《高等動力學(xué)》課件

2024年11月25日Page1高等動力學(xué)

第二類拉氏方程的古典研究北京信息科技大學(xué)戈新生（gebim@）2024年11月25日Page2問題1：T是否僅為廣義速度的平方？問題2：為什么L＝T－V？問題3：系統(tǒng)是否有守恒量，是哪些？內(nèi)容1:陀螺力、耗散力內(nèi)容2:第一積分本節(jié)內(nèi)容2024年11月25日Page3陀螺力陀螺力(例)2024年11月25日Page4其中第一項可以表示為:注意到:寫成矩陣形式:得到的廣義力項稱為陀螺力項:陀螺力項可由廣義坐標(biāo)變換的非定常性所引起陀螺力(例)2024年11月25日Page5科氏力科氏力的功率陀螺力不做功陀螺力的功2024年11月25日Page6旋轉(zhuǎn)擺:可以看出系統(tǒng)的特解為:研究受擾運動:代入動力學(xué)方程，并略去高階小量，受擾運動微分方程:陀螺力（擾動微分方程）2024年11月25日Page7如果作用在系統(tǒng)上的非有勢的廣義力不作功,則稱此廣義力為陀螺力。如果廣義力是廣義速度的線性函數(shù)時,不作功的力必為陀螺力。陀螺力=>無功無功=>陀螺力廣義速度獨立陀螺力:dE=02024年11月25日Page8引入廣義速度的常正二次型:令相應(yīng)的廣義力按如下方式生成:則拉氏方程可改寫為:陀螺力與耗散力的異同？耗散力:dE<02024年11月25日Page9如系統(tǒng)中主動力皆有勢，且拉格朗日函數(shù)L不顯含某廣義坐標(biāo)qj:剛體平動和定軸轉(zhuǎn)動時廣義動量的物理意義?V與廣義速度無關(guān)循環(huán)積分pj

—廣義動量廣義動量積分2024年11月25日Page10系統(tǒng)是有勢的拉氏函數(shù)不顯含時間存在廣義能量積分系統(tǒng)是有勢的拉氏函數(shù)不顯廣義坐標(biāo)存在廣義動量積分拉氏方程的積分2024年11月25日Page11例1:橢圓擺2024年11月25日Page12取x和

為廣義坐標(biāo)a)x為循環(huán)坐標(biāo),存在循環(huán)積分水平方向動量守恒b)L不顯含t,存在廣義能量積分將以上結(jié)果與拉氏方程比較:機械能守恒例1:橢圓擺2024年11月25日Page13半徑為R的圓環(huán)以角速度勻速轉(zhuǎn)動,質(zhì)量為m的小環(huán)可在圓環(huán)上自由滑動,如下圖所示。已知圓環(huán)對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,忽略摩擦力。試分析系統(tǒng)的首次積分。例22024年11月25日Page14取

為廣義坐標(biāo)例22024年11月25日Page151.勻速轉(zhuǎn)動約束為理想約束2.廣義能量守恒,但機械能不守恒3.無外力矩作用情況系統(tǒng)動量矩守恒a)為循環(huán)坐標(biāo),存在循環(huán)積分b)L不顯含t,存在能量積分(系統(tǒng)能量守恒)例22024年11月25日Page16小車的車輪在水平地面上作純滾動,每個輪子的質(zhì)量為m1,半徑為r,車架質(zhì)量不計。車上有一質(zhì)量彈簧系統(tǒng),彈簧剛度系數(shù)為k,物塊質(zhì)量為m2。試分析拉格朗日方程的首次積分。例32024年11月25日Page17選取x和xr為廣義坐標(biāo)。廣義能量積分為循環(huán)積分為討論:廣義動量守恒，但動量不守恒。例32024年11月25日Page18設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有l(wèi)個廣義坐標(biāo)，其中m個為循環(huán)坐標(biāo):L是的二次函數(shù)可解出:循環(huán)積分構(gòu)成m個的線性方程組L中不含循環(huán)坐標(biāo)m個可用其它表示L中可不含循環(huán)坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)勞斯函數(shù)2024年11月25日Page19拉格朗日函數(shù)對非循環(huán)坐標(biāo)及導(dǎo)數(shù)的復(fù)合導(dǎo)數(shù):即:勞斯函數(shù)勞斯函數(shù)2024年11月25日Page20勞斯函數(shù)與拉格朗日函數(shù)之間有如下關(guān)系:故有對應(yīng)于l-m個非循環(huán)坐標(biāo)的拉氏方程:當(dāng)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)有循環(huán)坐標(biāo)時,借助于循環(huán)坐標(biāo),產(chǎn)生了一個用Routh函數(shù)描述的新系統(tǒng),稱之為“導(dǎo)出系統(tǒng)”。導(dǎo)出系統(tǒng)仍然是拉格朗日系統(tǒng)。用勞斯函數(shù)表示的拉氏方程2024年11月25日Page21系統(tǒng)的循環(huán)積分:可解出:進一步解出勞斯函數(shù)R，代入方程:例5:勞斯函數(shù)-橢圓擺2024年11月25日Page22陀螺儀:轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量分別為A.A.C。隱運動:轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)。顯運動:框架的轉(zhuǎn)動。例6:勞斯函數(shù)-陀螺儀2024年11月25日Page23系統(tǒng)的動能:動能中不顯含，故是循環(huán)坐標(biāo)，有循環(huán)積分:

為轉(zhuǎn)子角速度在其自轉(zhuǎn)軸的投影勞斯函數(shù):例6:勞斯函數(shù)-陀螺儀2024年11月25日Page24勞斯函數(shù):代入勞斯方程，得:例6:勞斯函數(shù)-陀螺儀2024年11月25日Page25高等動力學(xué)

第一類拉氏方程北京信息科技大學(xué)戈新生（gebim@）2024年11月25日Page26問題1：如何確定系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)？問題2：如何計算約束反力？問題3：非完整系統(tǒng)？內(nèi)容1:第一類拉氏方程內(nèi)容2:拉氏乘子的物理意義內(nèi)容3:例本節(jié)內(nèi)容2024年11月25日Page27達朗貝爾原理－拉格朗日原理:廣義慣性力:廣義坐標(biāo)形式的達朗貝爾原理－拉格朗日原理:對于完整約束,qk獨立可導(dǎo)出第二類拉氏方程。對于一階線性非完整約束:第一類拉氏方程2024年11月25日Page28將虛位移形式的約束方程改寫為:引入s個待定乘子，乘以約束方程后求和:代入廣義坐標(biāo)形式的達朗貝爾原理－拉格朗日原理:第一類拉氏方程2024年11月25日Page29系統(tǒng)具有l(wèi)-s個獨立的廣義坐標(biāo),設(shè)為q1ql-s:對于前l(fā)-s個獨立的廣義坐標(biāo),有:第一類拉氏方程2024年11月25日Page30對于其余s個非獨立的廣義坐標(biāo),可以選取合適的待定乘子,可得:綜合上述兩式,可以得到l個動力學(xué)方程:其中的待定乘子稱為拉格朗日乘子。方程是否可解？此時,系統(tǒng)的變量除各廣義坐標(biāo)外,還包括待定乘子,需補充約束方程聯(lián)立求解。這類方程也稱為“微分/代數(shù)混合方程組”第一類拉氏方程2024年11月25日Page31拉氏乘子的個數(shù):約束方程的個數(shù)虛位移約束方程的系數(shù)j對應(yīng)于第j個約束方程,k對應(yīng)于第k個廣義坐標(biāo)對于r個完整約束:對于s個非完整約束:第一類拉氏方程2024年11月25日Page32Oxyv

C冰刀:初始條件:約束方程:動能:方程的物理意義！第一類拉氏方程（例）2024年11月25日Page33設(shè)一質(zhì)點在固定曲面上運動，約束方程為:則第一類拉氏方程為:或:而牛頓第二定律:故:乘子正比于約束力。拉氏乘子的物理意義2024年11月25日Page34設(shè)在由N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)上作用有r個完整約束和s個非完整約束，將這些約束統(tǒng)一寫成虛位移形式:定理:對于上述系統(tǒng)，約束是理想的充要條件為:系統(tǒng)的約束力可以表示為:證明:充分性:拉氏乘子的物理意義2024年11月25日Page35必要性:拉氏乘子的物理意義2024年11月25日Page36牛頓第二定律:理想約束力:笛卡兒坐標(biāo)形式的拉氏乘子法2024年11月25日Page37斜面上的冰刀:(簡化為剛性輕桿連接的兩個質(zhì)點)解:完整約束:非完整約束:笛卡兒坐標(biāo)形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page38完整約束:一階線性非完整約束:笛卡兒坐標(biāo)形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page39笛卡兒坐標(biāo)形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page40測振儀的分析動能:勢能:約束:拉氏方程:例（有多余坐標(biāo)系統(tǒng)的拉氏方程）2024年11月25日Page41對于小角度運動:例（有多余坐標(biāo)系統(tǒng)的拉氏方程）2024年11月25日Page42定義廣義坐標(biāo):動能:勢能:約束:拉氏乘子法:其中:約束的Jacobi矩陣有關(guān)于非完整約束部分僅對一階線性約束有效矩陣形式的拉氏乘子法2024年11月25日Page43矩陣形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page44矩陣形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page45矩陣形式的拉氏乘子法（例）2024年11月25日Page46定義體坐標(biāo)系在鉸點上廣義坐標(biāo):體1上任一點的位置:體1上任一點的速度:體1動能:均質(zhì)桿長為2l雙擺（平面多體問題例）2024年11月25日Page47系統(tǒng)的動能:均質(zhì)桿長為2l對每一個體應(yīng)用拉氏方程:雙擺（平面多體問題例）2024年11月25日Page48系統(tǒng)的重力虛功:均質(zhì)桿長為2l重力的廣義力:不考慮乘子的方程:自由剛體的方程方程的推導(dǎo)正確嗎？方法1:退化:S=0方法2:物