數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：三角函數(shù)的積化和差與和差化積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用因?yàn)閟in（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，(1）sin(α-β）=sinαcosβ—cosαsinβ,(2)cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,(3）cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,（4）（1)+（2）得:sinαcosβ=［sin（α+β）+sin(α—β）];(1）—（2）得:cosαsinβ=［sin（α+β)—sin(α—β)]；(3）+（4)得:cosαcosβ=[cos(α+β）+cos(α-β）］;(3）—（4)得：sinαsinβ=-［cos(α+β）-cos(α—β）].以上得到的四個等式我們稱為積化和差公式.設(shè)α+β=x，α—β=y,則α=，β=,代入積化和差公式得:sinx+siny=2sin·cos，sinx-siny=2cos·sin，cosx+cosy=2cos·cos，cosx—cosy=—2sin·sin。以上四式稱為和差化積公式.【例1】(1)把+cos20°化成積的形式。（2)把sin84°cos132°化成和差的形式。思路分析：(1）可化成cos60°，然后運(yùn)用公式。（2）直接運(yùn)用公式.解：（1）原式=cos60°+cos20°=2cos·cos=2cos40°·cos20°。(2)原式=[sin（84°+132°)+sin（84°-132°）］=[sin216°—sin48°］=-sin36°-sin48°.各個擊破類題演練1（1）求值：sin20°+sin40°-sin80°;（2)求值:2cos37。5°·cos22.5°。思路分析：（1)∵20°+40°=60°為特殊角，∴前兩個先和差化積。（2)直接運(yùn)用積化和差.解:(1）原式=2sin·cos-sin80°=2sin30°·cos10°-sin80°=cos10°-sin80°=sin80°-sin80°=0。（2）原式=cos（37.5°+22.5°）+cos(37。5°-22.5°)=cos60°+cos15°=+cos(45°—30°)=+cos45°cos30°+sin45°sin30°=+×=+。變式提升1已知sin（θ+)sin(θ-)=，求tanθ的值.思路分析：等式左邊運(yùn)用積化和差公式.解：∵sin(θ+)sin（θ-)=-(cos2θ-cos)=-cos2θ+.∴-cos2θ+=.解得cos2θ=-.∴sin2θ=±?！鄑anθ==±2。二、運(yùn)用公式化簡或證明三角函數(shù)式運(yùn)用公式進(jìn)行三角變換是高考的基本要求,變換中要反復(fù)體會其中的內(nèi)涵,靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,從而加深對變換的理解.【例2】求值:。思路分析：本題通過對公式的靈活運(yùn)用使問題得到解決.運(yùn)用的方法和公式分別為“切化弦"，兩角和與差的正余弦,二倍角的升冪公式，注意尋求合理簡捷的運(yùn)算途徑.解:原式==2。溫馨提示對于三角函數(shù)的和差化積，有時因?yàn)槭褂霉讲煌蛘哌x擇解題的思路不同,化積結(jié)果可能不一致.類題演練2把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成積的形式。思路分析：把cosx與cos4x看作一組,cos2x與cos3x看作一組進(jìn)行和差化積.解：原式=（cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x）=2coscos+2coscos=2cos·(cos+cos)=4coscosxcos.變式提升2求證：2sin4x+sin22x+5cos4x-cos3xcosx=2（1+cos2x）.證明：左=（2sin2x)2+sin22x+（2cos2x)2-cos3xcosx=（1-cos2x）2+sin22x+(1+cos2x)2—（cos4x+cos2x)=(1-2cos2x+cos22x）+sin22x+（1+2cos2x+cos22x)—（cos4x+cos2x)=+cos2x+cos22x-cos4x=+cos2x+cos22x-(2cos22x-1）=3+cos2x=3+2cos2x—1=2（1+cos2x）=右?！嗟仁降米C.三、最值問題根據(jù)問題的具體特點(diǎn),從變換已知條件和被求式的角度入手,進(jìn)行雙向變換，實(shí)現(xiàn)角度和函數(shù)名稱雙統(tǒng)一;然后利用所給的角的范圍確定出相應(yīng)三角函數(shù)值的范圍，從而確定出所求函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍.【例3】已知函數(shù)f（x)=sin(-x）·sinx·sin(+x）+a的最大值為,求實(shí)數(shù)a的值.思路分析:注意到角-x和+x這兩個角的和為，所以可先運(yùn)用積化和差公式。解：f(x）=sin（-x)·sinx·sin(+x）+a=sinx·(cos2x-cos）+a=sinx·cos2x+sinx+a=(sin3x—sinx）+sinx+a=sin3x-sinx+sinx+a=sin3x+a?！遞(x）最大值為+a,∴+a=.∴a=.類題演練3求函數(shù)y=sinx[sinx—sin（x+）]的最值及相應(yīng)的x值.解:y=sinx［sinx-sin(x+）］=sinx·2cos（x+)sin(—)=-sinxcos（x+）=—[sin（2x+）+sin（—）]=-sin(2x+)+.∵sin（2x+）∈[-1,1］,∴當(dāng)sin（2x+）=-1，即x=kπ-,k∈Z時,ymax=；當(dāng)sin（2x+)=1,即x=kπ+，k∈Z時，ymin=-.變式提升3求函數(shù)f(x)=sin6x+cos6x的最小正周期和最大，最小值.解:f(x）=sin6x+cos6x=（sin2x)3+（cos2x）3=(sin2