《電路分析基礎(chǔ)》課件第4章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

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頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念一、正弦交流電的三要素

二、相位差

三、有效值

4.2正弦交流電的相量表示法一、復(fù)數(shù)的兩種表示形式及四則運(yùn)算復(fù)習(xí)

二、相量代表正弦交流電

4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

一、R、L、C的電壓、電流關(guān)系的相量形式

二、KCL、KVL相量形式

4.4阻抗與導(dǎo)納一、阻抗與導(dǎo)納概念

二、阻抗和導(dǎo)納的串聯(lián)與并聯(lián)等效

三、阻抗串聯(lián)模型和并聯(lián)模型的等效互換4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析

二、網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn)分析法用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

一、串、并、混聯(lián)電路的分析三、等效電源定理用于正弦穩(wěn)態(tài)電路分析第4章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析回本章目錄(本章共122頁(yè))P59P3P14P24P38點(diǎn)擊目錄中各節(jié)后頁(yè)碼即可打開該節(jié)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-2

頁(yè)第4章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率一、基本元件的功率和能量二、一端口網(wǎng)絡(luò)的功率三、功率因數(shù)的提高4.7正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率傳輸一、減小損耗和高效傳輸問(wèn)題

二、最大功率傳輸問(wèn)題

4.8三相交流電路概述一、三相電源二、對(duì)稱三相電路的計(jì)算三、不對(duì)稱三相電路的計(jì)算回本章目錄點(diǎn)擊目錄中各節(jié)后頁(yè)碼即可打開該節(jié)P70P95P104下一頁(yè)前一頁(yè)第4-3

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念一、正弦交流電的三要素

按正弦(余弦)規(guī)律變化的電壓、電流稱為正弦電壓、電流，統(tǒng)稱為正弦量(正弦波或正弦交流電)。這里采用cos函數(shù)為表示正弦量的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)。周期信號(hào)(函數(shù))定義：每隔一定的時(shí)間T，信號(hào)完成一個(gè)循環(huán)的變化。用數(shù)學(xué)函數(shù)式表示為

(4.1-1)周期：周期信號(hào)完成一個(gè)循環(huán)所需要的時(shí)間T稱為周期。頻率：周期信號(hào)在單位時(shí)間內(nèi)完成的循環(huán)次數(shù)稱為頻率，用f表示。頻率的單位是赫茲(Hz)。

頻率與周期的關(guān)系為(4.1-2)正弦周期信號(hào)：

正弦周期電流、電壓是時(shí)間的函數(shù)，二者分別表示為(4.1-3)

(4.1-4)赫茲

由以上兩式不難看出，不同的時(shí)刻，電流、電壓的數(shù)值不同。所以，函數(shù)表達(dá)式也稱為瞬時(shí)值表示式。例如，t1時(shí)刻的電流值就是將t＝t1代入（4.1-3）式求得的函數(shù)值

由已知函數(shù)表達(dá)式可畫出函數(shù)圖形，圖4.1-1（a）就是式（4.1-3）的函數(shù)圖形，稱為電流i的波形。圖4.1-1正弦電流波形與參考方向4.1正弦交流電的基本概念下一頁(yè)前一頁(yè)第4-4

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頁(yè)退出4.1正弦交流電的基本概念

參考方向：由波形圖可以看出電流的瞬時(shí)值有時(shí)為正值，有時(shí)為負(fù)值。電流數(shù)值的正與負(fù)在設(shè)定參考方向的條件下才有意義，因此對(duì)正弦電流也必須設(shè)定參考方向。

若設(shè)定了正弦電流的參考方向，如圖（4.1-1）（b）所示，就可根據(jù)正弦電流的表示式或波形圖來(lái)確定其實(shí)際方向：例如圖4.1-1（a）中，在t＝0～t1時(shí)間區(qū)間電流值為正值，說(shuō)明在這段時(shí)間區(qū)間電流的實(shí)際方向與圖（b）所設(shè)i的參考方向一致；而在t＝t1～t2時(shí)間區(qū)間電流值為負(fù)值，說(shuō)明在該段時(shí)間區(qū)間電流的實(shí)際方向與所設(shè)參考方向相反。

觀察式(4.1-3)看正弦交流電三要素1、振幅Im:正弦電流i在整個(gè)變化過(guò)程中能達(dá)到的最大值。

2、初相位ψi：（ωt＋ψi）稱為電流i的瞬時(shí)相位角，單位可用弧度（rad）或度（o）來(lái)表示。t=0時(shí)的瞬時(shí)相位即是初始相位。初相與所選的時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)。如果用余弦函數(shù)表示的正弦量的正最大值發(fā)生在時(shí)間起點(diǎn)（t＝0）之前，如圖4.1-1（a）所示，則ψi為正值；如果正最大值發(fā)生在時(shí)間起點(diǎn)之后，則ψi為負(fù)值。習(xí)慣規(guī)定初相角的絕對(duì)值在0～π之間，即｜ψi｜≤πrad或｜ψi｜≤180o。

3、角頻率ω：?jiǎn)挝粫r(shí)間正弦量變化的弧度數(shù)。單位是弧度/秒(rad)。

正弦量變化一周，瞬時(shí)相位變化2π弧度，有

(4.1-5)回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第4-6

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念

綜上所述，如果已知一個(gè)正弦信號(hào)的振幅、角頻率（或頻率）和初相，那么它的數(shù)學(xué)表達(dá)式或波形圖就可以完全確定下來(lái)。所以把振幅、角頻率（或頻率）和初相稱為正弦信號(hào)的三要素。

例4.1-1

圖4.1-2(a)為正弦穩(wěn)態(tài)二端電路，電流i(t)的參考方向如圖中所標(biāo)。已知i(t)=100cos(2πt-π/4)mA，試?yán)L出i(t)的波形，求出t=0.5s,1.25s時(shí)電流的瞬時(shí)值，并說(shuō)明上述時(shí)刻電流的實(shí)際方向。圖4.1-2例4.1-1用圖解由已知的i(t)表達(dá)式求得：Im=100mA，ω=2πrad/s,ψi

=-π/4。

畫i(t)波形時(shí)，縱坐標(biāo)是i，橫坐標(biāo)可以是t（單位為秒），也可以是ωt(單位為弧度)。

i(t)波形如圖4.1-2(b)所示。

將t=0.5s,1.25s分別代入i(t)表達(dá)式中，求得下一頁(yè)前一頁(yè)第4-7

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念因t=0.5s時(shí)求得的電流值為負(fù)值，故該時(shí)刻電流的實(shí)際方向與圖中所標(biāo)i(t)的參考方向相反；在t=1.25s時(shí)求得的電流值為正值，顯然該時(shí)刻電流的實(shí)際方向與參考方向相同。例4.1-2

已知正弦電壓的波形如圖4.1-3所示，試寫出u(t)的函數(shù)表達(dá)式。圖4.1-3例4.1-2用圖解

由已知的u(t)波形圖求得三要素。

振幅：Um=100V(波形峰值)

周期為(兩峰值之間的時(shí)間間隔)角頻率為初相ψ的絕對(duì)值為

(t1為距縱軸最近的最大值對(duì)應(yīng)的時(shí)間)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-8

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念考慮波形距縱軸最近的最大值在坐標(biāo)原點(diǎn)的左邊，所以初相角為正，即ψ=π/4rad。

將求得的振幅、角頻率、初相代入式(4.1-4)得

二、相位差顧名思義，相位差就是二正弦量相位之差。假設(shè)兩個(gè)正弦電壓分別為它們的相位之差稱為相位差，用φ表示，即

(4.1-6)時(shí)間t的函數(shù)，稱瞬時(shí)相位差。

正弦信號(hào)激勵(lì)下的線性時(shí)不變漸近穩(wěn)定電路中各處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都是與激勵(lì)源具有相同角頻率的正弦函數(shù)。今后遇到的大量的相位差計(jì)算問(wèn)題都是同頻率正弦量相位差的計(jì)算。將ω1=ω2=ω代入式(4.1-6)，得此時(shí)的相位差為下一頁(yè)前一頁(yè)第4-9

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念(4.1-7)兩個(gè)同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差。

在同頻率正弦量相位差計(jì)算中還經(jīng)常遇到下列四種特殊情況：(1)若φ=ψ1-ψ2=0，即ψ1=ψ2,則稱u1(t)與u2(t)同相，如圖4.1-4(a)所示。這時(shí)u1(t)與u2(t)同時(shí)到達(dá)最大值，同時(shí)到達(dá)零值，同時(shí)到達(dá)最小值。圖4.1-4同頻率相位差的四種情況(2)若φ=ψ1-ψ2＞0，即ψ1＞ψ2，則稱u1(t)超前u2(t)，或稱u2(t)滯后u1(t)。假設(shè)ψ1＞0,ψ2＜0，u1(t)，u2(t)的波形如圖4.1-4(b)所示。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-10

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念(3)若φ=ψ1-ψ2=±π，則稱u1(t)與u2(t)反相。當(dāng)u1(t)到達(dá)最大值時(shí)，u2(t)到達(dá)最小值，波形如圖4.1-4(c)所示。(4)若φ=ψ1-ψ2=±π/2，則稱u1(t)與u2(t)正交，波形如圖4.1-4(d)所示。圖中的波形是取φ=ψ1-ψ2=-π/2時(shí)畫出的。

例4.1-3

同頻率的兩個(gè)正弦電壓分別為試求它們的相位差φ，并說(shuō)明兩電壓超前、滯后的情況。解由u1(t)、u2(t)的函數(shù)表達(dá)式可知：

ψ1=75°,ψ2=-30°

所以相位差φ=ψ1-ψ2=75°-(-30°)=105°

說(shuō)明：電壓u1(t)超前電壓u2(t)105°,或說(shuō)u2(t)滯后u1(t)的角度為105°。例4.1-4

同頻率正弦電壓、電流分別為試求相位差φ，并說(shuō)明兩正弦量相位超前、滯后情況。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-11

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念解此例欲說(shuō)明:(1)兩正弦量的相位比較時(shí)，不僅兩電壓之間或兩電流之間可以進(jìn)行相位比較，正弦電壓與電流之間亦可進(jìn)行相位比較。

(2)對(duì)于求相位差，要求兩正弦量的函數(shù)形式應(yīng)化為一致(例如統(tǒng)一化為本書選用的余弦函數(shù)表示形式)。(3)各正弦量的初相角要用統(tǒng)一的單位。

這樣，本例中電流i(t)應(yīng)改寫為i(t)=5cos(ωt+40°-90°)=5cos(ωt-50°)mA電壓u(t)改寫為

u(t)=20cos(ωt+60°)V顯然

ψu(yù)=60°,ψi=-50°所以相位差

φ=ψu(yù)-ψi=60°-(-50°)=110o

由計(jì)算得到的φ值可以判定：電壓u(t)超前電流i(t)的角度為110°，或說(shuō)電流i(t)滯后電壓u(t)的角度為110°。三、有效值

在電路分析中，不僅需要了解正弦信號(hào)各瞬時(shí)的數(shù)值，而且更關(guān)注它們的平均效果。業(yè)內(nèi)人士用稱做有效值的物理量來(lái)表征這種效果。正弦信號(hào)的有效值是從能量等效的角度定義的。

如圖4.1-5(a)、(b)所示，令正弦電流i和直流電流I分別通過(guò)兩個(gè)阻值相等的電阻R，如果在相同的時(shí)間T(T為正弦信號(hào)的周期)內(nèi)，兩個(gè)電阻消耗的能量相等，那么定義該直流電流的值為正弦電流i的有效值，記為I。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-12

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念圖4.1-5定義有效值用圖由圖4.1-5(a)可知，電阻R消耗的功率為

T時(shí)間內(nèi)消耗的能量為

(4.1-8)由圖4.1-5(b)可知，電阻R消耗的功率為T時(shí)間內(nèi)消耗的能量為(4.1-9)令式(4.1-8)與式(4.1-9)相等，即解得(4.1-10)正弦電流的有效值I是正弦電流函數(shù)i(t)的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值再取平方根，所以有效值也稱為方均根值。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-13

頁(yè)4.1正弦交流電的基本概念類似地，可得正弦電壓的有效值為(4.1-11)說(shuō)明:(1)式(4.1-10)和式(4.1-11)不僅適用于正弦信號(hào)，而且也適用于任何波形的周期電流和周期電壓。(2)若將正弦電流的表達(dá)式代入(4.1-10)式，得同理，可得正弦電壓的有效值與振幅值的關(guān)系為(4.1-12)(4.1-13)只適用于正弦交流電流、電壓！下一頁(yè)前一頁(yè)第4-14

頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法

在分析線性時(shí)不變電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，經(jīng)常遇到正弦信號(hào)的代數(shù)運(yùn)算和微分、積分運(yùn)算，利用三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行正弦信號(hào)的這些運(yùn)算相當(dāng)麻煩。為此，借用復(fù)數(shù)表示正弦信號(hào)，從而使正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計(jì)算得到簡(jiǎn)化。一、復(fù)數(shù)的兩種表示形式及四則運(yùn)算復(fù)習(xí)1、復(fù)數(shù)的兩種表示

代數(shù)型

指數(shù)型2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

圖4.2-1復(fù)數(shù)的幾何表示對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)使用復(fù)數(shù)的代數(shù)型，實(shí)部加、減實(shí)部，虛部加、減虛部。對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘、除運(yùn)算時(shí)使用復(fù)數(shù)的指數(shù)型，模值相乘、除，輻角相加、減。提醒！若遇兩指數(shù)型表示的復(fù)數(shù)相加、減，應(yīng)先將兩復(fù)數(shù)由指數(shù)型化為代數(shù)型，然后再進(jìn)行加、減運(yùn)算。若遇代數(shù)型表示的兩復(fù)數(shù)相乘、除，應(yīng)先將兩復(fù)數(shù)由代數(shù)型化為指數(shù)型，然后再進(jìn)行乘、除運(yùn)算。(4.2-1)(4.2-2)

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頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法二、相量代表正弦交流電

歐拉公式令代入歐拉公式，有則復(fù)值函數(shù)Imej(ωt+ψi)亦可應(yīng)用歐拉公式展開，即(4.2-3)顯然，上式的左端即是復(fù)值函數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式，右端即是復(fù)值函數(shù)的代數(shù)函數(shù)形式。一個(gè)復(fù)數(shù)可幾何表示為復(fù)平面上的一個(gè)靜矢量(不隨時(shí)間動(dòng))，如圖4.2-1中的復(fù)數(shù)A。一個(gè)復(fù)值函數(shù)在復(fù)平面上可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量表示，如圖4.2-2所示。假設(shè)某正弦電流為(4.2-4)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-16

頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法由上式可看出電流i(t)與復(fù)值函數(shù)Imej(ωt+ψi)存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，換句話說(shuō)，能找到Imej(ωt+ψi)，取實(shí)部就得i(t)。雖然它們二者不是相等的關(guān)系，但卻有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在各種運(yùn)算中可以用Imej(ωt+ψi)作為i(t)的“全權(quán)”代表?？紤]同頻率的旋轉(zhuǎn)矢量它們逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度是一樣的，所以無(wú)論何時(shí)，各旋轉(zhuǎn)矢量的相對(duì)位置不變，再聯(lián)系3．6節(jié)給出的重要結(jié)論，今后我們遇到的大都是同頻率正弦電流、電壓的計(jì)算問(wèn)題，這種情況可以把“全權(quán)代表”簡(jiǎn)化，即“大家”都不必旋轉(zhuǎn)了就用各自開始時(shí)刻的位置(t=0)的矢量作為各自的“全權(quán)”代表參予各種運(yùn)算，即將式(4.2-4)進(jìn)一步改寫為(4.2-5)式中

(4.2-6)為了把這樣一個(gè)代表正弦量的復(fù)數(shù)與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，將它稱作相量，并在符號(hào)上方加一點(diǎn)以示區(qū)別。

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頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法

是復(fù)數(shù)，它的模正好是正弦電流的振幅，輻角是正弦電流的初相位,這正是我們感興趣的正弦信號(hào)的兩個(gè)要素。把它幾何表示在復(fù)平面上，稱為相量圖，如圖4.2-3所示。對(duì)于任意時(shí)刻t，旋轉(zhuǎn)相量與實(shí)軸的夾角為(ωt+ψi)，它在實(shí)軸上的投影正好是正弦電流i(t)=Imcos(ωt+ψi)在這一瞬間的值。式(4.2-5)中的ejωt稱為旋轉(zhuǎn)因子，它的模值為1，輻角ωt隨時(shí)間成正比增加。乘以ejωt

表示式

是一個(gè)隨時(shí)間t旋轉(zhuǎn)的相量。

如果把這個(gè)旋轉(zhuǎn)相量在實(shí)軸上的投影按照時(shí)間逐點(diǎn)描繪出來(lái)，就得到一條余弦曲線，如圖4.2-4所示。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-18

頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法上述幾何意義用公式表示，就是取旋轉(zhuǎn)相量的實(shí)部得到正弦電流，即

當(dāng)旋轉(zhuǎn)相量旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，余弦曲線正好變化一周。也就是說(shuō)，旋轉(zhuǎn)相量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度ω就是正弦信號(hào)的角頻率。用類似方法可以說(shuō)明旋轉(zhuǎn)相量在虛軸上的投影為正弦曲線。

同樣地，正弦電壓可表示為

式中(4.2-7)稱為電壓相量。說(shuō)明:(1)今后，只要已知正弦信號(hào)就可以直接寫出它的相量。反之，若已知代表正弦信號(hào)的相量，也可直接寫出它的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式，其中取實(shí)部的過(guò)程可以省去。例如，已知角頻率為ω的電流相量寫電流時(shí)間函數(shù)

這里用雙向箭頭符號(hào)，不能寫等號(hào)！下一頁(yè)前一頁(yè)第4-19

頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法再如，已知電壓時(shí)間函數(shù)寫相量(2)相量與正弦信號(hào)之間只能說(shuō)是存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，或變換關(guān)系，不能說(shuō)相量等于正弦量。相量必須乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt并取實(shí)部后才等于所對(duì)應(yīng)的正弦信號(hào)。

(3)相量與物理學(xué)中的向量是兩個(gè)不同的概念。相量是用來(lái)代表時(shí)間域中的正弦量，而向量是表示空間內(nèi)具有大小和方向的物理量(如力、電場(chǎng)強(qiáng)度等)。(4)相量也可用正弦量有效值與初相構(gòu)成的復(fù)數(shù)來(lái)表示，即(4.2-9)例4.2-1

試寫出下列各電流的相量，并畫出相量圖：(1)i1(t)=5cos(100πt+60°)A

(2)i2(t)=10sin(100πt+30°)A(3)i3(t)=-4cos(100πt+45°)A

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頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法

解

(1)

(2)由于本書規(guī)定1∠0°代表cos(ωt)作參考相量，所以決定初相角時(shí)應(yīng)先把正弦函數(shù)(sin)變?yōu)橛嘞液瘮?shù)(cos)后再確定。故本例i2(t)應(yīng)改寫為i2(t)=10cos(100πt+30°-90°)=10cos(100πt-60°)A(3)先把i3(t)改寫為

i3(t)=4cos(100πt+45°-180°)=4cos(100πt-135°)A下一頁(yè)前一頁(yè)第4-21

頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法

畫相量圖首先應(yīng)該畫出參考坐標(biāo)系。這個(gè)坐標(biāo)系可以用相互垂直的實(shí)軸和虛軸來(lái)表示，也可以只畫出原點(diǎn)和一個(gè)表示參考相量的射線。前者實(shí)軸的方向即為參考相量的方向。本例中三個(gè)電流的代表相量的相量圖如圖4.2-5所示。圖4.2-5例4.2-1的相量圖例4.2-2

求下列各電壓相量代表的電壓瞬時(shí)值表達(dá)式(已知ω=10rad/s)：解

(1)因是振幅相量，故U1m=50V，ψu(yù)1=-30°(2)因是有效值相量，故

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頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法例4.2-3

正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖4.2-6(a)

所示，已知電流i1和i2分別為圖4.2-6例4.2-3用圖試求電流i(t)。解

由i1、i2時(shí)域函數(shù)寫二者各自的相量正弦電流i1和i2可表示為由此可得式中電流i的相量i的角頻率也是ω下一頁(yè)前一頁(yè)第4-23

頁(yè)4.2正弦交流電的相量表示法同頻率的正弦信號(hào)相加，其結(jié)果仍是頻率相同的正弦信號(hào)。計(jì)算(借助計(jì)算器)由可寫得對(duì)應(yīng)電流的時(shí)間函數(shù)為i(t)=11.18cos(ωt-26.6°)A由于相量和代表頻率相同的正弦電流，因此可以把它們畫在同一個(gè)復(fù)平面上，如圖4.2-5(b)所示。是兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，故在復(fù)平面上可按照平行四邊形法則求得相量。

考慮

利用作圖的方法求相量的缺點(diǎn)是精度低，但它的優(yōu)點(diǎn)是各相量之間的相位關(guān)系在圖上表示得十分清楚。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-24

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

為了利用相量的概念來(lái)簡(jiǎn)化正弦穩(wěn)態(tài)分析，這里我們先討論R、L、C三種基本元件的電壓與電流關(guān)系的相量形式和KCL、KVL兩個(gè)定律的相量形式。一、R、L、C的電壓、電流關(guān)系的相量形式

1.電阻元件

假設(shè)電阻R兩端的電壓與電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，如圖4.3-1(a)所示。并設(shè)通過(guò)電阻的正弦電流

圖4.3-1電阻元件

(4.3-1)由歐姆定律得（4.3-2）上式表明：電阻兩端電壓u和電流i的頻率相同，電壓的振幅Um=RIm,而且電壓與電流同相位，即(4.3-3)由式(4.3-1)、(4.3-2)分別寫相量為

(4.3-4)

(4.3-5)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-25

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

將式(4.3-3)代入式(4.3-5)并考慮式(4.3-4)，得電阻元件電壓、電流關(guān)系的相量形式為(4.3-6a)

(4.3-6b)

由式(4.3-6)可畫出電阻元件的相量模型，如圖4.3-1(b)所示。

電阻元件上的電流、電壓波形和相量圖如圖4.3-2(a)和(b)所示。u，i“步調(diào)”一致，同時(shí)達(dá)最大值、最小值！電阻上電壓、電流相量處于同一射線上！4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

下一頁(yè)前一頁(yè)第4-26

頁(yè)

2.電感元件

設(shè)圖4.3-3(a)中電感元件上電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，則有(4.3-7)

設(shè)正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)電感電流為(4.3-8)

將式(4.3-8)代入式(4.3-7)，得(4.3-9)

式中((4.3-10)正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件的電壓與電流是同頻率的正弦量。

參考方向關(guān)聯(lián)，u超前i90。！下一頁(yè)前一頁(yè)第4-27

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

電感上電壓、電流振幅(或有效值)之間的關(guān)系為

(4.3-11)式中XL=ωL=2πfL具有電阻的量綱，稱為感抗。它隨頻率變化的關(guān)系，如圖4.3-4所示。由式(4.3-8)、(4.3-9)分別寫得電流、電壓相量為(4.3-12)(4.3-13)

將式(4.3-10)代入式(4.3-13)，得再將式(4.3-12)代入上式并考慮 ，得電感元件電壓、電流相量關(guān)系式為

(4.3-14)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-28

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

或(4.3-15)電感元件上電壓、電流波形及相量關(guān)系圖如圖4.3-5所示。圖4.3-5電感元件上電壓、電流波形及相量關(guān)系圖u、i參考方向關(guān)聯(lián)條件下，從波形圖到相量圖均顯示為電壓u超前電流i(π/2)弧度。3.電容元件

設(shè)圖4.3-6(a)中電容元件的電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，則有

圖4.3-6電容元件

(4.3-16)

下一頁(yè)前一頁(yè)第4-29

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

設(shè)正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)電容兩端電壓為(4.3-17)將式(4.3-17)代入式(4.3-16)，得(4.3-18)

式中(4.3-19)由式(4.3-17)、(4.3-18)分別寫得電壓、電流相量(4.3-20)

(4.3-21)

參考方向關(guān)聯(lián)，i超前u90。！正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容元件上的電流與電壓是同頻率的正弦量。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-30

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

再將式(4.3-19)代入上式并考慮，得電容元件的電流、電壓相量關(guān)系為(4.3-22)

也常寫為(4.3-23a)

(4.3-23b)式(4.3-23)中(4.3-24)稱為電容的容抗容抗的大小，即容抗的模值為(4.3-25)

由式(4.3-22)可以看出，電容元件的電流相量超前電壓相量90°。

它們的振幅(或有效值)之間的關(guān)系為(4.3-26)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-31

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

電容元件的相量模型如圖4.3-6(b)所示。由式(4.3-25)畫容抗模｜XC｜的頻率特性曲線如圖4.3-7所示。圖4.3-7｜XC｜的頻率特性曲線角頻率的反比曲線！特別提醒！(1)容抗的模值｜XC｜與C和ω成反比。電容一定,頻率越低，｜XC｜的值越大，反之越小。

f＝0→｜XC｜＝∞，C相當(dāng)于開路。

f＝∞→｜XC｜＝0，C相當(dāng)于短路。(2)實(shí)際工程中用電容元件隔斷直流電，用大容量電容旁路高頻分量，就是基于上述理論基礎(chǔ)。電容元件的正弦電壓和電流的波形圖及它們的相量圖如圖4.3-8（a）和（b）所示。圖4.3-8電容元件的電流、電壓波形圖和相量圖下一頁(yè)前一頁(yè)第4-32

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二、KCL、KVL的相量形式

對(duì)于任意時(shí)刻，KCL的時(shí)域表達(dá)式為例如，對(duì)于圖4.3-9中的節(jié)點(diǎn)A，有圖4.3-9節(jié)點(diǎn)A設(shè)正弦穩(wěn)態(tài)電路中角頻率為ω的3個(gè)電流分別為

(4.3-27)則相應(yīng)的相量分別為(4.3-28)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-33

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式用相量表示正弦電流并代入KCL方程，可得根據(jù)復(fù)值函數(shù)取實(shí)部之和等于復(fù)值函數(shù)相加之后取實(shí)部的運(yùn)算規(guī)則，即有上式對(duì)任意時(shí)間t都等于零，所以分別取t=0和t=(π/2ω)代入上式，也應(yīng)有

上兩式中小括號(hào)內(nèi)3個(gè)相量代數(shù)和仍是復(fù)數(shù)，該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部都等于零，則該復(fù)數(shù)一定等于零，所以必有下一頁(yè)前一頁(yè)第4-34

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式上式表明，流出(或流入)節(jié)點(diǎn)A的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零。對(duì)于任意節(jié)點(diǎn)，則有(4.3-29a)或

(4.3-29b)

同理，可得KVL的相量形式為(4.3-30a)或

(4.3-30b)式(4.3-29)就是KCL的相量形式。KCL表明：對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任意節(jié)點(diǎn)，流出(或流入)該節(jié)點(diǎn)的各支路電流相量的代數(shù)和恒等于零KVL表明：對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任意回路，沿該回路按順時(shí)針(或逆時(shí)針)繞行一周，各段電路電壓相量的代數(shù)和恒等于零。式(4.3-30)就是KVL的相量形式。例4.3-1

圖4.3-10(a)所示為RL串聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知R=50Ω,L=50μH,us(t)=10cos(106t)V。求電流i(t)，并畫出相量圖。

下一頁(yè)前一頁(yè)第4-35

頁(yè)4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式

圖4.3-10例4.3-1用圖解

設(shè)uR(t)、uL(t)及i(t)的相量分別為、及。激勵(lì)源us(t)的相量為由KVL,得

由電阻、電感元件的相量關(guān)系分別得到二者各自的相量為代入上式，得

所以故得電流

相量圖如圖4.3-10(b)所示。

這個(gè)例子，使我們初步感受到相量法計(jì)算比時(shí)域里計(jì)算簡(jiǎn)單、快捷！4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式下一頁(yè)前一頁(yè)第4-36

頁(yè)例4.3-2

圖4.3-11(a)所示為RLC并聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，圖中各電流表視為理想電流表(內(nèi)阻為零)。已知電流表A1、A2、A3的讀數(shù)分別為6A、3A、11A。試求電流表A的讀數(shù)應(yīng)為多少?圖4.3-11例4.3-2用圖解

首先明確:(1)正弦穩(wěn)態(tài)交流電路中，電流表(或電壓表)的讀數(shù)一般是有效值。

(2)求解這類問(wèn)題時(shí)，選一個(gè)參考相量，再畫出各相量求解較為方便。(3)所謂參考相量,即假定該相量的初相位為0°。(4)并聯(lián)電路，各元件承受的是同一電壓，所以常選電壓相量作為參考相量。

(5)串聯(lián)電路，流經(jīng)各元件的電流是同一電流，故常選電流相量作為參考相量。本問(wèn)題選作為參考相量，即設(shè)各電流的參考方向如圖4.3-11(a)中所標(biāo)。根據(jù)R、L、C各元件上相量關(guān)系式并代入已知電流數(shù)值，得各電流相量由KCL得

故可知電流表A的讀數(shù)為10A。各電流及電壓的相量圖如圖4.3-11（b）所示。

這類問(wèn)題的求解亦可根據(jù)上述分析，先作出相量圖，應(yīng)用作圖求相量代數(shù)和（平行四邊形法則）得到結(jié)果。4.3基本元件VCR的相量形式和KCL、KVL的相量形式下一頁(yè)前一頁(yè)第4-37

頁(yè)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-38

頁(yè)4.4阻抗與導(dǎo)納一、阻抗與導(dǎo)納概念

圖4.4-1(a)所示為無(wú)源二端正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)端口電壓相量和電流相量參考方向關(guān)聯(lián)。圖4.4-1無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)及其阻抗端口電壓相量與電流相量的比值定義為阻抗，并用Z表示。即或1、阻抗概念(4.4-1a)(4.4-1b)其模型如圖4.4-1(b)所示。式(4.4-1)也可改寫成 (4.4-2a) (4.4-2b)或

式(4.4-2)與電阻電路中的歐姆定律在形式上相似，只是電流和電壓都用相量表示，稱為歐姆定律的相量形式。由式(4.4-1)容易看出，阻抗的單位為歐姆，并且它一般是復(fù)數(shù)。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-39

頁(yè)將代入阻抗定義式，有稱為阻抗模

稱為阻抗角(4.4-3)將式(4.4-3)化為代數(shù)形式，有(4.4-6)式中R=|Z|cosφZ(yǔ)

(4.4-7)稱為阻抗Z中的電阻部分X=|Z|sinφZ(yǔ)

(4.4-8)稱為阻抗Z中的電抗部分

Z中有阻又有抗，稱它為阻抗“名符其實(shí)”呦！下面討論3種情況：(1)當(dāng)X＞0時(shí)，為感抗,電抗為感抗的阻抗Z，稱為感性阻抗,阻抗角大于零。(2)當(dāng)X<0時(shí)，為容抗,電抗為容抗的阻抗Z，稱為容性阻抗,阻抗角小于零。(3)當(dāng)X=0時(shí)，電抗為零的阻抗Z，稱為純阻阻抗,阻抗角等于零。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-40

頁(yè)如果無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)分別為單個(gè)元件R、L、C，設(shè)它們相應(yīng)的阻抗分別為ZR、ZL、ZC，由這些元件的相量關(guān)系式并對(duì)照阻抗定義式,容易求得(4.4-9)(4.4-10)(4.4-11)2、導(dǎo)納概念端口電流相量與電壓相量的比值定義為導(dǎo)納，并用Y表示。即參看圖4.4-1(a)，端口電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)條件下定義導(dǎo)納。(4.4-12a)

或(4.4-12b)由導(dǎo)納、阻抗的定義式，顯然二者有互為倒數(shù)關(guān)系，即(4.4-13)這里是電感阻抗的表示符號(hào)，負(fù)載阻抗亦用過(guò)這個(gè)符號(hào)，但二者含義有別。導(dǎo)納Y的單位是西門子(S)，Y一般也是復(fù)數(shù)。將

代入導(dǎo)納定義式，得下一頁(yè)前一頁(yè)第4-41

頁(yè)4.4阻抗與導(dǎo)納

稱為導(dǎo)納模值

稱為導(dǎo)納角(4.4-14)

當(dāng)無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)分別為單個(gè)元件R、L和C時(shí)，設(shè)相應(yīng)的導(dǎo)納分別為YR、YL、YC，由這些元件的相量關(guān)系式并對(duì)照導(dǎo)納定義式,容易求得

(4.4-17)(4.4-18)(4.4-19)

由上述各式可知：電阻元件的導(dǎo)納只有電導(dǎo)部分，無(wú)電納部分。式中,BL

=-1/ωL，BC=ωC，分別稱為感納和容納，單位均為西門子(S)。有些場(chǎng)合不分感納和容納，統(tǒng)稱電納。

式(4.4-14)是導(dǎo)納Y的極坐標(biāo)表示形式，若化為代數(shù)形式，有(4.4-20)4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-42

頁(yè)式中(4.4-21)稱為導(dǎo)納Y中的電導(dǎo)部分(4.4-22)稱為導(dǎo)納Y中的電納部分Y中有導(dǎo)又有納，所以稱它為導(dǎo)納也“實(shí)致名歸”呦！下面也討論3種情況：(1)B＞0時(shí)，為容納,電納為容納的導(dǎo)納Y，稱為容性導(dǎo)納。導(dǎo)納角φY＞0。(2)B＜0時(shí)，為感納,電納為感納的導(dǎo)納Y，稱為感性導(dǎo)納。導(dǎo)納角φY＜0。(3)當(dāng)B=0時(shí)，電納為零的導(dǎo)納Y，稱為純導(dǎo)性導(dǎo)納。導(dǎo)納角φY=0。式(4.4-12)也可改寫為

(4.4-23a)或(4.4-23b)上式為正弦穩(wěn)態(tài)電路中歐姆定律相量形式的另一種表示式。二、阻抗和導(dǎo)納的串聯(lián)與并聯(lián)等效

在引入了相量、阻抗和導(dǎo)納概念以后，正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法與電阻電路完全雷同。因此，對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路中阻抗、導(dǎo)納的串、并聯(lián)，只列出了重要的結(jié)論，其證明的方法與電阻電路相似，這里不再重復(fù)。1、阻抗串聯(lián)4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-43

頁(yè)

設(shè)有n個(gè)阻抗串聯(lián)，各電壓、電流參考方向如圖4.4-2中所標(biāo)，則它的等效阻抗為

(4.4-24)分壓公式為(4.4-25)阻抗串聯(lián)的等效阻抗等于相串聯(lián)阻抗的代數(shù)和,其等效阻抗中的電阻、電抗部分分別等于相串聯(lián)各阻抗的電阻、電抗部分的代數(shù)和。阻抗串聯(lián)分壓與復(fù)阻抗成正比。分電壓的有效值有可能大于總電壓的有效值，為什么？請(qǐng)思考！使用分壓公式時(shí)還應(yīng)注意：①各電壓的參考方向。②復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則及計(jì)算器的使用。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-44

頁(yè)2、導(dǎo)納并聯(lián)

如圖4.4-3所示n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)，各電流、電壓參考方向如圖中所標(biāo)，則它的等效導(dǎo)納為(4.4-26)分流公式為(4.4-27)導(dǎo)納并聯(lián)的等效導(dǎo)納等于相并聯(lián)導(dǎo)納的代數(shù)和,其等效導(dǎo)納中的電導(dǎo)、電納部分分別等于相并聯(lián)各導(dǎo)納的電導(dǎo)、電納部分的代數(shù)和。導(dǎo)納并聯(lián)分流與復(fù)導(dǎo)納成正比。分電流的有效值有可能大于總電流的有效值，為什么？請(qǐng)思考！使用分流公式時(shí)還應(yīng)注意：①各電流的參考方向。②復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則及計(jì)算器的使用。3、常用兩阻抗并聯(lián)情況

對(duì)于經(jīng)常使用的兩個(gè)阻抗Z1和Z2相并聯(lián)的情況，考慮到阻抗與導(dǎo)納的互為倒數(shù)的關(guān)系，由式(4.4-26)容易推導(dǎo)得等效阻抗為(4.4-28)由式(4.4-27)可推導(dǎo)得分流公式為(4.4-29)與兩電阻并聯(lián)求等效電阻的公式完全雷同與兩電阻并聯(lián)分流求分電流的公式完全雷同請(qǐng)求j10Ω與（-j10）Ω兩阻抗并聯(lián)的等效阻抗等于多大？j10Ω阻抗與阻抗Z并聯(lián)分流,已知總電流I=3A，Z中電流I1=30A，求Z=？4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-45

頁(yè)下一頁(yè)前一頁(yè)第4-46

頁(yè)4.4阻抗與導(dǎo)納三、阻抗串聯(lián)模型和并聯(lián)模型的等效互換

1、串聯(lián)形式等效為并聯(lián)形式不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)兩個(gè)端子間的等效阻抗最簡(jiǎn)形式相當(dāng)于一個(gè)電阻和一個(gè)電抗元件相串聯(lián)，如圖4.4-4(a)所示，可表示為Z=R+jX

而用導(dǎo)納表示為式中(4.4-30)(4.4-31)若已知(a)圖串聯(lián)形式中的R和X,可求得并聯(lián)形式中的未知參數(shù)G和B。由求得的G和B畫并聯(lián)形式的結(jié)構(gòu)圖(b)。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-47

頁(yè)這里需要注意:(1)等效并聯(lián)模型電路中的電導(dǎo)G、電納B并不分別是串聯(lián)模型電路中電阻R、電抗X的倒數(shù)，它們的數(shù)值與R、X均有關(guān),當(dāng)然也與頻率有關(guān)。

(2)也常遇到：已知頻率及用元件參數(shù)標(biāo)注的串聯(lián)形式等效為也用元件參數(shù)標(biāo)注的并聯(lián)形式這種題型。其等效過(guò)程由已知頻率及L或C計(jì)算出XL或XC(R勿計(jì)算)套式(4.4-30)、(4.4-31)算出G和B應(yīng)用倒數(shù)關(guān)系求出R’和X’由已知頻率及X’算出L’或C’由R’及L’或C’畫并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖2、并聯(lián)形式等效為串聯(lián)形式

若已知某無(wú)源一端口網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納為Y=G+jB

它的并聯(lián)模型電路形式如圖4.4-5(a)所示4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-48

頁(yè)

該一端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗為式中(4.4-32)(4.4-33)若已知(a)圖并聯(lián)形式中的G和B，可求得串聯(lián)形式中的未知參數(shù)R和X由求得的R和X畫串聯(lián)形式的結(jié)構(gòu)圖(b)也需要注意:(1)等效串聯(lián)模型電路中的電阻R、電抗X并不分別是并聯(lián)模型電路中電導(dǎo)G、電納B的倒數(shù)，它們的數(shù)值與G、B均有關(guān)，當(dāng)然也與頻率有關(guān)。(2)式（4.4-30）～式（4.4-33）中的G、B、R、X都是ω的函數(shù)，只有在某一指定頻率時(shí)才能確定G、R的數(shù)值和B、X的數(shù)值及其正、負(fù)號(hào)。等效相量模型只能用來(lái)計(jì)算在該頻率下的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-49

頁(yè)例4.4-1

圖4.4-6(a)為RLC串聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，角頻率為ω，求ab端的等效阻抗Z。

解

用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，常常需要畫出電路的相量模型。所謂電路的相量模型，就是將時(shí)域模型電路中各元件用它們的相量模型表示，標(biāo)注阻抗值或?qū)Ъ{值，各已知的或未知的電壓、電流均用其相量標(biāo)注，電路結(jié)構(gòu)及各電壓、電流參考方向均與時(shí)域模型電路相同。圖4.4-6(a)的相量模型電路如圖4.4-6(b)所示。由式(4.4-24)得ab端的等效阻抗(4.4-34) 式中稱為電抗，它等于相串聯(lián)的感抗與容抗的代數(shù)和。將阻抗Z寫為指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式：(4.4－35)式中(4.4-36)4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-50

頁(yè)RLC串聯(lián)電路對(duì)ab端來(lái)說(shuō)還可用圖(c)簡(jiǎn)潔的模型表示。由于電抗X＝XL＋XC＝ωL－(1/ωC)與頻率有關(guān)，因此，在不同的頻率下，阻抗有不同的特性。下面分別予以說(shuō)明。（1）當(dāng)X＞0即超前

這時(shí)阻抗呈電感性，原電路可以等效成電阻與電感相串聯(lián)的電路。（2）當(dāng)X＝0即

同相位。阻抗Z呈電阻性。這時(shí)，原電路可等效成電阻R。（3）當(dāng)X＜0即

滯后這時(shí)阻抗呈電容性，原電路可以等效成電阻與電容相串聯(lián)的電路。例4.4-2

圖4.4-6電路中，已知R=990Ω,L=100mH,C=10μF。(1)分別求當(dāng)角頻率ω=102rad/s,103rad/s,104rad/s時(shí)，ab端的等效阻抗Z,并說(shuō)明各種情況的阻抗性質(zhì)。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-51

頁(yè)(2)若試分別求電壓uR(t)、uL(t)、uC(t)。解(1)參見圖4.4-6(a)、(b)，等效阻抗為當(dāng)ω=102rad/s時(shí)，此時(shí)阻抗Z呈容性。當(dāng)ω=103rad/s時(shí)，此時(shí)阻抗Z呈阻性。當(dāng)ω=104rad/s時(shí)，此時(shí)阻抗Z呈感性。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-52

頁(yè)(2)由給出u(t)的函數(shù)表達(dá)式寫出相量為當(dāng)

時(shí)，已經(jīng)求得

，由相量形式的歐姆定律求得電流相量為

故由求得的相量直接寫出對(duì)應(yīng)的各時(shí)間函數(shù)為4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-53

頁(yè)例4.4-3

圖4.4-7(a)為GCL并聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路，角頻率為ω，求ab端的等效導(dǎo)納Y。解GCL并聯(lián)電路的相量模型如圖4.4-7(b)所示。圖中：由式(4.4-26)得ab端的等效導(dǎo)納為(4.4-37)式中，

稱為電納，它等于相并聯(lián)的容納與感納的代數(shù)和。

將導(dǎo)納Y寫為指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式：(4.4-38)式中(4.4-39)4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-54

頁(yè)GCL并聯(lián)電路對(duì)ab端來(lái)說(shuō)亦可用圖(c)簡(jiǎn)潔的模型表示。由于電納與頻率有關(guān)，因此，在不同的頻率下，導(dǎo)納有不同的特性。下面分別予以說(shuō)明:（1）當(dāng)B＞0即

超前這時(shí)導(dǎo)納Y呈電容性

。原電路可以等效成電導(dǎo)G與電容C相并聯(lián)的電路。

（2）當(dāng)B＝0即同相。導(dǎo)納Y呈電導(dǎo)性。這時(shí)，原電路可等效成電導(dǎo)G。（3）當(dāng)B＜0即滯后這時(shí)導(dǎo)納Y呈電感性，原電路可以等效成電導(dǎo)G與電感L相并聯(lián)的電路。例4.4-4

已知圖5.4-8(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路的角頻率ω=100rad/s,求ab端等效阻抗Z。解法一

對(duì)于多個(gè)元件并聯(lián)形式的正弦穩(wěn)態(tài)電路，一般應(yīng)用導(dǎo)納計(jì)算比較方便。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-55

頁(yè)

圖4.4-8例4.4-4用圖畫導(dǎo)納形式的相量模型電路如圖4.4-8(b)所示。由式(4.4-26)得ab端等效導(dǎo)納為所以感納為負(fù)值呦！4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-56

頁(yè)解法二對(duì)于多個(gè)元件相并聯(lián)的正弦穩(wěn)態(tài)電路，亦可畫出阻抗形式的相量模型，按兩個(gè)阻抗并聯(lián)求等效阻抗的方法，最后求得整個(gè)電路的等效阻抗。如本例：畫相量模型電路如圖4.4-8(c)所示，按兩個(gè)阻抗并聯(lián)公式計(jì)算所以該電路在ω=100rad/s時(shí)，可以等效為一個(gè)50Ω的電阻與一個(gè)200μF的電容相串聯(lián)的形式，也可以等效為一個(gè)100Ω的電阻與一個(gè)100μF的電容相并聯(lián)的形式。4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-57

頁(yè)例4.4-5

RL串聯(lián)電路如圖4.4-9(a)所示，若要求在時(shí)，把它等效成R’與L′之并聯(lián)電路，求R’和L′的大小。

解

已知串聯(lián)電路形式，要等效為并聯(lián)電路形式，一般先對(duì)已知的串聯(lián)電路在一定頻率下求得阻抗Z，再由Y=1/Z求得Y，由Y中的G與B再換算出與L′(或C’)。由圖4.4-9(a)得則導(dǎo)納為故解得4.4阻抗與導(dǎo)納下一頁(yè)前一頁(yè)第4-58

頁(yè)例4.4-6

圖4.4-10(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知R1=50Ω,R2=100Ω,C=0.1F,L=1mH,ω=105rad/s，求ab端的等效阻抗Zab。解

這是既有串聯(lián)又有并聯(lián)的混聯(lián)電路。對(duì)于阻抗串聯(lián)部分，應(yīng)用阻抗串聯(lián)等效公式(4.4-24)計(jì)算；

對(duì)于阻抗并聯(lián)部分，若只有兩個(gè)阻抗并聯(lián)，更常用兩個(gè)阻抗并聯(lián)等效公式(4.4-28)計(jì)算，若相并聯(lián)的阻抗多于兩個(gè)，一般把各相并聯(lián)阻抗換算為導(dǎo)納，應(yīng)用導(dǎo)納并聯(lián)等效公式(4.4-26)計(jì)算。

首先計(jì)算感抗與容抗：設(shè)電感支路的阻抗為Z1,R2與C串聯(lián)支路的阻抗為Z2,即相量模型電路如圖4.4-10(b)所示。由阻抗串、并聯(lián)關(guān)系得下一頁(yè)前一頁(yè)第4-59

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析正弦激勵(lì)的線性時(shí)不變漸近穩(wěn)定電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。若只求正弦穩(wěn)態(tài)電路響應(yīng)，采用本節(jié)講述的相量法分析比時(shí)域方法分析要簡(jiǎn)便得多。

畫出電路的相量模型以后，對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析可全面借鑒電阻電路中的各種分析方法。

本節(jié)通過(guò)舉例說(shuō)明如何借鑒應(yīng)用電阻電路中學(xué)過(guò)的一些主要方法，諸如串并聯(lián)等效、網(wǎng)孔法、節(jié)點(diǎn)法、等效電源定理等，分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。一、串、并、混聯(lián)電路的分析例4.5-1已知圖4.5-1所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，求電流iab

(t)。

圖4.5-1例4.5-1用圖解(a)圖為標(biāo)準(zhǔn)(或規(guī)范)的時(shí)域模型電路，圖中所有元件都用元件參數(shù)值標(biāo)注，所有的電壓、電流(包含已知的或未知待求的）均用時(shí)間函數(shù)標(biāo)注。

首先計(jì)算出電感、電容元件的阻抗（電阻元件的阻抗就是其本身的阻值，不需要另外求。）4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析下一頁(yè)前一頁(yè)第4-60

頁(yè)由已知的正弦電壓源時(shí)間函數(shù)寫得相量畫相量模型電路如圖4.5-1(b)所示。(b)圖為標(biāo)準(zhǔn)（或規(guī)范）的相量模型電路，圖中所有元件均用它的阻抗標(biāo)注，所有電壓、電流（包含已知的或未知待求的）均用相量標(biāo)注。

設(shè)求解過(guò)程中使用到的有關(guān)電流（或電壓）的參考方向如（b）圖中所標(biāo)。應(yīng)用阻抗串、并聯(lián)等效求得由阻抗并聯(lián)分流關(guān)系，得由KCL,得4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析下一頁(yè)前一頁(yè)第4-61

頁(yè)所以由求得的響應(yīng)相量對(duì)應(yīng)寫得響應(yīng)的時(shí)間函數(shù)（頻率即用激勵(lì)源的頻率）例4.5-2圖4.5-2正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路，已知求電壓相量。圖4.5-2例4.5-2用圖解

正弦穩(wěn)態(tài)電路問(wèn)題分析中，有的給出的就是相量模型電路，所求的也是響應(yīng)相量。

設(shè)各電壓參考方向如圖4.5-2中所示。由c、d點(diǎn)向右看的等效阻抗為根據(jù)阻抗串聯(lián)分壓關(guān)系，得下一頁(yè)前一頁(yè)第4-62

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析例4.5-3

圖4.5-3所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知，求電壓源。圖4.5-3例4.5-3用圖 解

由元件電流、電壓關(guān)系得由KCL得由歐姆定律，得所以二、網(wǎng)孔、節(jié)點(diǎn)分析法用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

對(duì)于具有三個(gè)網(wǎng)孔，三個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的正弦穩(wěn)態(tài)相量模型的電路，可以由分析電阻電路的知識(shí)，分別推論出正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)孔方程與節(jié)點(diǎn)方程的一般形式，即下一頁(yè)前一頁(yè)第4-63

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析(4.5-1)

注意！(1)重點(diǎn)掌握“觀察電路，對(duì)照通式，直寫方程?！?2)自阻抗、互阻抗、自導(dǎo)納、互導(dǎo)納、電流相量、電壓相量都是復(fù)數(shù)，列寫、整理、解算過(guò)程中要特別細(xì)心。例4.5-4

圖4.5-4(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中,已知(4.5-2)要求:(1)會(huì)熟練列寫方程。(2)會(huì)解二元及二元以下方程。求電流i(t)。4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析下一頁(yè)前一頁(yè)第4-64

頁(yè)圖4.5-4例4.5-4用圖解分別求出電感、各電容的阻抗，寫出各已知電壓源的相量畫相量模型電路如圖4.5-4(b)所示。設(shè)網(wǎng)孔電流如圖4.5-4(b)中所標(biāo)。分別求自阻抗、互阻抗、等效電壓源，代入式(4.5-1)中，得網(wǎng)孔方程為（4.5-3）（4.5-4）解得下一頁(yè)前一頁(yè)第4-65

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析由圖(b)可知故得電流

例4.5-5

已知圖4.5-5(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中,求電壓u(t)。解

求出電感、電容的阻抗，寫出電流源、電壓源的相量。畫相量模型電路如圖4.5-5(b)所示。觀察圖(b)，套用式(4.5-2)列寫節(jié)點(diǎn)方程為下一頁(yè)前一頁(yè)第4-66

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析解得所以三、等效電源定理用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

圖4.5-6(a)為正弦穩(wěn)態(tài)相量模型二端含源線性網(wǎng)絡(luò)N，類似于電阻電路，可將二端網(wǎng)絡(luò)N等效為戴維寧等效源與諾頓等效源的相量模型形式，如圖4.5-6(b)、(c)所示。

下面舉例說(shuō)明如何應(yīng)用這兩個(gè)定理分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。

圖4.5-6等效電源相量模型形式例4.5-6

圖4.5-7(a)所示為正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路，求電流。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-67

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析解

(1)自a、b斷開待求支路，設(shè)開路電壓如圖4.5-7(b)所示。電流

圖4.5-7例4.5-6用圖開路電壓(2)將圖(b)中各電壓源短路變?yōu)閳D(c)，則得(3)畫出戴維寧等效電源，接上待求支路，如圖(d)所示。由KVL，得電流

下一頁(yè)前一頁(yè)第4-68

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析例4.5-7

已知圖4.5-8(a)所示穩(wěn)態(tài)電路中直流電源Us1=10V，正弦電源求電流i1(t)。圖4.5-8例4.5-7用圖

解

本問(wèn)題是求多個(gè)頻率激勵(lì)源作用下線性電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，應(yīng)用疊加定理，按同一頻率激勵(lì)源分組作分解電路，如圖4.5-8(b)、(c)、(d)所示。

圖(b)電路中，因Us1是直流電源，電感看作短路，電容看作開路，故得下一頁(yè)前一頁(yè)第4-69

頁(yè)4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路相量法分析

圖(c)電路中，正弦激勵(lì)源us2(t)的角頻率為ω=1rad/s，作與之對(duì)應(yīng)的相量模型電路，如圖(e)所示，圖中顯然則圖(d)電路中，正弦激勵(lì)源is3(t)的角頻率為4rad/s，作與之對(duì)應(yīng)的相量模型電路，如圖(f)所示，圖中由圖(f)可知，，所以

則故得圖(a)電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為多頻率信號(hào)源作用于線性正弦穩(wěn)態(tài)電路，應(yīng)用疊加定理作分解電路時(shí),一定將頻率相同的電源分為一組。4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-70

頁(yè)

正弦穩(wěn)態(tài)電路中功率和能量的計(jì)算要比電阻電路的計(jì)算復(fù)雜，需要引入一些新的概念。本節(jié)重點(diǎn)討論二端電路的平均功率、功率因數(shù)；對(duì)于瞬時(shí)功率、無(wú)功功率、視在功率、復(fù)功率這些有關(guān)功率的新概念，本節(jié)也將作簡(jiǎn)單介紹。

一、基本元件的功率和能量1.電阻元件的功率

如圖4.6-1(a)所示電阻元件R，兩端的電壓與通過(guò)的電流采用關(guān)聯(lián)參考方向。圖4.6-1電阻元件的瞬時(shí)功率波形設(shè)則由歐姆定律得由于電流和電壓都隨時(shí)間變化，電阻在某一瞬間吸收的功率稱為瞬時(shí)功率，用p（t）表示，即下一頁(yè)前一頁(yè)第4-71

頁(yè)4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

上式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)；第二項(xiàng)是角頻率為2ω的正弦量。也就是說(shuō)，電流或電壓變化一個(gè)循環(huán)，瞬時(shí)功率已經(jīng)變化了兩個(gè)循環(huán)。u，i和p的波形如圖4.6-1（b）所示。

由于電壓u和電流i同相，當(dāng)u增加時(shí)，i也增加，p=ui也隨之增加。當(dāng)u<0時(shí)i<0，而p=ui>0。因此，雖然瞬時(shí)功率是隨時(shí)間變化的，但瞬時(shí)功率始終滿足p≥0。也就是說(shuō)，電阻始終是消耗功率的。

瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值，稱為平均功率。用P表示，即

(4.6-2)將式（4.6-1）的瞬時(shí)功率表達(dá)式代入上式，即得(4.6-3)或用有效值表示為(4.6-4)

平均功率也稱為有功功率。通常，人們所說(shuō)的功率若沒(méi)有特殊指明，都是指平均功率。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-72

頁(yè)4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率2.電感元件的功率和能量圖4.6-2（a）所示電感L的電流與電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)電感電壓為圖4.6-2電感元件的瞬時(shí)功率和能量的波形考慮電感電流滯后電壓900，則電流式中電感L吸收的瞬時(shí)功率為角頻率為2ω的正弦量下一頁(yè)前一頁(yè)第4-73

頁(yè)4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率電感L儲(chǔ)存的磁能為利用三角公式，上式可改寫為與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)角頻率為2ω的余弦量電感L的平均儲(chǔ)能為圖4.6-2（b）中畫出了u（t），i（t），p（t）和wL（t）的波形曲線。圖中假設(shè)。下面簡(jiǎn)要說(shuō)明電感的瞬時(shí)功率和儲(chǔ)能的物理過(guò)程。4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-74

頁(yè)觀察圖4.6-2（b），可以看出：(1)在（0~T/4）期間：u>0，i>0，故p>0，電感吸收功率。在此期間，電感電流由零逐漸增大到最大值。這表明電感L從外電路或電源吸收能量并儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中。當(dāng)t=T/4時(shí)，電感儲(chǔ)能達(dá)到最大值(2)在（T/4~T/2）期間：u<0，i>0，故p<0，電感供出功率。電流由最大值逐漸下降到零，電感把原儲(chǔ)存的磁能逐漸還給外電路或電源。當(dāng)t=T/2時(shí)，電感L的儲(chǔ)能w(T/2)=0。(3)在（T/2~3T/4）期間，u<0，i<0，故p>0，電感吸收能量；（3T/4~T）期間，電感供出能量（釋放能量），其過(guò)程與上述兩個(gè)1/4周期完全相似，只是u和i的方向均與前面相反。由上述討論可知：電感不消耗能量，它只是與外電路或電源進(jìn)行能量交換，故平均功率等于零。

將（4.6-5）式代入（4.6-2）式，得通常所說(shuō)電感不消耗功率就是指它吸收的平均功率為零。4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-75

頁(yè)3.電容元件的功率和能量圖4.6-3（a）所示電容C上電流與電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)電容上電壓圖4.6-3電容的瞬時(shí)功率和能量波形考慮電容上電流i超前電壓u的角度為900，則式中電容的瞬時(shí)功率為也是角頻率為2ω的正弦量

4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-76

頁(yè)電容C儲(chǔ)存的電能量為利用三角公式改寫上式為與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)也是角頻率為2ω的正弦量電容的平均儲(chǔ)能

(4.6-12)電容的u，i，p和wC的波形曲線如圖4.6-3（b）所示。圖中假設(shè)ψu(yù)=0。下面也簡(jiǎn)要說(shuō)明電容的瞬時(shí)功率和儲(chǔ)能的物理過(guò)程。觀察圖4.6-3（b），可以看出:(1)在（0~T/4）期間：u>0，i<0，故p<0，電容供出功率。在此期間，電容電壓由最大值逐漸減少到零。電容把儲(chǔ)存的電能供給外電路或電源。當(dāng)t=T/4時(shí)，電容的儲(chǔ)能wC=0。

4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-77

頁(yè)(2)在（T/4~T/2）期間：u<0，i<0，故p>0，電容吸收功率。這時(shí)，電容被反向充電，電容電壓由零逐漸達(dá)到負(fù)的最大值，電容從外電路或電源獲得能量并儲(chǔ)存在電場(chǎng)中。當(dāng)t=T/2時(shí)，電容存儲(chǔ)的能量達(dá)到最大值(3)在（T/2~3T/4）期間，電容處于放電狀態(tài)，釋放能量。(4)在（3T/4~T）期間，電容被正向充電，儲(chǔ)存能量。其過(guò)程與前面相似，不再重復(fù)。由上述討論可知：電容元件也不消耗能量，只是與外電路或電源進(jìn)行能量交換，故平均功率也等于零。

將（4.6-10）式代入（4.6-2）式，得(4.6-14)通常所說(shuō)電容不消耗功率也是指它吸收的平均功率為零。例4.6-1

如圖4.6-4（a）所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知，求電阻R1、R2消耗的平均功率和電感L、電容C的平均儲(chǔ)能。4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-78

頁(yè)解

首先求出XL和XC：畫出電路的相量模型如圖4.6-4（b）所示。圖中由圖可知：所以電阻R1，R2消耗的功率分別為：4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-79

頁(yè)電感的平均儲(chǔ)能為電容的平均儲(chǔ)能為二、一端口網(wǎng)絡(luò)的功率圖4.6-5（a）所示為正弦穩(wěn)態(tài)線性一端口網(wǎng)絡(luò)N，設(shè)其端口電流i（t）和端口電壓u（t）參考方向關(guān)聯(lián)。圖4.6-5一端口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率波形設(shè)端口電壓端口電流i是相同頻率的正弦量，設(shè)N的瞬時(shí)功率利用三角公式4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-80

頁(yè)改寫p（t）的表達(dá)式為由u（t），i（t）及p（t）表達(dá)式畫波形曲線如圖4.6-5（b）所示。

從圖（b）中可以看出:(2)當(dāng)u>0，i<0或u<0，i>0時(shí)，一端口網(wǎng)絡(luò)供出功率，這時(shí)p<0。

(1)當(dāng)u>0，i>0或u<0，i<0時(shí)，一端口網(wǎng)絡(luò)吸收功率，這時(shí)p>0；表明一端口網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)態(tài)元件（L或C）與外部電路或電源有能量交換。(3)在一周期內(nèi)，一端口網(wǎng)絡(luò)吸收的功率大于供出的功率，因此其平均功率不為零。2.N的平均功率將式（4.6-15）代入上式，得4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-81

頁(yè)如果二端電路N內(nèi)不含獨(dú)立電源，則可等效為阻抗Z，如圖4.6-6所示。電壓與電流的相位差等于阻抗角，即故式（4.6-16）可以改寫為(4.6-17)上式表明：阻抗的平均功率不僅與電流、電壓的振幅（或有效值）大小有關(guān)，而且與有關(guān)。令稱為功率因數(shù)。稱為功率因數(shù)角。(1)當(dāng)無(wú)源二端電路的等效阻抗為電阻性時(shí)，兩類特殊情況：(2)當(dāng)?shù)刃ё杩篂榧冸姼行曰蚣冸娙菪詴r(shí)，

4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-82

頁(yè)3.N的視在功率二端電路N端子上電壓、電流振幅乘積之半或電壓、電流有效值乘積定義為二端電路N的視在功率，用符號(hào)S表示，即(2)對(duì)于電阻性電器設(shè)備，例如燈泡、電烙鐵等，功率因數(shù)等于1，視在功率與平均功率在數(shù)值上相等。因此，額定功率以平均功率的形式給出。

（4.6-18）說(shuō)明:(1)視在功率的單位為伏安（V·A）。任何實(shí)際電器設(shè)備出廠時(shí)，都規(guī)定了額定電壓和額定電流，因而所定義的視在功率也有一個(gè)額定值。(3)但對(duì)于發(fā)電機(jī)、變壓器這類電器設(shè)備，它們輸出的功率與負(fù)載的性質(zhì)有關(guān)，它們只能給出額定的視在功率。例如某發(fā)電機(jī)的額定視在功率S=5000V·A

4.N的無(wú)功功率二端電路Ｎ的無(wú)功功率Ｑ定義為(4.6-19)Q的單位為乏（var）設(shè)二端電路Ｎ的端口電壓與電流的相量圖如圖４.6-7所示，電流相量分解為兩個(gè)分量：一個(gè)與電壓相量同相的分量；另一個(gè)與正交的分量。4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率下一頁(yè)前一頁(yè)第4-83

頁(yè)它們的值分別為：二端電路的有功功率看作是由電流與電壓產(chǎn)生的，即無(wú)功功率看作是由電流與電壓產(chǎn)生的，即

Q不表示功率損耗，僅表示二端電路N與外電路或電源進(jìn)行能量交換變化率的幅度。

當(dāng)二端電路不含獨(dú)立源時(shí)，式（4.6-19）可改寫為（4.6-20）(1)N是純電阻時(shí)，

(2)N是純電感時(shí)，

(3)N是純電容時(shí)，

三種特殊情況負(fù)號(hào)體現(xiàn)電容元件能量交換的規(guī)律和性質(zhì)與電感元件能量交換的規(guī)律和性質(zhì)相反。下一頁(yè)前一頁(yè)第4-84

頁(yè)4.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率5.N的復(fù)功率工程上為了計(jì)算方便，常把有功功率作為實(shí)部，無(wú)功功率作為虛部，組成復(fù)功率，用表示，即（4.6-21）將式（4.6-16）和（4.6-19）代入上式，得是的共軛復(fù)數(shù)

若已知和，可應(yīng)用該式求得復(fù)功率，其實(shí)部為有功功率P，虛部為無(wú)功功率Q。視在功率與有功功率、無(wú)功功率間的關(guān)系（4.6-23）