數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究實際問題中度量A，B兩點的長度(高度）的方法剖析：（1）求距離問題．如圖,當(dāng)AB的長度不可直接測量時,求AB的距離．兩點間不可到達(dá)又不可視兩點間可視但不可達(dá)兩點都不可達(dá)①當(dāng)A，B兩點之間不可到達(dá)又不可視時,測出兩邊及其夾角,運用余弦定理求解，則AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)．②當(dāng)A，B兩點之間可視但不可達(dá)時,測出兩角及其夾邊，先用內(nèi)角和定理求第三角再運用正弦定理求解．∵∠A＝π－（∠B＋∠C）,∴根據(jù)正弦定理，得eq\f（AB,sinC）＝eq\f（BC,sinA）＝eq\f(BC，sin[π－(∠B＋∠C）］）＝eq\f(BC,sin(∠B＋∠C)）＝eq\f(a,sin（∠B＋∠C))，則AB＝eq\f(asinC，sin（∠B＋∠C))．③當(dāng)A，B兩點都不可達(dá)時，先在△ADC和△BDC中分別求出AC，BD,再在△ABC或△ABD中運用余弦定理求解．先求：AD＝eq\f(a,sin(∠ADC＋∠ACD））×sin∠ACD;再求：BD＝eq\f(a，sin（∠BDC＋∠BCD）)×sin∠BCD；最后：AB＝eq\r（AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB)．名師點撥：將所求距離或方向的問題轉(zhuǎn)化為求一個三角形的邊或角的問題時，我們選擇的三角形往往條件不夠，這時需要我們尋找其他的三角形作為解這個三角形的支持,為解這個三角形提供必要的條件．（2)求高度問題．如圖,當(dāng)AB的高度不可直接測量時,求AB的高度，有如下情況．底部可達(dá)底部不可達(dá)①當(dāng)BC底部可達(dá)時,利用直角三角形的邊角關(guān)系求解，則AB＝atanC．②當(dāng)BD不可達(dá)時， 在Rt△ABD中,BD＝eq\f（AB,tan∠ADB)，在Rt△ABC中,BC＝eq\f（AB,tan∠ACB），∴a＝CD＝BC－BD＝eq\f（AB，tan∠ACB)－eq\f(AB,tan∠ADB）．∴AB＝eq\f（a，\f(1,tan∠ACB)－\f(1，tan∠ADB））．③在△BCD中，BC＝eq\f(a，sin(∠BCD＋∠D))×sinD．∵AB⊥BC，∴∠BAC＝eq\f(π，2)－∠ACB．∴在△ABC中，AB＝eq\f（BC,sin∠BAC）×sin∠ACB＝eq\f(BC,cos∠ACB)×sin∠ACB．∴AB＝eq\f(\f(a，sin（∠BCD＋∠D）)×sinD,cos∠ACB）×sin∠ACB＝eq\f（asinDtan∠ACB，sin（∠BCD＋∠D)）．名師點撥：在測量某物體高度的問題中,很多被測量的物體是一個立體的圖形,而在測量過程中，我們測量的角度也不一定在同一平面內(nèi)，因此還需要我們有一定的空間想象能力，關(guān)鍵是畫出圖形，把已知量和未知量歸結(jié)到三角形中來求解．題型一測量距離問題【例1】如圖，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距km的C，D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．分析：要求出A,B之間的距離,可在△ABC（或△ADB）中去找關(guān)系，但不管在哪個三角形中，AC，BC這些量都是未知的,需要在三角形中找出合適的關(guān)系式，求出它們的值，然后解斜三角形即可．解:在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，∴∠CAD＝30°．∴AC＝CD＝eq\r(3）km．在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°．由正弦定理，得BC＝eq\f(\r（3）sin75°，sin60°)＝eq\f（\r(6)＋\r(2）,2）(km)．在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝（eq\r（3）)2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(6）＋\r(2）,2）））2－2eq\r(3）×eq\f(\r(6）＋\r（2）,2)cos75°＝5．∴AB＝eq\r(5）km．∴兩目標(biāo)A，B之間的距離為eq\r（5）km．反思：測量長度(距離）是解三角形應(yīng)用題的一種基本題型．在解這類問題時，首先要分析題意,確定已知與所求，然后畫好示意圖，通過解三角形確定實際問題的解；測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題．題型二測量高度問題【例2】如圖所示,在地面上有一旗桿OP，為測得它的高度h,在地面上取一基線AB，AB＝20m，在A處測得P點的仰角∠OAP＝30°，在B處測得P點的仰角∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°，求旗桿的高度h．(精確到0．1m）分析：先在Rt△PAO和Rt△PBO中求出AO，BO，再在△AOB中由余弦定理求出h．解：在Rt△PAO中，AO＝eq\f（h,tan30°)＝eq\r(3）h．在Rt△PBO中,BO＝eq\f（h，tan45°）＝h．在△ABO中，由余弦定理,得202＝（eq\r(3）h）2＋h2－2eq\r（3）h·hcos60°，解得h＝eq\f（20，\r(4－\r(3)))≈13．3（m）．反思：在解三角形的問題時，一定要選擇合適的三角形，這樣可以簡化計算過程，再者還要注意立體幾何圖形中的邊角關(guān)系，并選擇好三角形的使用順序．題型三測量角度問題【例3】如圖，甲船在A處，乙船在甲船的南偏東45°方向,距A處9海里的B處，并以20海里/時的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船以28海里/時的速度行駛,應(yīng)沿什么方向，用多少小時能最快追上乙船？（精確到1度)分析：假設(shè)用t小時在C處追上乙船,則在△ABC中，AC,BC可用t來表示，進(jìn)而利用余弦定理求得t,解此三角形即可．解：假設(shè)用t小時甲船在C處追上乙船．在△ABC中，AC＝28t海里，BC＝20t海里，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°．由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即(28t)2＝81＋(20t）2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)）），整理，得128t2－60t－27＝0，即(4t－3)（32t＋9）＝0．∴t＝eq\f（3,4)或t＝－eq\f（9，32)(舍去)．∴AC＝28×eq\f（3，4）＝21(海里）,BC＝20×eq\f（3,4）＝15（海里）．由正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f（BCsin∠ABC,AC）＝eq\f（15×\f(\r（3)，2),21)＝eq\f（5\r(3),14）．又∠ABC＝120°,∴∠BAC為銳角，∴∠BAC≈38°．∴45°－38°＝7°．∴甲船應(yīng)沿南偏東7°方向用eq\f（3,4)小時可最快追上乙船．反思:航海問題常利用解三角形的知識解決，在具體解題時，應(yīng)畫出示意圖，找出已知量及所求的量，轉(zhuǎn)化為三角形的邊角，利用正、余弦定理求解．題型四面積問題【例4】在半徑為R的扇形OAB中，圓心角∠AOB＝60°，在扇形內(nèi)有一個內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形的最大面積．分析：扇形內(nèi)的內(nèi)接矩形有且僅有兩種類型：一種是矩形的一邊與扇形的一條半徑重合；另一種是以扇形的對稱軸為對稱軸的矩形．我們分別求出這兩種類型的矩形的最大面積，再取兩者中較大的，就是符合條件的最大面積．解：如圖(1）所示,設(shè)PQ＝x,MP＝y(tǒng),則矩形的面積S＝xy．連接ON，令∠AON＝θ,則y＝Rsinθ．在△OMN中，利用正弦定理，得eq\f(R,sin120°）＝eq\f(x,sin（60°－θ）),∴x＝eq\f（2Rsin（60°－θ),\r（3))．∴S＝xy＝eq\f(2R2sinθsin（60°－θ），\r（3))＝R2·eq\f(cos2(θ－30°）－cos60°，\r（3)）．當(dāng)θ＝30°時，Smax＝eq\f（\r（3）,6)R2．如圖(2)所示,設(shè)PN＝x，MN＝y(tǒng)，則矩形的面積為S＝xy,連接ON，令∠AON＝θ．在△OPN中,利用正弦定理,得eq\f（ON，sin∠OPN）＝eq\f(PN,sinθ)＝eq\f(OP,sin∠ONP），∴x＝eq\f(R,sin150°)×sinθ＝2Rsinθ，y＝2Rsin(30°－θ）．∴S＝xy＝4R2sinθsin(30°－θ)＝2R2[cos2(15°－θ)－cos30°］．當(dāng)θ＝15°時，Smax＝(2－eq\r（3）)R2．∵eq\f(\r（3),6）>2－eq\r（3)，∴所求內(nèi)接矩形的最大面積為eq\f(\r（3）,6)R2．反思：關(guān)于求面積最值問題，關(guān)鍵是將面積函數(shù)表達(dá)出來，根據(jù)已知條件利用正弦定理將與矩形面積有關(guān)的量求出,再轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，這是這一類問題常用的解題思路．題型五易錯辨析【例5】某觀測站C在城A的南偏西20°的方向上,由城A出發(fā)的一條公路,走向是南偏東40°，在C處，測得公路上距C處31km的B處有一人正沿公路向城A走去,走了20km后到達(dá)D處，此時C，D間的距離為21km，這人還要走多遠(yuǎn)才能到達(dá)城A？錯解：如圖所示，∠CAD＝60°．在△BCD中，由余弦定理，得cosB＝eq\f（BC2＋BD2－CD2，2BC·BD）＝eq\f(312＋202－212，2×31×20)＝eq\f(23，31),所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f（12\r（3），31)．在△ABC中，AC＝eq\f（BCsinB,sin∠CAB）＝24．在△ACD中，由余弦定理,得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，即212＝242＋AD2－24AD，所以AD＝15或AD＝9，所以這人還要走15km或9km才能到達(dá)城A．錯因分析：沒有及時檢驗，題目中△ACD為銳角三角形，故應(yīng)舍去AD＝9的情況．正解：設(shè)∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中,由余弦定理，得cosβ＝eq\f（BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f（202＋212－312，2×20×21）＝－eq\f（1，7),所以sinβ＝eq\f（4