數(shù)學(xué)學(xué)案：平面的基本性質(zhì)與推論

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修2第一章1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論1．理解平面的三個基本性質(zhì)與三個推論，并會用三種語言表示性質(zhì)和推論．2．了解異面直線的概念，能用符號語言描述點、直線、平面之間的相互位置關(guān)系．3．能進(jìn)行文字語言與數(shù)學(xué)圖形語言和符號語言間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．1．空間點和直線的基本性質(zhì)(1）連接兩點的線中，________最短．(2）過________有一條直線，并且只有一條直線．2．平面的基本性質(zhì)文字語言圖形語言符號語言基本性質(zhì)1如果一條直線上的________在一個平面內(nèi),那么這條直線上的______都在這個平面內(nèi)．這時就說，直線________或平面________若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，則______基本性質(zhì)2經(jīng)過不在同一條直線上的三點，________一個平面，簡稱為不共線的三點________一個平面若A,B，C三點不共線，則有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈α基本性質(zhì)3如果不重合的兩個平面__________，那么它們________一條過這個點的公共直線．這條公共直線叫做這兩個平面的________若A∈α，A∈β，則α∩β＝l且A∈l【做一做1－1】若點B在直線b上，b在平面β內(nèi)，則B,b，β之間的關(guān)系可以記作（）．A．B∈b∈βB．B∈b?βC．B?b?βD．B?b∈β【做一做1－2】若兩個不重合的平面有公共點，則公共點的個數(shù)是()．A．1個B．2個C．1個或無數(shù)個D．無數(shù)個且在同一條直線上【做一做1－3】如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b且M∈l，N∈l，那么()．A．l?αB．l?αC．l∩α＝MD．l∩α＝N3．平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點,__________個平面．推論2:經(jīng)過兩條______直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條______直線,有且只有一個平面．空間中的幾個點或幾條直線,如果都在同一平面內(nèi)，我們就說它們________．【做一做2－1】下列命題正確的是()．①一條直線和一個點確定一個平面；②兩條相交直線確定一個平面;③兩條平行直線確定一個平面；④四個點確定一個平面．A．①③B．②③C．③④D．②③④【做一做2－2】由4條平行直線最多可以確定（)．A．2個平面B．4個平面C．5個平面D．6個平面4．空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)__________平行直線__________沒有________不同在任何一個平面內(nèi)沒有【做一做3】下列說法正確的是()．A．四邊形是平面圖形B．有三個公共點的兩個平面必重合C．兩兩相交的三條直線必在同一個平面內(nèi)D．三角形是平面圖形5．異面直線(1)畫法：畫兩條異面直線時，為了充分顯示出它們既不________又不______的特點,即________的特點，通常采用平面襯托法，以加強(qiáng)直觀性，常見的畫法如下圖．（2)判斷方法：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線．【做一做4】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與棱AA1成異面直線的棱有__________條．1．對異面直線的理解剖析：若直線a，b是異面直線，則在空間中找不到一個平面，使其同時經(jīng)過a，b兩條直線．例如，如圖所示的長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直線既不平行又不相交，找不到一個平面同時經(jīng)過這兩條棱所在的直線．要注意分別在兩個平面內(nèi)的直線不一定是異面直線，可以平行，可以相交，也可以異面．2．平面的基本性質(zhì)的作用剖析:(1)基本性質(zhì)1的作用．利用基本性質(zhì)1可以判斷一條直線是否在一個平面內(nèi)．基本性質(zhì)1給出了判斷直線在平面內(nèi)的方法，引出了直線在平面內(nèi)的定義，從而說明了在空間中的每個平面內(nèi)都存在著各種平面圖形，在每個平面內(nèi)都可以用初中的平面幾何知識．另外，該基本性質(zhì)也是判斷點在平面內(nèi)的方法，還可借此用直線來檢驗平面．（2）基本性質(zhì)2的作用．作用之一是確定平面，作用之二是可用它來證明點、線共面問題．(3)基本性質(zhì)3的作用．平面的基本性質(zhì)3主要說明了兩個相交平面的特征，對我們確定兩個平面的交線有著重要的作用．其一，它是判定兩個平面是否相交的依據(jù),也就是說，只要兩個平面有公共點,則這兩個平面就相交；其二，它可以證多點共線的問題．若點是某兩個平面的公共點，則該點必定在這兩個平面的交線上．3．教材中的“思考與討論”已知兩條直線相交，過其中任意一條直線上的一點作另一條直線的平行線,這些平行線是否都共面？為什么？剖析:都共面，如圖所示，a∩b＝A，過b上任意一點B作c∥a，則a，c可確定一個平面α.因為A∈a，所以A∈α.又因為B∈c,所以B∈α，所以AB?α，即b?α。所以a，b，c共面．同理在a上任取一點作b的平行線，都與a,b共面，所以這些平行線都共面．題型一文字語言、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)換【例1】將下面用符號語言表示的關(guān)系改用文字語言予以敘述，并且用圖形語言予以表示．α∩β＝l,A∈l，AB?α，AC?β.分析：本題實質(zhì)是數(shù)學(xué)的三種語言：符號語言、文字語言、圖形語言之間的互譯．反思：符號語言簡潔，層次感強(qiáng)．文字語言比較自然、生動,它能將問題所研究的對象的含義更加明白地敘述出來．教科書上的概念、定理等多以文字語言敘述．圖形語言，易引起清晰的視覺形象，它能直觀地表達(dá)概念、定理的本質(zhì)以及相互關(guān)系，在抽象的數(shù)學(xué)思維面前起著具體化和加深理解的作用．各種數(shù)學(xué)語言間的互譯可為我們在更廣闊的思維領(lǐng)域里尋找問題解決的途徑提供方便．題型二共線問題【例2】如圖所示，已知△ABC的三邊所在的直線分別與平面α交于P，Q，R三點．求證：P,Q，R三點共線．分析：證明P,Q，R三點均在平面ABC與平面α的交線上．反思:證明點共線，可先由兩點確定一條直線，再證其他的點也在這一直線上，也可證明所有點都在一條特定直線(兩平面交線）上．題型三共面問題【例3】如圖所示，已知一直線a分別與兩平行直線b,c相交．求證：a，b，c三線共面．分析:有兩種方法．（1)先用兩平行直線b,c確定一個平面，再證a也在這個平面內(nèi)；(2）先由兩條相交直線a,b確定一個平面，再證c也在這個平面內(nèi)．反思：本題為我們證明共面問題提供了多角度的思維模式，但整體套路是先用部分對象確定一個平面，后證明剩余對象亦在其中．題型四共點問題【例4】三個平面α,β,γ兩兩相交于三條直線,即α∩β＝c，β∩γ＝a,γ∩α＝b，若直線a和b不平行,求證:a，b，c三條直線必過同一點．分析：直線過同一點，我們可以這樣來思考：先證明兩線相交,得一交點,然后證明該點在其余的直線上（或其余的直線經(jīng)過該點)．反思:證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過這點，把問題化歸到證明點在直線上的問題．題型五交線問題【例5】如圖所示，G是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延長線上一點,E，F(xiàn)是棱AB，BC的中點．試分別畫出過下列各點、直線的平面與正方體表面的交線．（1）過點G及AC;（2)過三點E，F(xiàn),D1。分析：找兩個平面的兩個公共點，則過這兩個公共點的直線為兩平面的交線．反思：畫截面截得正方體的截面圖形，關(guān)鍵是利用好公理,找到兩個平面上的公共點是解決此類問題的突破口．題型六易錯辨析【例6】在空間中，可以確定一個平面的條件的序號有__________．①兩兩相交的三條直線②三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交③三個點④三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點錯解：①②③④錯因分析：不能正確理解確定一個平面所需的條件，往往是疏忽了其中的特殊要求，只記得性質(zhì)和推論的大概致誤．1與“直線l上兩點A，B在平面α內(nèi)"含義不同的是(）．A．l?αB．平面α過直線lC．直線l上只有這兩個點在α內(nèi)D．直線l上所有點都在α內(nèi)2平面α∩β＝l，點A∈α，點B∈α,且C?l，但C∈β，又AB∩l＝R,如圖,過A，B，C三點確定的平面為γ，則β∩γ是()．A．直線ACB．直線BCC．直線CRD．直線AR3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q,R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么在正方體中過P，Q，R的截面圖形是（)．A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形4如圖所示，請把下面的敘述用符號語言表示出來．(1）點A,B在直線a上：__________；(2)直線a在平面α內(nèi):__________,點C在平面α內(nèi)：__________；(3)點D不在平面α內(nèi)：__________，直線b不在平面α內(nèi)：__________.5木匠師傅只需要用三只腳就能將一張圓桌面平穩(wěn)地固定,為什么？答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．(1）線段(2）兩點2．兩點所有點在平面內(nèi)經(jīng)過直線l?α有且只有確定有一個公共點有且只有交線【做一做1－1】B關(guān)鍵是弄清點與直線是元素與集合之間的關(guān)系，直線與平面是集合與集合之間的關(guān)系．【做一做1－2】D利用基本性質(zhì)3可知如果兩個平面有一個公共點，則它們就一定有一條交線,而線是由無數(shù)個點構(gòu)成的，所以這兩個平面有無數(shù)個在同一直線上的交點．【做一做1－3】A因為M∈a，N∈b，a，b?α，所以M，N∈α，根據(jù)基本性質(zhì)1可知l?α.故選A.3．有且只有一相交平行共面【做一做2－1】B【做一做2－2】D本題從確定平面的條件來考慮即可,要使四條平行直線確定的平面最多，只有當(dāng)這四條直線中任兩條所確定的平面互不相同時即為最多，從而得到結(jié)果．由確定平面的條件知，由四條平行直線最多可以確定六個平面，選D.4．有且只有一個在同一平面內(nèi)異面直線【做一做3】D空間四邊形不是平面圖形,故選項A說法不正確；若三個公共點在一條直線上，則兩個平面不一定重合，選項B也是錯誤的;選項C中兩兩相交的三條直線可能會經(jīng)過同一點，此時三條直線不一定在同一個平面內(nèi)．故選D。5．（1)平行相交不共面【做一做4】4典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：文字語言敘述為：點A在平面α與平面β的交線l上,AB,AC分別在α,β內(nèi)．圖形語言如下圖所示．【例2】證明：∵A，B，C是不在同一直線上的三點，∴過A，B，C有一個平面β.又∵AB∩α＝P，且AB?β，∴點P既在β內(nèi)又在α內(nèi)．設(shè)α∩β＝l，則P∈l.同理可證：Q∈l，R∈l.∴P,Q，R三點共線．【例3】證法一：∵b∥c，則b，c確定一個平面，設(shè)為α，如圖,令a∩b＝A,a∩c＝B，∴A∈α，B∈α,∴AB?α，即直線a?α?！郺，b,c三線共面．證法二：∵a與b是相交直線，則a，b確定一個平面，設(shè)為α,如圖，設(shè)a∩c＝A，過A點在α內(nèi)作直線c′∥b，∵c∥b，c′∥b,∴c∥c′。又∵c與c′相交于點A，∴c與c′重合．∴a,b，c三線共面．【例4】證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ。由于直線a和b不平行，∴a,b必相交,設(shè)a∩b＝P，如圖，則P∈a,P∈b.∵a?β,b?α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c,即交線c經(jīng)過點P.∴a,b,c三條直線相交于同一點．【例5】解:(1)畫法:連接GA交A1D1于點M；連接GC交C1D1于點N；連接MN，AC，則MA，CN，MN,AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．(2)畫法：連接EF交DC的延長線于點P，交DA的延長線于點Q；連接D1P交CC1于點M，連接D1Q交AA1于點N；連接MF，NE,則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②所示．【例6】④正解：①中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個點，也可能不交于同一個點，若交于同一個點，則三條直線不一定在同一個平面內(nèi)，故排除①；②中的另外兩條直線可能共面，也可能不共面，當(dāng)另外兩條直線不共面時，則三條直線不能確定一個平面，故排除②;對于③來說，三個點的位置可能不在同一直線上,也可能在同一直線上，只有前者才能確定一個平面，故排除③；條件④中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點,因而其三個交點不在同一直線上，由