數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航第二講二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．了解圓內(nèi)接四邊形的概念，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及其應(yīng)用．2．理解圓內(nèi)接四邊形的判定定理及其推論，并能解決有關(guān)問題．3．了解反證法在證明問題中的應(yīng)用。1．性質(zhì)定理1文字語言圓的內(nèi)接四邊形的對角互補符號語言若四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,則有∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°圖形語言作用證明兩個角互補2．性質(zhì)定理2文字語言圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角符號語言四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,E為AB延長線上一點，則有∠CBE＝∠ADC圖形語言作用證明兩個角相等總結(jié)(1）利用這兩個性質(zhì)定理,可以借助圓變換角的位置,得到角的相等關(guān)系或互補關(guān)系,再進行其他的計算或證明．（2）利用這兩個定理可以得出一些重要結(jié)論，如內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形等．3．圓內(nèi)接四邊形判定定理文字語言如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓符號語言在四邊形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，那么A，B，C，D四點共圓圖形語言作用證明四點共圓4．推論文字語言如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓符號語言在四邊形ABCD中，延長AB到E,若∠CBE＝∠ADC，則A,B，C，D四點共圓圖形語言作用證明四點共圓歸納總結(jié)性質(zhì)定理1和判定定理互為逆定理，性質(zhì)定理2和判定定理的推論互為逆定理．思考1圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明思路是什么？提示：要證明四邊形ABCD內(nèi)接于圓，就是要證明A，B,C,D四點在同一個圓上．根據(jù)我們的經(jīng)驗，若能證明這四個點到一個定點的距離相等即可．但是這個定點一時還找不出來．不過,對于不在同一條直線上的三點來說，總可以確定一個圓．因此我們可以先經(jīng)過A，B，C，D中的任意三個點,譬如A，B，C三點作一個圓，再證明第四個點D也在這個圓上就可以了．但是直接證明點D在圓上很困難，所以我們采用反證法證明,也就是假設(shè)點D不在圓上，經(jīng)過推理論證，得出錯誤的結(jié)論，這就說明點D不在圓上是錯誤的，因此點D只能在圓上．由于點D不在圓上時，可能出現(xiàn)點D在圓外和點D在圓內(nèi)兩種情況，所以應(yīng)分別加以證明，下面先討論點D在圓內(nèi)的情況．假設(shè)點D在圓內(nèi)，若作出對角線BD，設(shè)BD和圓交于點D′.連接AD′,CD′，則ABCD′為圓內(nèi)接四邊形(如圖）,則∠ABC＋∠AD′C＝180°。另一方面，因為∠ADB，∠BDC分別是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B〈∠ADB，∠BD′C<∠BDC,于是有∠AD′C〈∠ADC。因為已知∠ABC＋∠ADC＝180°,所以∠ABC＋∠AD′C<180°，這與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理矛盾．因此可證點D不能在圓內(nèi)．用類似的方法也可以證明點D不能在圓外．因此點D在圓上，即四邊形ABCD內(nèi)接于圓．思考2判定四點共圓的方法有哪些?提示：(1)如果四個點與一定點距離相等，那么這四個點共圓．(2）如果一個四邊形的對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共圓．（3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓．（4)如果兩個直角三角形有公共的斜邊，那么這兩個三角形的四個頂點共圓(因為四個頂點與斜邊中點距離相等)．溫馨提示反證法是一種間接證法,它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，達到肯定原命題正確的一種方法．用反證法證明一個命題的步驟為:(1）反設(shè)，(2)歸謬，(3）結(jié)論．反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表達形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在;平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（?。┯冢欢际?不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n－1）個；至多有一個/至少有兩個等．歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程