2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題05 向量專題（數(shù)學(xué)文化）含解析

2024屆新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

I.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開始后，一片巨大的、?雪

花''呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，

又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：

從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間?段為底邊分別向外作正三角形，再去掉

底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.已知圖①中正三角形的邊長為6,則圖③中OMON的值為（）

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）莊叫美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非

常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)

的多邊形為正五邊形，且與=苴二L下列關(guān)系中正確的是（）

AT2

A.BP-TS=^^-RS

2

B.CQ+TP=^—TS

-I

C.ES-AP=^^BQ

D.AT+BQ=^^~CR

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同?條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的?半，該直線被稱

為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)O,G,"分別為任意的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是（）

1.2

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

cAO+2AHc“2BO+BH

C.ACJ=---------------U?BCJ=---------------

33

4.（2021秋?山東威海?高三統(tǒng)考期中）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)

方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對(duì)任

意平面向量AB=（x,y）,把A8繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。角得到向量AP=（ACOSO-ysin0,_rsin0+ycos〃），

叫做把點(diǎn)“繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)尸，已知平面內(nèi)點(diǎn)A（l,2）,點(diǎn)8（1-夜,2+2及），點(diǎn)“繞點(diǎn)

A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)今后得到點(diǎn)乙則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

4

A.（1,3）B.（-3,1）C.（2,5）D.（-2,3）

5.（2022.高一課時(shí)練習(xí)）我校八角形?；沼蓛蓚€(gè)正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人“，乂寄托南開

人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃?，已知

其由一個(gè)正方形與以該正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后的正方形組合而成，已知向量〃，k，則向量a（）

A.2〃+34B.（2+&）〃+34

C.（2+夜）〃+（2+近以D.（1+a）〃+（2+5/^）攵

6.（2022春?黑龍江黑河?高一嫩江市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平

面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切，A、8、C、。是其中

四個(gè)圓的圓心，則（）.

圖1

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes1596?1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平

面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被

稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難

度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形ABC中，。是線段8c上的點(diǎn)，AB=3,

BD=2,則.

A.3B.6C.9D.12

8.（2021春?福建福州?高一?？茧A段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)

學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形

ABCQ中，滿足“勾3股4弦5"，且AB=3,七為4。上一點(diǎn)，AC.若BE=484+,則4+〃

的值為（）

E

D

B

9.（2022春?北京?高一北京巾第二卜五中學(xué)?？计谥校?jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家,

曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有A8C滿足“勾3股4弦5”,

其中AC=3,8c=4,點(diǎn)。是C8延長線上的一點(diǎn)，則ACAO二（）

A.3B.4C.9D.不能確定

10.（2022.全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割See"。％）是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有

嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取0.618,就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取3.14

一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大

多在畫面的（）.618處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的（）.618處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形

Rectang/e）的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊1.618倍.黃金分割率和黃金矩形

能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很

好的例子，達(dá)?芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后

的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.20（）0多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金

分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其由一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于

該部分之比，黃金分割比為“一1/0.618.其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它

2

是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形A8c。中，AC,8。相交于點(diǎn)O,BF1AC,DHLAC,AELBD,

CG工BD,=貝（）

2

B.士正BA+匕叵BG

210

D.2BA』

25

11.（2022秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽

滿”，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰.如圖，A8是圓0的一條直徑，且1AAi=4.C,。是圓。上

的任意兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，則PVP8的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[后2]C.[3,4]D.[-1,0]

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.卜?如圖是根據(jù)下如圖作的簡易

側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿以，PB,PC,尸。的一端P在垂直于水

平面的塔柱上，另一端4B,C,。與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知AB=8m,80=16m,

PO=12m,P8.PC=0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得如A+P4）+g（PC+*=2PO,則Q=（）

A.28mB.20mC.31mD.22m

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙

爽弦圖“，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，若=

則潴=（）

AF=-AEt

3

64B,巴〃?+9〃96

A.—〃？+—nc.D.—m+—n

1313131313131313

14.（2022春?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年第十屆中國花卉博覽會(huì)興辦在即，其中，以“蝶

戀花”為造型的世紀(jì)館引人注H（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致

的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點(diǎn)。,

A,兩動(dòng)點(diǎn)8,Q,且|。,=|。8卜1,Q4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到。B所形成的角記為。.設(shè)函數(shù)

1,A>0

/(^)=4-sign(^)-sin5^,乃)，其中，sign(X)=?0,N=0,令夕=/(。)，作OQ=pO8隨著。的

-l,x<0

,Q

A

D.

15.（2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的

漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國內(nèi)外人士所喜愛.如圖甲是一個(gè)正八邊形窗花隔

斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖.已知正八邊形八"CD/7G”的邊長為2&，歷是正八邊

形ABC-DEFGH邊上任意一點(diǎn),則的最大值為（）

D.24+16立

二、多選題

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響.如圖是受“八

卦''的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若O是正八邊形的中心，旦則（）

A.A療與C尸能構(gòu)成一組基底B.ODOF=0

C.OA+OC=42OBD.ACCD=^

17.（2022春?廣東揭陽?高一?？茧A段練習(xí)）“圓哥定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)

結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的枳相等.如圖，已知圓。的

半徑為2,點(diǎn)P是圓。內(nèi)的定點(diǎn)，且OP=&,弦AC、8。均過點(diǎn)P,則下列說法正確的是（）

A.PAPC為定值B.O/VOC的取值范圍是[-2,0]

C.當(dāng)AC/8O時(shí)，八8co為定值D.卜4仍4的最大值為12

18.（2021春?江蘇常州?高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)

的圓心為界，畫出相等的兩個(gè)陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，

互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八

邊形ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，設(shè)04=1.則下述四

個(gè)結(jié)論，正確結(jié)論是（）

圖1圖2

A.以直線。〃為終邊的角的集合可以表示為|。。=彳+24乃

B.在以點(diǎn)。為圓心、CM為半徑的圓中，弦所對(duì)的弧長為￡

4

C.OAOD=—

一2

D.BF=（-x/2,-V2）

19.（2022?甘肅張掖,高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型

圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形A8CQEPG”，其中OA=1,則下列結(jié)論正確的有（）

E

B.OB+OH=-y/20E

C.AHHO=BCBO

D.向量DE在向量八6卜的投影向量為-#A8

2（）.（2020春.廣東東莞?高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定

理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O、G、〃分別是二4?。的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（）

A.GA+G8+GC=0B.AC=2HM-4MO

C.AH=3OMD.OA卜網(wǎng)=國

21.（2021.全國?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是“3。內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,AOC,一工QB的面積分別

為5”SB，S「則5/。4+5屋。8+51%=（）.“奔馳定理''是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)

定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercede欣7?z）的例。很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若。、P是銳角

ABC內(nèi)的點(diǎn)，A、B、。是4ABe的三個(gè)內(nèi)角，且滿足PA+P8+PC=；CA,OAOB=OBOC=OCOA

則（）

A.SNAB：S4PBe'&PCA—4：2:3

B.ZA+ZBOC=n

C.|OA|:\pB:OC=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA4-tan-OB+tanC-OC=0

三、填空題

22.（2020秋泗川成都?高一成都七中?？茧A段練習(xí)）早在兩千多年前，我國首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，

就提出了宛田（扇形面積）的計(jì)算方法:“以徑乘周，四而一（直徑W弧長乘積的四分之一）.己知扇形AOB的弧

長為24,面積為6小設(shè)+。8卜4網(wǎng)，則實(shí)數(shù)2等于.

23.（2022秋?四川內(nèi)江?高三四川省隆昌市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的

古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰

陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形A4CQEFG”的邊長為2,0是正八邊形

ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則PA-PB的最小值為.

24.（2022秋?全國?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為

《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖''（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.

類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大

等邊三角形，且。尸=24尸，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是〃）所內(nèi)（含邊界）一點(diǎn),且=

則兒的最大值為.

23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲埋解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖3）

是八卦模型圖，將共簡化成圖（2）的正八邊形A4CQ￡AG”，若A3=l,則AC-AE=.

圖（1）圖⑵

26.（2022春.福建泉州?高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為一:角形的歐拉線，該定理

被稱為歐拉線定理.已知48C的外心為O,重心為G,垂心為"，加為8c中點(diǎn)，且48=5,AC=4,則

下列各式正確的有.

?AGBC=-3?AOBC=-6

?OH=OA+OB+OC?AB+AC=4OM+2HM

27.（2022?全國?高三專題練習(xí)）笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)

系；。），中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為60。，與分別是與x軸，軸正方向同向的單位向?qū)?，若向?/p>

〃二町+）%，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（尤力為〃在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量加，〃在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分

別為（3,2）,（2/）,當(dāng)人時(shí)，*〃=11.

28.（2021砌南校聯(lián)考二模）根據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”,

故勾股定理在中國又稱商高定理.而勾股數(shù)是指滿足勾股定理的正整數(shù)組(〃/“)，任意一組勾股數(shù)都可以表

a=一叫，

示為如下的形式：b=2kmn,其中％,m〃均為正整數(shù)，且小>〃.如圖所示，！P瓦'中，PE上PF,

c=k^m2+〃)

PF=\2>PE,三邊對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)中k=l,〃=2,點(diǎn)M在線段￡尸上，.且EM=〃?，則.

四、解答題

29.(2022春?江蘇泰州?高一?？茧A段練習(xí))數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人

以對(duì)稱的美感.萊洛二角形的畫法：先畫等邊二角形A4C，再分別以點(diǎn)兒￡C為圓心，線段八6氏為半徑畫

圓弧，便得到萊洛三角形.如圖所示，已知A4=2,點(diǎn)P,Q分別在弧AC，弧A8上，且/PBC=a,/QCB=0.

(1)若。=段時(shí)，求8P的值.

14

(2)若。=著7T,尸=?7T時(shí)，求8UUPCULMQ1的值.

專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開始后，一片巨大的“雪

花''呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，

乂松?科材'曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是…雪花曲線”的一種形成過程：

從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉

底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.已知圖①中正三角形的邊長為6,則圖③中的值為（）

【答案】A

【分析】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由向量的運(yùn)算求得OM.ON的坐標(biāo),

再由數(shù)顯積的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

OM|=4,OM=(2cos-,2sin-)=(2,2>/3),

133

Q

,即MP=(1()),

|叫=|，由分形知PN//QW,所以PN=

月亍以O(shè)N=OM+M尸+PN=(5,苧)，

所以O(shè)M-ON=2x5+2員辿=24.

3

故選:A.

2.（2023.全國?高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非

常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)

的多邊形為正五邊形，且*=空.下列關(guān)系中正確的是（）

4

B.CQ+TP=TS

Js-1

C.ES-AP=^^BQ

Js-1

D.AT+BQ=^—CR

【答案】A

【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】解：在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,七為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且上工二避二1.

AT2

inruifuiruifHIT、尺.iuir

在A中,BP-TS=TE-TS=SE=-^—^RS,故A正確;

2

urnuiruiruirun:iuir

在B中,C()+TP=PA+TP=TA=——ST，故B錯(cuò)誤;

2

Js-IJ5-1

在C中,ES-AP=RC-QC=RQ=^—DR=-^—QB,故c錯(cuò)誤;

x/5-1

在D中，AT+BQ=SD+RD,CR=RS=RD—SD,

2

若A7+8Q=*LCR，則SQ=()，不合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱

為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)O,G,”分別為任意A6C的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是()

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

r4「AO+2AHnR「2BO+BH

33

【答案】D

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線和長度關(guān)系可知AB正誤；利用向量的線性運(yùn)算可表示出入G,8G,知CD正誤.

;O,G,”依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，.?.OG=1G”,

2

1-3

:.OG=^OH,OH=：GH,A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；

AG=AO+OG=AO+-OH=AO+-(AH-AO]=2>0+,),c錯(cuò)誤；

33、,3

BG=BO+OG=BO+-OH=BO+-(BH-BO\=2'0+'”,D正確.

33、J3

故選：D.

4.(2021秋?山東威海?高三統(tǒng)考期中)向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)

方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對(duì)任

意平面向量A8=(x,y),把相繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)夕先得到向量4P=(xcos0-ysinO.xsinO+)，cos〃)，

叫做把點(diǎn)8繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)P,已知平面內(nèi)點(diǎn)4(1,2),點(diǎn)8(1-0,2+28)，點(diǎn)8繞點(diǎn)

A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與后得到點(diǎn)心則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-3,1)C.(2,5)D.(-2,3)

【答案】C

【分析】表示出向量48后，根據(jù)平面向量旋轉(zhuǎn)公式可求得AP，由此可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】??A（1,2）,8（1-&,2+2及），/.歷=卜62&）,

???點(diǎn)3繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)￡等價(jià)于點(diǎn)8繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?，

44

AP=f->/2cos——25/2sin-^-，―\/2sin+2x/2cos-^-J=（1,3）,/.P（2,5）.

故選：C.

5.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）我校八角形?；沼蓛蓚€(gè)正方形售加變形而成，喻意”方方正正做人“，又寄托南開

人''面向四面八方,胸懷博大,廣納新知,銳意進(jìn)取”之精神,如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃?已知

其由一個(gè)正方形與以該正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后的正方形組合而成，己知向量〃，女，則向量〃（）

A.2n+3kB.（2+&）〃+3攵

C.（2+及）〃+（2+及,AD.（1+夜）〃+（2+忘伙

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得線段的長度關(guān)系以及點(diǎn)共線，再由向量的加法法則可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得w=w，

由該圖形是由正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后與原正方形組合而成，如圖

由對(duì)稱性可得14罔=忸［=|CQ|=|因=|=|QF|,

|C￡l=|EF|=|FG|=^|/\B|=V2p|

由對(duì)稱性可得點(diǎn)昆C￡Q共線，點(diǎn)Q,RG共線.

所以8Q=8C+CE+EQ=（2+&*,QG=QF"G=（1+五|〃

所以a=8Q+QG=（2+&袂+0-碼〃

故選：D

B

6.（2U22春?黑龍江黑河?高一嫩江巾高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖I是某晶體的陰陽離子單層排列的平

面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切，A、8、C、。是其中

四個(gè)圓的圓心，則A8-CQ=（）.

C.38

D.42

【答案】B

【分析】如圖所示，取q、七為一組基底的基向量，其中|qHgl=l且弓、6的夾角為60。，將和C?；?/p>

為基向量，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，建立以弓、4為一組基底的基向量,

ei

其中Iq|=|.|=1且4、G的夾角為60°，

/.AB=2et+4e2?CD=4e1+2e2,

:.ABCD=(2e.+4e1)-(4el+2e2)=80；+8c；+2(媽.6=8+8+20xlxlx1=26.

2

故選:B.

7.(2022?全國?高三專題練習(xí))偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descariesl596?1650)創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平

面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被

稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難

度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形八3。中，。是線段BC上的點(diǎn)，AB=3,

80=2，則.

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】以八5、AC為一組基底,表示出人。，再根據(jù)向量的數(shù)展積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得：

【詳解】解：在正三角形48C中，。是線段8C上的點(diǎn)，A8=3,BD=2,所以

AD=AB^-BC=AB+-(AC-AB\=-AB^-AC

33、f33

所以A4.(gA4+|AC)=gA/+|ACA4=gx32+|x3x3x；=6

故選:B

A

BDC

8.（2021春?福建福州?高一?？茧A段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)

學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形

ABC。中，滿足“勾3股4弦5”，且他=3,E為AD上一點(diǎn)、,BE_LAC.若8E=/IA4+〃BC,則2+〃

的值為（）

風(fēng)

BC

BC

A-總--SD.1

【答案】B

9

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用向量的坐標(biāo)表示,設(shè)皿=(a,3),由AC8E=0可得〃=“再由

BA=ABE+^AC,利用坐標(biāo)表示建立方程組求解即可.

【詳解】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系

因?yàn)锳B=3,8c=4,(0(0,0),4(0,3),C(4,0),54=(0,3),比二(4,-3),設(shè)班=(a,3),因?yàn)?E_LAC,

9

所以AC?加=4。一9=。，解得，七9.由所見吟〃AC,得（。,3）=七f9,3+〃(4,-3),所以『4…

32-3〃=3,

*

25

解得

9

,25

所以4+〃=—,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向最的坐標(biāo)運(yùn)算及向最垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022春?北京?高一北京市第二十五中學(xué)?？计谥校?jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家,

曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年汝口圖，現(xiàn)有,A8C滿足“勾3股4弦5”,

其中AC=3,8C=4,點(diǎn)。是CB延長線上的一點(diǎn)，則AC.AZ）=（）

A.3B.4C.9D.不能確定

【答案】C

【解析】根據(jù)A8C滿足“勾3股4弦5"可得AC_LC8,再利用平面向量的線性運(yùn)算以及兩個(gè)垂直向量的數(shù)

量積為0,可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳C=3,C3=4,A3=5,所以AC:+磁：=A8?，

所以4C_LC8,所以4c.CB=0，所以ACCO=0，

所以4CAO=AC(AC+C￡>)=4C2+4C.CO=9+0=9.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了兩個(gè)垂直向量的數(shù)量積為0,屬「基礎(chǔ)

題.

10.（2022?全國,高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割（Seaia?）是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有

嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)?般取0.618,就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取3.14

一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大

多在畫面的0.618處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形

(Go〃e，?Rectang/e)的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊1.618倍.黃金分割率和黃金矩形

能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是?個(gè)很

好的例子，達(dá)?芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后

的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金

分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其由一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于

該部分之比，黃金分割比為3」《0.618.其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它

是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形A8C力中，AC,8。相交于點(diǎn)0,BFJ.AC,DHLAC,AELBD,

CG1BD,BE=^^BO,貝()

Eir

'等函+誓的匕SBA+$G

210

C.更」BA+匕3-A/5石叱

5BG--------O/i+DU

2--------5

【答案】D

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解.

【詳解】解：BE=匪二B0,顯然BE=DG,4。=。。=!"。,

22

BF=BA+AF=BA+^^-AO=BA+^^-(BO-=+f

2222

ABF=3-書BA+且BG，

25

故選：D.

11.(2022秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí))圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽

滿“，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰.如圖，AB是圓0的一條直徑，且|A8|=4.C,。是圓。上

的任意兩點(diǎn)，181=2,點(diǎn)〃在線段上，則尸Aj?的取值范圍是()

B

A.[-1,2]B.[?2]C.[3,4]D.[-1,0]

【答案】D

【分析】設(shè)。為圓心，連接OP,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到幺?PB=|PO5-4,根據(jù)點(diǎn)尸在線段。。上，即

可求出|PO|的取值范圍，即可得解.

【洋解】解：如圖，。為圓心，連接OP,

則i^Am=（/JO+OA）[rO+OB）=/JO2+roo^+roOA+OAO/3=PO2+ro（OLi+OAj-OA1=|〃O『-4,

因?yàn)辄c(diǎn)。在線段CO上且|C￡>|=2,則圓心到直線CO的距離4=萬了=右，

所以石可叫2,

所以3麴1PC『4,則一啜j尸。「一40,

即PAPB的取值范圍是[T,。1.

故選:D.

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易

側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿布,PB,PC,PO的一端P在垂直于水

平面的塔柱上，另一端A,B,C,D與塔柱上的點(diǎn)。都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知A3=8m,80=16m,

P0=\2m,PB，C=0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得;（尸A+P8）+；（PC+P力）=2PO,則CZ）=（）

A.28mB.20mC.31mD.22m

【答案】D

【分析】由P8PC=0，得PB工PC,則可得PO2=OBOC，可求得OC=9m,M,N分別為八及8的

中點(diǎn)，則由已知可得。為MN的中點(diǎn)，再結(jié)合已知的數(shù)據(jù)可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)镻8?PC=0，所以尸8J_PC,

因?yàn)槭琌/8C,所以APOCsABOP,

POOC

所以==彳77，所以。。2=00.。。.

OBr(J

因?yàn)锽O=16m,PO=\2m,

所以O(shè)C=9m,

設(shè)歷，N分別為A&C。的中點(diǎn)，

因?yàn)椋?尸4+P8)+，(PC+PO)=2PO,

22

所以PM+PN=2PO,

所以。為MV的中點(diǎn)，

因?yàn)?B=8m,8O=16m,所以O(shè)M=20m,

所以O(shè)N=20m,

所以CN=ON—OC=20-9=llm,

所以CZ)=2CN=22m

故選：D

u月

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙

爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，若=

AF=^AE,則潴=()

【答案】B

213-2-4

【分析】由己知可得出=利用平面向量的線性運(yùn)算得出=再結(jié)合平面的基

本定理可得結(jié)果.

22，\2-224/-\

【詳解】由題意得====一一（AD+DE）,

13-24-6-----4—4-6-

所以‘。七二三八8—二A。，BPDE=—DC+—DA=—m+—n,

93913131313

故選:B.

14.（2022春?江蘇南京?高三金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）2021年第十屆中國花卉博覽會(huì)興辦在即，其中，以“蝶

戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致

的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點(diǎn)。,

A,兩動(dòng)點(diǎn)8,Q,且|。4卜|。q=1,Q4繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到。B所形成的角記為0.設(shè)函數(shù)

l,A>0

/(^)=4-sign(0)-sin50,(一4其中,sign(x)=<0,工=0,令p=以0),作0。=-08隨著6的

-l,x<0

變化，就得到了。的軌跡，其形似“蝴蝶則以下4幅圖中，點(diǎn)Q的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（）

【答案】B

【分析】考慮特殊值，用排除法，取夕=。,士匹確定0Q的的位置，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得結(jié)論.

【洋解】先考慮與04共線的蝴蝶身方向，令9=0,上r,0Q=-408=40人要滿足，故排除A,C；

再考慮與OA垂直的方向，令。=；，OQ=-O8要滿足，故排除。，

故選：B.

15.（2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的

漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國內(nèi)外人士所喜愛.如圖甲是一個(gè)正八邊形窗花隔

斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖.已知正八邊形A8c心”的邊長為2右，例是正八邊

形ABC-DEFGH邊上任意一點(diǎn),則M4M8的最大值為（）

甲

A.30+4&B.28+8&C.26+16&D.24+16x/2

【答案】D

【分析】取4B的中點(diǎn)O,連接MO,通過轉(zhuǎn)化得M4.MB=MOL2,則轉(zhuǎn)化為求IM。I的最大值，由圖得當(dāng)

點(diǎn)M與點(diǎn)尸或點(diǎn)E重合時(shí)，IMOI取得最大值，計(jì)算IMOI最值即可.

【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)。，連接MO,連接分別過點(diǎn)C,點(diǎn)。作虛的垂線，垂足分別為1,J,

所以M4M8=(MO+OA)(MO+O8)=(MO+OA)(MO—OA)=W(y—OA2=M(y—2,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)尸或點(diǎn)E重合時(shí)，|MO|取得最大值，

易得四邊形為矩形，為等腰直角三角形，則〃=2&，

BI=EJ=2,則BE=4+2&，BO=C，

MO2取得最大值為BO2+BE2=(&『+(4+=26+16&,

所以MA?MB的最大值為24+16a，

故選:D.

二、多選題

16.(2022?全國?高三專題練習(xí))古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響.如圖是受“八

圭卜”的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八侑窗，若。是正八邊形AAC。瓦'GH的中心，且|八8|=1,則()

FE

A.A”與。尸能構(gòu)成一組基底B.ODOF=0

c.OA+OC=6OBD.ACCD=^

【答案】BCD

【分析】連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH〃BG、CF〃BG,可判斷選項(xiàng)A：從而可得

ZDOF=lx27t=p可判斷選項(xiàng)B；連結(jié)4c交04于點(diǎn)例，可判斷選項(xiàng)C；先判斷出A8_LC。，結(jié)合向

量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF//BG,

所以4/〃6,所以A”與C廠是共線向量，所以A”與C尸不能構(gòu)成一組基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤；

又ND0F=$2兀=］所以所以(MO尸=0,B項(xiàng)正確；

由上過程可知0A10C，連結(jié)4C交0B于點(diǎn)”，

在直角三角形O4C中，M為AC的中點(diǎn)，

則O4+OC=2OM,

又|QM|=：|AC|=等|。4|=4|08|,

所以。4+OC=血。8，C項(xiàng)正確；

又正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為:：(8-2"=手,

84

延長。C,AB,相交于點(diǎn)N,則/C8N=N5CN=；,

所以N8NC=Z,故AB_LCQ,

2

所以ACCO=(A"+"C)C7)=A/rCD+ACCQ=|“C|8s5—^b=^,D項(xiàng)正確.

42

故選：BCD.

E

/BN

17.（2022春?廣東揭陽?高一校考階段練習(xí)）“圓呆定埋”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定埋，它包含二個(gè)

結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓。的

半徑為2,點(diǎn)。是圓。內(nèi)的定點(diǎn)，且OP=五，弦AC、5。均過點(diǎn)P,則下列說法正確的是（）

A.PAPC為定值B.OAOC的取值范圍是卜2,0]

C.當(dāng)AC/8O時(shí)，A8CO為定值D.卜4?,4的最大值為12

【答案】AC

【分析】根據(jù)題設(shè)中的圓幕定理可判斷AC的正誤，取AC的中點(diǎn)為連接。M,利用向量的線性運(yùn)算可

判斷B的正誤，根據(jù)直徑的大小可判斷D的正誤.

D1

E

如圖，設(shè)直線P。與圓O于七，F(xiàn)

則而.巾=一|刑0。卜一|四療尸|=_（|0耳—|尸0