精練專輯021平面向量的應(yīng)用(十)解三角形應(yīng)用題小測試

必修第二冊精練專輯021平面向量的應(yīng)用(十)解三角形應(yīng)用題小測試本測試共17題，第1、12—17題每題10分，第2—11題第題8分，共100分。1.(2015上海理20文21)(共23題5道解答題第2題150分占14分)(本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分)如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米?，F(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時(shí)，他們之間的距離為(單位：千米)。甲的路線是，速度為千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為千米/小時(shí)。乙到達(dá)地后原地等待。設(shè)時(shí)乙到達(dá)地。AACB(Ⅰ)求與的值；(Ⅱ)已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是千米。當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上的最大值是否超過？說明理由。解：(Ⅰ)。記乙到時(shí)甲所在地為，則千米。在中，，所以(千米)。(Ⅱ)甲到達(dá)用時(shí)小時(shí)；乙到達(dá)用時(shí)小時(shí)，從到總用時(shí)小時(shí)。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以。因?yàn)樵谏系淖畲笾凳牵谏系淖畲笾凳?，所以在上的最大值是，不超過。點(diǎn)拔：這是一道解三角形的應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是弄清題意。第(Ⅰ)問比較簡單；第(Ⅱ)問，要注意分類討論。2.(2014四川文8)(共21題10道選擇題第8題150分占5分)如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度等于()A.B.C.D.答案：C解：記氣球的高度為，交延長線于，在中，，在中，由正弦定理知，。3.(2014四川理13)(共21題5道填空題第3題150分占5分)如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高度是，則河流的寬度約等于。(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位。參考數(shù)據(jù)：，，，，)答案：60解：記氣球的高度為，交延長線于，在中，，在中，。4.(2010北京文7)(共20題8道選擇題第7題150分占5分)某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為()A.B.C.D.答案：A解：四個(gè)等腰三角形的面積之和為。再由余弦定理可得正方形邊長為，可知正方形面積為，故所求八邊形的面積為，即選A。5.一船向正北航行，看見正西方向有相距海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西，另一燈塔在船的南偏西，則這只船的速度是每小時(shí)()A.海里B.海里C.海里D.海里答案：C解：畫出草圖可知選C。點(diǎn)拔：畫出草圖，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息。6.某人向正東方向走千米后右轉(zhuǎn)，然后朝新方向走千米，這時(shí)他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，那么的值是()A.B.C.或D.答案：C解：設(shè)某人從向正東行走千米，到后右轉(zhuǎn)到，則，由余弦定理得，，即，解得或。故選C。點(diǎn)拔：畫出草圖，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息。7.海上有兩個(gè)小島相距海里，從島望島和島成的視角，從島望島和島成的視角，則間的距離是()A.海里B.海里C.海里D.海里答案：D解：由題意可知，所以海里。故選D。點(diǎn)拔：這類試題本來不難，對于畫出了圖形的試題還勉強(qiáng)能做出來，對沒有畫出圖形的試題，大部分學(xué)生做不出來。其原因是學(xué)生不能把文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，導(dǎo)致無從下手。所以，平時(shí)要多練習(xí)這類試題，注意理解“視角”、“俯角”、“仰角”、“方位角”、“東偏南”、“北偏西”等概念，同時(shí)要訓(xùn)練畫圖的能力。8.已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離相等，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔在燈塔的()A.北偏東B.北偏西C.南偏東D.南偏西答案：B解：根據(jù)題意，畫出如右所示的圖形，CCAB北由圖可知，而，所以，于是燈塔在燈塔的北偏西。故選B。點(diǎn)拔：畫出圖形，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，是解答本題的關(guān)鍵。9.臺風(fēng)中心從地以的速度向東北方向移動(dòng)，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市在的正東處，城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A.B.C.D.答案：B解：設(shè)小時(shí)后臺風(fēng)中心移到處，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，于是，即，解得，而。故選B。點(diǎn)拔：畫出草圖，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，才能正確解答本題。10.如圖，在某點(diǎn)處測得建筑物的頂端的仰角為(為建筑物底端)，沿前進(jìn)米至點(diǎn)，測得的仰角為，再繼續(xù)前進(jìn)米至點(diǎn)，測得頂點(diǎn)的仰角為，則建筑物的高為米。AAEDCB答案：米解：如圖，在中，由正弦定理得，所以?？傻茫?。于是在直角中，。點(diǎn)拔：本題考查正弦定理，弄清題中邊和角的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。11.在湖面上高米處，測得天空中一朵云的仰角為，測得云在湖中之影的俯角為，則云距湖面的高度為米。答案：解：如圖，設(shè)湖面上高米處為，測得云的仰角為，AACEMD湖面測得在湖中之影的俯角為，與湖面交于，過的水平線交于。設(shè)云高，則，，，又。所以。整理得，。點(diǎn)拔：畫出圖形，將文字信息轉(zhuǎn)化為圖形信息，是解答本題的關(guān)鍵。12.如圖，貨輪在海上以海里/小時(shí)的速度沿著方位角為的方向航行。為了確定船位，在點(diǎn)觀測燈塔的方位角是，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，觀測燈塔的方位角是求貨輪到達(dá)點(diǎn)時(shí)與燈塔的距離。(注：方位角是指正北方向按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與視線方向重合時(shí)所成的角)BB北AC北解：由題意，得，，，海里，由正弦定理可得，解得(海里)。故貨輪到達(dá)點(diǎn)時(shí)與燈塔的距離為(海里)。點(diǎn)拔：題中已經(jīng)畫出了圖形，只要將題中的數(shù)據(jù)放在圖中對應(yīng)位置，就可以解答出來。13.如圖：在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)測得山頂上一建筑物頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)米后到達(dá)點(diǎn)，又從點(diǎn)測得斜度為，假設(shè)建筑物高米，求此山對于地平面的斜度的余弦值。AACDB100θ50解：在中，米，，。由正弦定理得：，所以，在中，米，，，由正弦定理得：，解得。點(diǎn)拔：兩次使用正弦定理，達(dá)到求解的目的。14.如圖，某觀測站在城的南西的方向上，由城出發(fā)有一條公路，走向是南東，在處測得距為千米的公路上處有一人正沿公路向城走去，走了千米后，到達(dá)處，此時(shí)、間距離為千米，問這人還需走多少千米到達(dá)城？東東北ADBC解：根據(jù)題意得，千米，千米，千米，，設(shè)，。在中，由余弦定理得：，。，所以。在中，由正弦定理得：。答：這人還要走千米才能到達(dá)城。點(diǎn)撥：本題考查正弦定理及余弦定理的運(yùn)用。注意數(shù)學(xué)方向的應(yīng)用。15.在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為的處有一艘走私船，北北南西東CABD在處北偏西方向，距離為的處有一艘緝私艇奉命以的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以的速度從處向北偏東方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間。(本題解題過程中請不要使用計(jì)算器，以保證數(shù)據(jù)的相對準(zhǔn)確和計(jì)算的方便)解：設(shè)緝私艇追上走私船需小時(shí)，則，。∵，∴在中，由余弦定理得，。即，由正弦定理得，∴，∴為東西走向，∴。在中，由正弦定理得。∴，∴，∴，即，∴(小時(shí))。答：緝私艇沿北偏東方向行駛才能最快追上走私船，需要小時(shí)。點(diǎn)拔：本題給出了圖形，只要將題中的數(shù)據(jù)標(biāo)注到圖形的相關(guān)位置，就不難解答了。16.某市氣象臺測得在正西方向公里處有一臺風(fēng)中心，以每小時(shí)公里的速度向東偏北方向移動(dòng)，距臺風(fēng)中心公里內(nèi)的地區(qū)都要受到影響，請預(yù)報(bào)：(Ⅰ)大約多長時(shí)間后，該市將受臺風(fēng)影響？(Ⅱ)臺風(fēng)對該市影響持續(xù)多長時(shí)間？解：如圖，設(shè)該市為，臺風(fēng)中心開始在，臺風(fēng)中心在時(shí)開始受影響，臺風(fēng)中心在時(shí)影響結(jié)束，臺風(fēng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。DDCAB由得，得。答：大約經(jīng)過小時(shí)，該市將受臺風(fēng)影響。影響時(shí)間將持續(xù)小時(shí)。點(diǎn)拔：運(yùn)用正弦定理和余弦定理解答應(yīng)用題，要認(rèn)真審題，依據(jù)題意列出等式或不等式，再進(jìn)行解答。雖然這類題不是高考的熱點(diǎn)，但并不等于不會考試(此題就是2003年全國高考題的改編)，若不加強(qiáng)練習(xí)，萬一考冷門，就會措手不及。17.在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市(如圖)的東偏南方向的海面處，并以的速度向西偏北方向移動(dòng)。臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為，并以的速度不斷增大。問幾小時(shí)后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？并求該市受臺風(fēng)影響的持續(xù)時(shí)間有多久？OO海岸線QP解：設(shè)在時(shí)刻臺風(fēng)中為，此時(shí)臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為()，若在時(shí)城市受到