不斷，且f即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，才能將區(qū)間a,b一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)各選項(xiàng)分析可知，選項(xiàng)A，B，D都符合，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)樵诹泓c(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．故選：C.【變式5.2】（23-24高一上·福建福州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A．fx=3x+1 B．fx=x3【解題思路】能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，必須滿(mǎn)足函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】易知函數(shù)fx=x而選項(xiàng)A、B、D中的函數(shù)，它們?cè)诟髯缘牧泓c(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)；故選：C.【題型6用二分法求方程的近似解】【例6.1】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）若函數(shù)fxffffff那么方程x3+xA．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875【解題思路】利用零點(diǎn)存在性定理找到零點(diǎn)所在區(qū)間，即可獲得方程的近似解【解答過(guò)程】∵f(1.40625)=?0.054<0<f(1.4375)=0.162>0，∴f(1.40625)?f(1.4375)<0，零點(diǎn)在區(qū)間(1.40625,1.4375)內(nèi)，即該方程的根在區(qū)間(1.40625,1.4375)內(nèi)，結(jié)合各選項(xiàng)，方程的近似解為1.421875.故選：D.【例6.2】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）用二分法求方程ln2x+6+2=3x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989則由表中的數(shù)據(jù)，可得方程ln2x+6+2=3A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【解題思路】由圖表知f1.25?f1.375【解答過(guò)程】因?yàn)閒1.25?f1.375<0，故根據(jù)二分法的思想，知函數(shù)但區(qū)間(1.25,1.375)的長(zhǎng)度為0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中點(diǎn)1.3125，兩個(gè)區(qū)間(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一個(gè)滿(mǎn)足區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相異，又區(qū)間的長(zhǎng)度為0.0625<0.1，因此1.3125是一個(gè)近似解．故選：B.【變式6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）設(shè)函數(shù)fx=xlnx+2x?6，用二分法求方程xlnx+2x?6=0在A．2.5,3 B．2.25,2.5 C．2,2.25 D．不能確定【解題思路】利用零點(diǎn)存在性定理及二分法的相關(guān)知識(shí)即可判斷.【解答過(guò)程】顯然函數(shù)fx=xln由于f(2)<0,f(2.25)>0，所以f(2)·f(2.25)<0，由零點(diǎn)存在性定理可得：fx=xln所以方程xlnx+2x?6=0在區(qū)間故選：C.【變式6.2】（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=x3+x751.43751.40625f?20.625?0.984?0.2600.165?0.052A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【解題思路】首先分析題意與表格，運(yùn)用二分法求方程的近似解進(jìn)行解答.【解答過(guò)程】由表格可知,方程x3+x又因?yàn)?.4375?1.40625=0.03125<0.04,故方程x3故選:D.【題型7用二分法求函數(shù)的近似值】【例7.1】（23-24高一上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3+x?1x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f?11?0.3750.1719?0.1309?0.25950.01245?0.06113?0.02483若用二分法求fx零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1），則對(duì)區(qū)間0,1等分的最少次數(shù)和fx零點(diǎn)的一個(gè)近似值分別為（A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合二分法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果【解答過(guò)程】由題意可知，對(duì)區(qū)間(0,1)內(nèi)，設(shè)零點(diǎn)為因?yàn)閒0<0，f1>0，f(0.5)<0，所以又0.5+12=0.75，f(0.75)>0，x0又0.5+0.752=0.625，f(0.625)<0，x又0.625+0.752=0.6875，f(0.6875)>0，x0需要求解f(0.5),然后達(dá)到fx故選：C.【例7.2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函數(shù)fx=ex?x?2的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1)A．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算fD．沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算f【解題思路】由二分法的定義直接求解即可.【解答過(guò)程】由二分法的定義，可得正零點(diǎn)所在區(qū)間不斷縮小，1,1.5→1,1.25→故沒(méi)有達(dá)到精確的要求，應(yīng)該接著計(jì)算f1.125+1.25故選：C.【變式7.1】（23-24高一上·遼寧沈陽(yáng)·期中）函數(shù)fx=xA．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】取區(qū)間的中點(diǎn)，利用零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，并比較區(qū)間的長(zhǎng)度與精確度的大小，直到符合要求為止．【解答過(guò)程】至少需要進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算，理由如下：f(?2)=?8?4+5=?7<0,f(?1)=?1?1+5=3>0，?2?(?1)=1>0.2取區(qū)間[?2,?1]的中點(diǎn)x1且f?所以x0?3取區(qū)間?32,?1且f?所以x0?32??54且f?所以x0因?yàn)?11所以區(qū)間?32,?即為零點(diǎn)的近似值，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0所以至少需進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算.故選：B.【變式7.2】（23-24高一上·江蘇淮安·期末）已知函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且求得f(x)的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f(x)-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使f(x)零點(diǎn)的近似值精確到0.1，則對(duì)區(qū)間(0,1)的最少等分次數(shù)和近似解分別為（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.6【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合二分法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意可知，對(duì)區(qū)間0,1內(nèi)，需要求解ff0.65625的值，然后達(dá)到fx零點(diǎn)的近似值精確到0.1，所以零點(diǎn)的近似解為共計(jì)算5次.故選：C.一、單選題1．（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）函數(shù)y=x2+3x+2A．1,0,2,0 B．1，2 C．?1,0,【解題思路】利用零點(diǎn)定義解方程可得結(jié)論.【解答過(guò)程】令y=x2+3x+2=0由零點(diǎn)定義可得函數(shù)y=x2+3x+2故選：D.2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A．y=3x?1 B．y=x3 C．y=x【解題思路】逐一分析各個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)是否有零點(diǎn)，零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)是否相反即可得解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，y=3x?1為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)x=1所以可用二分法求零點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，y=x3為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)所以可用二分法求零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，y=x不是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)x=0所以不可用二分法求零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，y=lnx為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)所以可用二分法求零點(diǎn)，故D正確.故選：C.3．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx在區(qū)間a,b具有單調(diào)性，且fafb<0，則方程fA．至少有一實(shí)根 B．至多有一實(shí)根C．沒(méi)有實(shí)根 D．有且只有一實(shí)根【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(a)f(b)<0,f(x)在區(qū)間[a,b]具有單調(diào)性，但是f(x)的連續(xù)不知道，因此根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在區(qū)間[a,b]至多只有一實(shí)根.故選：B.4．（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）設(shè)f(x)=2x+x?8，用二分法求方程2x+x?8=0A．1,2或2,3都可以 B．2,3C．1,2 D．不能確定【解題思路】借助二分法定義計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】f(1)=2x+x?8=2+1?8=?5<0第一次取x1=1+5故第二次取x2=1+3故此時(shí)可確定近似解所在區(qū)間為2,3.故選：B.5．（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）用二分法求函數(shù)fxx0.06250.093750.1250.156250.1875f-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得fx=5A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125【解題思路】根據(jù)二分法的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】已知f0.09375<0，f0.125所以零點(diǎn)在區(qū)間[0.09375,0.125]上，|0.125?0.09375|=0.03125<0.025×2，所以0.125+0.093752=0.109375可以作為故選：B.6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）設(shè)函數(shù)y=x2+2x?10,y=2x+2x?10,y=log2x+2x?10A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【解題思路】分析可知y=10?2x與y=x2,y=2x,y=log【解答過(guò)程】令y=x可得x2可知y=10?2x與y=x2,y=2x,y=log在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=10?2x，y=x2根據(jù)圖象可知：y=10?2x與y=x2有2個(gè)交點(diǎn)，但均有所以a<b<c.故選：A.7．（23-24高一上·遼寧沈陽(yáng)·期末）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且fx+1是奇函數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，fx=2?x,1<x≤2x2A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】先判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，再結(jié)合圖象及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得出所有根的和.【解答過(guò)程】由題知fx+1是奇函數(shù),則有：fx+1+f?x+1=0,且f1=0,x>1時(shí)，gx恒過(guò)1,0，且gx關(guān)于方程fx根據(jù)fxy=gx由圖像可知f另外四個(gè)，兩兩分別關(guān)于1,0對(duì)稱(chēng)，故五個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和為2×2+1=5,即所有根之和5.故選：C.8．（24-25高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?1x?1+1,x∈?2,0A．m|?12<m<C．{m|?32<m<?12或m=0} D．【解答過(guò)程】當(dāng)x∈[?2,?1)時(shí)，fx=x+2；當(dāng)x∈[?1，又x>0時(shí)，f(x)=2f(x?2)，所以可作出函數(shù)在[?2,?4]的圖像如下：函數(shù)gx=fx所以函數(shù)y=f(x)與y=x+2m+1在區(qū)間?2,4內(nèi)有3個(gè)不同交點(diǎn)，由圖像可得?1?2m=?1或0<?1?2m<2,即m=0或?3故選：C.二、多選題9．（23-24高一上·遼寧朝陽(yáng)·期末）在用“二分法”求函數(shù)fx零點(diǎn)的近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為?2,4，則第二次所取區(qū)間可能是（

A．?2,?1 B．?2,1 C．2,4 D．1,4【解題思路】利用二分法的定義得到答案.【解答過(guò)程】由題知第一次所取區(qū)間為?2,4，取中間值?2+42則第二次所取區(qū)間可能是?2,1或1,4.故選：BD.10．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象不間斷，則下列說(shuō)法正確的是（

A．若fafb>0，則B．已知方程ex=8?x的解在k,k+1C．若fafb<0，則D．若fx在a,b內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則fa【解答過(guò)程】對(duì)A，若fx=x2，則f0令a=?1，b=1，fafb>0，則對(duì)B，令fx=ex+x?8，又fx在所以方程ex=8?x的解在1,2內(nèi)，所以對(duì)C，函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象不間斷，若fafb<0對(duì)D，若fx=x2，a=?1，b=1，又fx故選：BC．11．（24-25高三上·江蘇連云港·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)fx=log2x,0<x≤2x2?6x+9,x>2，若方程fx=k有四個(gè)不同的零點(diǎn)xA．0<k<1 B．2C．x1x2【解題思路】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=fx和y=k的圖象，結(jié)合圖象，可判定A正確；再由圖象得到12<x1【解答過(guò)程】如圖所示，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)fx=log由圖象知，要使得方程fx=k有四個(gè)不同的零點(diǎn)，只需對(duì)于B中，因?yàn)閒(1且函數(shù)y=x2?6x+9由圖象得12<x所以log2x2+log所以2x1+令gx=x+2x≥2所以2x對(duì)于C中，x1,x所以?log2x1=log2x2，即log2所以x1對(duì)于D中，由x1x2令?x=2x+1x,(1<所以?x>?1=3，即故選：ABD.三、填空題12．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)fx=x?x?6的零點(diǎn)是【解題思路】令fx=0解得x=3，從而x=9【解答過(guò)程】由題意可知fx的定義域?yàn)閤令fx=x?x?6=0，可得x2?x故答案為：9.13．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）用二分法求方程x3?2x?5=0的實(shí)根，由計(jì)算器可算得f2=?1，f3=16，【解題思路】利用二分法求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閒2=?1<0，f2.5所以下一個(gè)有根區(qū)間為2,2.5，故答案為：2,2.5．14．（24-25高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)gx=2x?1，若函數(shù)fx=【解題思路】令fx=0，可得gx=2或gx=?a?1，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則需方程【解答過(guò)程】令fx=0，可得所以[gx?2][gx+a+1]=0，所以gx=2或gx=?a?1，由方程2x=?1無(wú)解，方程2x要使函數(shù)fx則gx=?a?1有兩解，即y=gx作出函數(shù)y=gx由圖象可得0<?a?1<1，解得?2<a<?1.所以a的取值范圍為(?2,?1).故答案為：(?2,?1).四、解答題15．（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）用二分法求下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)：(1)fx=3x(2)fx=2x【解題思路】（1）結(jié)合零點(diǎn)存在性定理利用二分法即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合零點(diǎn)存在性定理利用二分法即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒0>0，f1又f12<0，f又f14<0，f又f18>0，f又f316>0，f因?yàn)?16≈0.19，14=0.25，則fx（2）因?yàn)閒?2<0，f?1又f?32<0，f?1>0，則在?32又f?118<0，因?yàn)?118≈?1.375，?54=?1.25，則16．（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出．(1)fx(2)fx(3)f【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)的概念求解即可.【解答過(guò)程】（1）令