數(shù)理統(tǒng)計學(xué)（第二版）教學(xué)課件3 區(qū)間估計

第3章區(qū)間估計主要內(nèi)容3.1置信區(qū)間3.2正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間3.3大樣本置信區(qū)間3.4貝葉斯區(qū)間估計3.1置信區(qū)間

3.1.1置信區(qū)間概念注1:一個參數(shù)的區(qū)間估計可以給出多種,但要給出一個好的區(qū)間估計需要有豐富的統(tǒng)計思想和熟練的統(tǒng)計技巧。注2:當(dāng)置信度所示概率與參數(shù)θ無關(guān)時,置信度就是置信系數(shù),以后我們將努力尋求置信度與θ無關(guān)的區(qū)間估計。注3:上述定義中區(qū)間估計用閉區(qū)間給出,也可用開區(qū)間或半開區(qū)間給出,由實際需要而定。3.1.1置信區(qū)間概念

3.1.1置信區(qū)間概念

3.1.1置信區(qū)間概念妥協(xié)方案:在保證置信系數(shù)達(dá)到指定要求的前提下,盡可能提高精確度。這一建議被廣大實際工作者和統(tǒng)計學(xué)家接受,這就引出置信區(qū)間的概念。3.1.1置信區(qū)間概念3.1.1置信區(qū)間

3.1.1同等置信區(qū)間

3.1.1置信限

3.1.1置信域定義3.1.5設(shè)x=(x1,x2,…,xn)是來自某總體分布Fθ(x)的一個樣本,其中θ=(θ1,θ2,…,θk)是k維參數(shù),其參數(shù)空間為Θ?Rk。假如對Θ的一個子集R(x)有(1)R(x)僅是樣本x的函數(shù);(2)對給定的α(0<α<1),有概率不等式

Pθ(θ∈R(x))≥1-α,?θ∈Θ(3.1.6)則稱R(x)是θ的置信水平為1-α的置信域(或置信集)。而概率Pθ(θ∈R(x))在參數(shù)空間Θ上的下確界稱為該置信域的置信系數(shù),假如式(3.1.6)成立,且不依賴于θ,則稱R(x)為1-α同等置信域。3.1.2樞軸量法

3.1.2樞軸量法例3.1.2設(shè)x1,x2,…,xn是來自均勻分布U(0,θ)的一個樣本,對給定的α(0<α<1)尋求θ的1-α置信區(qū)間。3.1.2樞軸量法例3.1.3設(shè)x1,x2,…,xn是從指數(shù)分布exp(1/θ)中抽取的一個樣本。其密度函數(shù)為:

pθ(x)=e-x/θ,

x≥0其中θ>0為總體均值,即E(x)=θ,現(xiàn)要求θ的1-α置信區(qū)間(0<α<1)。。3.1.2樞軸量法

3.2正態(tài)總體參數(shù)

的置信區(qū)間3.2.1正態(tài)均值μ的置信區(qū)間

3.2.1正態(tài)均值μ的置信區(qū)間例3.2.1某公司生產(chǎn)的滾珠的直徑X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中σ2=0.04。某天從生產(chǎn)線上隨機抽取6個滾珠,測得其直徑(單位:毫米)如下:

14.93

15.10

14.98

14.85

15.15

15.01若取α=0.05,尋求滾珠平均直徑μ的置信區(qū)間。3.2.1正態(tài)均值μ的置信區(qū)間

3.2.1正態(tài)均值μ的置信區(qū)間例3.2.2用儀器間接測量爐子的溫度,其測量值X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),現(xiàn)重復(fù)測量5次,結(jié)果(單位:℃)為:

1250

1265

1245

1260

1275若取α=0.05,尋求爐子平均溫度μ的置信區(qū)間。3.2.2樣本量的確定(一)

在統(tǒng)計問題中,樣本量越大,一般都可使未知參數(shù)的估計的精度越高。但大樣本的實現(xiàn)所需經(jīng)費高、實施時間長、投入人力多,致使統(tǒng)計學(xué)的應(yīng)用在某些場合受到限制。所以實際中人們關(guān)心的是:在一定要求下,至少需要多少樣本量就夠了。這就是樣本量的確定問題。

樣本量的確定有多種方法,不同場合使用不同方法。這里將在區(qū)間估計場合,限制置信區(qū)間長度不超過2d的需求下來確定樣本量n,其中d是事先給定的置信區(qū)間半徑。下面介紹三種方法。3.2.2樣本量的確定(一)

3.2.2樣本量的確定(一)例3.2.3設(shè)一個物體的重量μ未知,為估計其重量,可以用天平去稱,現(xiàn)在假定稱重服從正態(tài)分布。如果已知稱量的誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.1克(這是根據(jù)天平的精度給出的),為使μ的95%的置信區(qū)間的長度不超過0.2,那么至少應(yīng)該稱多少次?3.2.2樣本量的確定(一)

3.2.2樣本量的確定(一)例3.2.4為了對墊圈總體的平均厚度做出估計,我們所取的風(fēng)險是允許在100次估計中有5次誤差超過0.02cm,近期從另一批產(chǎn)品中抽得一個容量為10的樣本,得到標(biāo)準(zhǔn)差的估計為s0=0.0359,問現(xiàn)在應(yīng)該取多少樣品為宜?3.2.2樣本量的確定(一)

3.2.2樣本量的確定(一)

3.2.2樣本量的確定(一)例3.2.5有一大批部件,希望確定某特性的均值,若允許此均值的估計值的誤差不超過4個單位(即d=4),問在α=0.05下需要多少樣本量?。3.2.3正態(tài)方差σ2的置信區(qū)間

3.2.3正態(tài)方差σ2的置信區(qū)間例3.2.6某種導(dǎo)線的電阻值服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。現(xiàn)從中隨機抽取9根導(dǎo)線,由測得的9個電阻值算得樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s=0.0066(單位:歐姆),試求該導(dǎo)線電阻值的0.95單側(cè)置信上限。

例3.2.7從自動車床加工的一批零件中隨機抽取10只,測得其直徑(單位:厘米)為:

15.2

15.1

14.8

15.3

15.2

15.4

14.8

15.5

15.3

15.4若零件直徑測量值服從正態(tài)分布N(μ,σ2),試求(μ,σ2)的0.90置信域。

3.2.5兩正態(tài)均值差的置信區(qū)間

3.2.5兩正態(tài)均值差的置信區(qū)間

3.2.5兩正態(tài)均值差的置信區(qū)間例3.2.9為考察兩實驗室在測水中含氯量上的差異,特在該廠廢水中每天取樣,共取11個樣品,每個樣品均分兩份,分別送至兩實驗室測定其中氯的含量,具體數(shù)據(jù)列于表3.2.1上。若假設(shè)各實驗室測定水中含氯量都服從正態(tài)分布,要求其均值差的0.95置信區(qū)間。

3.3大樣本置信區(qū)間3.3.1精確置信區(qū)間與近似置信區(qū)間前面敘述的樞軸量法和單調(diào)函數(shù)法都是構(gòu)造精確置信區(qū)間的方法,其特點是:對給定的置信水平1-α,按這些方法一般可獲得置信系數(shù)恰好為1-α的置信區(qū)間。這類方法常在小樣本場合使用,當(dāng)然也可用于大樣本場合。還有一類構(gòu)造置信區(qū)間的方法,它們僅能在大樣本場合使用,所得的置信區(qū)間的置信系數(shù)不能精準(zhǔn)地達(dá)到預(yù)先設(shè)定的置信水平1-α,只能近似于給定的置信水平1-α,這一類方法常稱為大樣本方法,所得置信區(qū)間稱為近似置信區(qū)間,或稱大樣本置信區(qū)間。3.3.1精確置信區(qū)間與近似置信區(qū)間

3.3.1精確置信區(qū)間與近似置信區(qū)間

3.3.2基于MLE的近似置信區(qū)間

3.3.2基于MLE的近似置信區(qū)間

3.3.3基于中心極限定理的近似置信區(qū)間

3.3.3基于中心極限定理的近似置信區(qū)間例3.3.4設(shè)x1,x2,…,xn是來自二點分布b(1,p)的一個樣本,其總體均值與方差分別為:

E(x)=p,

Var(x)=p(1-p)求基于中心極限定理的近似置信區(qū)間3.3.4樣本量的確定(二)這里將討論在大樣本場合,為使比率p的估計達(dá)到給定精度至少需要多少樣本量的問題。3.3.4樣本量的確定(二)例3.3.5為估計某城市成年男子中吸煙率p,某調(diào)查公司接受了此項任務(wù)。首先遇到的問題是在該城市要對多少成年男子作調(diào)查才能有99%的保證概率使吸煙頻率

與真實吸煙率的差異不大于0.005?3.3.4樣本量的確定(二)例3.3.6某電視臺委托某調(diào)查公司對其某綜藝節(jié)目收視率作抽樣調(diào)查,要求絕對誤差不超過0.03的保證概率為0.95,但已知該節(jié)目收視率不會超過0.2。3.4

貝葉斯區(qū)間估計3.4.1

可信區(qū)間

3.4.1

可信區(qū)間

3.4.1

可信區(qū)間例3.4.2經(jīng)過早期篩選后的彩色電視接收機(簡稱彩電)的壽命服從指數(shù)分布,它的密度函數(shù)為:

p(t|θ)=θ-1e-t/θ,

t>0其中θ>0是彩電的平均壽命。在例2.5.9中曾選用θ的共軛先驗分布——倒伽瑪分布IGa(α,λ),并利用先驗信息確定其中兩個參數(shù):α=1.956,λ=2868。后又利用樣本信息(100臺彩電進(jìn)行400小時試驗,無一臺失效,即S=40000,r=0)。最后得