第二十七章 圓與正多邊形（單元重點(diǎn)綜合測試）

第二十七章圓與正多邊形單元重點(diǎn)綜合測試一、選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，且點(diǎn)P到圓心O的距離為5，則⊙O的半徑可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023上·廣東廣州·九年級廣州市廣外附設(shè)外語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是正方形的外接圓，若正方形的邊長為，則正方形的半徑是（

）

A．4 B．2 C． D．3．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┮阎遗c弦是內(nèi)兩條互相垂直的弦，相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，圓的半徑為5，弦與弦長均為8，則的長是（）A． B． C． D．44．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)A、B、C在圓O上，那么下列命題為真命題的是（

）A．如果半徑平分弦，那么四邊形是平行四邊形B．如果弦平分半徑，那么四邊形是平行四邊形C．如果四邊形是平行四邊形，那么D．如果，那么四邊形是平行四邊形5．（2023上·上海普陀·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，那么下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．C． D．6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)在對角線上，圓經(jīng)過點(diǎn)．如果矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓O內(nèi)，那么圓O的半徑長r的取值范圍是（

）

A． B． C． D．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2021上·上海青浦·八年級?？计谀┙?jīng)過定點(diǎn)A且半徑為的圓的圓心的軌跡是．8．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）一個(gè)正多邊形的中心角為36°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為度．9．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）已知矩形，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，那么點(diǎn)的位置是在．10．（2023下·九年級單元測試）如圖，在的網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長均為個(gè)單位），的半徑為的半徑為，要使與靜止的相切，那么由圖示位置需向右平移個(gè)單位．

11．（2023下·上海浦東新·九年級校考階段練習(xí)）已知的半徑長為3，點(diǎn)B在線段上，且，如果與有公共點(diǎn)，那么的半徑r的取值范圍是12．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）水平放置的圓柱形油槽的圓形截面如圖2所示，如果該截面油的最大深度為分米，油面寬度為分米，那么該圓柱形油槽的內(nèi)半徑為分米．

13．（2022上·六年級?？紗卧獪y試）如圖，正方形的邊長為厘米，以圓弧為分界線的Ⅰ、Ⅱ兩部分的面積的差是平方厘米．

14．（2023下·上?！ぐ四昙壣贤飧街行？计谀┤鐖D，切圓于點(diǎn)切圓點(diǎn)，交，于，則?PEF的周長為．

15．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在半徑為2的扇形中，，點(diǎn)C是弧上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），，，垂足分別為點(diǎn)D、E．設(shè)，的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)O，，，分別以點(diǎn)O、D為圓心畫圓，如果與直線相交、與直線相離，且與內(nèi)切（圓心距=半徑之差），那么的半徑長r的取值范圍是．

17．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，，以點(diǎn)為圓心、為半徑作(如圖)，點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心、為半徑作．如果與外切，那么的長是．

18．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長線上，且，如果過點(diǎn)A，過點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是．三、解答題（9小題，共64分）19．（2020上·上海·九年級上海民辦華二浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是的弦的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．20．（2023上·山西忻州·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．21．（2022上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的內(nèi)接三角形，直徑，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接、．(1)若，求的度數(shù)；(2)求的長．22．（2017下·河南·九年級專題練習(xí)）如圖，、為上的兩個(gè)定點(diǎn)，是上的動點(diǎn)（不與、重合），我們稱為上關(guān)于、的滑動角．已知是上關(guān)于點(diǎn)、的滑動角．(1)若為的直徑，則______；(2)若半徑為，，求的度數(shù)．23．（2020上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）已知：在平行四邊形中，點(diǎn)M、N分別是邊一個(gè)動點(diǎn)，聯(lián)結(jié).(1)如圖1，如果，求證：；(2)如圖2，如果，試問是否成立，如果成立，請證明，如果不成立，請簡述理由

24．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，，垂足為點(diǎn)H，點(diǎn)D是弧AC上一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，求的值；(2)連接交半徑于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，設(shè)．①用含m的代數(shù)式表示線段的長；②分別以點(diǎn)O為圓心為半徑、點(diǎn)C為圓心為半徑作圓，當(dāng)這兩個(gè)圓相交時(shí)，求m取值范圍．25．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖（1）所示，已知在中，，在邊上，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，為以為圓心，為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．

(1)如果，求證：四邊形為平行四邊形；(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)，如果，求邊的長；(3)聯(lián)結(jié)，如果是以為腰的等腰三角形，且，求的值．

第二十七章圓與正多邊形單元重點(diǎn)綜合測試一、選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，且點(diǎn)P到圓心O的距離為5，則⊙O的半徑可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷得出即可．【詳解】解：設(shè)半徑為r，根據(jù)題意得，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離，則有：①點(diǎn)P在圓外，②點(diǎn)P在圓上，③點(diǎn)P在圓內(nèi)．2．（2023上·廣東廣州·九年級廣州市廣外附設(shè)外語學(xué)校校考期中）如圖，是正方形的外接圓，若正方形的邊長為，則正方形的半徑是（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了正多邊形與圓，勾股定理求得，根據(jù)正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，即可求解．【詳解】解：連接，

∵是正方形的外接圓，正方形的邊長為，∴∴正方形的半徑是故選：C．3．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）已知弦與弦是內(nèi)兩條互相垂直的弦，相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，圓的半徑為5，弦與弦長均為8，則的長是（）A． B． C． D．4【答案】C【分析】利用垂徑定理先求出，，進(jìn)而證得四邊形是正方形，再利用勾股定理可以求出的長．【詳解】解：作于M，于N，連接，

∵，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，由勾股定理得：，∴四邊形是正方形，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)A、B、C在圓O上，那么下列命題為真命題的是（

）A．如果半徑平分弦，那么四邊形是平行四邊形B．如果弦平分半徑，那么四邊形是平行四邊形C．如果四邊形是平行四邊形，那么D．如果，那么四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)逐一判定即可．【詳解】解：A、如圖1所示，當(dāng)是直徑時(shí)，滿足半徑平分弦，但是不能構(gòu)成四邊形，故原命題是假命題，不符合題意；B、如圖2所示，∵弦平分半徑，但是半徑并不一定平分弦，∴四邊形不一定是平行四邊形，故原命題是假命題，不符合題意；C、如圖2所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴原命題是真命題，符合題意；D、如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D的位置時(shí)，滿足，但是四邊形不是平行四邊形，故原命題是假命題，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷命題真假，圓周角定理，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·上海普陀·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，那么下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，從而證得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，證得，因?yàn)?，證得，得出，證得，得到從而得到，在以為直徑的圓上，根據(jù)圓周角定理得到，，進(jìn)一步得到，根據(jù)，得到即可．【詳解】解：，，，，，，，故錯誤；，，，，，，，，，，在以為直徑的圓上，，，故正確；，，故正確；，，，故正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，點(diǎn)在對角線上，圓經(jīng)過點(diǎn)．如果矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓O內(nèi)，那么圓O的半徑長r的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，連接，交于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，求得，再根據(jù)圓的運(yùn)動過程，判斷出r的取值范圍即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴∵，∴∴由勾股定理得，，連接，交于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，

∵∴點(diǎn)O從點(diǎn)D開始向B移動，移到E時(shí)，的長度從1減到，再移到點(diǎn)F，此時(shí)，在這一范圍內(nèi)，，,∴當(dāng)時(shí)，A，B都在圓外，不滿足條件；當(dāng)點(diǎn)O從點(diǎn)F移到點(diǎn)B時(shí)，，此時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)，滿足兩點(diǎn)在圓內(nèi)的條件；當(dāng)，即，點(diǎn)O在點(diǎn)F的位置，，此時(shí)四點(diǎn)都在圓上，不滿足條件；當(dāng)，即，點(diǎn)O在點(diǎn)B的位置，此時(shí)，，A和B在圓內(nèi)，點(diǎn)D在圓外，滿足條件，故r的取值范圍是：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2021上·上海青浦·八年級?？计谀┙?jīng)過定點(diǎn)A且半徑為的圓的圓心的軌跡是．【答案】以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行分析．【詳解】解：根據(jù)題意，圓心應(yīng)滿足到點(diǎn)A的距離恒等于，即經(jīng)過定點(diǎn)A，且半徑為的圓的圓心軌跡是以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓．故答案為：以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓．【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)的運(yùn)動軌跡問題和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系．注意：點(diǎn)在圓上，即點(diǎn)到圓心的距離等于該圓的半徑．8．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）一個(gè)正多邊形的中心角為36°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為度．【答案】1440【分析】依據(jù)正多邊形的中心角和為求得邊數(shù)，再依據(jù)多邊形內(nèi)角和公式代入求解即可．【詳解】解：因?yàn)檎噙呅蔚闹行慕菫?6°，且中心角和為，所以這個(gè)多邊形邊數(shù)：，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形內(nèi)角和公式、中心角性質(zhì)，通過中心角求得邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）已知矩形，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，那么點(diǎn)的位置是在．【答案】外【分析】由矩形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理得，可知點(diǎn)到圓心的距離大于的半徑，則點(diǎn)在外，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，的半徑為，且，點(diǎn)到圓心的距離大于的半徑，點(diǎn)在外，故答案為：外．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識，根據(jù)勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．10．（2023下·九年級單元測試）如圖，在的網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長均為個(gè)單位），的半徑為的半徑為，要使與靜止的相切，那么由圖示位置需向右平移個(gè)單位．

【答案】或【分析】由的半徑為的半徑為，要使與靜止的相切，分內(nèi)切和外切兩種情況可求得由圖示位置需向右平移的單位長度．【詳解】∵的半徑為的半徑為，，∴要使與靜止的相切，當(dāng)內(nèi)切時(shí)，；即由圖示位置需向右平移的單位長為4或6個(gè)單位長度，當(dāng)外切時(shí)，，即由圖示位置需向右平移的單位長為2或8個(gè)單位長度，∴由圖示位置需向右平移的單位長為或個(gè)單位長度，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩圓相切與圓心距、兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.11．（2023下·上海浦東新·九年級校考階段練習(xí)）已知的半徑長為3，點(diǎn)B在線段上，且，如果與有公共點(diǎn)，那么的半徑r的取值范圍是【答案】【分析】求得在內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)的半徑和⊙O在內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)的半徑，根據(jù)圖形即可求得．【詳解】解：如圖，當(dāng)在內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)，的半徑為：，當(dāng)在內(nèi)部且有唯一公共點(diǎn)時(shí)，的半徑為，

∴如果與有公共點(diǎn)，那么的半徑r的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用．12．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）水平放置的圓柱形油槽的圓形截面如圖2所示，如果該截面油的最大深度為分米，油面寬度為分米，那么該圓柱形油槽的內(nèi)半徑為分米．

【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理得到分米，再利用勾股定理即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵分米，分米，∴分米，∴設(shè)分米，∴分米，∴在中，，∴，∴，∴該圓柱形油槽的內(nèi)半徑為分米，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022上·六年級校考單元測試）如圖，正方形的邊長為厘米，以圓弧為分界線的Ⅰ、Ⅱ兩部分的面積的差是平方厘米．

【答案】【分析】根據(jù)題意可先求出Ⅰ和Ⅱ的面積，其中扇形的面積等于圓形面積的四分之一，Ⅰ的面積等于正方形面積的一半減去扇形面積的一半，Ⅱ的面積等于扇形面積的一半減去二分之一正方形的面積，然后用大數(shù)減去小數(shù)即可得出Ⅰ、Ⅱ兩部分的面積差，列式解答即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在正方形中，是對角線，邊長為，∴，，，∵，∴，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是正方形，∴正方形的面積：，扇形的面積：，正方形的面積為：，∴Ⅰ的面積為：，Ⅱ的面積為：，∴以圓弧為分界線的Ⅰ、Ⅱ兩部分的面積的差是：（平方厘米）．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積公式和正方形的面積公式的使用，正方形的判定和性質(zhì)．通過數(shù)形結(jié)合確定Ⅰ、Ⅱ兩部分的面積是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·上海·八年級上外附中?？计谀┤鐖D，切圓于點(diǎn)切圓點(diǎn)，交，于，則?PEF的周長為．

【答案】【分析】利用切線長定理得到，，，然后利用等線段代換得到?PEF的周長．【詳解】解：、分別與相切于點(diǎn)、，，直線與相切于點(diǎn)，，，的周長．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等．15．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在半徑為2的扇形中，，點(diǎn)C是弧上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），，，垂足分別為點(diǎn)D、E．設(shè)，的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)D作于H，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到，，，，進(jìn)而求得，，然后利用勾股定理求得，，，則，由求解即可．【詳解】解：連接，過點(diǎn)D作于H，

∵，，，∴，，，，∵，∴，，∴，在中，，，∴，且，在中，，∴，在中，，∴，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線性質(zhì)、圓的基本知識等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)O，，，分別以點(diǎn)O、D為圓心畫圓，如果與直線相交、與直線相離，且與內(nèi)切（圓心距=半徑之差），那么的半徑長r的取值范圍是．

【答案】【分析】設(shè)的半徑是，的半徑是r，由與直線相交、與直線相離，得到；兩圓的圓心距是、半徑是r和，兩圓內(nèi)切，由此即可求出的半徑長的取值范圍．【詳解】解：作于，于，

四邊形是矩形，，，是的中位線，同理：，設(shè)的半徑是，的半徑是r，與直線相交、與直線相離，，由題意知，不然和不能內(nèi)切，，，兩圓的圓心距，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓與圓的位置關(guān)系的判定方法．17．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，，以點(diǎn)為圓心、為半徑作(如圖)，點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心、為半徑作．如果與外切，那么的長是．

【答案】【分析】連接，作于，設(shè)的半徑是，得到，，，由勾股定理得到，求出，即可解決問題．【詳解】解：連接，作于，∵，，點(diǎn)在邊上，，

設(shè)的半徑是，兩圓外切，，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，，，，的長是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于半徑的方程．18．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長線上，且，如果過點(diǎn)A，過點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是．【答案】【分析】先畫出圖形，連接，利用勾股定理可得，，從而可得，再根據(jù)與有公共點(diǎn)可得一個(gè)關(guān)于的不等式組，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：由題意畫出圖形如下：連接，

過點(diǎn)，且，的半徑為7，過點(diǎn)，它的半徑為，且，，，，，在邊上，點(diǎn)在延長線上，，即，，與有公共點(diǎn)，，即，不等式①可化為，解方程得：或，畫出函數(shù)的大致圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即不等式①的解集為，同理可得：不等式②的解集為或，則不等式組的解集為，又，半徑r的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系正確建立不等式組是解題關(guān)鍵．三、解答題（9小題，共64分）19．（2020上·上海·九年級上海民辦華二浦東實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是的弦的中點(diǎn)，，垂足為，求證：．【答案】見解析【分析】連結(jié)OP，因P為弦AB的中點(diǎn)，利用垂徑定理得OP⊥AB結(jié)合證△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性質(zhì)得即可．【詳解】連結(jié)OP，因P為弦AB的中點(diǎn)，則OP⊥AB，又，∠PCA=∠OPA=90o，∠PAC=∠OAP，△PAC∽△OAP，，，P為弦AB的中點(diǎn)，AP=PB，，．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握垂徑定理與相似三角形的判定與性質(zhì)，會利用解決問題是解題關(guān)鍵．20．（2023上·山西忻州·九年級?？计谀┤鐖D，是的直徑，是的弦，如果．

(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余可計(jì)算出的度數(shù)；（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】（1）解：是的直徑，，，；（2）∵，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．21．（2022上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的內(nèi)接三角形，直徑，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接、．(1)若，求的度數(shù)；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求出，即可求解；（2）可證，，即可求解．【詳解】（1）解：是的直徑，，平分，，，的度數(shù)為．（2）解：是的直徑，，由（1）得，，，，的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2017下·河南·九年級專題練習(xí)）如圖，、為上的兩個(gè)定點(diǎn)，是上的動點(diǎn)（不與、重合），我們稱為上關(guān)于、的滑動角．已知是上關(guān)于點(diǎn)、的滑動角．(1)若為的直徑，則______；(2)若半徑為，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由為的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可求得的度數(shù)．（2）連接由勾股定理的逆定理，即可證得然后由圓周角定理，即可求得答案．【詳解】（1）為的直徑，，故答案為：；（2）連接的半徑是，又由勾股定理的逆定理可得若點(diǎn)在優(yōu)弧上,若點(diǎn)在劣弧上,∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．23．（2020上·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）已知：在平行四邊形中，點(diǎn)M、N分別是邊一個(gè)動點(diǎn)，聯(lián)結(jié).(1)如圖1，如果，求證：；(2)如圖2，如果，試問是否成立，如果成立，請證明，如果不成立，請簡述理由

【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析【分析】（1）由垂直的定義可得，根據(jù)四點(diǎn)共圓及平行線的性質(zhì)可得，，最后根據(jù)相似三角形的判定可得結(jié)論；（2）延長到，則，根據(jù)相似三角形的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴A，M，C，N四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：成立，理由如下：延長到，則，

∵，∴，∴M，C，N，A四點(diǎn)共圓，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．24．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，，垂足為點(diǎn)H，點(diǎn)D是弧AC上一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，求的值；(2)連接交半徑于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，設(shè)．①用含m的代數(shù)式表示線段的長；②分別以點(diǎn)O為圓心為半徑、點(diǎn)C為圓心為半徑作圓，當(dāng)這兩個(gè)圓相交時(shí)，求m取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）連接，過