初中數(shù)學必會幾何模型精講精練之構造等腰三角形

初中數(shù)學必會幾何模型精講精練構造等腰三角形模型一：角平分線＋平行線【例題1】1.如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE//BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°．其中正確的有___．（填正確的序號）

【答案】①②③⑤【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關系即可求解．【詳解】①∵BF是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，

∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，

∵DE∥BC，

∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，

∴DB=DF，EF=EC，

∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，

∴①選項正確，符合題意；

②∵DE=DF+FE，DB=DF，EF=EC，

∴DE=DB+CE，

∴②選項正確，符合題意；

③∵△ADE的周長為=AD+DE，

∵DE=DB+CE，

∴△ADE的周長為=AD+DB+AE+CE=AB+AC，

∴③選項正確，符合題意；

④根據(jù)題意不能得出BF＞CF，

∴④選項不正確，不符合題意；

⑤∵若∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，

∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，

∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，

∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，

∴⑤選項正確，符合題意；

故答案為：①②③⑤．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關鍵．變式12.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC、△AMN周長分別為13cm和8cm.（1）求證：△MBE為等腰三角形；（2）線段BC的長.【答案】（1）詳見解析；（2）5cm【解析】【分析】（1）由BE平分∠ABC，得∠MBE=∠EBC，再由MN∥BC得∠MEB=∠EBC，所以∠MBE=∠MEB，由等角對等邊可得MB=ME；（2）同理可證NE=NC，△ABC的周長為AB+AC+BC，通過等量代換可得△AMN的周長為AB+AC，兩者之差即為BC的長.【詳解】解：（1）∵BE平分∠ABC∴∠MBE=∠EBC，∵MN∥BC∴∠MEB=∠EBC∴∠MBE=∠MEB，∴MB=ME∴△MBE為等腰三角形（2）同理可證NE=NC，∴△AMN的周長=AM+ME+EN+AN=(AM+MB)+(NC+AN)=AB+AC=8cm又∵△ABC的周長=AB+AC+BC=13cm∴BC=13-8=5cm【點睛】本題主要考查等腰三角形的證明，熟練運用角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推出角相等是本題的關鍵.模型二：角平分線＋垂線【例題2】3.如圖，AB＝AC，∠1＝∠2.AE⊥CD交于F，交BC于點E，求證：AB＝CE．【答案】見詳解【解析】【分析】先證明，進而即可得到結論．【詳解】證明：∵在和中，∵，∴，∴AC=EC，∵AB＝AC，∴AB＝CE．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握ASA證明三角形全等，是解題的關鍵．變式14.已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求證：（1）AB＝BE；（2）∠CAE＝∠ABC；（3）AD＝CE；（4）CD＋CE＝AB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解；（4）見詳解【解析】【分析】（1）BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF為公共邊，可證得△ABF≌△EBF，可證得結論；（2）∠BAC＝90°可得∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，所以∠CAE＝∠ABC；（3）連接DE，則可證得△ABD≌△EBD，所以AD＝DE，且∠DEC＝90°，AB＝AC，所以∠C＝45°，所以CE＝DE，所以可得AD＝CE；（4）由（3）可得AD＝CE，所以CD＋AD＝CD＋CE＝AC＝AB．【詳解】證明：（1）∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，∴∠ABF＝∠EBF，∠AFB＝∠EFB＝90°，在△ABF和△EBF中，，∴△ABF≌△EBF（ASA），∴AB＝BE；（2）∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠CAE＝∠ABF＝∠ABC；（3）連接DE，在△ABD和△EBD中∵，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝DE，∠DEC＝∠BAC＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴CE＝DE，∴AD＝CE；（4）由（3）可得AD＝CE，∴CD＋CE=CD＋AD＝AC＝AB．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，注意觀察所求線段或角之間的關系，找到所在的兩個三角形，證明全等即可解決．模型三：等邊三角形中含定角問題例題3】5.等邊三角形ABC中，只要滿足BD＝CE，連接AD、BE交于點F，則么AFE是定值．【答案】見詳解【解析】【分析】由SAS證得△ABD≌△BCE，得出∠BAD＝∠EBC，由三角形外角性質(zhì)得出∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，即可推出∠AFE＝∠ABF＋∠EBC＝∠ABC＝60°．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，∴∠AFE＝∠ABF＋∠EBC＝∠ABC＝60°，∴∠AFE是定值．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，推出△ABD≌△BCE是解題的關鍵．變式16.如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點，且總使BD＝CE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，則以下結論：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正確的結論有（）個A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，可得AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，又由BD＝CE，即可證得△ACE≌△CBD；（2）由△ACE≌△CBD，可得∠CAE＝∠BCD，然后由三角形外角的性質(zhì)，求得∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；（3）由∠AFG＝60°，AG⊥CD，可得∠FAG＝30°，即可證得AF＝2FG；（4）由AC＝BC，且BC不一定等于2CE，可得AC不一定等于2CE．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，在△ACE和△CBD中，∵，∴△ACE≌△CBD（SAS），故正確；（2）∵△ACE≌△CBD，∴∠CAE＝∠BCD，∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；故正確；（3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD，∴∠FAG＝30°，∴AF＝2FG；故正確；（4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE，∴AC不一定等于2CE；故錯誤．故選：B．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．變式27.如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點，且總使AD＝BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，則∠FAG＝_____°．【答案】30°【解析】【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，則由AD＝BE得到BD＝CE，再根據(jù)“SAS”可判斷△ACE≌△CBD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠FAG的度數(shù)．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，∵AD＝BE，∴BD＝CE，∵在△ACE和△CBD中∵，∴△ACE≌△CBD（SAS），∴∠CAE＝∠BCD，∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，∵AG⊥CD，∴∠AGF＝90°，∴∠FAG＝90°?60°＝30°．故答案為30°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應角相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．模型四：直角三角形中一銳角平分線＋斜邊上高線例題4】8.如圖，已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分線分別交BC、CD于E、F.試說明△CEF是等腰三角形.【答案】說明見解析.【解析】【詳解】試題分析：要證明△CEF是等腰三角形，需證明有兩角相等即可．利用角平分線、直角三角形及三角形外角的性質(zhì)，進行等量代換，可求證．解：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEA，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．變式19.如圖，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求證：△DGE是等腰三角形．【答案】見詳解【解析】【分析】根據(jù)已知條件，容易得出△ADE，△ABC都是等腰三角形，則G為等腰△ABC底邊BC的中點，為此連