四川省南充市閬中市東風(fēng)中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中試卷

2024-2025學(xué)年四川省南充市閬中市東風(fēng)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）1．（4分）關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值為（）A．1 B．2 C．0或2 D．02．（4分）函數(shù)y＝x2+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，m），則m的值為（）A．1 B．7 C．5 D．43．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根是1，則方程的另一個(gè)根是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣44．（4分）如圖，將三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)85°得到三角形AB′C′，若∠CAB′＝25°，則∠CAB＝（）A．60° B．85° C．25° D．55°5．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，將其化為（x+m）2＝k的形式，正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝56．（4分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣a+1的頂點(diǎn)在x軸上，則a的值是（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．17．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣18．（4分）一次函數(shù)y＝ax+c（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．9．（4分）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，每件售價(jià)由原來的100元降到了81元．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程中正確的是（）A．100（1+x）2＝81 B．81（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝81 D．81（1﹣x）2＝10010．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若m是方程x2﹣5x﹣7＝0的根，則m2﹣5m+1的值等于．12．（4分）將拋物線y＝x2﹣3先向上平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為．13．（4分）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，6），B（1，3），則不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集是．14．（4分）若m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+3m+n的值為．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，那么B（8，3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是．16．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝2（x+4）2+2關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b+c的值為．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共86分）17．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．18．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣6x+3，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求y的最大值與最小值之差．19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△DBE，使點(diǎn)C落在AB邊上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，求∠ADE的度數(shù)．20．（10分）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（3，5），B（1，2），C（4，1）．（1）根據(jù)要求畫圖：將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1；（2）求△ABC的面積．21．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0．（1）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值．22．（10分）圖1是一座拱橋，拱橋的拱形呈拋物線形狀，在拱橋中，當(dāng)水面寬度為OA＝12米時(shí)，水面離橋洞最大距離為4米，如圖2，以水平面為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求該拱橋拋物線的解析式；（2）當(dāng)河水上漲，水面離橋洞的最大距離為2米時(shí)，求拱橋內(nèi)水面的寬度．23．（10分）某商場有A、B兩種商品，一件B商品的售價(jià)比一件A商品的售價(jià)多5元，若用1500元購進(jìn)A種商品的數(shù)量恰好是用900元購進(jìn)B種商品的數(shù)量的2倍．（1）求A、B兩種商品每件售價(jià)各多少元；（2）B商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，按原售價(jià)銷售，該商場每天可銷售B種商品100件，假設(shè)銷售單價(jià)每上漲一元，B種商品每天的銷售量就減少5件，設(shè)一件B商品售價(jià)a元，B種商品每天的銷售利潤為W元，求B種商品銷售單價(jià)a為多少元時(shí)，B種商品每天的銷售利潤W最大，最大利潤是多少元？24．（10分）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)；AP＝1，BP＝，DP＝，△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABP′，連接PP′，延長AP與BC相交于點(diǎn)Q．（1）求線段PP′的長；（2）求∠BPQ的大??；（3）求正方形ABCD的邊長．25．（12分）如圖所示，已知拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0），與直線y＝x﹣4交于B，D兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式并直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為直線BD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上有一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N，若△AMN是等腰直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

2024-2025學(xué)年四川省南充市閬中市東風(fēng)中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）1．（4分）關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值為（）A．1 B．2 C．0或2 D．0【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及方程的常數(shù)項(xiàng)為0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可求出m的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，∴，解得：m＝2，∴m的值為2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的一般形式，牢記“一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”是解題的關(guān)鍵．2．（4分）函數(shù)y＝x2+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，m），則m的值為（）A．1 B．7 C．5 D．4【分析】將點(diǎn)（﹣2，m）代入y＝x2+3計(jì)算即可求出m的值．【解答】解：∵函數(shù)y＝x2+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，m），∴m＝（﹣2）2+3＝7，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．3．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一個(gè)根是1，則方程的另一個(gè)根是（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4【分析】設(shè)方程的一個(gè)根x1＝1，另一個(gè)根為x2，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】解：設(shè)方程的一個(gè)根x1＝1，另一個(gè)根為x2，根據(jù)題意得：x1×x2＝3，將x1＝1代入，得x2＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（4分）如圖，將三角形ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)85°得到三角形AB′C′，若∠CAB′＝25°，則∠CAB＝（）A．60° B．85° C．25° D．55°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠C′AC＝85°，∠CAB＝∠C′AB′，根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，則可求出答案．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠C′AC＝85°，∠CAB＝∠C′AB′，∵∠CAB′＝25°，∴∠CAB＝∠C′AB′＝∠C′AC﹣∠C′AB′＝85°﹣25°＝60°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．5．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，將其化為（x+m）2＝k的形式，正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5【分析】移項(xiàng)，配方，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．6．（4分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣a+1的頂點(diǎn)在x軸上，則a的值是（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．1【分析】把函數(shù)解析式整理出頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)頂點(diǎn)在x軸上，縱坐標(biāo)等于0列方程求解即可．【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣a+1＝a（x﹣1）2﹣2a+1，∵拋物線頂點(diǎn)在x軸上，∴﹣2a+1＝0，解得a＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式求解更簡便．7．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝22+4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝22+4m＞0，解得m＞﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．8．（4分）一次函數(shù)y＝ax+c（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線和拋物線解析式知y＝ax+c與y＝ax2+bx+c與y軸交于同一點(diǎn)（0，c），據(jù)此可得．【解答】解：在y＝ax+c中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，∴y＝ax+c與y軸的交點(diǎn)為（0，c）；在y＝ax2+bx+c中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，∴y＝ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)為（0，c），則y＝ax+c與y＝ax2+bx+c與y軸交于同一點(diǎn)（0，c），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)．9．（4分）某商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，每件售價(jià)由原來的100元降到了81元．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下列方程中正確的是（）A．100（1+x）2＝81 B．81（1+x）2＝100 C．100（1﹣x）2＝81 D．81（1﹣x）2＝100【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則等量關(guān)系為：原價(jià)×（1﹣x）2＝現(xiàn)價(jià)，據(jù)此列方程．【解答】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，由題意得，100（1﹣x）2＝81故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．10．（4分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【解答】解：①拋物線開口方向向上，則a＞0．拋物線對(duì)稱軸位于y軸右側(cè)，則a、b異號(hào)，即ab＜0．拋物線與y軸交于y軸負(fù)半軸，則c＜0，所以abc＜0．故①錯(cuò)誤；②∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正確；③∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴函數(shù)的最小值為：a+b+c，∴m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，故③正確；④∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0）的左側(cè)，而對(duì)稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正確；⑤∵+bx1＝+bx2，∴+bx1﹣﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正確．綜上所述，正確的有②③④⑤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若m是方程x2﹣5x﹣7＝0的根，則m2﹣5m+1的值等于8．【分析】將x＝m代入原方程，可得出m2﹣5m＝7，再將其代入原式中，即可求出結(jié)論．【解答】解：將x＝m代入原方程得：m2﹣5m﹣7＝0，∴m2﹣5m＝7，原式＝7+1＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的根以及代數(shù)式求值，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關(guān)鍵．12．（4分）將拋物線y＝x2﹣3先向上平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣2．【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”求解即可．【解答】解：將拋物線先向上平移1個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后所得的拋物線是y＝（x﹣2）2﹣2．故答案為：y＝（x﹣2）2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象的平移．掌握其平移規(guī)律“上加下減，左加右減”是解題關(guān)鍵．13．（4分）如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，6），B（1，3），則不等式ax2﹣bx﹣c≥0的解集是x≤﹣3或x≥1．【分析】依據(jù)題意，由ax2﹣bx﹣c≥0得出ax2≥bx+c，即拋物線在直線上方的部分，根據(jù)圖象和A，B的坐標(biāo)即可確定答案．【解答】解：由ax2﹣bx﹣c≥0得：ax2≥bx+c，∴滿足不等式的解為拋物線在直線上方的部分，∴x≤﹣3或x≥1，故答案為：x≤﹣3或x≥1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式，正確運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．14．（4分）若m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+3m+n的值為2024．【分析】根據(jù)m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到m2+2m＝2026，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝﹣2，據(jù)此利用整體代入法求解即可．【解答】解：由題意得，m+n＝﹣＝﹣2，m2+2m﹣2026＝0，∴m2+2m＝2026，∴原式＝m2+2m+（m+n）＝2026﹣2＝2024．故答案為：2024．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，那么B（8，3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（﹣3，8）．【分析】分別過點(diǎn)B和點(diǎn)B′作y軸的垂線，構(gòu)造出全等三角形即可解決問題．【解答】解：分別過點(diǎn)B和點(diǎn)B′作y軸的垂線，垂足分別為M和N，由旋轉(zhuǎn)可知，∠B′OB＝90°，OB′＝OB，∴∠B′ON+∠BOM＝∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠B′ON＝∠OBM．在△B′ON和△OBM中，，∴△B′ON≌△OBM（AAS），∴B′N＝OM，ON＝BM．又∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（8，3），∴B′N＝OM＝3，ON＝BM＝8，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣3，8）．故答案為：（﹣3，8）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝2（x+4）2+2關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b+c的值為﹣52．【分析】利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，橫坐標(biāo)不變解答．【解答】解：∵拋物線拋物線y＝ax2+bx+c與拋物線y＝2（x+4）2+2關(guān)于x軸對(duì)稱，∵y＝2（x+4）2+2＝2x2+16x+34，函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式為：y＝﹣2x2+16×（﹣x）﹣34＝﹣2x2﹣16x﹣34，∴a＝﹣2，b＝﹣16，c＝﹣34，∴a+b+c＝﹣2﹣16﹣34＝﹣52，故答案為：﹣52．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共86分）17．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣4＝0，∴x2+2x＝4，則x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，∴x+1＝±，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵3x（x﹣2）＝2（2﹣x），∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，則（x﹣2）（3x+2）＝0，∴x﹣2＝0或3x+2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．18．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣6x+3，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求y的最大值與最小值之差．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性，求出0≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值即可．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣6），∴當(dāng)x＝3時(shí)，y取得最小值，最小值為﹣6，∵0≤x≤4，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＝（0﹣3）2﹣6＝3．∵3﹣（﹣6）＝9，∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的最大值與最小值之差為9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是求出在0≤x≤4時(shí)函數(shù)的最大值和最小值．19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝50°．將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得△DBE，使點(diǎn)C落在AB邊上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，求∠ADE的度數(shù)．【分析】由旋轉(zhuǎn)得BA＝BD，通過等腰三角形及直角三角形可求∠ADE度數(shù)；【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ABC＝50°，∴∠CAB＝40°．∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，點(diǎn)E恰好在AB上，∴BA＝BD，∠ABC＝∠DBA＝50°，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BED＝∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠DAB＝25°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時(shí)也利用了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)確定旋轉(zhuǎn)角．20．（10分）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（3，5），B（1，2），C（4，1）．（1）根據(jù)要求畫圖：將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）△ABC的面積是＝10﹣﹣3＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0．（1）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，求k的值．【分析】（1）由該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到Δ≥0，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)（x1﹣1）（x2﹣1）＝14得到k2+3﹣（2k﹣2）+1＝14，然后解關(guān)于k的方程，最后利用k的范圍確定k的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2+3）≥0，解得k≤﹣1；（2）根據(jù)題意得：，∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝14，即k2+3﹣（2k﹣2）+1＝14，整理得k2﹣2k﹣8＝0，解得k1＝﹣2，k2＝4，∵k≤﹣1，∴k＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．22．（10分）圖1是一座拱橋，拱橋的拱形呈拋物線形狀，在拱橋中，當(dāng)水面寬度為OA＝12米時(shí)，水面離橋洞最大距離為4米，如圖2，以水平面為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求該拱橋拋物線的解析式；（2）當(dāng)河水上漲，水面離橋洞的最大距離為2米時(shí)，求拱橋內(nèi)水面的寬度．【分析】（1）根據(jù)題意得出A（12，0），該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），設(shè)該拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+4，把A（12，0）代入求出a的值即可；（2）根據(jù)題意得出水位上升了2米，把y＝2代入t＝﹣2x+80求出自變量的值，即可求解．【解答】解：（1）∵OA＝12，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線，A（12，0），∵水面離橋洞最大距離為4米，∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），設(shè)該拋物線解析式為y＝a（x﹣6）2+4，把A（12，0）代入得：0＝a（12﹣6）2+4，解得：，∴該拋物線解析式為t＝﹣2x+80；（2）4﹣2＝2（米），∴水位上升了2米，把y＝2代入t＝﹣2x+80得：，解得：，．（米），答：拱橋內(nèi)水面的寬度米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式．23．（10分）某商場有A、B兩種商品，一件B商品的售價(jià)比一件A商品的售價(jià)多5元，若用1500元購進(jìn)A種商品的數(shù)量恰好是用900元購進(jìn)B種商品的數(shù)量的2倍．（1）求A、B兩種商品每件售價(jià)各多少元；（2）B商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，按原售價(jià)銷售，該商場每天可銷售B種商品100件，假設(shè)銷售單價(jià)每上漲一元，B種商品每天的銷售量就減少5件，設(shè)一件B商品售價(jià)a元，B種商品每天的銷售利潤為W元，求B種商品銷售單價(jià)a為多少元時(shí)，B種商品每天的銷售利潤W最大，最大利潤是多少元？【分析】（1）設(shè)A種商品每件售價(jià)x元，根據(jù)“用1500元購進(jìn)A種商品的數(shù)量恰好是用900元購進(jìn)B種商品的數(shù)量的2倍“列方程并檢驗(yàn)，即可得到答案；（2）W＝（a﹣20）[100﹣5×（a﹣30）]＝﹣5a2+350a﹣5000＝﹣5（a﹣35）2+1125，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）設(shè)A種商品每件售價(jià)x元，則B種商品每件售價(jià)（x+5）元，∵用1500元購進(jìn)A種商品的數(shù)量恰好是用900元購進(jìn)B種商品的數(shù)量的2倍，∴＝×2，解得：x＝25，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是原方程的解，也符合題意，∴x+5＝25+5＝30，∴A種商品每件售價(jià)25元，B種商品每件售價(jià)30元；（2）根據(jù)題意得：W＝（a﹣20）[100﹣5×（a﹣30）]＝﹣5a2+350a﹣5000＝﹣5（a﹣35）2+1125，∵﹣5＜0，∴當(dāng)a＝35時(shí)，W取最大值，最大值為1125元，∴B種商品銷售單價(jià)a為35元時(shí)，B種商品每天的銷售利潤W最大，最大利潤是1125元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出分式方程和函數(shù)關(guān)系式．24．（10分）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)；AP＝1，BP＝，DP＝，△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABP′，連接PP′，延長AP與BC相交于點(diǎn)Q．（1）求線段PP′的長；（2）求∠BPQ的大小；（3）求正方形ABCD的邊長．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠BAD＝90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP＝AP′，∠PAP′＝∠DAB＝90°，于是可判斷△APP′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′＝PA＝；（2）由等腰直角三角形性質(zhì)知∠APP′＝45°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得PD＝P′B＝，接著根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PP′B為直角三角形，∠P′PB＝90°，然后利用平角定義計(jì)算∠BPQ的度數(shù)；（3）作BE⊥AQ，垂足為E，由∠BPQ＝45°，P′B＝2，求出PE＝BE＝2，在Rt△ABE中，運(yùn)用勾股定理求出AB．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，∴AP＝AP′＝1，PD＝P′B＝，∠PAP′＝∠DAB＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′＝＝；（2）∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°，在△PP′B中，PP′＝，PB＝2，P′B＝，∵（）2+（2）2＝（）2，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△PP′B為直角三角形，∠P′PB＝90°，∴∠BPQ＝180°﹣∠APP′﹣∠P′PB＝180°﹣45°﹣90°＝45°；（3）作BE⊥AQ，垂足為E，∵∠BPQ＝45°，PB＝2，∴PE＝BE＝2，∴AE＝2+1＝3，∴AB＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵要明確：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角