數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)案：6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題【例1】某港口的水深y（米）是時(shí)間t(0≤t≤24,單位：小時(shí)）的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù):t（時(shí)）03691215182124y(米)10.013。09。97。010。013.010。17。010。0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如下圖所示,經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asinωt+b的圖象.(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出y=Asinωt+b的表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5米時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港,則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間(忽略進(jìn)出港所用的時(shí)間）？思路分析：(1）從擬合曲線可知，函數(shù)y=Asinωt+b中的b，由t=0時(shí)的函數(shù)值取的，t=3時(shí)取得最大值，進(jìn)而可求得ω、A、b的值,即得函數(shù)的表達(dá)式。(2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)表達(dá)式，求出數(shù)值不小于4。5+7=11.5（米）的時(shí)段，從而就可回答題中的兩問.解:(1）從擬合曲線可知：函數(shù)y=Asinωt+b在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需9-3=6小時(shí)，此為半個(gè)周期，所以函數(shù)的最小正周期為12小時(shí),因此=12，ω=.又∵當(dāng)t=0時(shí)，y=10；當(dāng)t=3時(shí)，ymax=13.∴b=10,A=13-10=3。于是所求的函數(shù)表達(dá)式為y=3sinx+10。(2）由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4。5米，故在船舶航行時(shí)水深y應(yīng)大于等于7+4.5=11。5(米).由擬合曲線可知，一天24小時(shí)，水深y變化兩個(gè)周期,故要使船舶在一天內(nèi)停留港口的時(shí)間最長(zhǎng)，則應(yīng)從凌晨3點(diǎn)前進(jìn)港，而從第二個(gè)周期中的下午15點(diǎn)后離港.令y=3sinx+10≥11。5，可得sinx≥.∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z).∴12k+1≤x≤12k+5（k∈Z）。取k=0，則1≤x≤5；取k=1，則13≤x≤17。而取k=2時(shí)，則25≤x≤29(不合題意）.從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長(zhǎng),就應(yīng)從凌晨1點(diǎn)（1點(diǎn)到5點(diǎn)都可以）進(jìn)港，而下午的17點(diǎn)（即13點(diǎn)到17點(diǎn)之間)前離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16小時(shí)。2.從實(shí)際問題中抽象出三角函數(shù)模型【例2】如右圖，某大風(fēng)車的半徑為2m，每12s旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點(diǎn)O離地面0.5m.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)A從最低點(diǎn)O開始,運(yùn)動(dòng)t（s)后與地面的距離為h（m）.（1）求函數(shù)h=f（t)的關(guān)系式;(2)畫出函數(shù)h=f(t）的圖象。解：（1)如下圖,以O(shè)為原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的圓的切線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），則h=y+0.5.設(shè)∠OO1A=θ，則cosθ=，y=—2cosθ+2.又θ=×t，即θ=t,所以y=-2cost+2，h=f（t）=—2cost+2.5。(2）函數(shù)h=-2cost+2.5的圖象如下溫馨提示呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律的實(shí)際問題的解決往往與三角函數(shù)有關(guān)。實(shí)際問題的背景往往比較復(fù)雜，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)生活色彩,語(yǔ)言表達(dá)形式不同于常規(guī)訓(xùn)練的簡(jiǎn)單問題，因此在解決實(shí)際問題時(shí)要注意：（1）自變量的變化范圍。（2）數(shù)形結(jié)合，通過(guò)觀察圖形，獲得本質(zhì)認(rèn)識(shí)。（3）要在實(shí)際背景中抽取出基本的數(shù)學(xué)關(guān)系比較困難,因此要認(rèn)真仔細(xì)地審題，多進(jìn)行聯(lián)想，選用適當(dāng)數(shù)學(xué)模型。3.絕對(duì)值對(duì)周期函數(shù)的影響【例3】畫出下列函數(shù)圖象并觀察其周期性.（1）y=sin｜x｜；（2）y=cos｜x｜.思路分析：本題中含有｜x｜,故應(yīng)先對(duì)x進(jìn)行分類討論去掉絕對(duì)值.根據(jù)絕對(duì)值的意義可知，x≥0的部分應(yīng)是y=sinx,y=cosx右半平面的部分，由于這幾個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱，于是可作出x＜0部分的圖象。解:（1)y=sin｜x｜=其圖象如下圖所示：從圖中可以看出y=sin｜x｜不再是周期函數(shù)。(2）y=cos｜x｜=其圖象如下圖所示:從圖中可以看出y=cos|x｜仍是周期函數(shù)，其周期為2π,而且y=cos｜x｜的圖象與y=cosx的圖象相同.各個(gè)擊破類題演練1已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24,單位小時(shí))的函數(shù)，記作:y=f（t).下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù):t(時(shí))03691215182124y（米）1。51。00.51.01。510。50.991.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f（t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b。(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；（2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)根據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間,有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？解:(1）由上表中數(shù)據(jù)，知周期T=12。∴ω===。由t=0，y=1.5，得A+b=1.5。①由t=3,y=1。0，得b=1。0。②∴A=0。5,b=1,∴振幅為，∴y=cost+1.(2)由題知，當(dāng)y＞1時(shí)才可對(duì)沖浪者開放，∴cost+1＞1,∴cost＞0.∴2kπ-＜t＜2kπ+，即12k—3＜t＜12k+3。③∵0≤t≤24,故可令③中k分別為0，1，2得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24?！嘣谝?guī)定時(shí)間上午8:00至晚上20:00之間，有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)：上午9：00至下午15：00。變式提升1(2006廣東模擬）如下圖某地夏天從8—14時(shí)用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b.(1)求這一天的最大用電量及最小用電量；(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式。解：（1）最大用電量為50萬(wàn)度，最小用電量為30萬(wàn)度.（2）觀察圖象可知,從8-14時(shí)的圖象是y=Asin（ωx+φ）+b的半個(gè)周期的圖象.∴A=×(50-30）=10,b=×(50+30)=40。∵=14—8,∴ω=，∴y=10sin（x+φ）+40。將x=8,y=30代入上式，解得φ=，∴所求解析式為y=10sin(x+)+40，x∈［8，14］。類題演練2要在寬為6米的教室當(dāng)中裝一盞電燈，電燈裝在距離正中桌面的高是多少米時(shí),才能使兩邊靠墻的課桌得到的亮度最大?（已知：電燈對(duì)課桌的照度E=cosα，I為電燈的光度，b、α如右圖所示)。解：由題設(shè)E=及b=得E=sin2αcosα要使靠墻的課桌得到最大亮度，即E值最大.∵是常數(shù)，且cosα的值使得（sin2αcosα)2與sin2αcosα同時(shí)達(dá)到最大值，因(sin2αcosα）2=cos2α(1—cos2α)2=·2cos2α·（1-cos2α)·（1—cos2α）,又由α為銳角，且2cos2α+(1—cos2α)+(1—cos2α)=2為定值，∴當(dāng)2cos2α=1—cos2α,即cosα=時(shí)（sin2αcosα）2最大.亦即E最大,這時(shí)h=（米).注：若x+y+z=k,k為定值，x＞0,y＞0，z＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)xyz有最大值。變式提升2將自行車支起來(lái)，使后輪能平穩(wěn)地勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察后輪氣針的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，若將后輪放入如右圖所示坐標(biāo)系中，輪胎以角速度ωrad/s做圓周運(yùn)動(dòng)，P0是氣針的初始位置，氣針到軸(O)的距離為rcm，求氣針（P）的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，并求出P的運(yùn)動(dòng)周期.當(dāng)φ=，r＝ω=1時(shí),作出其圖象.解：過(guò)P作x軸的垂線，設(shè)垂足為M,則PM就是正弦線.y=γsin(ωt+φ)，因此T=,當(dāng)φ=，γ=ω