相似三角形添加輔助線的方法舉例(有答案)

歡迎共閱歡迎共閱歡迎共閱相似三角形添加輔助線的方法舉例例1：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．例2．已知梯形中，，，是腰上的一點，連結(jié)（1）如果，，，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值例3．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點，，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．例4、如圖4—5，B為AC的中點，E為BD的中點，則AF：AE=___________.例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，E為AB延長線上一點，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長．例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：．相似三角形添加輔助線的方法舉例答案例1：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．分析：欲證BC2＝2CD·AC，只需證．但因為結(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點及結(jié)論形式，通過添加輔助線，對其中某一線段進行倍、分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似．由“2”所放的位置不同，證法也不同．證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是線段CE的垂直平分線，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．證法二（構(gòu)造2AC）：如圖，在CA的延長線上截取AE＝AC，連結(jié)BE，∵AB＝AC，∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=90°，又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC，∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2＝2CD·AC．證法三（構(gòu)造）：如圖，取BC的中點E，連結(jié)AE，則EC=．又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．∴即．∴BC2＝2CD·AC．證法四（構(gòu)造）：如圖，取BC中點E，連結(jié)DE，則CE=．∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．∴J即．∴BC2＝2CD·AC．說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧．在解題中方法要靈活，思路要開闊．例2．已知梯形中，，，是腰上的一點，連結(jié)（1）如果，，，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值（1）設(shè)，則解法1 如圖，延長、交于點，，，為的中點又，又為等邊三角形故解法2 如圖作分別交、于點、則，得平行四邊形同解法1可證得為等邊三角形故解法3 如圖作交于，交的延長線于作，分別交、于點、則，得矩形，又，故為、的中點以下同解法1可得是等邊三角形故解法4 如圖，作，交于，作，交于，得平行四邊形，且讀者可自行證得是等邊三角形，故解法5 如圖延長、交于點，作，分別交、于點、，得平行四邊形可證得為的中點，則，故得為等邊三角形，故解法6 如圖（補形法），讀者可自行證明是等邊三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設(shè)，則解法1（補形法）如圖補成平行四邊形，連結(jié)，則設(shè)，則，由得，，解法2 （補形法）如圖，延長、交于點，，，又設(shè)，則，，，解法3（補形法）如圖連結(jié)，作交延長線于點連結(jié)則∽，故（1），故（2）由（1）、（2）兩式得 即解法4（割補法）如圖連結(jié)與的中點并延長交延長線于點，如圖，過、分別作高、，則且， ，又，，故說明本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.例3．如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點，，連E、F交AC于G．求AG：AC的值．解法1：延長FE交CB的延長線于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，∵，∴，即．∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：GC=AF：CH，∴AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5．解法2：如圖4—2，延長EF與CD的延長線交于M，由平行四邊形ABCD可知，，即AB∥MC，∴AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC．∵，∴AF：FD=1：2，∴AE：MD=1：2．∵．∴AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5例4、如圖4—5，B為AC的中點，E為BD的中點，則AF：AE=___________.解析：取CF的中點G，連接BG．∵B為AC的中點，∴BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E為BD的中點，∴F為DG的中點．∴EF：BG=1：2．故EF：AF=1：4，∴AF：AE=4：3．例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，E為AB延長線上一點，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長．解法1：過O點作OM∥CB交AB于M，∵O是AC中點，OM∥CB，∴M是AB的中點，即，∴OM是△ABC的中位線，，且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．∴△BEF∽△MOE，∴，即，∴.解法2：如圖4-8，延長EO與AD交于點G，則可得△AOG≌△COF，∴AG=FC=b-BF，∵BF∥AG，∴．即，∵∴.解法3：延長EO與CD的延長線相交于N，則△BEF與△CNF的對應(yīng)邊成比例，即．解得.例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：．分析1比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時，可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生．此題中AD為△ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定點作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比較所證的比例式與這個比例式的關(guān)系，去探求問題的解決．證法1：如圖4—9，過C點作CE∥AD，交BA的延長線于E．在△BCE中，∵DA∥CE，∴①又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴AC=AE．代入②式得．分析2由于BD、CD是點D分BC而得，故可過分點D作平行線．證法2：如圖4—10，過D作DE∥AC交AB于E，則∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．于是EA=ED．又∵，∴，∴.分析3欲證式子左邊為AB：AC，而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置．證法3：如圖4—11，過B作BE∥AC，交AD的延長線于E，則∠2=∠E．