2024春新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第1課時直線與平面垂直的判定及直線與平面所成的角分層演練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章立體幾何初步A級基礎鞏固1.若直線l與平面α內的多數(shù)條直線垂直,則直線l與平面α的關系是()A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直C.l在平面α內 D.不能確定解析:如圖所示,直線l和平面α相互平行,或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內都有可能.答案:D2.直線l與平面α所成的角為70°,若直線l∥m,則m與α所成的角等于()A.20°B.70°C.90°D.110°解析:因為l∥m,所以直線l與平面α所成的角等于直線m與平面α所成的角.因為直線l與平面α所成的角為70°,所以直線m與平面α所成的角為70°.答案:B3.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,若PA⊥平面ABCD,則圖中共有4個直角三角形.解析:因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以△PAB,△PAD都是直角三角形.因為BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC為直角三角形.同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形.故共有4個直角三角形.4.如圖所示,AB是☉O的直徑,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一點,若∠ABC=30°,PA=AB,則直線PC與平面ABC所成角的正切值為2.解析:因為PA⊥平面ABC,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即為直線PC與平面ABC所成的角.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=12AB.在Rt△PAC中,AC=12AB=12PA,所以tan∠PCA=5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD.求證:BD⊥平面PAC.證明:因為BC=CD,所以△BCD為等腰三角形.因為∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC.因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.從而BD與平面PAC內兩條相交直線PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.B級實力提升6.如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,G是EF的中點.假如沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點重合,重合后的點記為H,那么在這個空間圖形中必有()?A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面解析:由題意知原圖中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH.因為FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.答案:A7.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD,DA和兩條對角線AC,BD都相等,若E為AD的中點,F為BC的中點,則直線BE和平面ADF所成的角的正弦值為33解析:如圖所示,連接EF.依據(jù)題意知BC⊥AF,BC⊥DF.因為AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,所以∠BEF是直線BE和平面ADF所成的角.設BC=2,則BF=1,BE=3,所以sin∠BEF=13=38.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,點C到AB1的距離為CE,D為AB的中點.求證:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面CED.證明:(1)由題意知,AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,所以CD⊥AA1.(2)因為D是AB的中點,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CD⊥AB.因為CD⊥AA1,AB∩A1A=A,AB?平面A1B1BA,A1A?平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA.因為AB1?平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.由題意知CE⊥AB1.因為CD∩CE=C,CD?平面CED,CE?平面CED,所以AB1⊥平面CED.9.如圖所示,AB是圓柱的一條母線,BD是圓柱底面圓的一條直徑,C是底面圓周上一點,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直線BD與平面ACD所成角的大小.解:如圖所示,取AC的中點E,連接BE,DE.由題意知AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因為BD是底面圓的直徑,所以∠BCD=90°,即CD⊥BC.因為AB∩BC=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以CD⊥平面ABC.因為BE?平面ABC,所以CD⊥BE.因為AB=BC=2,AB⊥BC,E為AC中點,所以BE⊥AC,且BE=2.因為AC∩CD=C,AC?平面ACD,CD?平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以∠BDE是BD與平面ACD所成的角.因為BD=2BC=22,所以sin∠BDE=BEBD=222所以∠BDE=30°,即BD與平面ACD所成的角為30°.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.探究性問題在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在側面BCC1B1及其邊界上移動,若點P總是滿意AP⊥BD1,則動點P滿意的條件是什么?并說明理由.解:當點P在線段B1C上時,可以總是滿意AP⊥BD1.理由如下:如圖所示,連接AC,BD,AB1,B1C,B1D1.因為ABCD-A1B1C1D1是正方體,所以BB1⊥平面ABCD.因為AC?平面ABCD,所以BB1⊥AC.因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因為BD?平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1