中學(xué)物理學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題（下）

中學(xué)物理學(xué)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題（下）

目錄

第十一章中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用.........................2

1、分類討論思想在中學(xué)物理中的應(yīng)用.............................2

2、結(jié)構(gòu)圖在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用（選學(xué)）.........................9

3、歸納推理在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用（選學(xué)）.......................13

4、類比推理在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用（選學(xué)）.......................23

5、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用...........................31

6、反證法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用.................................44

7.化歸原則在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用...............................48

第十二章中學(xué)物理學(xué)中的近似計(jì)算.....................................54

1、估算法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用...............................54

2、二項(xiàng)式定理在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用...........................56

第十三章利用中學(xué)物理知識(shí)驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論.............................58

第十四章美學(xué)與中學(xué)物理學(xué)關(guān)系探幽...................................58

1、科學(xué)美的特點(diǎn)..............................................58

2、科學(xué)美的范疇..............................................60

3、科學(xué)美在物理學(xué)習(xí)中的作用...................................69

第十五章中學(xué)物理學(xué)中的哲學(xué)問(wèn)題.......................................74

第十六章直覺(jué)思維在物理學(xué)習(xí)中的局限性.................................75

第十七章數(shù)學(xué)與物理學(xué)關(guān)系綜述（僅供中學(xué)教師參考）......................77

1.分析力學(xué)在中學(xué)物理競(jìng)賽中的應(yīng)用.................................80

2.利用常微分方程求解幾個(gè)中學(xué)物理習(xí)題.............................84

第十一章中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透、貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中，為物理

概念、定律的表述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法,為物

理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力工具.

1、分類討論思想在中學(xué)物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識(shí)回顧：每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用

范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中

不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的

取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致

的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想.當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條

件，結(jié)論不明確或題意中含參數(shù)或圖形不確定時(shí)，就應(yīng)分類討論.

分類討論思想是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，無(wú)法用同一種方法去解決，而需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題

劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題，將這些小問(wèn)題一一加以解決，從而使問(wèn)題得到解決，

這就是分類討論思想.

當(dāng)我們所研究的各種對(duì)象之間過(guò)于復(fù)雜或涉及范圍比較廣泛時(shí)，我們大多采取分類討論的

方法進(jìn)行解決，即對(duì)問(wèn)題中的各種情況進(jìn)行分類，或?qū)λ婕暗姆秶M(jìn)行分割，然后分別研究和

求解.分類討論解題的實(shí)質(zhì)，是將整體問(wèn)題化為部分問(wèn)題來(lái)解決，以增加題設(shè)條件.分類討論的

原則是不重復(fù)、不遺漏.討論的方法是逐類進(jìn)行，還必須要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟

完整.

在中學(xué)物理中，學(xué)習(xí)、研究物理的同時(shí)也離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的輔助,而深入系統(tǒng)地學(xué)習(xí)物理更是一個(gè)

掌握物理學(xué)中數(shù)學(xué)方法的過(guò)程.所以，重視數(shù)理結(jié)合對(duì)于降低學(xué)習(xí)難度、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)素質(zhì)

教育有著重要的意義.一、物理學(xué)中數(shù)理之間的辯證關(guān)系數(shù)學(xué)與物理之間是抽象與具體、一般與特殊的

關(guān)系.數(shù)學(xué)是一門高度抽象的科學(xué),它完全摒棄了具體的現(xiàn)象;而物理學(xué)研究的是客觀的物質(zhì)的本質(zhì)，是

一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的自然科學(xué).所以，當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于物理學(xué)當(dāng)中時(shí),就必須受到客觀事實(shí),即物理規(guī)

律的制約.當(dāng)我們?cè)趹?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)表述物理概念、總結(jié)物理規(guī)律、解答物理問(wèn)題時(shí)，又要注意其特殊性

和局限性.二、中學(xué)物理中數(shù)理結(jié)合存在的問(wèn)題：一是忽視了物理學(xué)的科學(xué)方法,忽視數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)

和論證，僅記憶最后的結(jié)果;二是過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，忽視對(duì)物理概念、規(guī)律、原理、公式以

及物理現(xiàn)象等物理意義的講解,尤其是在涉及物理公式時(shí),不能對(duì)公式中所蘊(yùn)含的物理意義、表達(dá)的物

理過(guò)程做深刻地闡釋，而過(guò)分地把物理公式作為數(shù)學(xué)公式處理.

例1如圖所示，有一軸線水平且垂直紙面的固定絕緣彈性圓筒，圓筒壁光滑，筒內(nèi)有沿軸線向里的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)氏0是筒的圓心，圓筒的內(nèi)半徑尸0.40m.在圓筒底部有一小孔a（只能容一個(gè)粒子通過(guò)）.圓

筒下方一個(gè)帶正電的粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后（加速電場(chǎng)未畫出），以片2X10"m/s的速度從a孔垂直磁場(chǎng)8

并正對(duì)著圓心。進(jìn)入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒.已知該帶電粒子

每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，不計(jì)粒子的重力和空氣阻力，粒子的荷質(zhì)比

g%F5X101C/kg）,求磁感應(yīng)強(qiáng)度6多大（結(jié)果允許含有三角函數(shù)式）？

vmv

解析：帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，＜7丫8=加一.(1)，得：B=—(2)

RqR

由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時(shí)無(wú)電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向

總是沿著圓筒半徑方向,4個(gè)碰撞點(diǎn)與小孔a恰好將圓筒壁五等分,粒子在圓筒內(nèi)的軌跡具有對(duì)稱性，由

5段相同的圓弧組成，設(shè)每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為氏則由幾何關(guān)系可得：

1=⑶

Rr

有兩種情形符合題意(如圖所:示)：

昴」字

0'R一0?Ra

(1)情形1:每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓

、.、r八2"3%

心角為0—----=---.

55

聯(lián)立(2)(3)并代入。值得：

_tan(3^-/l0)mv

LJ—.(4),

rq

將數(shù)據(jù)代入⑷式得：

B=tan(3^/10)xlO-3(T).(5)

c、i八71

(2)情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心，角為6—71----=—.

聯(lián)立（2）（3）并代入。值及數(shù)據(jù)得：B=tan（肛10）把二tan（?/10）x1?！?

(6)

rq

例2如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第I象限和第m象限存在著電場(chǎng)強(qiáng)度均為E的勻強(qiáng)電場(chǎng),其中第I

象限電場(chǎng)沿X軸正方向,第HI象限電場(chǎng)沿y軸負(fù)方向.在第II象限和第IV象限存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B

的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向均垂直紙面向里.有一個(gè)電子從y軸的。點(diǎn)以垂直于y軸的初速度％進(jìn)入第HI

象限,第一次到達(dá)x軸上時(shí)速度方向與x軸負(fù)方向夾角為45。，第一次進(jìn)入第I象限時(shí),與y軸夾角也

是45°,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間電子又回到了P點(diǎn),進(jìn)行周期性運(yùn)動(dòng).已知電子的電荷量為e,質(zhì)量為鞏不考慮

重力和空氣阻力.求：（1）。點(diǎn)距原點(diǎn)〃的距離；（2）電子從P點(diǎn)出發(fā)到第一次回到P點(diǎn)所用的時(shí)間.

解析：⑴解一：電子在第HI象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿y軸方向的分速度為％=%tan45。=".設(shè)

。六方，則"=2?空?〃，可得力=必

'm2eE

解二：經(jīng)分析可知在第四象限中電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng),故可知0P的距離就是圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：由

2

=qv^B=m—得OP=/z=^^

洛ReB

2

答案：0P=/2=外或妙

eB2eE

⑵在一個(gè)周期內(nèi)，設(shè)在第m象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為公在第n象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為包在1象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為右，在第

w象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為u

在第ni象限有4=小3=絲6解得臺(tái)二嗎，在第n象限電子做圓周運(yùn)動(dòng)，周期T=271m4f

——在第

meEeB

TTTJ77

n象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為芍=一=—由幾何關(guān)系可知，電子在第I象限的運(yùn)動(dòng)與第HI象限的運(yùn)動(dòng)對(duì)稱,

2eB.

沿x軸方向做勻減速運(yùn)動(dòng),沿y軸方向做勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)x軸時(shí)垂直進(jìn)入第四象限的磁場(chǎng)中,速度變?yōu)?/p>

%.在第i象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為％=A=嗎.，電子在第w象限做四分之一圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期與第in周

eE

2Tz772T

期相同，即T=——在第1V象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。=一=上電子從尸點(diǎn)出發(fā)到第一次回到尸點(diǎn)所用時(shí)

eB，42eB，

^371m

間為Z=4（=------1-----

1234eE2eB

例3.如圖所示,兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌加；/顰固定在水平面上,相距為L(zhǎng),處于豎直方向的磁場(chǎng)中，

整個(gè)磁場(chǎng)由若干個(gè)寬度皆為d的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域1、2、3、4…組成，磁感應(yīng)強(qiáng)度反、氏的方向相反,

大小相等，即B\=R=B.導(dǎo)軌左端M、P間接一電阻R,質(zhì)量為m、電阻為r的細(xì)導(dǎo)體棒ab垂直放置在導(dǎo)

軌上,與導(dǎo)軌接觸良好,不計(jì)導(dǎo)軌的電阻.現(xiàn)對(duì)棒ab施加水平向右的拉力，使其從區(qū)域1磁場(chǎng)左邊界位

置開始以速度外向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)并穿越〃個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域.

PbQ

?1?x2x?3?x4xXX

XXXXL

*x肝5JB

2B2

LXXXXXXJ

M°j+JN

(D求棒穿越區(qū)域1磁場(chǎng)的過(guò)程中電阻斤上產(chǎn)生的焦耳熱Q,

(2)求棒穿越〃個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中拉力對(duì)棒所做的功肌

(3)規(guī)定棒劭中從a到。的電流方向?yàn)檎?，畫出上述過(guò)程中通過(guò)棒的電流,隨時(shí)間大變化的圖

象；(4)求棒穿越〃個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中通過(guò)電阻A的凈電荷量q.

解析】(1)棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLvg通過(guò)棒ab的感應(yīng)電流1=舟.

電阻/?上產(chǎn)生的焦耳熱o=(+)%

R+rvo(/r+喳r)

(2)因?yàn)榘魯?shù)勻速穿越〃個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域,所以拉力對(duì)棒做的功在數(shù)值上等于整個(gè)回路中產(chǎn)生的焦耳熱,

即拉力對(duì)棒所做的功乂9Xn,竹=吟也

K+rvoR+r

(3)如圖所示

I

R+r—

(4)若n為奇數(shù),通過(guò)電阻R的凈電荷量0=音=署，若n為偶數(shù),通過(guò)電阻R的凈電荷量q

△①2

-----------=()

例41932年勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器.回旋加速器的工作原理如圖所示，置于高真

空中的D形金屬盒半徑為R,兩盒間的狹縫很小,帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì).磁感應(yīng)強(qiáng)度為B

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直.A處粒子源產(chǎn)生的粒子,質(zhì)量為叭電荷量為+q,在加速器中被加速,加速電壓

為U.加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用.

(1)求粒子第2次和第1次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

(2)求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t；

(3)實(shí)際使用中,磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率都有最大值的限制.若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)

頻率的最大值分別為f??試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能E如.

解析：(1)設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑為r?速度為vi.qu=1mv「,qvB=m'

2(

解得

1[4mU

同理,粒子第2次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑2=上絲二則與:r=垃:1

B]qx

2nqU=mv2

(2)設(shè)粒子到出口處被加速了n圈伏8=〃?不

17im

1-------

qB

t=nT

TTBR2

解得公

2U

(3)加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率,即/=0-

27rm

mv

當(dāng)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度為B0時(shí),加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)為fBm=雙粒子的動(dòng)能“K=2'

2兀m,

p22R2R2

當(dāng)篇W加,粒子的最大動(dòng)能由B.決定叫鳥=〃說(shuō)解得紇“二個(gè)六

當(dāng)/?,?導(dǎo)力時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由丸決定，v?,=2兀印解得Ekm=2兀2m片尺

例5如圖所示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光

滑水平地面上,左端緊靠B點(diǎn),上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C.一物塊被輕放在水平勻速

運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn),運(yùn)動(dòng)到A時(shí)剛好與傳送帶速度相同,然后經(jīng)A沿半圓軌道滑下,再經(jīng)B滑上滑

板.滑板運(yùn)動(dòng)到C時(shí)被牢固粘連.物塊可視為質(zhì)點(diǎn),質(zhì)量為叫滑板質(zhì)量M=2m,兩半圓半徑均為R,板長(zhǎng)

1=6.5R,板右端到C的距離L在R<L<5R范圍內(nèi)取值.E距A為S=5R,物塊與傳送帶、物塊與滑板

間的動(dòng)摩擦因素均為y=0.5,重力加速度取g.

(1)求物塊滑到B點(diǎn)的速度大??；

(2)試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功W,與L的關(guān)系,并判斷物塊能

否滑到CD軌道的中點(diǎn).

/=6.5?

用20

2

解析：(1)umgs+mg?2R=—mvB①，

2

所以VB=3JRg

(2)設(shè)M滑動(dòng)xi,m滑動(dòng)X2二者達(dá)到共同速度v,則mvB=(M+m)v②

12

Umgxi=—mv"(3；

2

22

-HmgX2=—mv——mvB④

22

由②③④得v=y[Rg,XF2R,X2=8R

二者位移之差=X2-XF6R<6.5R,即滑塊未掉下滑板

討論：R<L<2RB^,W,-=umg(7+L)=-mg(6.5R+L);2R<L<5RW,=ymgx+umg(7—Ax)=4.25mgR

22

<4.5mgR,即滑塊速度不為0,滑上右側(cè)軌道.

要使滑塊滑到CD軌道中點(diǎn),％必須滿足：》mgR⑤

2

2⑥

此時(shí)L應(yīng)滿足：umg(7+L)W—mvB——mv/

22

則LW’R,不符合題意,滑塊不能滑到CD軌道中點(diǎn).

2

答案：(1)歸3弧(2)①R<L<2R時(shí),Wi=umg(/+L)=，mg(6.5R+L)

②2RWLV5R時(shí),Wr=umgx2+umg(7—Ax)=4.25mgR<4.5mgR,即滑塊速度不為0,滑上右側(cè)軌道.滑塊不

能滑到CD軌道中點(diǎn).

例7.如圖,在場(chǎng)強(qiáng)大小為反水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一輕桿可繞固定轉(zhuǎn)軸。在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)

動(dòng).桿的兩端分別固定兩電荷量均為q的小球4B-,力帶正電,8帶負(fù)電；48兩球到轉(zhuǎn)軸。的距離分

別為2八/,所受重力大小均為電場(chǎng)力大小的G倍，開始時(shí)桿與電場(chǎng)夾角為6(90°<"180°).將

桿從初始位置由靜止釋放，以。點(diǎn)為重力勢(shì)能和電勢(shì)能零點(diǎn).求:

(1)初始狀態(tài)的電勢(shì)能叱,；(2)桿在平衡位置時(shí)與電場(chǎng)間的夾角a；

(3)桿在電勢(shì)能為零處的角速度0.

12石(1-sin。)-6cos6

【答案】⑴-3o￡7cos0.(2)30°；(3)當(dāng)〃<150°時(shí)，(0=；當(dāng)o>

V5A/3/

…⑸。u時(shí)I-2A/3(1-s麗in^)--6cos^g或一F/-—26(1+s完in8I)—-6cos6g

【解析】(1)初態(tài)：〃=q/+(-q)片g(/-/)=-3q￡7cos。

(2)平衡位置如圖，

設(shè)小球的質(zhì)量為勿，合力矩為

3g￡/sina-mgJcos。=0

由此得tana="^=9。=30°

3qE3

(3)電勢(shì)能為零時(shí)，桿處于豎直位置，當(dāng)初始時(shí)。4與電場(chǎng)間夾角外1505時(shí)，A恰好能到達(dá)。正上方，在

此位置桿的角速度為0

當(dāng)代150。時(shí)，/位于。正下方處電勢(shì)能為零。

f

初態(tài)：K三一3g￡7cos〃，及二跖7sin0,末態(tài)：W/=0,Ep=-mgl

5o)

能量守恒：-3qElcos8-mglsinB=-mgl

12mg(1-sin^)-6qEcos0_126(1-sin6)-6cos6

當(dāng)82150：時(shí)，電勢(shì)能為0有兩處，即月位于。正下方或正上方處

./2g(l-sin8)-6cos8

當(dāng)/位于。正下方時(shí)，G二』一^------產(chǎn)--------g

V5V3Z

當(dāng)/位于。正上方時(shí)，°二白五雪室返

V3ml

I—2^/3(1+sin0)—6cos6

解得0=至

物理學(xué)的發(fā)展依賴于數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)是物理學(xué)的表述形式.數(shù)學(xué)高度的抽象性，使它能夠概括物理運(yùn)動(dòng)

的所有空間形式和一切量的關(guān)系.數(shù)學(xué)以極度濃縮的語(yǔ)言寫出了物理世界的基本結(jié)構(gòu)，唯有數(shù)學(xué)才能以

最終的、精確的和便于講授的形式表達(dá)自然規(guī)律,唯有數(shù)學(xué)才能應(yīng)用于錯(cuò)綜復(fù)雜的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程之中.

牛頓的代表作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，正是采用了數(shù)學(xué)語(yǔ)言才對(duì)力學(xué)定律做出了科學(xué)的、有利的系統(tǒng)

論述.

2、結(jié)構(gòu)圖在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用技術(shù)方面獲得巨大的成功,數(shù)學(xué)在應(yīng)用技術(shù)方面的成效是不容抹殺否定的.數(shù)學(xué)在

科學(xué)活動(dòng)中所發(fā)揮的實(shí)際應(yīng)用作用是顯而易見的,數(shù)學(xué)本身就是屬于一種實(shí)際應(yīng)用技術(shù)性的工具,如果

說(shuō)沒(méi)有數(shù)學(xué)也就沒(méi)有科學(xué)是毫不夸張的.數(shù)學(xué)家或幾何學(xué)家們?yōu)槲锢韺W(xué)家們準(zhǔn)備了各種可供選擇使用

的數(shù)學(xué)公式或幾何形式.公式是數(shù)學(xué)家通過(guò)抽象歸納發(fā)明的,它起到了物理學(xué)家所起不到的作用，這是

數(shù)學(xué)所起到的作用.人們受到歡欣鼓舞并試圖用數(shù)學(xué)手段來(lái)解決處理一切問(wèn)題.數(shù)學(xué)的優(yōu)美表現(xiàn)在形式

上,數(shù)學(xué)形式化是一種必然,因?yàn)樗旧砭褪浅橄?大可不必非得存在具體內(nèi)容.數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)是抽象沒(méi)

有任何真實(shí)物質(zhì)意義的表示,即不管任何物質(zhì)變化作用關(guān)系內(nèi)容.數(shù)學(xué)只是對(duì)現(xiàn)象或結(jié)果的一種定量描

述,而不必管內(nèi)容實(shí)質(zhì)原因的.以觀察和實(shí)驗(yàn)事實(shí)通過(guò)推導(dǎo)所獲得到的唯一地可能來(lái)把握現(xiàn)象的公式，

優(yōu)點(diǎn)在于可以超脫關(guān)于產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因，即尋找數(shù)學(xué)規(guī)律而用不著尋找原因.它的目的作用是為了

實(shí)際應(yīng)用，知道原因內(nèi)容與不知道原因內(nèi)容是沒(méi)有任何區(qū)別的.

1、力與物體的平衡

「(

緩

勻

速

慢

運(yùn)

運(yùn)

動(dòng)

動(dòng)

止一

（平衡狀態(tài)）’若只受二力，則兩者

.大小相等、方向相反

（受力分析卜

若受三力，其中二力的

平衡條件

合力與第三個(gè)力等大反

尸=0向；若三力不平行，則

f力的合成“必共面旦共點(diǎn)

〔與芬癖

（方法）若受N個(gè)力,（N-1）個(gè)

力的合力與第N個(gè)力等

夫反向

正

交

成解圖分

解

法法法法

〕

2、勻變速直線運(yùn)動(dòng)

3、力學(xué)連接體

（受力分析片

「Y連接體問(wèn)題）

力

T超重與失重）

—件頓運(yùn)動(dòng)定律J—

運(yùn)--------------

（直線運(yùn)動(dòng).動(dòng)

L~（臨界問(wèn)題）

（曲線運(yùn)動(dòng)

4、曲線運(yùn)動(dòng)

L（平拋運(yùn)動(dòng)~

研究'運(yùn)動(dòng)的合'

方法I成和分解，

y類平拋運(yùn)動(dòng)）J

"a定恒

（曲線運(yùn)動(dòng)）

研究」沿切向和］

|變

°量方法〔法而分解J

（變加速曲線）—e圓周運(yùn)動(dòng)）一

特征

方程［皿/=批。

5、萬(wàn)有引力定律

—■｛雙星、黑洞〕

{t/

萬(wàn)

〔2

萬(wàn)

有GMmv

H天體運(yùn)砌i=m

一I‘牛頓第'—7=

引■-《人造衛(wèi),

力m(D2r=m^-r

力.二定律.

定2

（變問(wèn)題）T

〕dI

建特例［r=R

?（宇宙速度）_-f噌鵬

6、功、功率和動(dòng)能定理

（瞬時(shí)功------?（機(jī)車啟動(dòng)戶」空㈣一1

（平均（恒廣的功）（變力熊功〉——

7、機(jī)械能守恒定律

靜僮力勢(shì)能變化）~~

耐（只有重力或系統(tǒng)彈力做功）■僧器守?

f量g

量

守

-gT彈性勢(shì)能變化）——

.恒

變

定

化

——?（電勢(shì)能變化）--------------------色

〕電場(chǎng)力做功

分子力做功工分子勢(shì)能變化｝

8、電場(chǎng)力的性質(zhì)和能的性質(zhì)

（庫(kù)侖定律力

（電場(chǎng)強(qiáng)度〉

力的性質(zhì)能的性質(zhì)卜電勢(shì)差卜忸=爭(zhēng)

I"

（電場(chǎng)線卜

市

,一i一.,--------.場(chǎng),---------.一（電?能H&?二4q

(勻強(qiáng)電場(chǎng)卜1W=qEd}—力—^\Wab=qUab\

T’里

功

J-——伊-AEJ—

9、磁場(chǎng)作用下物體的運(yùn)動(dòng)

0）_?｛左手定則卜-------------

----《f=qvB卜-------（F=?L）

(WO-—————

■^^1-

v//B?（勻速直線運(yùn)動(dòng)）

MB）-------?（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）

10、帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

11、穩(wěn)恒電流

'轉(zhuǎn)化功率］（輸出功率'‘內(nèi)耗功率

,P=IEPa=lU,、P內(nèi)=產(chǎn)廠,

（電%）「［產(chǎn)生］

一「

（電路的動(dòng)態(tài)分析h合

閉

路

（含容電路的分析》曲

姆

便

（電路故障分析卜律

定

一

」

（電路中能量轉(zhuǎn)化L（Jnfe）U高壓輸電）

歐姆定電功電功率

W=UhP=IU

12、電磁感應(yīng)定律

p（判斷『方向）匠韻一（計(jì)算E,大?。?--------

（楞工定律）（電磁感應(yīng)%律戶展=屋皙

律

（電磁感

應(yīng)

而

”（電3綜合M動(dòng)力或問(wèn)題X能3問(wèn)題―

13.物理實(shí)驗(yàn)

I光學(xué)用雙縫干涉伊里解用用雙縫干涉測(cè)光的波長(zhǎng)的原理，②會(huì)用雙縫

I實(shí)魄I一測(cè)光的波長(zhǎng)I卞涉法測(cè)光的波長(zhǎng)

著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素就曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué),如果正確地看它,則具有……至高無(wú)上的美一一正像雕

刻的美,是一種冷而嚴(yán)肅的美,這種美不是投合我們天性的微弱的方面,這種美沒(méi)有繪畫或音樂(lè)的那些

華麗的裝飾,它可以純凈到崇高的地步,能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地

一種真實(shí)的喜悅的精神,一種精神上的完備，一種覺(jué)得高于人的意識(shí)一一這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠

在詩(shī)里得到,也能夠在數(shù)學(xué)里得到.”總之,數(shù)學(xué)美是一種結(jié)構(gòu)美，一種“簡(jiǎn)單”的美.

3、歸納推理在中學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用

英國(guó)劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)家Littlewood教授曾經(jīng)提出一個(gè)有趣的論斷：“在創(chuàng)世之前上帝只是在研究純數(shù)

學(xué),然后他想搞點(diǎn)應(yīng)用應(yīng)該是件有意思的事情.”歸納推理分為完全歸納和不完全歸納,物理中常常用到

不完全歸納,合理地運(yùn)用歸納法對(duì)我們解決一些物理問(wèn)題有很大幫助.運(yùn)用不完全歸納的前提條件是物

理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要有反復(fù)性和相似性.

數(shù)學(xué)知識(shí)回顧：所謂歸納推理,就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理，傳統(tǒng)上,根據(jù)前提所

考察對(duì)象范圍的不同,把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理.完全歸納推理考察了某類事物

的全部對(duì)象,不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對(duì)象.并進(jìn)一步根據(jù)前提是否揭示對(duì)象與其

屬性間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理分為簡(jiǎn)單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理.現(xiàn)代歸納邏輯則主要

研究概率推理和統(tǒng)計(jì)推理.歸納推理的前提是其結(jié)論的必要條件.首先,歸納推理的前提必須是真實(shí)的,

否則，歸納就失去了意義.其次,歸納推理的前提是真實(shí)的,但結(jié)論卻未必真實(shí),而可能為假.

偉大的數(shù)學(xué)家歐拉曾說(shuō)“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，同樣需要觀察、實(shí)驗(yàn)”.無(wú)獨(dú)有偶，大數(shù)學(xué)家高斯也曾

說(shuō)過(guò),他的許多定理都是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是一個(gè)補(bǔ)行的手續(xù).縱觀古今，科學(xué)的發(fā)展史其實(shí)也是

一部觀察史、一部猜想史，更是一部論證史.數(shù)學(xué)的發(fā)展更是這樣的.科學(xué)結(jié)論的得到大致包含以下幾

個(gè)階段:觀察、實(shí)踐f推廣f猜測(cè)一般性結(jié)論一論證結(jié)論.而數(shù)學(xué)歸納法恰恰是論證結(jié)論的最佳方法.這

與數(shù)學(xué)大師所說(shuō)的“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來(lái),再?gòu)睦碚撋险撟C這一規(guī)律的一般性,這是人們認(rèn)

識(shí)自然的客觀法則之一”的觀點(diǎn)大致相同.楊振寧教授說(shuō)：“美國(guó)學(xué)物理的方法與中國(guó)學(xué)物理的方法

不一樣，中國(guó)學(xué)物理的方法是演繹法,先有許多定理,然后進(jìn)行推演,美國(guó)對(duì)物理的了解是從現(xiàn)象出發(fā)，

倒過(guò)來(lái)的,物理定理是從現(xiàn)象歸納出來(lái)的,是歸納法.演繹法是學(xué)考試的人用的方法;歸納法是做學(xué)問(wèn)的

辦法.做學(xué)問(wèn)的人從自己的具體工作分析中抽象出定理來(lái),這樣所注意的就是那些與現(xiàn)象接近的東西.”

倪光炯講：“物理學(xué)史表明,真正重要的第一流研究成果,從來(lái)不是靠演繹法推算出來(lái)的,而是靠分析歸

納法”，“演繹法當(dāng)然也很重要，但它的結(jié)論實(shí)際上早已隱含在大前提之中了”，認(rèn)為“從‘戰(zhàn)術(shù)’上看，

做演繹法似乎很保險(xiǎn)，但從‘戰(zhàn)略’上看卻不見得“必須記住物理學(xué)首先是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，因此我們

的研究必須首先'面對(duì)現(xiàn)象'，'面對(duì)實(shí)驗(yàn)事實(shí)'，'面對(duì)原始問(wèn)題'“全部科學(xué)史還表明：……

當(dāng)一種成熟的理論或觀點(diǎn)已被絕大多數(shù)人所接受后，便形成所謂‘主流'，研究中隨大流或‘趕熱門'

便成為了常見現(xiàn)象.然而自然界比人更富想象力,新的較大的發(fā)展，要求越出主流,另辟蹊徑,要求拋棄

一些過(guò)去的成見(或偏見)，即要求一個(gè)研究者及時(shí)而堅(jiān)決地改變自己原來(lái)不正確的思想.事實(shí)上,很少

有人能做到這一點(diǎn)”.物理學(xué)中許多普遍概念和規(guī)律都主要是用歸納推理得出的.歸納推理是解決物體

與物體發(fā)生多次作用后的情況,即當(dāng)問(wèn)題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時(shí),應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)

用數(shù)學(xué)思想將所研究的問(wèn)題歸類,然后求出通式.常用它來(lái)研究運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知,在一定條件下連續(xù)進(jìn)行

的、具有共同規(guī)律而具體數(shù)量特征不同的多階段運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.它具體方法是先分析某一次作用的情況，得

出結(jié)論；再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解；或?qū)С雎?lián)系

相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式,再把結(jié)論推廣,后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解.

例1：把長(zhǎng)為S的平直公路分成n等份，一輛汽車從始端A由靜止出發(fā)，以加速度a運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它達(dá)到

每一等份的末端時(shí),加速度增加a/n,則汽車到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)的速度是多少？

2

解析：設(shè)經(jīng)過(guò)每一份后的速度分別以V1、V2,、、、，V”表示..…出aS/n,v2=2a(1+1/n)S/n+2

Z

aS/n,V3=2a(1+2/n)S/n+2a(1+1/n)S/n+2aS/n,、、、

v?z=2aS/n(2-1/n)+2aS/n(2-2/n)+2aS/n(2-3/n)+、、、+2aS/n(2-n/n)=2aS/n[2n-n(n+1)

5

/2n].vn=[as(3-l/n)]0'.

例2如圖所示,質(zhì)量為)的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為19必的金屬球并排懸掛.現(xiàn)將絕緣球拉

至與豎直方向成6=60°的位置自由釋放，下擺后在最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞.在平衡位置附近存

在垂直于紙面的磁場(chǎng).已知由于磁場(chǎng)的阻尼作用，金屬球?qū)⒂谠俅闻鲎睬巴Ｔ谧畹忘c(diǎn)處.求經(jīng)過(guò)幾次碰

撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°.

八

〃〃八

.00烷

圖1

【分析】因絕緣球與金屬球每次碰撞后,其速率將減小,從而使其偏離豎直方向的最大角度在減小.

而每次兩球碰撞后,絕緣球的速率是有規(guī)律性的變化,要求解本題題設(shè)條件下的碰撞次數(shù),關(guān)鍵在于歸

納出絕緣球在每次碰撞后的速率變化規(guī)律.

【解析】方法1.根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn),把結(jié)論推廣,然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解.設(shè)

小球〃的擺線長(zhǎng)度為/，絕緣球第一次碰撞前的速度為由，碰撞后絕緣球與金屬球的速度分別為詠九

設(shè)速度向左為正，小球0在下落過(guò)程中與M相碰之前滿足機(jī)械能守恒：

加和必碰撞過(guò)程滿足：mv0=MVx+mv\,②

-mv*=+-MV^匕

202121,③聯(lián)立②、③得：^=m""+步M",

由于必＜0,說(shuō)明絕緣球被反彈,而后絕緣球又以反彈速度的大小和金屬球"發(fā)生碰撞,設(shè)第二次碰

撞后絕緣球與金屬球的速度分別為小滿足：

_—mv?=—_

m\Ki|=MV2+mv-i，④222,⑤

m-M,?

v=------x匕=_------R

由④、⑤解得：根+腸|整理得：\m+M）,

m-M

匕T

同理第三次碰撞后絕緣球的速率匕為:m+M

匕=|——覆??

由以上歸納推理得到第〃次碰撞后絕緣球的速率為",所以：\m+M），⑥

經(jīng)過(guò)第n次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45。，則mgW-"s45。）=3aq,⑦

聯(lián)立①、⑥、⑦代入數(shù)據(jù)解得，（0.81）"=0.586,

當(dāng)P=3時(shí),碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于45°.

方法2.導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式,再把結(jié)論推廣,后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解.

設(shè)在第〃次碰撞前絕緣球的速度為“T,碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為心和小,由于碰撞過(guò)

程中動(dòng)量守恒,碰撞前后動(dòng)能相等,則mv,.-^fV,.+niv?,

111

一加y?=一a+—MU'匕=-----匕t

2""2"2",解得+M）,由以上歸納推理得到第〃次碰撞后絕

v=|------v01

緣球的速率為%,+,再利用方法1的求解可得到結(jié)論.

小結(jié)：該題除了考查碰撞中的動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律外,還運(yùn)用了歸納推理尋找通項(xiàng)公

式,即絕緣小球每一次碰撞前與碰撞后的動(dòng)能關(guān)系，從而找到了絕緣小球每次碰后的動(dòng)能與初動(dòng)能的關(guān)

系.找不到這個(gè)通項(xiàng)關(guān)系,而使用遞推法解題的計(jì)算量會(huì)非常大.在解決某些物理過(guò)程比較復(fù)雜的具體

問(wèn)題時(shí),常從特殊情況出發(fā),歸納出一般情況下的猜想,然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜

想是正確的.此類題要求注意在書寫上的規(guī)范，以便于找出其中的規(guī)律.

例3我們?cè)诨疖囌境？吹捷d重列車啟動(dòng)時(shí),機(jī)車要往后倒退一下，目的是使各節(jié)車廂之間的掛鉤

都離開一段距離，以便于啟動(dòng),這是因?yàn)闄C(jī)車和車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力大于它們之間的動(dòng)摩擦

力,若機(jī)車不倒退直接啟動(dòng),啟動(dòng)以后機(jī)車和車廂與鐵軌之間的摩擦力由靜摩擦力變?yōu)閯?dòng)摩擦力，當(dāng)列

車加速到一定的速度后，列車的機(jī)車就必須減少牽引力使列車勻速直線運(yùn)動(dòng)，資源不能得到充分的利用,

所以載重列車常常采用我們所見到的啟動(dòng)方式啟動(dòng).今有一列載重列車，若它不倒退以恒定的牽引力直

接啟動(dòng)，機(jī)車的牽引力能帶動(dòng)49節(jié)車廂(不含機(jī)車),那么它利用倒退后用同樣大小的恒定牽引力啟動(dòng)，

該機(jī)車啟動(dòng)59節(jié)同樣質(zhì)量的車廂以后，恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，已知機(jī)車與各節(jié)車廂的質(zhì)量均為力,機(jī)車

和各節(jié)車廂與鐵軌之間的動(dòng)摩擦力為umg,假設(shè)機(jī)車倒退后,各節(jié)車廂之間的掛鉤離開相同的距離s,

機(jī)車加速后,每拉動(dòng)一節(jié)車廂的瞬間可近似地認(rèn)為滿足動(dòng)量守恒定律的條件.求：(1)每一節(jié)車廂與鐵

軌之間的最大靜摩擦力？(2)列車采用機(jī)車倒退的方式啟動(dòng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度？(最終結(jié)果可

以用根式表示)

解：(1)設(shè)每節(jié)車廂所受最大靜摩擦力為￡，機(jī)車的牽引為為月直接啟動(dòng)時(shí)，有戶(49+1)￡(1)

當(dāng)采用倒退方式啟動(dòng)時(shí)，有六(59+1)umg(2).由①、②兩式可得：￡=1.2〃儂(3)

(2)設(shè)第一節(jié)車廂被拉動(dòng)前,機(jī)車的速度為，，被拉動(dòng)后，機(jī)車的速度為匕'由動(dòng)能定理有

(F_R噫)S=—mV?

2(4)

?。V:2=L(L-ng')S

由動(dòng)量守恒定律有*八=2泡匕(5)由④、⑤得2m