2024高考數(shù)學二輪復習重難點專題《三角恒等變換八大題型》題型突破及解析

重難點專題15三角恒等變換八大題型匯總

題型1輔助角公式的運用...............................................1

題型2輔助角公式與最值...............................................2

題型3湊角求值.......................................................3

?類型1誘導公式法................................................3

?類型2拆角......................................................4

題型4分式型湊角求值.................................................5

題型5正切恒等變形...................................................5

?類型1正切化簡求值..............................................6

?類型2與其他知識結(jié)合...........................................7

題型6正切求角.......................................................8

題型7二倍角公式與升塞降基..........................................9

題型8正余弦和差積問題..............................................10

題型1輔助角公式的運用

非特殊角的輔助角應用，雖然可以用公式tan但是處理拔高題，僅僅簡單

的用此公式I是遠遠不夠的，要學會推導過程.知其然知其所以然.并且，深層次

應用，不僅僅會〃化正"，更要會“化余”.

,,4++了(,*-sina

asma+bcosa=JN十J⑥士

人cos@-——sin@-——

asina+bcosa

二+b7743+g有=Q點+V(cos<Psino/sincosa)-

,^a2+b2sin(a+6)

【例題1】(2023-全國-高三專題練習)用輔助角公式化簡：

sin一心os：；

【變式IT】1.(2023秋?湖南永州?高三校聯(lián)考開學考試)己知

cosa^/3sina=；,則°"~)"()

A.>B.-C.7D.二

【變式1-1]2.（2023秋?廣東揭陽-高三?？茧A段練習）已知9<°

一行<6<0,且sina*sin6-Vjfcosa*cos0）,則下列結(jié)論一定不正確的

是（）

A.cos（s-B）=-1B.sinfa-8）二Gc.cosfo?6）=--

Dsinfa+B）二嗯

【變式IT】3.（2023秋-內(nèi)蒙古包頭-高三統(tǒng)考開學考試）函數(shù)

fG匚sin^r+cos%的一條對稱軸是（）

A.…彳B.x=-彳c.x*D.x*

【變式1-1]4.（2023秋?江西南昌?高三南昌二中校考開學考試）三知

Ax）=sin（：￥+：）-Gos（5x+：）,則f⑴+f⑵+??，+”2023）的位為

（）

A.2百B.gC.1D.0

【變式1-115.（2023-全國-高三專題練習）設4為動點產(chǎn)化os/sin外到直

線的距離，則G的最大值為（）

A.B.qC.D.3

題型2輔助角公式與最值

輔助角公式滿足：

?,4群—夕a，8sa）Io?i./?

asma+bcosa="中]、~：）.=^/a2+bo2sin（a+

6）,

7a2+b2Wasina+bcosaW/a2+b2

【例題2】（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)N力二2sin"&osx在尸@

處取得最大值，則COS在二（）

"夕6Ni

A.-B.-C.~~D.~~

【變式2-1]1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）若關(guān)于，的方程

sin2"2cos2x=-Z在/。兀J內(nèi)有兩個不同的解a,B,則cos（a-瓦的值為

()

Ki"

A.TB.C.-TD.T

【變式2-1]2.(2023秋?江西吉安?高三吉安一中校考開學考試)三知

8W僅，3,

且sin(a-26)fJsinG=。貝ijtana的最大值為()

A.-3.當

C.--D.-

【變式2-1]3.(2023秋?陜西漢中?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)

fG)=sinr+Scos兒當男>)取得最大值時，tanj二.

【變式2T】4.(2023秋?福建廈門?高三廈門一中?？茧A段練習)己知函數(shù)

f(x)-sin-\C3oos>Q),若f⑨的圖像在區(qū)間，。冗)上有且只有.1個

最低點，則實數(shù)3的取值范圍為.

【變式2-1]4.(2021秋?廣西南寧?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)

f(x)=vC5(sin2x+4cosx)+2sinx,則f(x)的最大值為()

A.4V3B.4

C.6D.5g2

【變式2T】5.(2023秋-四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學考

試)若函數(shù)力，=sinx-保osAx￡dm的值域為則〃一加勺雙值

范圍為

題型3湊角求值

常見角的變換有：

qq

①a=(a—B)+B；②a=^+9^；③2Q=(Q+B)+(Q—F)；

乙乙

④2b=(a+B)—(a—B).

?類型1誘導公式法

【例題3-1】(2023?河南開封?統(tǒng)考三模)已知sin(0*7)-cosa三，則

cos(。吟)二()

、?-jj

A.3B.1C.JD.，

【變式3-111.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學考試）已知吟）W,

則sin住-2G），（）

“M-j

A.-TB.-C.1D.-

【變式3-1]2.（2023秋?山東?高三沂源縣第一中學校聯(lián)考開學考試）已知

則8S（9-Zx）i）

A.7B.7C.WD.W

【變式3-1】3.（2022秋?新疆巴音郭楞-高三八一中學校考階段練習）設。為

銳角,若ss（aT）=；則sE（a-3二（）

■egc

A."B.-D.一二

【變式3T】4.（2023秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習）已知s,”（+一二）=三

且Q則5壯仔緒。）二（）

A.~~B.TC.WD.一二

?類型2拆角

【例題3-2]（2023秋?河南洛陽?高三洛寧縣第一高級中學校考階段練習）已

知。,6均為銳角，且tan江二J,sin（a*如三貝/os6二（）

IJJH6失Uis/n

A.MB.~~ioC.~~5￡D.寶或50

【變式3-2]1.（2022秋-陜西渭南-高三渭南市瑞泉中學?？茧A段練習）若

幣;

a，6都是銳角，且8S°=三5儲（°，即三，則cos6二

"""".

A.右B.丁C.亞或丁D.7或75

【變式3-2]2.（2022?云南?云南民族大學附屬中學?？寄M預測）已知

sina二三cos（0-6）=?,且°<弓<9,。<則sin0-（）

9mii/R/Z

A.-B.-FTC.-D.

【變式3-2】3.（2022秋，山東日照?高三校考階段練習）己知*BG（〃兀）,

tan（a*）吟cos（/9*7）-7,則85（2~6）二（）

A.-VB.~~C.TD.-

題型4分式型湊角求值

分式型最終目標是分別把分子分母化為積的形式，便于約分來化簡.

tinlO*cosJ5'-COKSS'_

【例題4】（2021?湖北黃岡?黃岡中學校考一模）求值：，〃/.「，’一山公一

A.-2?VZB.門-2C.2-《D.2+41

【變式4-1]1.（2023?吉林長春?東北師大附中?？寄M預測）求值

【變式4-112.（2022?全國-高三專題練習）計算求值：

（1）計算晨二7的值；

⑵已知外6均為銳角，sino二：cos（a6）--,求sin6的值.

【變式4-1]3.（2022秋-黑龍江哈爾濱?高三黑龍江實驗中學校考階段練習）

化簡求值：

,、,-1x28*

（1）

8X0，F(xiàn)B30?（irlaua?）

（2）siaTO*vItoUO,

【變式4-114.（2023?全國-高三專題練習）化簡:

（兀<“嗯

coi（^-c）-tai>442tos3）

⑵w*J-eo?Q（0<0<2.

題型5正切恒等變形

兩角和的正切公式的常見四種變形：

T（。+戶）：

①tana+tan￡=tan（。+￡）（1—tanatan￡）；

②tana+tan￡+tano?tan￡?tan（。+￡）=tan（。+￡）；

tano+tanB

@tana?tanB=\

tana+￡

tan〃+tanB

?1—tancitan￡=

tant+￡

T(O-)9)：

①tana1tan萬=tan(。1￡)(1+tanatan￡；；

②tan〃-tanP-tana?tan￡?tan(a-萬)=tan(。一尸)；

④tana?tan￡=F7T7J7T

tASS-ZasS

④1+tanatanB=工：，；

?類型1正切化簡求值

【例題5-1]（2023秋?湖北武漢?高三武漢市第四十九中學?？茧A段練習）若

?！辏ㄒ?'且cos'。則tan（a一習二

【變式57】1.（多選）（2023?河南信陽?信陽高中?？寄M預測）己知

6￡（。4）,。為坐標原點，鄉(xiāng)終邊上有一點，（sin，-cosgsin?+cos*）

則（）

C.tan<1D.cos'”

【變式5-1]2.（2023?全國?高三專題練習）當》二兒時，函數(shù)

Hx）二sinx-&os】取得最大值，則ts（孫吟）:

【變式5-1]3.（2023春?江西贛州-高三校聯(lián)考階段練習）已知角

,且

sin(a+8)+2cos(a-6)=0,sinasinB+2cosacos8-0,則

tan(a+6)二()

A.三B.1C.三D.-2

【變式57】4.（2023?四川成都?校聯(lián)考二模）在銳角C中，角A,B,C

的對邊分別為a,b,c,taidsinXtanJtanC-J）-^tan5tan<,sinf>sin^,且

加in5，csinC二加jsiM,則實數(shù)萬的取值范圍為.

【變式5-1】5.（2023?全國?高三專題練習）在銳珀八被中，三內(nèi)角45C的

對邊分別為且"二2bsin（,則tan/1+tan6+tanC的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【變式5-116.（2023春-上海閔行-高三上海市七寶中學?？茧A段練習）已知

4儂的二個內(nèi)角分別為A,B,C,則下列判斷正確的是（）

命題P：對任何銳角A,都存在C敬，使得85力.8S6二COSC；

命題q：對任何銳角A,都存在C敬，使得二tanC.

A.p是真命題，q是真命題B.p是真命題，q是假命題

C.p是假命題，q是真命題D.p是假命題，q是假命題

?類型2與其他知識結(jié)合

（例題5-2]（2022?全國?高三專題練習）已知等差數(shù)列dJ中

a：-d=lf4=tan%?tan%?/gC”人則數(shù)列eJ的前n項和瞟—.

【變式5-211.（2022?上海-高三專題練習）己知正三角形械的三個頂點均

在拋物線薩二」上，其中一條邊所在直線的斜率為則C版的三個頂點的橫

坐標之和為.

【變式5-212.（2022?浙江紹興?模擬預測）在4被中，內(nèi)角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,已知角A為最小角且taiUtanfitanC均為整數(shù)，則

cosJ-,設6<C,題勺中點為D,則今

【變式5-213.（2023?福建廈門-廈門外國語學校?？寄M預測）己知橢圓。

的一個焦點為方,短軸我昆的長為人后月6為C上異于6〃昆的兩點.設

/PB此二%ZPB:B：-8,且tan（a+B）+tan6）,則0用/的周長

的最大值為.

【變式5-2]4.（2023秋?四川成都?高三樹德中學校考開學考試）已知A、B

是橢圓2二，0與雙曲線弓一弓二。。的公共頂點，P是雙曲線

上一點，PA,PB交橢圓于M,N.若MN過橢圓的焦點F,且tan/4l?=-J,則雙

曲線的離心率為.

題型6正切求角

給值求角問題的解題策略：

（1）討論所求角的范圍.

（2）根據(jù)己知條件，選取合適的三角函數(shù)求值.

①己知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；

②己知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù).

（3）由角的范圍，結(jié)合所求三角函數(shù)值寫出要求的角

【例題6】（2023春?陜西西安?高三西安中學校考階段練習）已知七領(lǐng)八tan6

是方程=C的兩個根，且則a,6等于

（）

2窩

A.-B.-―

RJi一九

C.-5或~TD.F或T

acos1

【變式6-111.（2023?全國?高三專題練習）已知二二77,

tan（0+6）=^rr,若6e（a7）,則8:（）

ititJrR

A.TB.NC.D.~

【變式6-1】2.（2020?全國-高三專題練習）已知等差數(shù)列信力中，為1尸二,

4?.布‘如二一：,又tan6二名，tan/6-。）二七，其中。，3￡⑥”則

2。-3的值為（）

3*_njx_*

A..二或一7B.-C.-7D.~~

【變式67】3.（20122秋?上海普陀?高三曹楊二中?？计谀┰?故中，

若以？,AB-2AB-BC-3BC?麗則角4的大小為

xx2x3x

A.7B.1C.-D.-

【變式6-114.（2022?湖南?校聯(lián)考二模）已知在4故中，

（2BA-3BC）'豆二，則角片的最大值為.

【變式6-115.（2022秋?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中）己知人及C為C故的

內(nèi)角，若3tanA+?mB二C,則角C的取值范圍為

題型7二倍角公式與升塞降嘉

1收短八一21+cos2a?1-cos2a

1.降曷公式：cosa=--------,sina=---------.

2.升嘉公式：1+cos2a=2cos?a,1—cos2a=2sin'a.

注意：倍角公式中的〃倍角〃是相對的，對于兩個角的比值等于2的情況都成立，

如6a是3a的2倍，3cl是空的2倍.這里蘊含著換元思想.這就是說，〃倍〃是

相對而言的，是描述兩個數(shù)量之間的關(guān)系的.

【例題7】（2022?甘肅臨夏?統(tǒng)考一模）已知角。終邊上一點M的坐標為

（-1,2人貝ijtaix?。-（）

A.B.3C.2D.一二

【變式7-111.（2020?北京?高三強基計劃）已知

-sina/力，2:"i?cosa,則FiTT的最小值是（）

J4J

A.1B.2C.-D."

【變式7-1]2.（2023秋?江西撫州-高三黎川縣第二中學校考開學考試）己

知^（?,4，則當tanZ，-tan9取得最大值時，金二.

【變式7-1]3.（2023?四川眉山?仁壽一中校考模擬預測）已知

（tan?a-tana）?cosZo=2,則tan。二.

【變式7-1]4.（2023秋-四川成都?高三石室中學校考開學考試）己知傾斜

角為a的直線」與直線旭丁-&+3二G垂直，則cosZa二,

【變式7-1]5.（2023-陜西咸陽-武功縣普集高級中學校考模擬預測）若函

數(shù)W：力二sig-2x）s」，則界x）的最小值是.

【變式7-1]6.（2023秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習）在4故中，

tan3"JtanL則三7’捺的最小值為（）

A.4B.熱門C.MD.16

題型8正余弦和差積問題

sina±85°的問題一般通過1.平方法2.換元法進行解決

【例題81（2023秋?新疆巴音郭楞-高三?？奸_學考試）已知35°々。5BW,

sina-sin"：則cos（2a+23）：（）

J

A.1B.3C.'D.-J

【變式8T】1.（2022春-重慶沙坪壩-高三重慶一中?？茧A段練習）已知°為

SU0,cos0

象限角，且滿足sin/Zcosa二，則J（）

A.-cB.6C.2D.2

【變式8-1]2.（2022秋?吉林?高三吉林省實驗階段練習）已知

n（sing-8sg）=;則sina的值為

A.■B.jC.-D.

【變式8-113.（2022?陜西-校聯(lián)考模擬預測）密位制是度量角的一種方法,

把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，單位可省

去不寫，采用四個數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫一條短線，如7

密位寫成“0-07”,478密位寫成“4-78”.若（sin。-cos。尸二2sinacosa,

則角?？扇〉闹涤妹芪恢票硎惧e誤的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【變式8-1】4.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知乙6e（^7）,

cos（。'6）a：,tana-J,則cos（a-6）二（）

A.1B.-C.'D.1

【變式8T】5.（2021?江西南昌?高三階段練習）己知

cos0-C05,6aina.sin26二:，貝！|sinU?6）：（）

41，1131

A.B.無C.為D.u

【變式8-116.（2023秋?河南?高三鄭州一中校聯(lián)考階段練習）若

sinfo*5-Xsina?cosa）24在°引上恒成立，則m的取值范圍

是

【變式8-1】7.（2023?全國?高三專題練習）已知。則…5皿

的最大值是（）

A.1B.―^C,—D.T

1.(2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學校考模擬預測)己知

tan(o+15.)-7tan(a-15*),貝ijsin(a-J5*)cos(Q)：()

J7JJ

A.jB."C.jD."

2.(2022?甘肅臨夏?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)力":sinx-：cos2,則/?⑨的最

大值為()

A.1B.：C.=D.：

3.（2023?廣東揭陽?惠來縣第一中學?？寄M預測）已知tan（‘一句和

tan（夕，如是關(guān)于二的方程=，的兩根，且則k的值為

()

A.-2B.-C."D.

4.（2023?福建寧德?福建省寧德第一中學?？家荒＃┰Osin^二巴則

)

A.aB.1C.；D..?

5.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知sin（0?6）W,cosasinS弓.則

8s（2a+28）：（）,

?j2i

A.-B.1C.D.

6.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）過點-力與圓=G相切的兩條

直線的夾角為。，則sin。二（）

/7i4

A.1B.-C.-D."7

7.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知。為銳角，cos°二個，則sin^二

（）.

3-VS-1?/3-VS-!?$

A.-S-B.-R-C.-I-D.-4-

參考答案與試題解析

重難點專題15三角恒等變換八大題型匯總

題型1輔助角公式的運用..............................................12

題型2輔助角公式與最值..............................................16

題型3湊角求值（互余互補，拆角和與差，拆角30+-a,）................................20

?類型1誘導公式法.............................................21

?類型2拆角....................................................23

題型4分式型湊角求值................................................25

題型5正切恒等變形..................................................29

?類型1正切化簡求值...........................................29

?類型2與其他知識結(jié)合.........................................35

題型6正切求角......................................................40

題型7二倍角公式與升茶降寨.........................................45

題型8正余弦和差積問題.............................................49

題型1輔助角公式的運用

非特殊角的輔助角應用，雖然可以用公式tanp三，但是處理拔高題，僅僅簡單

的用此公式I是遠遠不夠的，要學會推導過程.知其然知其所以然.并且，深層次

應用，不僅僅會〃化正"，更要會“化余”.

,,>!a?i-b2（,\-sina-h^-cosa）

asma+bcosa=、，十S1t

令C二熹，加二去,

asina+bcosQ

=G,夕（-r^zsina）二評?夕（cos^sinaisin<Pcosa）=

W+b'sin（Q+（1））

【例題1】（2023?全國-高三專題練習）用輔助角公式化簡：

sin；-VAos^

【答案】

【分析】直接利用輔助用公式化簡即可.

【詳解】sin

，公in（.2

故答案為：^inG-7）

【變式1-111.（2023秋?湖南永州?高三校聯(lián)考開學考試）已知

coso.百feino=；，jujcos（0;（）

J4_J_i

A.jB.jC.D.-7

【答案】B

【分析】利用輔助角公式進行求解.

【詳解】85。W,由輔助角公式得%8（°?彳）二一故

cos（aW）=；,

故選：B.

【變式1-U2.（2023秋?廣東揭陽-高三校考階段練習）已知!<°W,

-5<好<4^sino*sin&-V5（cosa*cosS）9則下列結(jié)論一定不正確的

是（）

A.cos(a-8)=-1B.sin(a-B)二氏cos(o*B)-

Dsinfa，6）二方

【答案】D

【分析】根據(jù)輔助角公式化簡，再根據(jù)角的范圍找到和差角的關(guān)系判斷各個選項

即可.

[詳解]

「sino*sin6-VJtcosa*cosB）,?：sina->/3tosa+sin8-

v^cosB=。

?:企in（o+2sin（6二0

?：%in（o-習二一有①習二%/.-6）

且h。筆，~^<6<0,則

/。苧彳弋"-XT吟

當°V吟-尻"6吟時,8S（a?6）Tsin（。+6）qc選項正

確，D選項不正確；

當a一7.丁-6二幾，a-6二兀時cos（a_8）1,

sin（a-ff）=0,sin（a，6）=sin（7，Z6）=-sinZ6,<2S<

0,sin（a+6）asirt?6<0,

,A,B速項正確，D選項不正確.

故選:D.

【變式1T】3.（2023秋-內(nèi)蒙古包頭?高三統(tǒng)考開學考試）函數(shù)

f3>=5in2r+cos%的一條對稱軸是（）

A.k一：B.k一弓C.x三D.尸三

【答案】C

【分析】利用輔助角公式，結(jié)合代入法、正弦型函數(shù)的對稱性逐一判斷即可.

[詳解]f-二sinZ"cosZx二⑵*習

A：因為“-沙晶小爪-力臼=“土尺

所以本選項不符合題意;

B：因為“-f二場小爪-習臼―H士q

所以本選項不符合題意；

C：因為“沙二值in（7*+6）二，，

所以本選項符合題意；

D：因為陪尸倡訕白仁吟），H土仇,

所以本選項不符合題意，

故選：C

【變式1-1]4.（2023秋?江西南昌-高三南昌二中校考開學考試）三知

*力二sin仔-Gos仔"力則如"⑵，…如的值為

（）

A.2&B.gC.1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)三角恒等變換得到Hx）=2sin：j,求出最小正周期，并求出

+汽小+汽》+江》+R5）+汽。:C,利用周期分組求解，得到答案.

【詳解】七）二sin仔"9-俗056/j二為珀仔"——二恁5口,

所以最小正周期為三一,

且或/）+久力+皿^5）+加

=2sin?+2sinT+2￡in冗/2sin^^2sln^/2sin2^:⑸⑶0-0-

⑶0:0

所以+式2023\

-IA-0"（為"3"⑼"⑶+真如+-+⑶2017）+式20密+式20坳+

^2020）+久2021）+式20組1+R2023）;式/）=%

?

故選：B.

【變式1T】5.（2023?全國-高三專題練習）設c為動點產(chǎn)化OS力sin打到直

線x-y-2=°的距離，則c的最大值為（）

A.B.理C.1+CD.3

【答案】C

【分析】由距離公式及輔助角公式計算可得.

【詳解】點尸化。s。，sin打至ij直線x-y-2-O的距離

4.kslxnf」、%"('9)4

八W75,

因為-1Wcos(8?JWJ則-V5-2W方:os(夕+：)-2W6?J

所以當8s(夕?分=]時人二手q

故選：C

題型2輔助角公式與最值

輔助角公式滿足：

?\.sina+一二:es。)/?,./,

asma+bcosa==>\/a2o+b2osin(a+

6),

2/a2+b2WasinQ+bcosQW/a2+b2

【例題2](2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)貝力二2sin"&osx在刀二.

處取得最大值，貝IJCOS0二()

"夕色N1

A.-B.C.D.~~

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式即可得到sin打cos0的值，然后由誘導公式

化簡即可得到結(jié)果.

【詳解】因為*x)二%injr+&osx=7V^in(x/0),

其中sin八三二5cos&二忘:輸，

當斤二/時，Hx)取得最大值，

即雄十夕二1??7所以0:1一8+2生穴』0"

所以cos6=cos(y-e??7T)=sin8J二4

故選：A

【變式27】1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）若關(guān)于上的方程

sin2r+2cos2r=在/。冗）內(nèi)有兩個不同的解B,貝ijcosV。-&的值為

（）

■56_2/1R]

A.?B.TC.<D.

【答案】D

【分析】利用輔助角公式化簡己知方程，求得。-8,進而求得-8）.

【詳解】關(guān)于陰勺方程5M為+2<：82戶-2在位2內(nèi)有兩個不同的解。，6,

即產(chǎn)sin/2""=7（8S0=￥，sin8=9取°為銳角）

在4兀）內(nèi)有兩個不同的解-8,

即方程sin⑵'外品今在/。兀M有兩個不同的解6.

不妨令OWa<6<兀，由兀）則辦??￡[8,4+9）,

所以sin份a+8）二-耳,s\n（2B，8）二-、,

所以sin，—sin僅a，"二-sin小￡?外則

2a+§二濱+8,26+§=2兀-8,

即2a-26>兀+2?,

所以a-B=*+夕/CQsfa-￡）=cos（夕一1）二sin8二今

故選：D.

【變式2-1]2.（2023秋?江西吉安?高三吉安一中?？奸_學考試）三知

且sin（<J-28）fJsina=4,貝ijtana的最大值為（）

A.YbTVJ力

C.D.T

【答案】B

【分析】利用兩角差的正弦公式展開，并利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化為關(guān)于

tana的方程，根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)得至ijtan。2。利用三角函

數(shù)的輔助角公式和三角函數(shù)的有界性得到關(guān)于tan弓的不等式，求得其最大值.

[詳解]?.?sin（o-26），3sina=0,

/.sinacos26-cosasin28"sina=0,

.*.tanacosZ6-sin”/Jtana-0tAtana（3，cos28）二sin26,

???6E7）,:.20e（〃兀）,???sin28M,

又?：3+8S2823-1=2,.?.tan。>0,

由tanocos20-sin26"tana=0得tana3s28-sinZS—3tana,

存在0￡R使得Jtan；a+1cos（2B+⑼/」工。,

.8s（26+啰）=-

??S7

???卜心:」W」...外aWtan；G乜.?.ts°W?

由于26￡（。兀），26+,的取值范圍達到余弦函數(shù)的半個周期，

|8$（26/0）1的值必能取到1,因此這里能夠取到等號，所以tan。的最大值為

"7,

故選：B

【變式2-1]3.（2023秋?陜西漢中-高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)

打）二sinx+3cos兒當取得最大值時，」皿二.

【答案】3

【分析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)易得Hx）取得最大值有

X,@吟+麻靈5￡2,進而求tan;.

【詳解】由fG）;sinjr+%QSjr=^7^Bin（i*況且tan。二』，

所以f㈤3-V7Z,此時"0W+2k穴,k€1

所以尸卜以兀-%kWZ,故tanJ?切-"二三”

故答案為：彳

【變式2-114.（2023秋?福建廈門?高三廈門一中校考階段練習）已知函數(shù)

f（x）-sin-x/Cjcos^I（CJ>Q）y若/⑨的圖像在區(qū)間，。兀J上有且只有1個

最低點，則實數(shù)3的取值范圍為^

【答案】W7

【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式化簡，然后由條件列出不等式，代入計算，即

可得到結(jié)果.

【詳解】由題意得f⑨=sin"-VS:os"=2sin(3L4,因為x

所以ax-彳￡(_：，&兀-1),

因為/Y,有且只有1個最低點，所以-，解得？(QW9

故答案為：7(3W7

【變式2-1]4.(2021秋?廣西南寧?高三統(tǒng)考階段練習)己知函數(shù)

f(x)=>/j(sin2x+4cosx)+2sinx,則f(x)的最大值為()

A.4百B.5

C.6D.5g2

【答案】B

【分析】先將si?展開，提公因式并結(jié)合拼湊法可得

Hx)二拼區(qū)osx")(sin―0f結(jié)合砧W(?)放縮，聯(lián)立輔助角公式化簡,

即可求解.

【詳解】M)二^5(sin2r+&osjr)+2sinj=73(金injrcos"4cosjr)+2siru

-2y[3cosx(sini/2)，2(sin"0-4-XV5cosJ>J)(sinj5)-4,由

sin"2乂可知,要求Hx)最大值，只需僅os""0即可,結(jié)合基本不等式

abW(v)可得

/U)；nV3bos/1)(sin/0-4WZ?(>。"廣公(剜?)宜一

V3cosx*/-sin"2

,當且僅當siM")二」,即x=或%*62時等號成立，因此當

，二，2k》,k*之時不>)的最大值為今.

故選：B

【變式2-1]5.(2023秋-四川成都-高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學考

試)若函數(shù)6"=sinx-小os兒x￡小m的值域為/-工Z,則〃-珀勺取值

范圍為

【答案】存有

【分析】由輔助角公式得到fG)=2sina-+”結(jié)合函數(shù)圖象得到出=4?+或兀,

kW2,同時〃￡憐,或冗，-?口儲小，kez,從而得到

〃一加￡性，弱

【詳解】由輔助角公式得f,Zsine一9，

令％EG-卜二一1，解得"一3瓶#兀或尸以兀，kWZ,

令為i.n6r~-J~2,解得"筌'加\AeZ,

畫出函數(shù)圖象如下,

可知所，2skwz,同時〃e憐”仃，-斗⑵，刃叫kwz.

所以〃-市可彳,vl

故答案為：10，高

題型3湊角求值

常見角的變換有：

①a=(a—B)+B;②。\?2a=(a+p)+(a—f)；

乙乙

④2B=(a+B)—(。一8).

?類型1誘導公式法

【例題3-1](2023?河南開封?統(tǒng)考三模)已知sin(。則

cos(—)

A.；B.7C.，D.，

【答案】D

【分析】根據(jù)三角恒等變換得到sin(0-7)-：,再利用誘導公式求出答案.

【詳解】因為

sin(af9-cosa-ysina*：cosa-cosa-^sina-icosa二;即

sin(a-7)^

所以COS"?9=ss|(a-3TAsin(°-?)三

故選：D

【變式3T】1.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學考試)已知sin(‘吟)二；

則sin("Zc)：()

■需;認_Jj

A.tB..1C..1D.~

【答案】C

【分析】利用換元法，結(jié)合誘導公式及二倍角公式，即可求得本題答案.

【詳解】設"9」則。=5儲,=三

?:sin-2。)-sin|y2(f-二sin(m-Zf)-cos^t-1-2^in2t~2-

2”附汨

故選：c

【變式3-1]2.(2023秋?山東?高三沂源縣第一中學校聯(lián)考開學考試)己知

則35(9一孫()

A.二B.7C.；D.7

【答案】c

【分析】利用誘導公式、二倍角公式化簡可得答案.

【詳解】因為所以

COS-2*=COS（n-y---COS^yA,一—I--[1-

故選：c.

【變式3-113.（2022秋?新疆巴音郭楞-高三八一中學?？茧A段練習）設a為

銳角，若曲（。3）”，則sin（。-―，（）

A.77B.~~C.,jD.一；

【答案】B

【分析】利用角的變換表示si"。4）=sE：一：）,再利用兩角差的正

弦公式，即可求解.

【詳解】因為。*（，+）,°/Tetvl且cos（。l）W,

所以sin（a

sin（。-勺:sin（"*）

邛辰（。吟3（。i）卜先ft

故選：B

【變式3-114.（2023秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習）已知（g-°）=三

且。則胡得。0）二（）

A.B.-C.TD.一7

【答案】A

【分析】利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式求得正確答案.

【詳解】依題意，°e（。3+/e（-37）,

而sin（+。）=-產(chǎn)<4所以;.0

所以c°g（+-姆邛3嗚-。）二n4,

所以sin仔+2。）=sin|冗-（+2。）卜sin偉-2。）

心n（：-。）3關(guān)-。）=2*卜心x[h當

故選：A

?類型2拆角

【例題3-2]（2023秋?河南洛陽?高三洛寧縣第一高級中學校考階段練習）已

知。，6均為銳角，且tan。二J,EM。?6）二;則cosS：（）

QZV7i*Z6isJTc

A.F-B.-C.-D.下或F-

【答案】B

【分析】由條件結(jié)合三角函數(shù)同角關(guān)系式求Kna,cosa,再由三角函數(shù)的性質(zhì)

求出a，B的范圍，再利用兩角差的余弦公式，由CO56=8S[（O.6）-。馀

出結(jié)果.

【詳解】因為a為銳角，且tan。二工所以sina=3cos%又sin'a，cos：。，

?V71

所以sin°--cosa—

因為sina>sin（ai且0（a<af/?<7T,所以a+6為鈍角.

因為sin（a+6）三，所以cos（a+6）>:，

則cos8-cos[（a，6）-a]-cos（o+B）cosa*sin（o+6）sina

4^6—^jJTb/Ji

故選：B.

【變式3-2]1.（2022秋-陜西渭南-高三渭南市瑞泉中學?？茧A段練習）若

。，8都是銳角，且cos°二三sin（a則cos八

X2X2尤66

A.-B.-C.不或"TD.或有

【答案】A

【分析】先計算出cos(G+B),再利用余弦的和與差公式，即可.

【詳解】因為。，6都是銳角，且85°=丁￡,所以下<G<3，又

sH。+8)W*,所以*。+8<￡,所以

cos(。+8)—。+6)工；

sino-Vi-cos-a~,cos6-

cos(a+8-a)-cos(o+6)cosafsin(o?6)sina=有，故選A.

【點睛】本道題考查了同名三角函數(shù)關(guān)系和余弦的和與差公式，難度較大.

【變式3-212.(2022?云南?云南民族大學附屬中學?？寄M預測)已知

sina二三cos(0-6)=?,且.<弓<9,。<6<=,則sin0-()

9mit/7cVT6

A.WB.-C.石D.石

【答案】A

【解析】易知sin8-sin(a一(a-6)),利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可

求得cosa和sin(a-8),分別在5訪(a-S)二4和一三:兩種情況下，利用兩

角和差正弦公式求得sin員結(jié)合6的范圍可確定最終結(jié)果.

【詳解】丁sin。咚Y且0<。<三，,

?：cosa-V?"sin7a

又小6.:苧—G,

?：sin(a-6)二士〃-cos：(a-B)-i—

當sin(a-6)=*時，

sin&-sin(a-(a-6))-sinacos(。-3)-coscsin(。-6)

--X---X—h—

7C7S14，

V0<0<-JsinfPQ,sin6-王不合題意，舍去;

當sin（°-6）同理可求得6二符合題意.

罰

綜上所述：5儲6二房.

故選：4

【點睛】易錯點睛：本題中求解cos。時，易忽略Sin。的值所確定的。的更小的

范圍，從而誤認為cos。的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.

【變式3-2】3.（2022秋?山東日照?高三校考階段練習）已知江,8￡（0,八）,

tan（a*）4,8s（6吟）二；則8sg?6）二（）

A.~B.~3C.~D.

【答案】D

【分析】根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)，2。一，二7（，求解即可.

【詳解】解：因為

cos（2Q-B）-cosa+：）-（6?分一三卜sin卜（a?+）一（6

三）（+二

sln2（aJJcos（0+二￡）_cos2（a4.7sin6￡J

（吟）］-