第35講空間幾何體的內(nèi)切外接截面問(wèn)題（原卷版）

第35講空間幾何體的內(nèi)切、外接、截面問(wèn)題【典型例題】例1．已知，，為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為的外接圓．若的面積為，，則球的體積為A． B． C． D．例2．已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的表面上，若球心到平面的距離為1，則球的表面積為A． B． C． D．例3．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是A． B． C． D．例4．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為則它的體積為A． B． C． D．例5．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．例6．如圖所示，一個(gè)圓柱形乒乓球筒，高為12厘米，底面半徑為2厘米．球筒的上底和下底分別粘有一個(gè)乒乓球，乒乓球與球筒底面及側(cè)面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不計(jì)），一個(gè)平面與兩個(gè)乒乓球均相切，且此平面截球筒邊緣所得的圖形為一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．例7．若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為A． B． C． D．例8．過(guò)正方體的棱、的中點(diǎn)、作一個(gè)截面，使截面與底面所成二面角為，則此截面的形狀為A．三角形或五邊形 B．三角形或四邊形 C．正六邊形 D．三角形或六邊形例9．設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形，用平面去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面A．不存在 B．只有1個(gè) C．恰有4個(gè) D．有無(wú)數(shù)多個(gè)【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知，，是半徑為1的球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為A． B． C． D．2．若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．3．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個(gè)直角圓錐的側(cè)面積為，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為A． B． C． D．4．在四面體中，已知，，，則四面體的外接球的半徑為A． B．2 C．3 D．5．已知在四面體中，，平面平面，則四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．二．多選題6．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)到底面的距離為，則A．該三棱錐的內(nèi)切球半徑為 B．該三棱錐外接球半徑為 C．該三棱錐體積為 D．該三棱錐體積為7．一棱長(zhǎng)等于1且體積為1的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球的球面上，則該球的體積可能是A． B． C． D．8．傳說(shuō)古希臘科學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑與圓柱的高相等．因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個(gè)“圓柱容球”是他在幾何上最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下遺言：他去世后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形．設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，若，則A． B．的展開(kāi)式中的的系數(shù)為56 C．的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0 D．，其中為虛數(shù)單位9．已知四面體中，，，，直線與所成角為，則下列說(shuō)法正確的是A．的取值可能為 B．與所成角余弦值一定為 C．四面體體積一定為 D．四面體的外接球的半徑可能為三．填空題10．已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上．若球的表面積為，則球心到平面的距離為．11．已知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為1，高為，則其內(nèi)切球半徑為．12．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是．13．如圖，正方體的一個(gè)截面經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)，及棱上一點(diǎn)，且將正方體分成體積比為的兩部分，則的值為．14．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《論球和圓柱》中，運(yùn)用窮竭法證明了與球的面積和體積相關(guān)的公式．其中包括他最得意的發(fā)現(xiàn)—“圓柱容球”．設(shè)圓柱的高為2，且圓柱以球的大圓（球大圓為過(guò)球心的平面和球面的交線）為底，以球的直徑為高．則球的體積與圓柱的體積之比為．15．在三棱錐中，面面，，，則該三棱錐外接球的表面積為．16．在正三棱錐中，，，過(guò)的平面將其體積平分，則棱與平面所成角的余弦值為．17．設(shè)，，，是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為．18．如圖，直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的平面記為，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是．①平面截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形；②平面截直四棱柱所得截面的面積為；③二面角的正切值為；④點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離之比為．19．如圖，已知球與圓錐的側(cè)面和底面均相切，且球心在線段上，圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則球的表面積為．20．在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是．21．如圖，設(shè)同底的兩個(gè)正三棱錐和內(nèi)接于同一個(gè)球．若正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值是．22．設(shè)同底的兩個(gè)正三棱錐和內(nèi)接于同一個(gè)球．若正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值是．23．在四面體中，已知，，，則四面體的外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為．24．在四面體中，已知，，