新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)第7章 立體幾何與空間向量（測(cè)試）（解析版）

第七章立體幾何與空間向量（測(cè)試）時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為SKIPIF1<0，母線與底面所成的角的正弦值為SKIPIF1<0，圓臺(tái)體積為SKIPIF1<0，則該圓臺(tái)的側(cè)面面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】做出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為SKIPIF1<0，則下底面半徑為SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，母線與底面所成的角的正弦值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)閳A臺(tái)的體積為SKIPIF1<0，由圓臺(tái)的體積公式SKIPIF1<0，計(jì)算得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.再由圓臺(tái)側(cè)面積公式SKIPIF1<0，可得圓臺(tái)的側(cè)面積為SKIPIF1<0.故選：C.2．（2023·甘肅天水·高三校考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】C【解析】由向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.3．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)SKIPIF1<0，則V的體積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)題意，V是由SKIPIF1<0四點(diǎn)構(gòu)成的四面體SKIPIF1<0及其內(nèi)部，其體積為SKIPIF1<0．故選：D.4．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）如圖，球面上有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積是（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的直徑為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以，球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，因此，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.故選：B.5．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）以下什么物體能被放進(jìn)底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱中（

）A．底面半徑為SKIPIF1<0，母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0的圓錐B．底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱C．邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的立方體D．底面積為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的直三棱柱【答案】B【解析】由于SKIPIF1<0，故該圓錐無(wú)法放入圓柱中，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，如圖所示，將底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱放入半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱中，如圖所示，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故能被放進(jìn)底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱中，B正確；C選項(xiàng)，邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的立方體，面對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，體對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，要想放進(jìn)高為SKIPIF1<0的圓柱內(nèi)，需要如圖所示放入，其外接球SKIPIF1<0的直徑為SKIPIF1<0，故要想放入圓柱中，只能放入以球SKIPIF1<0為內(nèi)切球的圓柱中，如圖，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的母線交上底面于點(diǎn)SKIPIF1<0，交下底面于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的立方體可放入底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的的圓柱中，因?yàn)镾KIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，底面積為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的直三棱柱體積為SKIPIF1<0，由于底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體積為SKIPIF1<0，故無(wú)法放進(jìn)放進(jìn)底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱中，D錯(cuò)誤.故選：B6．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在正方體SKIPIF1<0中，動(dòng)點(diǎn)M在底面SKIPIF1<0內(nèi)運(yùn)動(dòng)且滿足SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)M在底面SKIPIF1<0內(nèi)的軌跡為（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0在圓錐面上，該圓錐以SKIPIF1<0為軸，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)，而M在底面SKIPIF1<0內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)M在底面SKIPIF1<0內(nèi)的軌跡是以D為圓心的四分之一圓弧SKIPIF1<0．故選：A.7．（2023·四川·校聯(lián)考一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)P是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．異面直線AP與SKIPIF1<0所成的角的最小值為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值【答案】C【解析】對(duì)于A，易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，如圖所示：過(guò)點(diǎn)D作SKIPIF1<0，連AQ，知SKIPIF1<0就是異面直線AP與SKIPIF1<0所成的角的最小角，有SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是定值，面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，知點(diǎn)P到面SKIPIF1<0的距離是一個(gè)定值.故D正確.故選：C8．（2023·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2；②四面體ABCD的體積為SKIPIF1<0；③過(guò)SKIPIF1<0作球SKIPIF1<0的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4.則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】選項(xiàng)①中，如圖（1）所示，找SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面即為面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，找SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以截面的面積SKIPIF1<0，故①正確；選項(xiàng)②中，SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以由勾股定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由選項(xiàng)①可得：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②錯(cuò)誤；選項(xiàng)③中，可以將四面體放入如圖（2）所示的長(zhǎng)方體中，由題可求得，SKIPIF1<0，所以外接球的半徑SKIPIF1<0，截面面積的最大值為SKIPIF1<0；平面SKIPIF1<0截得的面積為最小面積，半徑SKIPIF1<0，截面積最小為SKIPIF1<0，所以截面面積的最大值與最小值的比為5：4，故③正確.圖（1）圖（2）二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選項(xiàng)A正確；SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C正確；SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：SKIPIF1<0．10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面為梯形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（）

A．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0【答案】CD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，如圖取AD中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥PD，由題意可得：EF⊥面ABCD，連接CF，∠ECF即SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，由條件可得EF=2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，連接AC，易得SKIPIF1<0，又E為PA中點(diǎn)，SKIPIF1<0，故PA與CE不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示，在梯形ABCD中，過(guò)B作BG⊥CD，由條件可得，BG=AD=GC=2，故SKIPIF1<0，由勾股定理逆定理可得BD⊥BC，又PD⊥面ABCD，BCSKIPIF1<0面ABCD，則PD⊥BC，PDSKIPIF1<0BD=D，PD、BDSKIPIF1<0面ABCD，所以BC⊥面PBD，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由條件得SKIPIF1<0，由上可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正確.故選：CD11．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P為正方體SKIPIF1<0底面ABCD的中心，用與直線SKIPIF1<0垂直的平面SKIPIF1<0截此正方體，所得截面可能是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】ABC【解析】如圖，設(shè)棱長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此時(shí)平面SKIPIF1<0就是滿足條件的一個(gè)SKIPIF1<0,此時(shí)所得截面為三角形SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0平移至點(diǎn)SKIPIF1<0，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)SKIPIF1<0平移至點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)），形成平面SKIPIF1<0，此時(shí)截面為四邊形SKIPIF1<0，夾在平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0之間的形成五邊形SKIPIF1<0，如下圖，若截面在平面SKIPIF1<0下方時(shí)，形成的截面為三角形，直至縮成一個(gè)點(diǎn)，如下圖，若截面在平面SKIPIF1<0的上方時(shí)，形成的截面為五邊形，如下圖，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0分別移到點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，點(diǎn)SKIPIF1<0移到SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0位置，形成的截面為三角形SKIPIF1<0，再往上形成的截面也為三角形，直至縮成一個(gè)點(diǎn)，如下圖，綜上可知，所的截面為三角形，四邊形，五邊形，沒(méi)有六邊形.故選：ABC12．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的范圍為SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0內(nèi)部，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0軌跡的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的中心，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為SKIPIF1<0D．若三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0恒成立，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為橢圓或部分橢圓【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不重合時(shí)，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0由點(diǎn)SKIPIF1<0向點(diǎn)SKIPIF1<0移動(dòng)過(guò)程中，SKIPIF1<0逐漸增大，SKIPIF1<0逐漸減小，則SKIPIF1<0逐漸增大，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的范圍為SKIPIF1<0，A正確；對(duì)于B，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的SKIPIF1<0圓?。ú缓〉亩它c(diǎn)），軌跡長(zhǎng)度為SKIPIF1<0，B正確；對(duì)于C，連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，顯然SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0外接球球心，球半徑為SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，于是點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0，同理點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上或在過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行的平面SKIPIF1<0上，令SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角大于SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0，得點(diǎn)SKIPIF1<0在以直線SKIPIF1<0為軸，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)，軸截面頂角為SKIPIF1<0的圓錐側(cè)面上（除頂點(diǎn)外），顯然點(diǎn)P的軌跡是平面SKIPIF1<0與上述圓錐側(cè)面的交線，所以平面SKIPIF1<0截上述圓錐側(cè)面為橢圓，D正確.故選：ABD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2023·廣東揭陽(yáng)·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高.球缺的體積公式為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為球的半徑，SKIPIF1<0為球缺的高.2022北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”（如圖1）深受廣大市民的喜愛(ài)，它寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來(lái)，體現(xiàn)了追求卓越、引領(lǐng)時(shí)代，以及面向未來(lái)的無(wú)限可能SKIPIF1<0它的外形可近似抽象成一個(gè)球缺與一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合體（如圖2），已知該圓臺(tái)的底面半徑分別SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，球缺所在球的半徑為SKIPIF1<0，則該組合體的體積為．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由題意知圓臺(tái)的體積為SKIPIF1<0，如圖可知SKIPIF1<0，則球心到圓臺(tái)上底面的距離為SKIPIF1<0，故球缺的高為SKIPIF1<0，故球缺的體積為SKIPIF1<0，所以組合體的體積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．14．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面為平行四邊形，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面與棱SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】2【解析】如圖所示，延長(zhǎng)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的截面即為截面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）毛澤東在《七律二首?送瘟神》中有句詩(shī)為“坐地日行八萬(wàn)里，巡天遙看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不動(dòng)，由于地球的自轉(zhuǎn)，每晝夜會(huì)隨著地面經(jīng)過(guò)八萬(wàn)里路程.詩(shī)中所提到的八萬(wàn)里，指的是人坐在赤道附近所得到的數(shù)據(jù).設(shè)某地所在緯度為北緯SKIPIF1<0（即地球球心SKIPIF1<0和該地的連線與赤道平面所成的角為SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0.若將地球近似看作球體，則某人在該地每晝夜隨著地球自轉(zhuǎn)而經(jīng)過(guò)的路程約為萬(wàn)里.【答案】6【解析】由題意可知，赤道周長(zhǎng)為SKIPIF1<0萬(wàn)里，則地球半徑SKIPIF1<0萬(wàn)里.設(shè)某地隨著地球自轉(zhuǎn)，所形成圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0萬(wàn)里，則該圓的周長(zhǎng)SKIPIF1<0萬(wàn)里.故答案為：6.16．（2023·廣東河源·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面與長(zhǎng)方體的六個(gè)面相交得到六邊形SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，截面與平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0分別相交于直線SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線交于SKIPIF1<0,延長(zhǎng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）（2023·貴州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，直四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0為菱形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為BC，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值．【解析】（1）在直四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，顯然SKIPIF1<0為正三角形，由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）連接SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0．18．（12分）（2023·四川瀘州·?？既＃┤鐖D，已知直四棱柱SKIPIF1<0的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)求證：直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于一點(diǎn)；(2)若SKIPIF1<0，求多面體SKIPIF1<0的體積．【解析】（1）連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0是直四棱柱，且底面是正方形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為梯形，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于一點(diǎn)，記為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于一點(diǎn)SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，由題意可得：SKIPIF1<0.19．（12分）（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖1.沿對(duì)角線SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，如圖2.

(1)證明：SKIPIF1<0.(2)若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則折起后SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等邊三角形，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.20．（12分）（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？既＃﹫D1是直角梯形SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為折痕將SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0，如圖2.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0？若存在，求出直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【解析】（1）（1）證明：如圖所示：在圖1中連接AC，交BE于O，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在圖2中，相交直線SKIPIF1<0均與BE垂直，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）由（1）分別以SKIPIF1<0為x，y，z建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為：SKIPIF1<0.21．（12分）（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽(yáng)馬，其形有似鱉肘，故以名云.中破陽(yáng)馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得.”如圖，在鱉臑ABCD中，側(cè)棱AB⊥底面BCD；

(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試求異面直線AC與BD所成角的余弦值.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng).試求SKIPIF1<0面積的最小值.【解析】（1）如圖，以SKIPIF1<0為臨邊作平行四邊形SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0或其補(bǔ)角，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0；綜上可知，異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）如圖，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0都垂直于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，