2024屆新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文化、新定義）專題03 三角函數(shù)專題（數(shù)學文化）含解析

2024屆新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文

化、新定義）專題03三角函數(shù)專題（數(shù)學

文化）

一、單選題

1.（2022春?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第八中學校校考開學考試）屏風文化在我國源遠流長，可追溯

到漢代.某屏風工藝廠設計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為2.4m,內環(huán)弧長為0.6m,

徑長（外環(huán)半徑與內環(huán)半徑之差）為0.9m,若不計外框，則扇環(huán)內需要進行工藝制作的面積的估計值為（）

A.1.20n/B.1.25nrC.1.35m2D.1.40m2

2.（2021秋?湖南婁底?高三?？茧A段練習）《九章算術》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率

三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點

出發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東某方

向走了一段后與乙相遇.甲、乙各走了多少步？（）

A.20,8B.24,10

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

3.（2021?河南許昌?校聯(lián)考一模）某校高一年級研究性學習小組利用激光多普勒測速儀實地測量復興號高鐵

在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收

反射光.當物體橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移，,=4平，其中-為測速儀測得被測

/V

物體的橫向速度，4為激光波長，為。兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵1m處，

發(fā)出的激光波長2=1600nm（lnm=10-9m）,測得某時刻頻移力,=9.0xl（）9（l/h）,則該時刻高鐵的速度約等

于（）

C.320kiWhD.300km/h

4.（2021?全國?高三專題練習）音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受，1807年法國數(shù)學家傅

里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如y=Asin＞以的簡單E弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻

率都是其中一個最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音義的聲音圖象是由下圖1,2,3三個函數(shù)圖象組

成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為（）

A./(r)=0.06sin1000^/+0.02sin1500,rr+0.01sin3000^-r

B../(7)=0.06sin500m+0.02sin2000m+0.01sin300加

C./(/)=0.06sin1000m+0.02sin2000m+0.01sin3000加

D./(r)=0.06sinl000m+0.02sin2500R+0.01sin3000R

5.（2022春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期中）第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國

舉辦的國際性奧林匹克賽事.2月5日，在北京冬奧會短道跑道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37

秒348的成績獲得金牌，這也是中國代表團在本屆冬奧會上贏得的首枚金牌.短道速滑，全稱短跑道速度

滑冰，是在長度較短的跑道上進行的冰上競速運動.如圖，短道速滑比賽場地的內圈半圓的彎道計算半徑

為8.5m，直道長為28.85m.若跑道內圈的周長等于半徑為27.78m的扇形的周長，則該扇形的圓心角為（參

考數(shù)據(jù)：取17乃=53.42）（）

卜------------60m-------------------

A.-B.-C.2D.華

233

6.（2022?全國?高三專題練習）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了已知三角形三邊求三角形面積的方法，他

把這種方法稱為''三斜求積"：以斜塞并大斜基減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜寡乘大斜零減上，余四

約之，為實，一為從隅，開平方得積.在他的著作《數(shù)書九章》卷五"田域類''里就有已知三邊求三角形面積

的問題，該問題翻譯成現(xiàn)代漢語就是：一塊三角形田地，三邊分別為13,14,15,則該三角形田地的面積

是（）

A.84B.168C.79D.63

7.（2022?全國?高一假期作業(yè)）鑄于明嘉靖十二年的泰山岱廟鐵塔，造型質樸雄偉，原有十三級，抗口戰(zhàn)爭

中被口軍飛機炸毀，現(xiàn)僅存三級，它的底座是近似圓形的，如圖1.我國占代工匠已經(jīng)知道，將長方體磚塊

以某個固定的角度相接就可砌出近似圓形的建筑，現(xiàn)存鐵塔的底座是用10塊一樣的長方體破塊砌成的近似

圓形的墻面，每塊長方體磚塊底面較長的邊長為1個單位，如圖2,則此近似圓形墻面內部所能容納最大圓

的半徑是（）

8.(2022.全國.模擬預測)《幾何原本》卷II的幾何代數(shù)法成了后世數(shù)學家處理數(shù)學問題的重要依據(jù)，通過

這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，這種證明方式優(yōu)雅而直

觀觀察圖形可知，陰影直角三角形的短直角邊為cos(a+0或cosacos/?-sinosin/?，所以該圖直觀地反映

了公式cos(a+0=cosacos尸-sinasin"通過觀察圖中陰影直角三角形長直角邊和長方形的寬，可得公式

A.cos(tz-/?)=cosacos^+sin?sinP

B.sin(?-/7)=sinacos/?-coscrsin/?

C.cos(a+p)=cosacosp-sin6rsinp

D.sin(tz4-/7)=sinacos/y+cos6zsin/?

9.（2022?吉林?統(tǒng)考模擬預測）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲,

然后通過主動降噪芯片生成的聲波來抵消噪聲（如圖）.已知噪聲的聲波曲線是y=2cos3x,通過主動降噪

芯片生成的聲波曲線是'=Asin（w+*）（其中A>0⑷>0,。<。<2萬），則。=（）

A.-B."C.\D.-

226

10.（2022?高-■課時練習）2021年1月7日，一個戴著紅帽子，扎著紅圍脖，身材圓滾的大雪人在哈爾濱

市友誼西路音樂公園內落成.這個用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意著可愛祥和、喜慶豐收，

何天約有3000人前來和大雪人合影打卡，已成為松花江畔冬天的新地標，這滿滿的冬日儀式感就是冰城獨

特的浪漫.小明同學為了估算大雪人的高度，在大雪人的正東方向找到一座建筑物4從高為曳H!lm，

2

在它們之間的地面上的點M（從M,。三點共線）處測得樓頂A,雪人頭頂C的仰角分別是15。和45。，在

樓頂人處測得雪人頭頂C的仰角為15。，則小明估算大雪人的高度為（）

A.13x/2mB.13mC.18夜mD.13Gm

11.（2023?全國?高三專題練習）擲鐵餅是一項體育競技活動.如圖，這是一位擲鐵餅運動員在準備擲出鐵

1jr

餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓經(jīng)測量，此時兩手掌心之間的弧長是否，“弓”

所在圓的半徑為1.05米，則這位擲鐵餅運動員兩手掌心之間的距嘲約為（參考數(shù)據(jù)：^?1.414,73?1.732）

（）

A.1.819米B.1.485米

C.1.649米D.1.945米

12.（2022春?北京豐臺?高一統(tǒng)考期末）古希臘的數(shù)學家特埃特圖斯（Theaeietus,約前417.前369）通過圖

來構造無理數(shù)點,6,VI….記/B4C=a,Z.DAC=p,則cos(a+/7)=()

c-T+V.44

13.（2022?四川廣安?統(tǒng)考模擬預測）我國古代數(shù)學家僧?行應用“九服密影算法”在《大衍歷》中建立了卷影

長/與太陽天頂距。（。＜。＜180）的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學知識可

知，唇影長度/等于表高/?與太陽天頂距。正切值的乘積，即/=Atan。.對同一“表高”兩次測量，第一次和第

7

二次太陽天頂距分別為。、夕，若第一次的“密影長''是“表高”的3倍，Ktan（?-/?）=-,則第二次的“密影

長”是“表高”的（）倍

A.1B.C.—D.一

322

14.（2022?全國,高三專題練習）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是"中

國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.小李為測

量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線4C,如圖，測得NA4C=3O°,?C=60°,4B=14米，則岳陽

樓的高度8為（）

A.6G米B.米C.8G米D.96米

15.（2022春?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓

柱、棱柱于?體，極具對稱之美.為了估算圣?索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物

A&高約為36m,在它們之間的地面上的點M（&M,。三點共線）處測得建筑物頂A、教堂頂。的仰角

分別是45和60,在建筑物頂A處測得教堂頂C的仰角為15，則可估算圣?索菲亞教堂的高度CD約為（）

A.54mB.47mC.50mD.44m

16.（2022?浙江?校聯(lián)考模擬預測）我國占代數(shù)學家僧一行應用“九服密影算法”在《大衍歷》中建立了影長/

與太陽天頂距?的對應數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學知識可

知，密影長/等于表高〃與太陽天頂距。正切值的乘積，即/=/?tan。.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二

次太陽大頂也分別為a,B，若第一次的“唇影長''是"表高"的3倍，Jltan（?-/；）=1,則第二次的“售影長”

是“表高”的（）

257

A.1倍B.C.不倍D.倍

322

17.（2022?廣西南寧?統(tǒng)考模擬預冽）“割圓術”是我國古代計算圓周率兀的一種方法.在公元263年左右，由

魏晉時期的數(shù)學家劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求久.根據(jù)“割

圓術”,若用正二十四邊形來估算圓周率兀,則冗的近似值是（〕（精確到0.01二參考數(shù)據(jù)sinl5=0.2588）

A.3.05B.3.10C.3.11D.3.14

18.（2022秋?全國?高三校聯(lián)考階段練習）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學家，在他的著作《數(shù)書九章》中提M

了已知三角形的三邊求面積的方法：“以小斜塞并大斜累減中斜呆，余半之，自乘于上.以小斜塞乘大斜塞

減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”以上文字用公式表示就是5=

其中a,b,c分別是AASC的內角A,B,C的對邊，S是△/16c的面積，在△ABC中，若”=3,6=5,c=6,

則小斗8。的內切圓的面積為（）

A.曳B,勺叵/C.迷D.包

2777

19.（2021秋?遼寧營口?高三統(tǒng)考期末）勒洛三角形是定寬曲線所能構成的面枳最小的圖形，它是德國機械

學家勒洛首先進行研究的，其畫法是：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，

在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形A8C的邊長

為2,則勒洛三角形面積為（）

A.2冗-2+B.2乃+&C.-^-+6D.4兀

20.（2022?全國?高三專題練習）勾股定理被稱為幾何學的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理，

漢代數(shù)學家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1）,證

明了商高結論的正確性，現(xiàn)將弦圖中的四條股延長，相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2.在圖2中，

若35,BD=3M,D,E兩點間的距離為同，則弦圖中小正方形的邊長為（）

A.@B.延C.1D.加

23

21.（2022?福建漳州?統(tǒng)考三模）英國化學家、物理學家享利?卡文迪許被稱為第一個能測出地球質量的人，

卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻

上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設計了卡文迪許扭秤實驗來測量萬有引力，由此計算

出地球質量，他在扭秤兩端分別固定一個質量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲

上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠的地方，標記下此時激光所在的點，然后用兩個質

量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2）,由「萬有引力作用，根秤微微偏轉，但激光所反

射的點卻移動了較大的距離，他用此計算出了萬有引力公式中的常數(shù)G,從而計算出了地球的質量.在該

實驗中，光源位于刻度尺上點P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點M處）反射后，反射光線照射在刻度尺

的點。處，鏡面繞加點順時針旋轉。角后，反射光線照射在刻度尺的點Q'處，若△PMQ是正三角

形.PQ=a，QQ'=b（如圖3）,則下列等式中成立的是（）

圖1圖2

6b出a

A.tana=B.tana-

2a+ba+2b

6b石a

C.tan2a=D.tan2a=

2a+ba+2b

22.（2022?全國?高三專題練習）趙爽是我國古代著名的數(shù)學家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》

一日作序時，介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形組成）,如圖（1）類比“趙

爽弦圖“，可類似地構造如圖（2）所示的形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的

一個大等邊角形，設。￡=3A￡,若向三角形ABC內隨機投一粒芝麻（忽略該芝麻的大?。?，則芝麻落在陰

影部分的概率為（）

（1）（2）

A.-B.-C.-D.-

9467

23.（2022.河南鄭州.統(tǒng)考三模）位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺相當于一個測量日影的圭表.圭表是我國古代

一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向

水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面

上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.如圖是一個根據(jù)鄭州市的地理位置

設計的主表的示意圖，已知鄭州市冬至正午太陽高度角（即NA8C）約為32.5。，夏至正午太陽高度角（即

^ADC）約為79.5。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即。B的長）為14米，則表高（即AC的長）約

327

為（）（其中tan32.5°zm，tan79.5°

夏至正午陽光

冬至正午陽光

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D,9.51米

24.（2022秋?河南鄭州?高三統(tǒng)考開學考試）古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，

發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sinl8表示.若實數(shù)〃滿足4sii?18+1=4,則一由二

4nsinz18

的值為（）

A.4B.-C.2D.!

42

25.（2022.高一課時練習）數(shù)學家傅里葉關于三角函數(shù)的研究告訴我們：人類的聲音，小提琴的奏鳴，動物

的叫聲等都可以歸結為一些簡單聲音的組合，而簡單聲音是可以用三角函數(shù)模型描述的.已知描述百靈鳥

的叫聲時用到如圖所示的圖象，對應的函數(shù)解析式是/（幻=〃m（4原+隼）（4＞0,。＞0.0＜卬＜勸，則（）

B.。=6,8=5

D.(。=6,(p=—

6

26.（2022秋?山西太原?高二山西大附中?？奸_學考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又

環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖I）,明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理（圖2）.現(xiàn)有一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每分鐘旋轉1圈，筒車的軸心距離水面的高度

為2米，設筒車上的某個盛水簡P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負數(shù)），若以盛水

2

筒P剛浮出水面為初始時刻，經(jīng)過/秒后，下列命題正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：cos48。。：）

圖1圖2

①d=2-3sin（卷/+其中sinO=2,且6>e（0,y

②d=2+3sin（=f-。］,其中sin?=2,且6>efo,-

、30J312

③當，^38時，盛水筒尸再次進入水中，

④當1x22時，盛水筒P到達最高點.

A.①③B.@@C.②④D.①④

27.（2022秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習）在數(shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性,

曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義1-cos。為角。的正矢，記作versing；定義1-sin。為角。的余矢，記作

covers。.給出下列結論：

①函數(shù)/(x)=versinX-COVCISA在￡小，單調遞增;

4_

covers.r-1_.,,.八,,2

②若---------=2,則rversin2x-covers2x-1=—；

versinx-15

③若g(%)=versinxcoversx,則g(x)的最小值為0；

④若h(x)=versin2x-covers^則M”）的最小值為

o

其中所有正確結論的序號為（）

A.①②B.③@C.①③④D.②③④

28.（2022秋?廣東肇慶?高三統(tǒng)考階段練習）《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學典籍，書中記載：我國早在商代

時期，數(shù)學家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以

弦為邊長得到的正方形A8CO是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數(shù)形結合法

給出了勾股定理的詳細證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若A尸=6,

B尸=4加，G,尸兩點間的距離為2相，則“勾股圓方圖''中小正方形的面積為（）

G

圖1圖2

A.9B.4C.3D.8

29.（2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模）中國古代數(shù)學家用圓內接正6〃邊形的周長來近似計算圓周長，以估計圓周

率兀的值.若據(jù)此證明兀＞3.14,則正整數(shù)〃至少等于（）

A.8B.9C.10D.]1

二、多選題

30.（2021秋.山東臨沂.高一臨沂第四中學?？计谀┍本┨靿泥髑饓癁楣糯捞斓膱鏊?，衛(wèi)星圖片可以

看成一個圓形，如果將其一分為二成兩個扇形，設其中一個扇形的面積為，，圓心角為四,天壇中剩余部

分扇形的面積為邑，圓心角為巴，（囚＜生）當凡與S2的比值為告時，則裁剪出來的扇形看上去

較為美觀，那么（）

A.?137.5B.a產(chǎn)127.5,

C.出=（逐一1）乃D.—=――-

a22

31.（2020秋?福建福州?高三福建省福州華僑中學?？茧A段練習）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲

落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時

返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船

底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.

時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m

0：005.09：002.518：005.0

3：007.512：005.021：0()2.5

6：005.015：007.524：005.0

若選用一個三角函數(shù)/（X）來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，則下列說法中正確的有（）

A./（x）=2.5cos^x^+5B..f（x）=2.5sin仁x）+5

C.該貨船在2：00至4：00期間可以進港D.該貨船在13：00至17：00期間可以進港

32.（2022秋?福建芾田?高三莆由第五中學校考階段練習）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純

音合成的.已知純音的數(shù)學模型是函數(shù)），=4sinM我們平常聽到的樂音是許多音的結合，稱為復合音.若一個

復合音的數(shù)學模型是函數(shù)〃x）=sinx+；sin2x,則（）

A./（力的最大值為］B.2兀為/（X）的最小正周期

C.為）'=/（》）曲線的對稱粕D.（兀,。）為曲線y=/（x）的對稱中心

33.（2022春?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.底與

腰之比為黃金分割比（叵0618）的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36。的等腰三角形.例如，

2

中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與?個正五邊形組成的.如圖，將五角星的五個頂點相連，記

正五邊形A8C。石的邊長為。，正五邊形AqGAE的邊長為6,ZCAD=a,則下列結論正確的是（）

B,

小

D

Rby[5-\

ci2

「b3-石

C?—=---------

a2

D.對任意的6eR,cos，+cos（，+2a）+cos（8+4a）+cos（6+6a）+cos（J+舐）=0

三、填空題

34.（2023?全國?高三專題練習）我國古代數(shù)學著作《九章算術》方田篇記載“宛田面積術日：以徑乘周，四

而一（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計算扇形面積的

公式為：扇形面=竺網(wǎng).現(xiàn)有一宛田的面積為1,周為2,則徑是___________.

4

35.（2022?全國?高三專題練習）2022年北京冬奧會閉幕式上，呈現(xiàn)了大雪花（火炬）被中國結緊緊包裹的

畫面，體現(xiàn)了中國“世界大同，天卜.一家’’的理念，數(shù)學中也有類似“包裹”的圖形.如圖，雙圓匹邊形即不僅

有內切圓而且有外接圓的四邊形，20世紀80年代末，國內許多學者對雙圓四邊形進行了大量研究，如：邊

長分別為mb,c,d的雙圓四邊形，則其內切圓半徑r=2，而，外接圓半徑

a+b+c+d

(ab+cd){ac+bd){ad+be)

.現(xiàn)有邊長均為1的雙圓四邊形，則R-r=

36.（2022秋?浙江金華?高一浙江金華第一中學校聯(lián)考期末）以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑,

在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機械工程專家、

機構運動學家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉機等都有應用勒洛三

角殄如圖，已知某勒洛三角形的一段弧A8的長度為2萬，則該助洛三角形的面積是.

37.（2022?全國?高三專題練習）《后漢書?張衡傳》：“陽嘉元年，復造候風地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，

合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關發(fā)機.外有八龍，首銜銅丸，下有

蟾蛛，張II承之.其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊則振龍，機發(fā)吐丸，而蟾蛛銜之.

振聲激揚，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在.驗之以事，合契若神.”如圖，

為張衡地動儀的結構圖，現(xiàn)要在相距200km的4,B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北60。方向，若

A地動儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東km.

38.（2022秋?河南?高二校聯(lián)考期末）臺球賽的一種得分戰(zhàn)術手段叫做“斯諾克在白色本球與目標球之間，

設置障礙，使得本球不能直接擊打目標球.如圖，某場比賽中，英選手被對手做成了一個“斯諾克”，本球需

經(jīng)過邊8C,。力兩次反彈后擊打目標球M點M到CD3C的距離分別為200cm,60cm,點N到CD3C的

距離分別為80cm120cm,將M,N看成質點，本球在M點處，若擊打成功，則tane=.

39.（2021秋?山東臨沂?高一臨沂第四中學?？计谀?020年12月4日,我國科學家宣布構建了76個光子

（量子比特）的量子計算原型機“九章“九章''得名于我國古代的數(shù)學名著《九章算術》，書中有一個“引葭

赴岸''問題："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”其意

思為“今有水池1丈見方（即CQ=1（）尺），蘆葦生長在水的中央.長出水面的部分為1尺.將蘆葦向池岸牽

n

引，恰巧與水岸齊接（如圖所示）.設夕=則tan］的值為

40.（2021秋?安徽六安?高三六安一中?？茧A段練習）斯特瓦爾特（Swm"）定理是由18世紀的英國數(shù)學家

提出的關于三角形中線段之間關系的結論.根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結論：設△A8C中，內角A、3、

RD+ncmna

C的對邊分別為。、b、c,點。在邊8c上，且怒則4。2=———-——口.已知△A4C中，

DCn，〃+〃（m+n）

內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,b=2c=4,asinB+?cos4=0,點。在BC上，巨△ABD的面

積與AAQC的面積之比為2,貝i」AO=.

41.（2022春.全國?高一期末）克羅狄斯?托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其

中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補

時取等號，根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓。的直徑為2,4為直徑延長線上的一點，0A=2,B為

半圓上一點，以為一邊作等邊三角形則當線段OC的長取最大值時，ZAOC=.

42.（2023?全國?高三專題練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明朝科學家徐

光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了簡車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一

個盛水筒都做勻速圓周運動如圖2,將筒車抽象為一個半徑為的圓，設筒車按逆時針方向每旋轉一周用時

120秒，當，=0時，盛水筒M位于點兄（3,-3石），經(jīng)過/秒后運動到點。（乂田，點P的縱坐標滿足

）,=/（力=以m（.+0），之0,口＞。,|歸＜3則當筒車旋轉100秒時，盛水筒M對應的點P的縱坐標為

圖1圖2

43.（2022春?湖南?高一校聯(lián)考期末）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理：

“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等

邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點在.A8C中，己知NAC8=30。，且A8=G-1,現(xiàn)

以BC,AC,AB為邊向外作三人等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A,8',C,則.48。的面積最

大值為.

44.（2022秋?江蘇常州?高二校聯(lián)考階段練習）法國數(shù)學家費馬被稱為業(yè)余數(shù)學之匚，很多數(shù)學定理以他的

名字命名.對“BC而言，若其內部的點尸滿足乙4P8=/BPC=NCP4=120,則稱?為二ABC的費馬點.在

二帥。中，已知NB4C=45,設P為的費馬點，且滿足NPB4=45°，%=4.則的外接圓半

徑長為.

45.（2022秋?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考階段練習）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中國漢族最古老的民

間藝術之一.如圖，紙片為一圓形，直徑=20cm,需要剪去四邊形CEG。，可以經(jīng)過對折、沿DC、EC

裁剪、展開就可以得到.

已知點C在圓上且AC=10cm,/ECO=30°.要使得鏤空的四邊形CEG。面積最小，AD的長應為cm.

四、解答題

46.（2022春?廣東廣州?高?校聯(lián)考期中）仰望星空，時有流星劃過天際，令我們感嘆生命的短暫，又深深

震撼我們凡俗的心靈.流星是什么？從古至今，人們作過無數(shù)種猜測.古希臘亞里士多德說，那是地球上

的蒸發(fā)物，近代有人進一步認為，那是地球上磷火升空后的燃燒現(xiàn)象.10世紀波斯著名數(shù)學家、天文學家

阿爾?庫希設計出一種方案，通過兩個觀測者異地同時觀察同一顆流星，來測定其發(fā)射點的高度.如圖，假

設地球是一個標準的球體，。為地球的球心，為地平線，有兩個觀測者在地球上的A,8兩地同時觀測

到一顆流星S,觀測的仰角分別為NSAD=a,ZSBD=0,其中，ND4O=NO8O=90。，為了方便計算，

我們考慮一種理想狀態(tài)，假設兩個觀測者在地球上的A,4兩點測得a=30。，尸=15。，地球半徑為R公里，

（1）求流星S發(fā)射點近似高度ES；

（2）在古希臘，科學不發(fā)達，人們看到流星以為這是地球水分蒸發(fā)后凝結的固體，己知對流層高度大約在

18公里左右，若地球半徑R、6370公里,請你據(jù)此判斷該流星S是地球蒸發(fā)物還是“天外來客”？并說明理由.

47.（2022春?江蘇蘇州?高一吳縣中學?？计谥校┫聢D所示的畢達格拉斯樹畫是由圖（i）利用幾何畫板或者

動態(tài)幾何畫板?〃做出來的圖片.其中四邊形4BrO.AEFG.PQBE都是正方形.如果改變圖（i）中NE4B

的大小會得到更多不同的“樹形”.

VUttjtvjrv

*4

D

D

（1）在圖（i）中,48=2,=且AEJ.A4,求A。的值;

（2）在圖（ii）中，AB=2,AE=。,設/以8=。（0＜夕＜%），求AQ2的最大值.

48.（2022?全國?高一專題練習）成都市為迎接2022年世界大學生運動會，需規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該

賽道的平面示意圖為如圖的五邊形八。C"，根據(jù)自行車比賽的需要，需預留出AC,力。兩條服務車道（不

考慮寬度)，DC,CB,BA,AE,￡D為賽道，ZABC=AAED=^,ZBAC=-,/?C=2x/3(km),CQ=4應(km).注:

34

km為千米.

（1）若cosNCAO=],求服務通道AO的長：

（2）在（1）的條件下，求折線賽道AEZ）的最長值（即AE+ED最大）.（結果保留根號）

49.（2022?河北張家口?統(tǒng)考三模）“費馬點”是由十七世紀法國業(yè)余數(shù)學家之王費馬提出并征解的一個問題,

該問題是指在位于三角形內找一個到三角形三個頂點距離之和最小的點.由當時意大利數(shù)學家托里拆利給出

解答，當三角形三個內角均小于12（）。時，“費馬點”與三個頂點的連線正好三等分“費馬點”所在的周角，即該

點所對的三角形三邊的張角相等且均為120。：當三角形有一內角大于或等于120。時，所求點為三角形最大

內角的頂點.在,A8c中，/4、』8、/。的對邊分別為〃、〃、小且2《J,力2,c2成等差數(shù)列，/8=60。.

(1)證明：A8C是直角三角形；

(2)若。是A8C的“費馬點”，。=2.設O4=x,。3=y，OC=z,求x+y+z的值.

專題03三角函數(shù)專題（數(shù)學文化）

一、單選題

1.（2022春?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第八中學校?？奸_學考試）屏風文化在我國源遠流長，可追溯

到漢代.某屏風工藝廠設計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為2.4m,內環(huán)弧長為0.6m,

徑長（外環(huán)半徑與內環(huán)半徑之差）為0.9m,若不計外柢，則扇環(huán)內需要進行_L2制作的面積的估計值為（）

A.1.20m2B.1.25m2C.1.35m2D.1.40m2

【答案】C

【解析】設扇環(huán)的圓心角為夕，內環(huán)半徑為小外環(huán)半徑為弓，根據(jù)題設可得與-4=09和a?+4）=3,

從而可■求扇環(huán)的面枳.

【詳解】設扇環(huán)的圓心角為a,內環(huán)半徑為4,外環(huán)半徑為小則弓f=0.9,

由題意可知，a/j=（）.6,a弓=2.4,所以0（4+4）=3,

所以扇環(huán)內需要進行工藝制作的面積的估計值為

$=領片一刃=駟4+幻化一彳）=-x3x0.9=1.35m2.

2

故選：C.

2.（2021秋?湖南婁底?高三?？茧A段練習）《九章算術》“勾股”章有一題：“今有二人同立.甲行率七，乙行率

三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點

出發(fā)，甲的速度為7步/秒，乙的速度為3步/秒，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東某方

向走了一段后與乙相遇.甲、乙各走了多少步？（）

A.20,8B.24,10

C.10.5,24.5D.24.5,10.5

【答案】D

【分析】根據(jù)題目信息間出示意圖，假設甲、乙相遇時經(jīng)過時間為，秒，每步走。米，分別得到AC=3s,

AB=\0a,8c=(7-10)a,再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇時經(jīng)過的時間，從而得到甲乙相遇時，

甲、乙各走的步數(shù).

【詳解】由題意，得到示意圖如圖所示，甲、乙從4點出發(fā)，甲走到8處后，又斜向北偏東某方向走了一段

后與乙相遇，即在C點相遇，假設甲、乙相遇時經(jīng)過時間為/秒，每步走。米，則=AB=\0a,

ZiC=(7/-10k/

在RtABC中，AC2+AB2=BC2,

即Os):+(10a)2=[(7/-10)?]2,

解新說，

4921

故甲走了7f=萬=24.5步,乙走了3/=5=10.5步.

故選：D.

【點睛】解三角形應用題的一般步驟：

⑴閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系.

⑵根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型.

⑶根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.

⑷洛三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等.

3.(2021?河南許昌?校聯(lián)考一模)某校高一年級研究性學習小組利用激光多普勒測速儀實地測量復興號高鐵

在某時刻的速度，其工作原理是：激光器發(fā)出的光平均分成兩束射出，在被測物體表面匯聚，探測器接收

反射光.當物體橫向速度不為零時，反射光相對探測光會發(fā)生頻移=4羋，其中v為測速儀測得被測

A

物體的橫向速度，4為激光波長，為。兩束探測光線夾角的一半，如圖，若激光測速儀安裝在距離高鐵1m處，

發(fā)出的激光波長2=1600nm(lnm=10-9m),測得某時刻頻移力,=9.0xl()9(l/h),則該時刻高鐵的速度約等

于()

C.320kiWhD.300km/h

【答案】A

【分析】由已知函數(shù)關系知1孺

結合已知及示意圖求出sin。，代入求值即可.

.0.020.02

【詳解】由題設知:而sin°—#十(002)2-Jf.0004，則a=1.6x10-6m,

2sin<p

1.6x1()6x9.0x109MxIO'xJ1.0Q04

《3.6x105m/h

2*。。2--0.04g|Jv?360km/h.

71.0004

故選:A.

4.(2021.全國?高三專題練習)音樂，是人類精神通過無意識計算而獲得的愉悅享受，1807年法國數(shù)學家傅

里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如丁=Asinwx的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻

率都是其中一個最小頻率的整數(shù)倍，比如用小提琴演奏的某音義的聲音圖象是由下圖1,2,3三個函數(shù)圖象組

成的，則小提琴演奏的該音叉的聲音函數(shù)可以為()

......

?la|????????OIMM*

V

音叉

A./(f)=0.06sinl000k+0.02sinl500R+0.01sin3000亦

B./(/)=0.06sin500加+0.02sin2000R+0.01sin300R

C./(r)=0.()6sin1(XX)m+().02sin2(XX)R+0.01sin3(XX)m

D./(7)=0.06sinl000R+0.02sin2500m+0.01sin3000R

【答案】C

【分析】由圖1求出A、7、①的值，寫出對應函數(shù)的解析式，再結合選項得出函數(shù)/⑺的解析式.

?11

【詳解】解：由圖1知，A=0.06,7'=——-?

D(X)3(X)

所以3=半=1(XXbr,所以y=0.()6sinl(XX);rr；

結合題意知，函數(shù)/(l)=0.06sinl000m+0.02sin20(X)R+0.01sin3000加.

故選：C.

5.(2022春.陜西漢中?高一統(tǒng)考期中)第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國

舉辦的國際性奧林匹克賽事.2月5日，在北京冬奧會短道跑道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37

秒348的成績獲得金牌，這也是中國代表團在本屆冬奧會上贏得的苜枚金牌.短道速滑，全稱短跑道速度

滑冰，是在長度較短的跑道上進行的冰上競速運動.如圖，短道速滑比賽場地的內圈半圓的彎道計算半徑

為8.5m，直道長為28.85m.若跑道內圈的周長等于半徑為27.78m的扇形的周長，則該扇形的圓心角為(參

考數(shù)據(jù)：取17%=53.42)()

卜------------60m---------------------*|

A.巳