2020-2024年五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題14 導(dǎo)數(shù)（真題3個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題14導(dǎo)數(shù)（真題3個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考21題基本不等式、極值、最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2023春考21題導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2022秋考18題2022春考12題抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用極限及其運(yùn)算一．極限及其運(yùn)算（共1小題）1．（2022?上海）已知函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，若將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則2．〖祥解〗是周期為4的周期函數(shù)，作出圖像，的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由此能求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖像、極限的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共1小題）2．（2024?上海）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，定義，若存在，，使是的最小值，則稱點(diǎn)是函數(shù)到點(diǎn)的“最近點(diǎn)”．（1）對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是到點(diǎn)的“最近點(diǎn)”；（2）對(duì)于，，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是到點(diǎn)的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；（3）已知存在導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)恒大于零，對(duì)于點(diǎn)，，點(diǎn)，，若對(duì)任意，存在點(diǎn)同時(shí)是到點(diǎn)與點(diǎn)的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．〖祥解〗（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據(jù)題意得到，對(duì)兩等式化簡得，再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數(shù)單調(diào)性．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；（2）由題設(shè)可得，則，因?yàn)?，均為上單調(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)，而，，故在點(diǎn)處的切線方程為，而，故，故直線與在點(diǎn)處的切線垂直．（3）設(shè)，，而，，若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是，在的“最近點(diǎn)”，設(shè)，，則既是的最小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn)，則存在，使得，即，①，②由①②相等得，即，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上恒正，則恒成立，接下來證明，因?yàn)榧仁堑淖钚≈迭c(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，則，，即，③，④③④得，即，因?yàn)閯t，解得，則恒成立，因?yàn)榈娜我庑?，則嚴(yán)格單調(diào)遞減．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，極值、最值的求解，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，屬于難題．三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共1小題）3．（2023?上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對(duì)所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說明理由；（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；（3）若曲線在，處的切線過點(diǎn)，且，，證明：當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，（c）（c）．〖祥解〗（1）設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，易知，即單調(diào)減，求得最值即可判斷；（2）根據(jù)題意得到，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，代入即可求解；（3），，在處的切線為，求導(dǎo)整理得到函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，又此時(shí)“控制函數(shù)“必與相切于點(diǎn)，與在處相切，且過點(diǎn)，在之間的點(diǎn)全在使得在切線下方，所以或，即可得證．【解答】解：（1），設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，易知，即單調(diào)減，，即，是的“控制函數(shù)“；（2），，，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，又，且，；證明：（3），，在處的切線為，，，（1）（1），，，，，恒成立，函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，是函數(shù)的“控制函數(shù)“，此時(shí)“控制函數(shù)“必與相切于點(diǎn)，與在處相切，且過點(diǎn)，在之間的點(diǎn)全在使得在切線的下方，所以或，所以曲線在處的切線過點(diǎn)，且，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于難題．一．選擇題（共9小題）1．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時(shí)，氣球的體積（單位：與直徑（單位：的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為A． B． C． D．〖祥解〗直接根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可．【解答】解：氣球體積在，△內(nèi)平均變化率為△△，所以當(dāng)時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為△△．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了瞬時(shí)變化率，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)和在區(qū)間，上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是A．在到之間的平均變化率大于在到之間的平均變化率 B．在到之間的平均變化率小于在到之間的平均變化率 C．對(duì)于任意，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率總大于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率 D．存在，使得函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率〖祥解〗由函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率的定義，可以判定選項(xiàng)、錯(cuò)誤；由函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，可以判定選項(xiàng)錯(cuò)誤，正確．【解答】解：對(duì)于、，在到之間的平均變化率是，在到之間的平均變化率是，，即二者相等；選項(xiàng)、錯(cuò)誤；對(duì)于、，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，同理函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在處的切線的斜率，由圖形知，選項(xiàng)錯(cuò)誤，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，判定每一個(gè)選項(xiàng)是否正確，是基礎(chǔ)題．3．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：A．0 B． C． D．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）下列各式中正確的是A． B． C． D．〖祥解〗逐一求導(dǎo)驗(yàn)證可得結(jié)果．【解答】解：，正確，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題．5．（2024?青浦區(qū)二模）如圖，已知直線與函數(shù)，的圖像相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)有A．2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn) B．3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn) C．2個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn) D．3個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)〖祥解〗由圖象可得函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，得到的符號(hào)，判斷的極值點(diǎn)的情況，從而判斷的正誤．【解答】解：直線與曲線相切于兩點(diǎn)，有兩個(gè)根，且，由圖象知，令，由圖可知，函數(shù)有3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，而，設(shè)的三個(gè)極大值點(diǎn)分別為，，，兩個(gè)極小值點(diǎn)分別為，．則在，，的左側(cè)，，在，，的右側(cè)，，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)極大值，在，的左側(cè)，，在，的右側(cè)，，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)極小值，故函數(shù)有5個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)極大值，2個(gè)極小值．故正確，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷以及極值的判斷，考查導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6．（2024?金山區(qū)二模）設(shè)，有如下兩個(gè)命題：①函數(shù)的圖像與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；②存在唯一的正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上．則下列說法正確的是A．①正確，②正確 B．①正確，②不正確 C．①不正確，②正確 D．①不正確，②不正確〖祥解〗對(duì)于①：根據(jù)題意可得為奇函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，又，（1），即可判斷①是否正確；對(duì)于②：根據(jù)對(duì)稱性，假設(shè)正方形的中心在原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，直線的方程，設(shè)，，，，分別聯(lián)立，解得，，由，解得，即可得出答案．【解答】解：對(duì)于①：為奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，（1），則函數(shù)的圖像與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②：根據(jù)對(duì)稱性，假設(shè)正方形的中心在原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，直線的方程，設(shè)，，，，聯(lián)立，則，同理可得，由得，，即，所以，解得或，所以不止一個(gè)正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，故②不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則下列條件中，能推出1一定不是的極小值點(diǎn)的為A．存在無窮多個(gè)，滿足（1） B．對(duì)任意有理數(shù)，，，均有（1） C．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)〖祥解〗根據(jù)極值的定義，結(jié)合選項(xiàng)，即可得出結(jié)果．【解答】解：由極值的定義可知，當(dāng)函數(shù)在處取得極小值時(shí)，在左側(cè)的函數(shù)圖象存在點(diǎn)比處的函數(shù)值小，在右側(cè)的函數(shù)圖象存在點(diǎn)比處的函數(shù)值小，故排除，；對(duì)于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)；對(duì)于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，則不是函數(shù)的極小值點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．8．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)的圖像在，，，兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是A． B． C． D．〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，再由、、，即可得到，最后由基本不等式求出的范圍，即可判斷．【解答】解：由，得，則，，依題意可得，且、、，，則，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)、分別取3、時(shí)，滿足題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，是中檔題．9．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．〖祥解〗令在上是增函數(shù)，不等式恒成立等價(jià)于，所以，令，轉(zhuǎn)化為．【解答】解：依題意，在上是增函數(shù)，，不等式恒成立，即恒成立，等價(jià)于恒成立，，令，則，易得（e），，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于中檔題．二．填空題（共22小題）10．（2024?嘉定區(qū)二模）已知曲線上有一點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線的斜率為4或1〖祥解〗根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①為切點(diǎn)，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則，即過點(diǎn)的切線的斜率；②不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則，則有，解可得或2（舍，此時(shí)切線的斜率．綜合可得：切線的斜率為4或1．故答案為：4或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024?靜安區(qū)二模）已知物體的位移（單位：與時(shí)間（單位：滿足函數(shù)關(guān)系，則在時(shí)間段內(nèi)，物體的瞬時(shí)速度為的時(shí)刻（單位：．〖祥解〗可求出導(dǎo)函數(shù)，然后求出時(shí)的導(dǎo)數(shù)即可．【解答】解：由題可得：，可得，又，可得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的物理意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深，上口寬，若以的勻速往杯中注水，當(dāng)時(shí)間為時(shí)，酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率是．〖祥解〗設(shè)時(shí)刻水面高為，水面圓半徑為，用表示，求出圓錐中水的體積，根據(jù)杯中水的體積列方程求出關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)變化率即可．【解答】解：由題意，設(shè)時(shí)刻水面高為，水面圓半徑為，則，即，則此時(shí)水的體積為，又以的勻速往杯中注水，則此時(shí)水的體積為，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，（3）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13．（2024?青浦區(qū)二模）如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深，上口寬，若以的勻速往杯中注水，當(dāng)水深為時(shí)，酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率．〖祥解〗由導(dǎo)數(shù)物理意義，結(jié)合變化的快慢與變化率及求導(dǎo)公式求解即可．【解答】解：由題意，設(shè)時(shí)刻水面高為，水面圓半徑為，則，即，則此時(shí)水的體積為，又以的勻速往杯中注水，則此時(shí)水的體積為，即，即，即，又當(dāng)水深為時(shí)，即時(shí)，，則，即酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)物理意義，重點(diǎn)考查了變化的快慢與變化率，屬基礎(chǔ)題．14．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，則（1）．〖祥解〗對(duì)求導(dǎo)，再代入，從而求得（3），進(jìn)而得到，由此計(jì)算可得（1）．【解答】解：因?yàn)?，所以，則，解得：（3），所以，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?寶山區(qū)三模）若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為．〖祥解〗根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為，又，根據(jù)題意可得：，，切點(diǎn)為，又在直線上，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題．16．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）曲線在點(diǎn)，處的切線方程是．〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由斜截式求出切線方程．【解答】解：因?yàn)?，所以，，則，即切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）設(shè)曲線和曲線在它們的公共點(diǎn)處有相同的切線，則的值為2．〖祥解〗根據(jù)兩曲線在點(diǎn)處有相同的切線，可得，，的值，進(jìn)而得解．【解答】解：依題意，，，則，又，，則，，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，依題意，，，則．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）（文曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角為．〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率（1），，曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角為，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．19．（2024?金山區(qū)二模）設(shè)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．〖祥解〗由函數(shù)奇偶性的定義求解值，可得函數(shù)解析式，再求其導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，求出的值，然后利用直線方程的斜截式得答案．【解答】解：為奇函數(shù)，恒成立，則，，，得，又，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題．20．（2024?虹口區(qū)二模）已知關(guān)于的不等式對(duì)任意均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．〖祥解〗分兩個(gè)情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，分析方程左端是否符合題意，令，，分析單調(diào)性，極值，當(dāng)在軸下方，在軸上方時(shí)，，當(dāng)與有相同的零點(diǎn)時(shí)，，可得的取值范圍．【解答】解：當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，左邊必然大于0，不滿足題意，所以，令，，，對(duì)稱軸為，開口向上，有最小值，令，解得為極大值點(diǎn)，情況一：在軸下方，在軸上方，即，得不等式組的解集為，情況二：與有相同的零點(diǎn)，此時(shí)，得不等式組的解集為無解，綜上所述，，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．21．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）中國古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形．如圖，將一根截面為圓形的木材加工制成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為，與承載重力的方向平行的高度為，記矩形截面抵抗矩．根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則寬與高的最佳之比應(yīng)為．〖祥解〗根據(jù)已知條件，先求出的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：設(shè)圓的直徑為，則，即，，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，令，解得，故在，上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．22．（2024?徐匯區(qū)模擬）如圖，兩條足夠長且互相垂直的軌道、相交于點(diǎn)，一根長度為8的直桿的兩端點(diǎn)、分別在、上滑動(dòng)、兩點(diǎn)不與點(diǎn)重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計(jì)），直桿上的點(diǎn)滿足，則面積的取值范圍是，．〖祥解〗根據(jù)已知條件，先求出的面積，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：設(shè)，則，，，故的面積，令，則，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，，故面積的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．23．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）函數(shù)的表達(dá)式為，如果（a）（b）（c）且，則的取值范圍為．〖祥解〗利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，令（a）（b）（c），可得的范圍，則的三個(gè)根為，，，從而可得，右邊去括號(hào)即可得解．【解答】解：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則函數(shù)的極大值為，極小值為（2），作出函數(shù)的大致圖象，若（a）（b）（c）且，令（a）（b）（c），則，即的三個(gè)根為，，，即，又，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．24．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知函數(shù)在處有極值0，則．〖祥解〗由題可得，解方程，即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，根?jù)題意可得：．解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，方程思想，屬中檔題．25．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)，，如果對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．〖祥解〗求導(dǎo)函數(shù)，分別求出函數(shù)的最大值，的最小值，進(jìn)而可建立不等關(guān)系，即可求出的取值范圍．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)，可得，，，，（2），，在，上單調(diào)遞增，，對(duì)任意的，都有成立，，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為．26．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．〖祥解〗根據(jù)的單調(diào)性特點(diǎn)可確定實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：由題，令，解得，令，解得或，由此得函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．故函數(shù)在處取極小值，又時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)樵谏洗嬖谧钚≈?，所以極小值必是區(qū)間上的最小值，故，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．27．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是，．〖祥解〗求導(dǎo)數(shù)，則，確定單調(diào)性，討論的取值范圍可得結(jié)果．【解答】解：由題意得，，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上無極值，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而（1），故，當(dāng)時(shí)，．則．綜上，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．28．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知，，若（a）（b），且的最小值為3，則實(shí)數(shù)的值為．〖祥解〗根據(jù)題意，可得，從而構(gòu)造（b），利用導(dǎo)數(shù)求得（b）即可得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)椋╝）（b），所以，所以，設(shè)（b），所以（b），令（b），則，所以當(dāng)時(shí)，（b）時(shí)，即，（b），所以時(shí)，（b）取極小值，即有，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．29．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，皆有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．〖祥解〗構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時(shí)，利用分離常數(shù)法求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：因?yàn)?，設(shè)，則，又因?yàn)楹瘮?shù)，且對(duì)任意，皆有成立，所以，，且，所以；設(shè)，，則，令，解得，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用問題，是中檔題．30．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，，若有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，即可求出其最大值，依題意有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，即可得到（1）（1）且，從而求出參數(shù)的取值范圍．【解答】解：設(shè)，，則，，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，時(shí)函數(shù)取極大值即最大值，又，（1），（3），直線恒過定點(diǎn)且斜率為，要使有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，即有且僅有兩個(gè)整數(shù)滿足，（1）（1）且，解得，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．31．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．若函數(shù)具有性質(zhì)，其中，，為實(shí)數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．〖祥解〗根據(jù)三角函數(shù)輔助角公式和將函數(shù)解析式中的，消去，再求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)列式表示出性質(zhì)，將式子展開后把等式當(dāng)作一個(gè)關(guān)于的方程的有解問題，根據(jù)一元二次方程有解條件化簡等式求解出值，再根據(jù)將，換元為三角函數(shù)形式代入求解出實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【解答】解：由題意可得，，于是，．設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，則由函數(shù)具有性質(zhì)，可得，即，整理得，將上式視為關(guān)于的方程，則其判別式：，即△，注意到，，則，故，此時(shí)或，代入方程可得，因此，．另一方面，由，可設(shè)，，其中，則，即．因此，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義問題，解題第一步都是模仿定義列式求解，此題難度不在于新定義，而在于式子的復(fù)雜性，一方面需要根據(jù)題意優(yōu)先化簡函數(shù)解析式，為求導(dǎo)后的計(jì)算打下基礎(chǔ)；另一方面，在求導(dǎo)后的計(jì)算中，要將作為主元進(jìn)行求解，因此展開方程即便系數(shù)復(fù)雜，也能看出方程本質(zhì)為關(guān)的一元二次方程，最終按照一元二次方程性質(zhì)解題即可，考查了分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力，屬于較難題目．三．解答題（共25小題）32．（2024?閔行區(qū)三模）已知函數(shù)．（其中為常數(shù)）．（1）若，求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．〖祥解〗（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到（2）且（2），進(jìn)而求得切線方程；（2）求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，求得在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以（2）且（2），所以切線方程為，即，所以曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為．（2）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又由，令，解得，，?dāng)時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：10極小值所以函數(shù)的極小值為，也是函數(shù)的最小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；（3）解：當(dāng)時(shí)，，令，解得，（舍去）所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：100極大值極小值所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的極大值為，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)；又由且函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點(diǎn)問題，屬于中檔題．33．（2024?靜安區(qū)二模）已知，記且．（1）當(dāng)是自然對(duì)數(shù)的底）時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性和最值；（2）試討論函數(shù)的奇偶性；（3）拓展與探究：①當(dāng)在什么范圍取值時(shí)，函數(shù)的圖像在軸上存在對(duì)稱中心？請(qǐng)說明理由；②請(qǐng)?zhí)岢龊瘮?shù)的一個(gè)新性質(zhì)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)出來．（不必證明）〖祥解〗（1）求導(dǎo)得，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分析的符號(hào)，的單調(diào)性，最值，即可得出答案．（2）若為偶函數(shù)，這對(duì)于任意的，都有，即對(duì)于任意的，，解得；若為奇函數(shù)，這對(duì)于任意的，，解得，即可得出答案．（3）分析函數(shù)對(duì)稱中心，即可得出答案．【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，函數(shù)在上無最值，當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，所以函數(shù)在上有最小值，無最大值，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，函數(shù)在上無最值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，在上為嚴(yán)格增函數(shù)，函數(shù)在上有最小值，無最大值．（2）因?yàn)椤盀榕己瘮?shù)”“對(duì)于任意的，都有”，對(duì)于任意的，都有，并且，對(duì)于任意的，，所以是為偶函數(shù)的充要條件．因?yàn)椤盀槠婧瘮?shù)”“對(duì)于任意的，都有”對(duì)于任意的，都有，并且；對(duì)于任意的，．所以是為奇函數(shù)的充要條件，綜上所述，時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是非奇非偶函數(shù)．（3）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有對(duì)稱中心，，即當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有，并且，證明：當(dāng)時(shí)，令，解得為函數(shù)的零點(diǎn)，由得，．②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有對(duì)稱軸．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有，并且．證明：當(dāng)時(shí)，由得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．34．（2024?嘉定區(qū)二模）已知常數(shù)，設(shè)．（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）是否存在，且、、依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由．（3）求證：“”是“對(duì)任意，，，都有”的充要條件．〖祥解〗（1）求導(dǎo)分析的符號(hào)，的單調(diào)性，最值，即可得出答案．（2）根據(jù)題意可得，，則，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，討論是否滿足條件，即可得出答案．（3）由，得，令，則原①，證明充分性和必要性，即可得出答案．【解答】解：（1），，令，得，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以（1）．（2）若、、依次成等比數(shù)列，則，若、、成等差數(shù)列，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，則，聯(lián)立，得，，即，所以，與矛盾，所以時(shí)，存在，，滿足條件，當(dāng)時(shí)，不存在，，滿足條件．（3）證明：，則，，所以，又，令，上式①，令，則恒成立，單調(diào)遞減，所以（1），充分性：若，則，則恒成立，必要性：要使得①式恒成立，則恒成立，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．35．（2024?奉賢區(qū)三模）若定義在上的函數(shù)和分別存在導(dǎo)函數(shù)和．且對(duì)任意均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”．我們將滿足方程的稱為“導(dǎo)控點(diǎn)”．（1）試問函數(shù)是否為函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”？（2）若函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，且函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求出所有的“導(dǎo)控點(diǎn)”；（3）若，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，求證：“”的充要條件是“存在常數(shù)使得恒成立”．〖祥解〗（1）直接根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”的定義判斷即可；（2）根據(jù)“導(dǎo)控函數(shù)”的定義可得恒成立，再根據(jù)恒成立問題求解即可；（3）分別證明①充分性：由若存在常數(shù)，使得恒成立，推到；②必要性：由，推到存在常數(shù)使得恒成立即可．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以函?shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”；（2）由題意可知：恒成立，令，則，所以，所以，即．又因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以，．故“?dǎo)控點(diǎn)”為2；（3）充分性：若存在常數(shù)，使得恒成立，所以為偶函數(shù)，所以，即，所以；必要性：若，則，所以是偶函數(shù)．又因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，所以，又因?yàn)?，，所以函?shù)是函數(shù)的“導(dǎo)控函數(shù)”，所以，即，所以，綜上可知：．記，則．所以存在常數(shù)使得恒成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問題，導(dǎo)數(shù)的綜合問題，是中檔題．36．（2024?崇明區(qū)二模）已知．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：；（3）若，，數(shù)列滿足，．求證：當(dāng)時(shí)，．〖祥解〗（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；（2）由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系先表示，然后結(jié)合二次方程根的存在條件即可證明；（3）結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，結(jié)合已知遞推關(guān)系及函數(shù)單調(diào)性即可證明．【解答】解（1）當(dāng)時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；證明：（2）由，得，令，則，原方程可化為①，則是方程①的兩個(gè)不同的根，所以，解得，所以，因?yàn)椋?，所以，?）由題意，，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格增，因?yàn)椋裕?），（1），以此類推，當(dāng)時(shí)，（1），又，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，當(dāng)時(shí)，（1），所以，所以，即，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義在切線方程求解中的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性在不等式證明中的應(yīng)用，屬于中檔題．37．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．〖祥解〗（1）當(dāng)時(shí)，，求出，根據(jù)的正負(fù)得到的單調(diào)性，進(jìn)而求出的極值；（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于與有2個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可；（2）求出，得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，要證，只需證，只需證，即證，令，對(duì)求導(dǎo)證明即可．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取到極小值0，無極大值；（2）方程，顯然當(dāng)時(shí)，方程不成立，則，，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即與有2個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)或時(shí)，，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，并且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，嚴(yán)格增，時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，（1），作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：與有2個(gè)交點(diǎn)，則，即的取值范圍為；（3）證明：，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意，則，，要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)在上嚴(yán)格增，由，可得，即，所以，又函數(shù)在上嚴(yán)格減，所以，即得證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題．38．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）求證：．〖祥解〗（1）求導(dǎo)，判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)，求解新函數(shù)的最值即可；（3）先證明，再求和可得證結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，令可得；令可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由恒成立，可得恒成立，令，則，令得，的增區(qū)間為，令得，的減區(qū)間為，所以的最大值為，所以，故的取值范圍是；（3）證明：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即，令，則，所以，，，，，以上各式相加可得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了不等式的放縮，屬于中檔題．39．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知，其中．（1）若曲線在點(diǎn)，（2）處的切線與直線垂直，求的值；（2）設(shè)，函數(shù)在時(shí)取到最小值，求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，數(shù)列滿足，且，證明：．〖祥解〗（1）由題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)曲線切線的關(guān)系以及直線垂直斜率的關(guān)系，列出等式即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用換元法，建立新函數(shù)，可得答案；（3）利用綜合法，整理不等式，通過構(gòu)建新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值．【解答】解：（1）因?yàn)?，可得，若曲線在點(diǎn)，（2）處的切線與直線垂直，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，解得；（2）因?yàn)椋瘮?shù)定義域?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，所以有兩異號(hào)實(shí)根，不妨設(shè)為方程的正根，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值也是最小值，最小值，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以（1）．綜上，，的最大值為1；（3）證明：要證，即證，因?yàn)?，此時(shí)要證，因?yàn)楫?dāng)，，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，要證，需證，即證，又，要證，即證，因?yàn)椋?），在上單調(diào)遞減，極值，因?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；在時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（1），又，所以，同理．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．40．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（3）求函數(shù)在，上的最小值．〖祥解〗（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證得結(jié)論成立；（3）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在，上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在，上的最小值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，曲線在處的切線方程為；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，令，則或，且，列表如下：000增極大值減極小值增函數(shù)的極大值為，極小值為，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?），由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（3），，①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，，則且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)時(shí)，由，可得，由，可得，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，則；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則．綜上所述，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬中檔題．41．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，令．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)為正數(shù)且時(shí)，，求的最小值；（3）若對(duì)一切都成立，求的取值范圍．〖祥解〗（1）把代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系分析函數(shù)的最小值的取得條件，即可求解；（3）已知不等式可轉(zhuǎn)化為對(duì)一切都成立，結(jié)合已知不等式考慮構(gòu)造函數(shù)，，從而有在上單調(diào)遞增，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可求．【解答】解：（1）時(shí)，，，故（1），（1），所以在處的切線方程為，即；（2），，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，易得在，上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故，不合題意；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上的最小值（e）（1），不符合題意，故的最小值為1；（3）若對(duì)一切都成立，則對(duì)一切都成立，所以對(duì)一切都成立，令，，則在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)檫^定點(diǎn)，對(duì)稱軸，則只要△，所以，故的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．42．（2024?寶山區(qū)三模）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，，若，4，5，，，證明：．〖祥解〗（1）根據(jù)題意，利用直線的斜率與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)，再分別求切線方程驗(yàn)證即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)出切點(diǎn)，，，，求出，處的切線方程，再利用“雙重切線”的定義求出切線方程；（3）利用“雙重切線”的定義，分別設(shè)出，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，分別利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到對(duì)應(yīng)切點(diǎn)之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定判的零點(diǎn)所在區(qū)間，然后借助不等式性質(zhì)推理即得．【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?，，求?dǎo)得，直線的斜率為2，令，解得，不妨設(shè)切點(diǎn)，，則點(diǎn)處的切線方程為，即，點(diǎn)處的切線方程為，即，所以直線是曲線的“雙重切線”．（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)切點(diǎn)，，，，則存在，使得，則在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，因此，消去可得，，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)的零點(diǎn)為，因此，，所以曲線的“雙重切線”的方程為；（3）設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，由，得，，由誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的周期性知，只需考慮，，其中，，由及余弦函數(shù)在上遞增知，，則，，因此，又，，則，同理，令，求導(dǎo)得．則在上單調(diào)遞增，顯然，且，函數(shù)在上的值域?yàn)椋春瘮?shù)在上存在零點(diǎn)，則有，由，同理可得，而，因此，于是，即有．所以，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得方程的零點(diǎn)，是中檔題．43．（2024?黃浦區(qū)二模）若函數(shù)的圖像上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖像的一對(duì)“同切點(diǎn)”．（1）分別判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”，并說明理由；（2）若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖像不存在“自公切線”；（3）設(shè)，的零點(diǎn)為，，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖像的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”．〖祥解〗（1）由正弦函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出是嚴(yán)格增函數(shù)，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明只有一個(gè)零點(diǎn)即可；按照自公切線”的定義證明不存在即可；（3）按照‘同切點(diǎn)’的定義及充要條件的定義證明即可．【解答】解：（1）因?yàn)橹本€是的圖像的一條“自公切線”，故函數(shù)的圖像存在“自公切線”；對(duì)于，是嚴(yán)格減函數(shù)，故在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，所以函數(shù)的圖像不存在“自公切線”，所以的圖像存在“自公切線”，函數(shù)的圖像不存在“自公切線”；（2）證明：因?yàn)?，，所以在上恒成立，且僅當(dāng)時(shí)，故是嚴(yán)格增函數(shù)，可得它至多有一個(gè)零點(diǎn)．令，由的圖像是連續(xù)曲線，且，所以在上存在零點(diǎn)，故在上，存在零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)；假設(shè)的圖像存在“自公切線”，則存在，且，使得的圖像在與處的切線重合，故，且，由可得，不妨設(shè)，將代入，可得，，在上圖的單位圓中，，于，可知，與矛盾．故的圖像不存在“自公切線”．（3）證明：必要性：對(duì)給定的，由（2）知有唯一零點(diǎn)，所以唯一確定．又在點(diǎn)處的切線方程為，即，在點(diǎn)處的切線方程為，若存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)圖像的一對(duì)“同切點(diǎn)”，則，又，故，所以，且，從而存在，使得，代入，可得，故，所以是數(shù)列中的項(xiàng)；充分性：若是數(shù)列中的項(xiàng)，則存在，使得，即，由（2）中的嚴(yán)格增，可知嚴(yán)格增，又且，可知，令，則且，，即，可得，所以存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖像的一對(duì)同切點(diǎn)”．綜上可知“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)圖像的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及充要條件的證明，屬于難題．44．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點(diǎn)，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．（1）判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；（2）設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；（3）設(shè)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)和正數(shù)，都是“函數(shù)”．〖祥解〗（1）記，設(shè)切點(diǎn)為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再證明直線與的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，將與函數(shù)聯(lián)立，得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．（2）將點(diǎn)，處的切線的方程與聯(lián)立得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，即可得證；（3）類似第（2）問的思路得到在上有且僅有一解，則或，再分、兩種情況說明即可．【解答】解：（1）記，則，設(shè)切點(diǎn)為，，由切線方程為知，則，解得．所以切點(diǎn)為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，將與函數(shù)聯(lián)立，得．記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故是一條“切線”；（2）證明：因?yàn)?，所以，則點(diǎn)，處的切線方程為，將點(diǎn)，處的切線的方程與聯(lián)立得，記，則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（此時(shí)，一個(gè)對(duì)應(yīng)一條“切線”，顯然是的零點(diǎn)，故只要沒其它零點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故此時(shí)為唯一的極小值點(diǎn)（也是最小值點(diǎn)），而，故無其他零點(diǎn)，故直線為“切線”，因?yàn)榈娜我庑裕屎瘮?shù)存在無窮多條“切線”，（3）證明：因?yàn)椋瑒t，設(shè)點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)的切線為，與聯(lián)立得：，由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，則或，若，則（此時(shí)只有一條“切線”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，或（此時(shí)有無數(shù)條“切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為上的任意值），若，則是方程的唯一解（此時(shí)有無數(shù)條“切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為上的任意值）．綜上，，即證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．45．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖像．若過點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)與點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，不需要說明理由；（2）已知，．證明：點(diǎn)是的0度點(diǎn)；（3）求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．〖祥解〗（1）是的1度點(diǎn)，不是的1度點(diǎn)；（2）求導(dǎo)得，設(shè)，可得出曲線在點(diǎn)處的切線方程為，該切線過點(diǎn)時(shí)，，然后設(shè)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增，從而得出方程無解，這樣即可得出要證明的結(jié)論；（3）求導(dǎo)得出，設(shè)，可得出曲線在處的切線方程為，設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的2度點(diǎn)，從而得出關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，討論時(shí)，可得出不合要求；時(shí)，，根據(jù)可求出的極大值和極小值，并可得出，，然后討論極大值和極小值和0的關(guān)系即可得出函數(shù)的2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．【解答】解：（1）由題意，設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，該切線過原點(diǎn)時(shí)，，解得，故原點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)；又因?yàn)樵撉芯€過點(diǎn)，所以，設(shè)，則，令，得，所以時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，且（1），所以無解，點(diǎn)不是函數(shù)的1度點(diǎn)；（2）證明：設(shè)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則該切線過點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，設(shè)，，時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，恒不成立，即點(diǎn)是的一個(gè)0度點(diǎn)；（3），對(duì)任意，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，則點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，若，則在上嚴(yán)格增，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；若，，令得或，由或時(shí)，，得嚴(yán)格增；當(dāng)時(shí)，，得嚴(yán)格減，故在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值（a），又，，當(dāng)（a）時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；當(dāng)（a）時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；當(dāng)（a）時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，也不合要求；故有兩個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或（a），若，同理可得有兩個(gè)不同零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或（a），綜上，函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為或，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極大值和極小值的方法，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法，考查了計(jì)算能力，屬于難題．46．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若對(duì)任意、，且時(shí)，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）分別討論，，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，可得結(jié)論；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，由極值點(diǎn)1可得（1），解得，求得的解析式和導(dǎo)數(shù)、極值，由題意可得介于極小值和極大值之間；（3）由的單調(diào)性可得對(duì)任意、，且時(shí)恒成立，可得在，遞減；在，遞增．再由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值，可得所求取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，滿足，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，且，沒有奇偶性；（2）函數(shù)在處有極值，可得，（1），即，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)或時(shí)，，遞增，可得在處取得極小值，且為；在處取得極大值，且為，的方程有3個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)為，即有的取值范圍是；（3）在，遞減，可得時(shí)，，，即為，即，即為對(duì)任意、，且時(shí)恒成立．所以在，遞減；在，遞增．當(dāng)在，恒成立時(shí)，可得，即在，恒成立．由的導(dǎo)數(shù)為，可得在，遞增，在，遞減，則的最大值為，則；當(dāng)在，恒成立時(shí)，可得，即在，恒成立．由的導(dǎo)數(shù)為，可得在，遞增，則最小值為1，則．綜上可得的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值、最值，以及函數(shù)奇偶性的判斷，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．47．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，，．（1）（1），（1），求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，，且不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；（3）設(shè)，試?yán)媒Y(jié)論，證明：若，，，，其中，，則．〖祥解〗（1）由題意，得到和（1）的值，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，得到（1）的值，結(jié)合（1），（1），列出等式即可求出實(shí)數(shù)，的值；（2）將，分別代入和解析式中，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，將不等式對(duì)任意恒成立，轉(zhuǎn)化成對(duì)任意恒成立，利用換元法，令，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性和最值，進(jìn)而即可求出的取值范圍；（3）將代入函數(shù)解析式中，易得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；同理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，將，，，依次表達(dá)出來，再相加即可得證．【解答】解：（1）已知，，，函數(shù)定義域?yàn)?，易知，?），因?yàn)椋?），所以，①易知，可得（1），因?yàn)椋?），所以，②聯(lián)立①②，解得，；（2）若，，此時(shí)，，可得，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意恒成立，可得，即對(duì)任意恒成立，不妨令，，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，易得，?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，此時(shí)，解得；（3）證明：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，，，，以上個(gè)式子相加可得：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值以及不等式的恒成立問題，考查了推理論證能力、分類與整合思想和轉(zhuǎn)化思想等．48．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記，若，為的兩個(gè)駐點(diǎn)，當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，求的取值范圍．〖祥解〗（1）對(duì)求導(dǎo)，直接由導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的范圍即可．（2）由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，再求最小值小于零得出結(jié)果．（3）根據(jù)駐點(diǎn)得出導(dǎo)函數(shù)為零的的兩根，用韋達(dá)定理將雙變量換成單變量代入，寫出表達(dá)式再求導(dǎo)即可．【解答】解：（1）由可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；而當(dāng)時(shí)，既不恒正，也不恒負(fù)，即不是定義域上的單調(diào)函數(shù)，不符合題意，舍去；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，；（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，不是定義域上的單調(diào)函數(shù)，即；由①，得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在，上為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，的取值范圍為；（3），為的兩個(gè)駐點(diǎn)，，為一元二次方程的兩個(gè)不同的正根，即，則，解得，，令，則，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則，的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，駐點(diǎn)的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬難題．49．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程在，上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）是否存在正整數(shù)，使得滿足，的無窮數(shù)列是存在的，如果存在，求出所有的正整數(shù)的值，如果不存在，說明理由．〖祥解〗（1）根據(jù)的圖像在處的切線與直線平行，可得，再求出的值即可；（2）由（1）可知，等價(jià)于，令，判斷的單調(diào)性，求出最值，再得到的取值范圍即可；（3）根據(jù)切線不等式放縮，可得，則只要，數(shù)列收斂于，因此只需，即可求出滿足題意的所有的正整數(shù)的值．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)榈膱D像在處的切線與直線平行，所以，解得．（2）由（1）知，所以原方程變形為．令，則在，上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于直線與曲線在，上有兩個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以（3）．因?yàn)椋?），（4），所以，而，所以，即（4）（2），所以的取值范圍為，．（3）設(shè)，則，所以在上遞增，在上遞減，所以（1），即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．若，則，所以數(shù)列收斂到，滿足題意．因此只需即可，等價(jià)于．設(shè)，易知在，上遞減，，所以存在唯一的零點(diǎn)，使得，所以在上遞增，在，上遞減，所以，又，，，當(dāng)時(shí)，則，由上可知，這樣的正整數(shù)不存在．綜上，或且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查了方程思想與轉(zhuǎn)化思想，屬難題．50．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，曲線與有兩條公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先利用公切線的幾何意義，變形得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)問題，即可求解；（3）不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，結(jié)合不等式，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）設(shè)公切線切于點(diǎn)，，切于，，則有，即，得，代入得．構(gòu)造函數(shù)，，．當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（3）函數(shù)，令恒成立：可得，令，顯然在，上為增函數(shù)，則（1）．①當(dāng)時(shí)，得，，得在，上單增，（1）恒成立，故滿足題意．②當(dāng)時(shí)，令，得，（舍．得時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又（1），極小值，不可能恒成立，不符合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．51．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為．若區(qū)間及實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意成立，則稱函數(shù)為上的“函數(shù)”．（1）判斷是否為上的（1）函數(shù)，說明理由；（2）若實(shí)數(shù)滿足：為上的函數(shù)，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)存在最大值．對(duì)于：：對(duì)任意，與恒成立，：對(duì)任意正整數(shù)，都是上的函數(shù)，問：是否為的充分條件？是否為的必要條件？證明你的結(jié)論．〖祥解〗（1）求導(dǎo)，推導(dǎo)出在時(shí)恒成立，從而是上的（1）函數(shù)．（2）實(shí)數(shù)滿足：，即，令，由于，且的為離散的點(diǎn)，從而為嚴(yán)格減函數(shù)，由，得．，，由此能求出的取值范圍．（3）推導(dǎo)出為的充分條件．若成立，即對(duì)任意正整數(shù)，有：，記函數(shù)的最大值為．用反證法證明恒成立和恒成立，從而為的必要條件．【解答】解：（1）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為．若區(qū)間及實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意成立，則稱函數(shù)為上的“函數(shù)”．．等價(jià)于，在時(shí)恒成立，是上的（1）函數(shù)．（2）實(shí)數(shù)滿足：，即．①特別地，在①中取，可知，反之，當(dāng)時(shí)，①成立．令，由于，且的為離散的點(diǎn)，故為嚴(yán)格減函數(shù)，又，所以．，，從而的取值范圍是：且，．（3）若成立，則對(duì)任意正整數(shù)，有：，即為上的函數(shù)，成立．故為的充分條件．若成立，即對(duì)任意正整數(shù)，有：②，記函數(shù)的最大值為．先證明恒成立．反證法，假如存在使得，則取正整數(shù)，使得，此時(shí)有，與②矛盾．這意味著為上的嚴(yán)格減函數(shù)．再證明恒成立．取為的一個(gè)最大值點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性知，但，所以，于是．對(duì)任意，可取一個(gè)與有關(guān)的正整數(shù)，使得，由②知：．于是成立．故也為的必要條件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、充分條件、必要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．52．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)（其中為非零常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底），記．（1）求對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立的最小整數(shù)的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，，存在極值點(diǎn)，求證：點(diǎn)在一定直線上，并求該定直線方程；（3）是否存在正整數(shù)和實(shí)數(shù)，使，且對(duì)任意的正整數(shù)，至多有一個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求出所有滿足條件的和，若不存在，說明理由．〖祥解〗（1）由題意得到，即可求解；（2），，由題意得到，方程兩邊同時(shí)加上即可得證；（3）由無解，得到；①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，即或2，利用單調(diào)性即可求解．【解答】解：（1），，即，；證明：（2），，因?yàn)槎即嬖跇O值點(diǎn)，所以，方程兩邊同時(shí)加上得，即，在直線上；解：（3）無解，所以，①當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格減且（1），在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，（1）恒成立，所以單調(diào)減，綜上所述，存在滿足條件；②當(dāng)時(shí)，，即或2，當(dāng)時(shí)，（舍，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，且時(shí)，，在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，而（2）存在使得在上，，在上，在上，在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增，在上嚴(yán)格減，不合題意舍，；綜上①②所述：存在滿足條件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于難題．53．（2024?普陀區(qū)模擬）對(duì)于函數(shù)，和，，設(shè)，若，，且，皆有成立，則稱函數(shù)與“具有性質(zhì)”．（1）判斷函數(shù)，，與是否“具有性質(zhì)（2）”，并說明理由；（2）若函數(shù)，，與“具有性質(zhì)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與“具有性質(zhì)（1）”，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，，求證．〖祥解〗（1）根據(jù)條件，結(jié)合性質(zhì)的定義判斷即可；（2）根據(jù)，，與“具有性質(zhì)”，可得對(duì)，，恒成立，再求出的范圍即可；（3）根據(jù)條件，得到，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件證明不等式即可．【解答】解：（1）由，，，且，得，，則，，，函數(shù)，，與“具有性質(zhì)（2）”．（2）由函數(shù)，，與“具有性質(zhì)”，得，，，，且，即，，則對(duì)，，恒成立．又，，，，則，，即，，的取值范圍為，．（3）證明：由在有兩個(gè)零點(diǎn)，，可得，又與“具有性質(zhì)（1）”，，，，令，則，令，則，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．要證，即證，設(shè)，只需證，只需證，即證，設(shè)，則，，函數(shù)在是減函數(shù)，且（1），又，則（1），即，則，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用不等式恒成立求出參數(shù)的取值范圍，利用綜合法和分析法證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬難題．54．（2024?松江區(qū)二模）已知函數(shù)為常數(shù)），記．（1）若函數(shù)在處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）對(duì)于正實(shí)數(shù)，求證：；（3）時(shí)，求證：．〖祥解〗（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解的值；（2）設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可證明不等式；（3）分析可得只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)只需證明即可．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，所以?），又因?yàn)?，所以在處的切線方程為：．將點(diǎn)代入切線方程可得．（2）證明：設(shè)函數(shù)，所以，所以．所以，令，得：，所以在上嚴(yán)格遞增；在上嚴(yán)格遞減；所以的最小值為，即總有：，而，所以．（3）證明：當(dāng)時(shí)，即證，由于，，故，只需證，令，只需證明，而，因?yàn)椋?，令，得，令，得，所以在處取得極大值，也是最大值，所以（1），故在上恒成立，結(jié)論得證．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于難題．55．（2024?虹口區(qū)二模）若函數(shù)滿足：對(duì)任意，，，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）設(shè)，，分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)具有性質(zhì)，且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù)．〖祥解〗（1）取特殊值判斷，利用所給定義判斷；（2）首先判斷的奇偶性，依題意可得是嚴(yán)格增函數(shù)，則恒成立，再分、、三種情況討論．（3）依題意只要證明對(duì)任意實(shí)數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)，設(shè)，則由具有性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，分，兩種情況討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可．【解答】解：（1）不具有性質(zhì)．理由：取，，有，具有性質(zhì)．理由：對(duì)任意，，有，（2）函數(shù)具有性質(zhì)，故對(duì)，，，都有，而是奇函數(shù)，故，即是嚴(yán)格增函數(shù)，恒成立，若，則，解得；若，則恒成立；若，則，解得；綜合上述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；證明：（3）因函數(shù)的定義域?yàn)?，要證明是奇函數(shù)，只要證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，即可．對(duì)任意實(shí)數(shù)，設(shè)，則由具有性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，①，設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，由①得，即當(dāng)，時(shí)，．②當(dāng)，即時(shí)，由①得，即當(dāng)時(shí)，．③于是由曲線的連續(xù)性，函數(shù)在上存在零點(diǎn)，即．④由函數(shù)在上嚴(yán)格增知：函數(shù)在上嚴(yán)格增；所以由②知，由③知，故，故由④得：，即對(duì)任意對(duì)任意實(shí)數(shù)，均有；因此，函數(shù)是奇函數(shù)；另證：（3）由具有性質(zhì)，知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理知，即．下面用反證法證明是奇函數(shù)．假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，則由在上嚴(yán)格增，知，若，則構(gòu)造函數(shù)，，，由零點(diǎn)存在定理知，存在使得，即；而在上嚴(yán)格增，同樣由單調(diào)性知，從而有，與具有性質(zhì)矛盾．若，構(gòu)造函數(shù)，同理也可推出與具有性質(zhì)矛盾．綜合上述，存在使得的假設(shè)不能成立，即對(duì)任意都有，故是奇函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，函數(shù)的奇偶性證明問題，考查邏輯和運(yùn)算能力，屬于難題．56．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）若曲線的切線與曲線共有個(gè)公共點(diǎn)（其中，，則稱為曲線的“切線”．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線為切線，另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，求（1）的值；（2）求曲線所有切線的方程；（3）設(shè)，是否存在，使得曲線在點(diǎn)，處的切線為切線？若存在，探究滿足條件的的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由．〖祥解〗（1）利用斜率坐標(biāo)公式求出斜率，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）求出函數(shù)在處的切線方程，再利用切線的定義求解即得；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由曲線在點(diǎn)，處的切線方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討極值，由有3個(gè)零點(diǎn)建立關(guān)系，即可求解．【解答】解：（1）曲線在點(diǎn)處的切線為切線，另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該切線的斜率為，因此（1）．（2）由求導(dǎo)得，則曲線在處的切線方程為：，令，整理得，此切線為切線，等價(jià)于方程有且僅有一個(gè)根，即，即，所以曲線的切線僅有一條，為．（3）由，得曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：，即，令，求導(dǎo)得，由，得，對(duì)，當(dāng)時(shí)，，為嚴(yán)格增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為嚴(yán)格減函數(shù)，函數(shù)所有的極大值為，當(dāng)時(shí)，極大值等于0，即，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，極大值全部小于0，即在無零點(diǎn)，當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，極大值全部大于0，函數(shù)所有的極小值為，當(dāng)時(shí)，極小值，且隨著的增大，極小值越來越小，因此在點(diǎn)，處的切線為切線，等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于，即有解，令，則，因此為上的嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)?，，于是存在唯一?shí)數(shù)，滿足，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得曲線在點(diǎn)，處的切線為切線．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線的方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．專題14導(dǎo)數(shù)（真題3個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考21題基本不等式、極值、最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2023春考21題導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用2022秋考18題2022春考12題抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用極限及其運(yùn)算一．極限及其運(yùn)算（共1小題）1．（2022?上海）已知函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，若將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則2．〖祥解〗是周期為4的周期函數(shù)，作出圖像，的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由此能求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖像、極限的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共1小題）2．（2024?上海）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，定義，若存在，，使是的最小值，則稱點(diǎn)是函數(shù)到點(diǎn)的“最近點(diǎn)”．（1）對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是到點(diǎn)的“最近點(diǎn)”；（2）對(duì)于，，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是到點(diǎn)的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；（3）已知存在導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)恒大于零，對(duì)于點(diǎn)，，點(diǎn)，，若對(duì)任意，存在點(diǎn)同時(shí)是到點(diǎn)與點(diǎn)的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．〖祥解〗（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據(jù)題意得到，對(duì)兩等式化簡得，再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數(shù)單調(diào)性．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；（2）由題設(shè)可得，則，因?yàn)?，均為上單調(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)，而，，故在點(diǎn)處的切線方程為，而，故，故直線與在點(diǎn)處的切線垂直．（3）設(shè)，，而，，若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是，在的“最近點(diǎn)”，設(shè)，，則既是的最小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn)，則存在，使得，即，①，②由①②相等得，即，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上恒正，則恒成立，接下來證明，因?yàn)榧仁堑淖钚≈迭c(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，則，，即，③，④③④得，即，因?yàn)閯t，解得，則恒成立，因?yàn)榈娜我庑?，則嚴(yán)格單調(diào)遞減．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，極值、最值的求解，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，屬于難題．三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共1小題）3．（2023?上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對(duì)所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說明理由；（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；（3）若曲線在，處的切線過點(diǎn)，且，，證明：當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，（c）（c）．〖祥解〗（1）設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，易知，即單調(diào)減，求得最值即可判斷；（2）根據(jù)題意得到，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，代入即可求解；（3），，在處的切線為，求導(dǎo)整理得到函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，又此時(shí)“控制函數(shù)“必與相切于點(diǎn)，與在處相切，且過點(diǎn)，在之間的點(diǎn)全在使得在切線下方，所以或，即可得證．【解答】解：（1），設(shè)，，當(dāng)，時(shí)，易知，即單調(diào)減，，即，是的“控制函數(shù)“；（2），，，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，又，且，；證明：（3），，在處的切線為，，，（1）（1），，，，，恒成立，函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，是函數(shù)的“控制函數(shù)“，此時(shí)“控制函數(shù)“必與相切于點(diǎn)，與在處相切，且過點(diǎn)，在之間的點(diǎn)全在使得在切線的下方，所以或，所以曲線在處的切線過點(diǎn)，且，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于難題．一．選擇題（共9小題）1．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時(shí)，氣球的體積（單位：與直徑（單位：的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為A． B． C． D．〖祥解〗直接根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可．【解答】解：氣球體積在，△內(nèi)平均變化率為△△，所以當(dāng)時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為△△．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了瞬時(shí)變化率，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)和在區(qū)間，上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的是A．在到之間的平均變化率大于在到之間的平均變化率 B．在到之間的平均變化率小于在到之間的平均變化率 C．對(duì)于任意，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率總大于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率 D．存在，使得函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率〖祥解〗由函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率的定義，可以判定選項(xiàng)、錯(cuò)誤；由函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，可以判定選項(xiàng)錯(cuò)誤，正確．【解答】解：對(duì)于、，在到之間的平均變化率是，在到之間的平均變化率是，，即二者相等；選項(xiàng)、錯(cuò)誤；對(duì)于、，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，同理函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在處的切線的斜率，由圖形知，選項(xiàng)錯(cuò)誤，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，判定每一個(gè)選項(xiàng)是否正確，是基礎(chǔ)題．3．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：A．0 B． C． D．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）下列各式中正確的是A． B． C． D．〖祥解〗逐一求導(dǎo)驗(yàn)證可得結(jié)果．【解答】解：，正確，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題．5．（2024?青浦區(qū)二模）如圖，已知直線與函數(shù)，的圖像相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)有A．2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn) B．3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn) C．2個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn) D．3個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)〖祥解〗由圖象可得函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，得到的符號(hào)，判斷的極值點(diǎn)的情況，從而判斷的正誤．【解答】解：直線與曲線相切于兩點(diǎn)，有兩個(gè)根，且，由圖象知，令，由圖可知，函數(shù)有3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，而，設(shè)的三個(gè)極大值點(diǎn)分別為，，，兩個(gè)極小值點(diǎn)分別為，．則在，，的左側(cè)，，在，，的右側(cè)，，此時(shí)函數(shù)有3個(gè)極大值，在，的左側(cè)，，在，的右側(cè)，，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)極小值，故函數(shù)有5個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)極大值，2個(gè)極小值．故正確，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷以及極值的判斷，考查導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6．（2024?金山區(qū)二模）設(shè)，有如下兩個(gè)命題：①函數(shù)的圖像與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；②存在唯一的正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上．則下列說法正確的是A．①正確，②正確 B．①正確，②不正確 C．①不正確，②正確 D．①不正確，②不正確〖祥解〗對(duì)于①：根據(jù)題意可得為奇函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，又，（1），即可判斷①是否正確；對(duì)于②：根據(jù)對(duì)稱性，假設(shè)正方形的中心在原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，直線的方程，設(shè)，，，，分別聯(lián)立，解得，，由，解得，即可得出答案．【解答】解：對(duì)于①：為奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，（1），則函數(shù)的圖像與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②：根據(jù)對(duì)稱性，假設(shè)正方形的中心在原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，直線的方程，設(shè)，，，，聯(lián)立，則，同理可得，由得，，即，所以，解得或，所以不止一個(gè)正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，故②不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則下列條件中，能推出1一定不是的極小值點(diǎn)的為A．存在無窮多個(gè)，滿足（1） B．對(duì)任意有理數(shù)，，，均有（1） C．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)〖祥解〗根據(jù)極值的定義，結(jié)合選項(xiàng)，即可得出結(jié)果．【解答】解：由極值的定義可知，當(dāng)函數(shù)在處取得極小值時(shí)，在左側(cè)的函數(shù)圖象存在點(diǎn)比處的函數(shù)值小，在右側(cè)的函數(shù)圖象存在點(diǎn)比處的函數(shù)值小，故排除，；對(duì)于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)；對(duì)于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，則不是函數(shù)的極小值點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．8．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)的圖像在，，，兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是A． B． C． D．〖祥解〗求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，再由、、，即可得到，最后由基本不等式求出的范圍，即可判斷．【解答】解：由，得，則，，依題意可