數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、兩向量共線的判斷利用a=λb和坐標(biāo)表示x1y2—x2y1=0來(lái)判斷。設(shè)a=（x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a與b共線的條件是a=λb；用坐標(biāo)表示可寫為（x1,y1）=λ（x2,y2),即消去λ后得x1y2—x2y1=0,也就是說(shuō),當(dāng)且僅當(dāng)x1y2—x2y1=0時(shí),向量a、b（b≠0）共線.【例1】判斷下列向量a與b是否平行:(1)a=（,）,b=(-2，—3）;（2）a=（0.5，4),b=（-8,64)；（3)a=（2,3），b=(3,4）；(4)a=(2，3),b=（,2).思路分析:設(shè)a=（a1,a2),b=(b1，b2），則a∥ba1b2-a2b1=0.解:(1)×（—3)—×（-2）=+=0,∴a∥b。(2）0。5×64—4×（-8）=32+32=64≠0,∴ab。(3)2×4-3×3=8-9=-1≠0,∴ab.(4)2×2—3×（）=4+4=8≠0,∴ab。溫馨提示由于a2≠0,b2≠0，因此也可以這樣判定：（1）,∴a∥b.(2），∴.∴ab.（3）≠,∴ab。(4）≠，∴ab.各個(gè)擊破類題演練1已知A（—2，—3），B(2，1），C（1,4)，D(—7，-4),判斷與是否共線?思路分析：判斷兩個(gè)向量是否共線,可直接利用坐標(biāo)形式的條件x1y2—x2y1=0來(lái)判斷.解：=(2，1）-（-2，—3）=（4,4）,=（-7，-4）-(1,4）=(—8，-8)，∵4×（-8）—4×(-8）=0,∴∥,即和共線.變式提升1a=（1，2）,b=(-3,2）,當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a—3b平行?平行時(shí)它們是同向還是反向？解法一：ka+b=k（1，2)+(—3,2)=（k-3,2k+2)，a—3b=（1，2）—3（-3,2）=(10，—4），當(dāng)ka+b與a—3b平行時(shí),存在唯一實(shí)數(shù)λ使ka+b=λ（a—3b),由（k—3，2k+2)=λ（10，—4),得解得k=λ=—?！喈?dāng)k=—時(shí),ka+b與a—3b平行，這時(shí)ka+b=-a+b=—(a-3b)?！擀?-〈0,∴ka+b與a—3b反向。解法二：由解法一知ka+b=(k-3，2k+2），a—3b=（10，-4），∵ka+b與a-3b平行，∴(k-3)×(-4）—10×（2k+2)=0,解得k=-，此時(shí)ka+b=(——3，+2)=—(a-3b）.∴當(dāng)k=—時(shí),ka+b與a—3b平行,并且反向。二、坐標(biāo)法證三點(diǎn)共線問題證明三點(diǎn)共線(或兩直線平行、重合)(1)證明兩直線平行,可通過證這兩直線上的兩向量共線，且無(wú)公共點(diǎn).(2)證明三點(diǎn)共線,可通過證由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線，且有公共點(diǎn).(3)證三點(diǎn)共線常見的方法還有：證得兩條較短的線段之和等于第三條線段的長(zhǎng)度，以及利用斜率或直線方程,證明三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為零等.【例2】如果向量=i—2j,=i+mj,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值,使A、B、C三點(diǎn)共線。思路分析：只需根據(jù)向量共線的條件，解關(guān)于m的方程即可.解法一：∵A、B、C三點(diǎn)共線即、共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使=λ,即i—2j=λ(i+mj）?！唷鄊=—2?！鄊=—2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線。解法二：依題意知：i=(1，0），j=（0，1)，=（1,0）—2(0，1）=(1，—2)，=(1，0）+m(0，1）=(1,m）。而,共線，∴1×m+2=0.∴m=-2。故當(dāng)m=—2時(shí),A、B、C三點(diǎn)共線.溫馨提示向量共線的幾何表示與代數(shù)表示形式不同，但實(shí)質(zhì)一樣,在解決具體問題時(shí)要注意選擇使用。類題演練2向量=(k，12），=（4,5）,=(10,k）,當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線？解:=—=(k，12）—（4，5）=（k-4,7)，=-=(k，12）-(10,k）=（k-10,12—k),∵A、B、C三點(diǎn)共線,∴∥，即（k-4)（12—k）—（k-10）×7=0，整理，得k2-9k-22=0，解得k1=-2或k2=11,∴當(dāng)k=-2或11時(shí),A、B、C三點(diǎn)共線。變式提升2證明下列各組點(diǎn)共線：(1）A(1,2），B(—3,—4),C(2,3.5）；（2)P（-1，2),Q（0.5，0)，R(5,—6).證明:(1）=（—3,—4）-(1,2)=（-3-1，-4-2）=（-4,-6)，=（2,3.5)-（—3，-4）=（2+3,3.5+4）=(5,7。5).∵-4×7。5-(-6）×5=0（或)，∴∥。又∵、有公共點(diǎn)B，∴A、B、C三點(diǎn)共線.（2)=（0。5,0)-(-1，2）=(0.5+1，0—2)=（1。5，-2),=（5,-6)-(0.5,0)=(5-0。5，—6—0）=（4。5,—6),∴1。5×(—6）-（—2)×4.5=-9+9=0(或）?！唷?。又∵、有公共點(diǎn)Q，∴P、Q、R三點(diǎn)共線.三、向量共線的坐標(biāo)應(yīng)用平面向量共線的坐標(biāo)表示常應(yīng)用于：（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2)確定參數(shù)的值（比值）；(3）平面幾何中的證明問題.向量共線的坐標(biāo)表示與幾何表示形式不同但實(shí)質(zhì)一樣，在解決問題時(shí)要不拘泥于形式,靈活運(yùn)用?！纠?】平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=（3,2),b=(—1，2），c=（4，1）.(1)求3a+b—2（2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n;(3)若a+kc∥(2b-a)，求實(shí)數(shù)k；（4）設(shè)d=（x，y）滿足（d—c）∥（a+b）且｜d-c｜=1，求d。思路分析：對(duì)于（1），可直接用坐標(biāo)運(yùn)算得出結(jié)果。對(duì)于(2），可將向量相等轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)的方程組.對(duì)于（3)（4),都可運(yùn)用向量平行的條件，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)的等式求解。解：（1）3a+b-2（2）∵a=mb+nc,∴(3，2)=m(-1,2)+n（4，1）=（-m+4n,2m+n).∴(3）∵（a+kc）∥（2b-a）,又a+kc=（3+4k，2+k）,2b-a=(—5，2）,∴2×(3+4k)-(-5）×(2+k）=0。∴k=。(4）∵d-c=（x-4，y—1），a+b=(2,4）,又(d—c)∥（a+b)且｜d—c|=1,∴解之，得∴d=()或d=(）.類題演練3已知a≠0,b≠0，且ab,求證:a+ba-b。證明：令a=(x1，y1），b=（x2,y2),a+b=（x1+x2，y1+y2）,a-b=（x1—x2,y1-y2)，假設(shè)a+b∥a—b,則(x1+x2）（y1—y2)-（y1+y2）（x1-x2)=0,即x1y1+x2y1—x1y2-x2y2-x1y1—x1