2022年北京市初三(上)期末數(shù)學(xué)試題匯編:相似形章節(jié)綜合_第1頁(yè)
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第1頁(yè)/共1頁(yè)2022北京初三(上)期末數(shù)學(xué)匯編相似形章節(jié)綜合一、單選題1.(2022·北京順義·九年級(jí)期末)如果(),那么下列比例式中正確的是(

)A. B. C. D.2.(2022·北京通州·九年級(jí)期末)如圖,在中,E為BC的中點(diǎn),DE、AC交于點(diǎn)F,則的值為(

)A.1 B. C. D.3.(2022·北京門頭溝·九年級(jí)期末)已知,則下列比例式成立的是(

)A. B. C. D.4.(2022·北京順義·九年級(jí)期末)如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊AC上,要判斷△ADB與△ABC相似,添加一個(gè)條件,不正確的是(

)A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C. D.5.(2022·北京密云·九年級(jí)期末)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,A,B,C,D,E,F(xiàn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn),則△ABC的面積與△DEF的面積比為(

)A. B. C.2 D.46.(2022·北京平谷·九年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,DE//BC,=2,若AE=6,則EC的值為(

)A.3 B.2 C.1 D.97.(2022·北京密云·九年級(jí)期末)如果4m=5n(n≠0),那么下列比例式成立的是(

)A. B. C. D.二、填空題8.(2022·北京石景山·九年級(jí)期末)如圖,,AD,BC交于點(diǎn)O,.若,則OC的長(zhǎng)為______.9.(2022·北京門頭溝·九年級(jí)期末)如果兩個(gè)相似三角形的相似比是,那么這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是_____.10.(2022·北京石景山·九年級(jí)期末)如圖,的高AD,BE相交于點(diǎn)O,寫出一個(gè)與相似的三角形,這個(gè)三角形可以是______.11.(2022·北京石景山·九年級(jí)期末)有一塊三角形的草坪,其中一邊的長(zhǎng)為10m.在這塊草坪的圖紙上,這條邊的長(zhǎng)為5cm.已知圖紙上的三角形的周長(zhǎng)為15cm,則這塊草坪的周長(zhǎng)為______m.12.(2022·北京海淀·九年級(jí)期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn),點(diǎn).將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________.13.(2022·北京平谷·九年級(jí)期末)如圖,小明在地面上放了一個(gè)平面鏡,選擇合適的位置,剛好在平面鏡中看到旗桿的頂部,此時(shí)小明與平面鏡的水平距離為2m,旗桿底部與平面鏡的水平距離為12m.若小明的眼睛與地面的距離為1.5m,則旗桿的高度為________.(單位:m)14.(2022·北京門頭溝·九年級(jí)期末)已知=,那么=_____.15.(2022·北京順義·九年級(jí)期末)如圖,在中,D,E分別是邊,的中點(diǎn),則與的周長(zhǎng)之比等于______.16.(2022·北京門頭溝·九年級(jí)期末)已知:如圖,在中,點(diǎn)D在BC上,點(diǎn)E在AC上,DE與AB不平行添加一個(gè)條件______,使得∽,然后再加以證明.17.(2022·北京順義·九年級(jí)期末)如圖,身高是1.6m的某同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處,測(cè)得同一時(shí)刻該同學(xué)和旗桿的影子長(zhǎng)分別為1.2m和9m.則旗桿的高度為________m.

18.(2022·北京通州·九年級(jí)期末)如圖,在測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,某同學(xué)在地面放了一個(gè)平面鏡C,然后向后退,直到他剛好在鏡子中看到旗桿的頂部A.如果他的眼睛到地面的距離ED=1.6m,同時(shí)量得他到平面鏡C的距離DC=2m,平面鏡C到旗桿的底部B的距離CB=15m,那么旗桿高度AB=________m.19.(2022·北京通州·九年級(jí)期末)如圖,ABC的兩條中線BE,CD交于點(diǎn)M.某同學(xué)得出以下結(jié)論:①;②ADE∽ABC;③;④.其中結(jié)論正確的是:________(只填序號(hào)).三、解答題20.(2022·北京密云·九年級(jí)期末)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合),連接AE,過點(diǎn)A作AE的垂線交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF.(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全圖形;(2)求∠AEF的度數(shù);(3)連接AC交EF于點(diǎn)H,若,用含a的等式表示線段CF和CE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.21.(2022·北京通州·九年級(jí)期末)如圖,O為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),E為AB的中點(diǎn),OA=OD,OB=OC,∠AOB+∠COD=.(1)若∠BOE=∠BAO,AB=,求OB的長(zhǎng);(2)用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系,并證明.22.(2022·北京房山·九年級(jí)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)D在AC邊上,交BC于點(diǎn)E.求證:.23.(2022·北京昌平·九年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,點(diǎn)D在AC上且AD=3,DE⊥AB于點(diǎn)E,求AE的長(zhǎng)24.(2022·北京順義·九年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別在AB,BC,AC邊上,DE∥AC,EF∥AB.(1)求證:△BDE∽△EFC.(2)設(shè),①若BC=12,求線段BE的長(zhǎng);②若△EFC的面積是20,求△ABC的面積.25.(2022·北京平谷·九年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,∠ABC=∠ACD,(1)求證:△ABC∽△ACD(2)若AD=2,AB=5.求AC的長(zhǎng).26.(2022·北京門頭溝·九年級(jí)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是邊AB上的高.(1)求證:△ABC∽△CBD;(2)如果AC=4,BC=3,求BD的長(zhǎng).27.(2022·北京順義·九年級(jí)期末)如圖,在矩形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),DF⊥AE,垂足為F,AB=6,BC=4,求AE,DF的長(zhǎng).28.(2022·北京石景山·九年級(jí)期末)如圖,AE平分,D為AE上一點(diǎn),.(1)求證:;(2)若D為AE中點(diǎn),,求CD的長(zhǎng).29.(2022·北京密云·九年級(jí)期末)已知:如圖,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求證:△ABD∽△ACB.30.(2022·北京通州·九年級(jí)期末)如圖,,點(diǎn)B、C分別在AM、AN上,且.(1)尺規(guī)作圖:作∠CBM的角平分線BD,BD與AN相交于點(diǎn)D;(保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)所作的圖中,求證:ABC∽ADB.

參考答案1.C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì),可得答案.【詳解】A、由比例的性質(zhì),得4x=3y與3x=4y不一致,故A不符合題意;B、由比例的性質(zhì),得4x=3y與3x=4y不一致,故B不符合題意;C、由比例的性質(zhì),得3x=4y與3x=4y一致,故C符合題意;D、由比例的性質(zhì),得4x=3y與3x=4y不一致,故D不符合題意;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì),熟記兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積是解題的關(guān)鍵.2.D【分析】由題意易得AD∥BC,AD=BC,則有△ADF∽△CEF,AD=BC=2EC,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.【詳解】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△ADF∽△CEF,∵E為BC的中點(diǎn),∴AD=BC=2EC,∴;故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.3.B【詳解】A、等式的左邊除以4,右邊除以9,故A錯(cuò)誤;B、等式的兩邊都除以6,故B正確;C、等式的左邊除以2b,右邊除以,故C錯(cuò)誤;D、等式的左邊除以4,右邊除以b2,故D錯(cuò)誤;故選B.4.C【分析】由∠A是公共角,利用有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似,即可得A與B正確;又由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似,即可得D正確,繼而求得答案,注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用.【詳解】∵∠A是公共角,∴當(dāng)∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時(shí),△ADB∽△ABC(有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似),故A與B正確,不符合題意要求;當(dāng)AB:AD=AC:AB時(shí),△ADB∽△ABC(兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似),故D正確,不符合題意要求;AB:BD=CB:CD時(shí),∠A不是夾角,故不能判定△ADB與△ABC相似,故C錯(cuò)誤,符合題意要求,故選:C.5.B【分析】△ABC∽△EDF,只需求出其相似比,平方即得兩三角形面積比.【詳解】解:如圖,設(shè)正方形網(wǎng)格中小方格的邊長(zhǎng)為1,則有AB=1,BC=,AC=,DE=2,EF=,DF=,∴,∴△ABC∽△EDF,∴S△ABC:S△DEF=,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形面積比與相似比的關(guān)系,關(guān)鍵是判斷兩三角形相似,確定其相似比.6.A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式,計(jì)算即可.【詳解】解:∵DE∥BC,∴==2,∵AE=6,∴EC=3,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理,靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7.B【分析】把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式,逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解:A.由,可得,不符合題意;B.由,可得,符合題意;C.由,可得,不符合題意;D.由,可得,不符合題意;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì),解題關(guān)鍵是熟練掌握比例式與乘積式的互相轉(zhuǎn)化.8.6【分析】根據(jù)可以證明,進(jìn)而得出比例式,再根據(jù)和即可求出OC的長(zhǎng)度.【詳解】解:∵,AD,BC交于點(diǎn)O,∴,.∴.∴.∵,∴.∴.∵,∴.故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì),綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.9.【分析】根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比解答即可.【詳解】解:∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1:3∴這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是1:3,故答案為:1:3.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵.10.(答案不唯一)【分析】根據(jù)已知條件得到,,推出;同理,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,又,于是得到.【詳解】解:本題答案不唯一;與相似的三角形有:,,,選擇求證:.證明:的高,交于點(diǎn),.,,故答案是:.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定,三角形的高的定義,解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形相似.11.【分析】設(shè)這塊草坪的周長(zhǎng)為m,由實(shí)際的三角形草坪與圖紙上的三角形草坪是相似三角形,再利用相似三角形的性質(zhì)列方程即可.【詳解】解:設(shè)這塊草坪的周長(zhǎng)為m,由題意可得:實(shí)際的三角形草坪與圖紙上的三角形草坪是相似三角形,解得:,所以這塊草坪的周長(zhǎng)為m.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握“相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比”是解本題的關(guān)鍵.12.(2,2)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得出點(diǎn)B是A、C的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D,利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得OD和CD即可求解.【詳解】解:∵點(diǎn),點(diǎn),∴OA=2,OB=1,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得:AB=BC,即點(diǎn)B是A、C的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D,則CD∥OB,∴△AOB∽△ADC,∴,∴OD=2,CD=2,∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,2),故答案為:(2,2).【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形,熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.13.9【分析】如圖,BC=2m,CE=12m,AB=1.5m,利用題意得∠ACB=∠DCE,則可判斷△ACB∽△DCE,然后利用相似比計(jì)算出DE的長(zhǎng).【詳解】解:如圖,BC=2m,CE=16m,AB=1.5m,由題意得∠ACB=∠DCE,∵∠ABC=∠DEC,∴△ACB∽△DCE,∴,即,∴DE=9.即旗桿的高度為9m.故答案為:9【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用:借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度.利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高(長(zhǎng))作為三角形的邊,用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.14.【分析】直接利用已知得出x=y(tǒng),進(jìn)而得出答案.【詳解】解:∵=,∴x=y(tǒng),∴==.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì),熟練掌握比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.15.1:2【分析】D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn),則DE是△ABC的中位線;根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半,因而中位線分三角形得到的小三角形與原三角形一定相似,且相似是1:2,然后根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可求解.【詳解】∵點(diǎn)D,點(diǎn)E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,且DE:BC=1:2,∴△ADE∽△ABC,∴△ADE與△ABC的周長(zhǎng)比為1:2.故答案為1:2.【點(diǎn)睛】此題考查三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì),解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.16.【分析】由本題圖形相似已經(jīng)有一個(gè)公共角,再找一組對(duì)應(yīng)角相等或公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可.【詳解】解:添加條件為:,理由:,,∽.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.17.12【詳解】試題分析:利用相似三角形的相似比,列出方程,通過解方程求出旗桿的高度即可.解:∵同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例.設(shè)旗桿的高是xm.∴1.6:1.2=x:9∴x=12.即旗桿的高是12米.故答案為12.考點(diǎn):相似三角形的應(yīng)用.18.12【分析】根據(jù)物理光學(xué)中的入射角等于反射角可知∠ECD=∠ACB,所以圖中兩個(gè)三角形相似,再利用相似比求出AB即可.【詳解】∵∠ECD=∠ACB∴△ABC≌△EDC∴∴AB=BC×0.8=15×0.8=12(m)故答案為:12【點(diǎn)睛】本題考查光的反射和三角形相似的結(jié)合,掌握這些知識(shí)點(diǎn)是本題關(guān)鍵.19.①②④【分析】由BE和CD是中線可證明DE是的中位線,從而可判斷①;由DE//BC可證明ADE∽ABC從而可判斷②;證明MDE∽MBC可判斷③④.【詳解】解:∵BE是邊AC上的中線,CD是AB邊上的中線,∴點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn),點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn),∴DE為△ABC的中位線,∴DE//BC,故結(jié)論①正確;∴∠AED=∠ACB,∠ADE=∠ABC∴△ADE∽△ABC,故結(jié)論②正確;∵DE為△ABC的中位線,∴DE//BC,DE=BC∴∴∴,故③錯(cuò)誤;∵DE//BC∴∴∴,故④正確;∴正確的結(jié)論是①②④故答案為:①②④【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì),靈活判定兩個(gè)三角形相似是解答本題的關(guān)鍵.20.(1)補(bǔ)全圖形見解析(2)∠AEF=45°(3)數(shù)量關(guān)系為CF=aCE,理由見解析【分析】(1)根據(jù)垂直的定義,畫圖即可;(2)證明△ABF≌△ADE即可;(3)過點(diǎn)E作EM//CF交AC于點(diǎn)M,證明△MEH∽△CFH,利用等腰直角三角形的性質(zhì),等量代換即可.(1)補(bǔ)全圖形(2)解:在正方形ABCD中,∠DAB=∠ABC=∠D=90°,AD=AB.∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°,∴∠FAE=∠DAB,∴∠FAE-∠BAE=∠DAB-∠BAE,即∠FAB=∠DAE,∵∠ABF=∠D=90°,∴△ABF≌△ADE,

∴AF=AE,∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠AEF=45°.(3)解:數(shù)量關(guān)系為CF=aCE.過點(diǎn)E作EM//CF交AC于點(diǎn)M∴∠MEH=∠EFC,∠MEC=∠D=90°,∵∠MHE=∠CHF,

∴△MEH∽△CFH,∴

∵∠ACD=45°∴△MEC是等腰直角三角形∴ME=EC∴即CF=aCE.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定,三角形相似的判定和性質(zhì),熟練掌握正方形的性質(zhì),三角形相似的判定是解題的關(guān)鍵.21.(1)2;(2),理由見解析【分析】(1)由已知條件∠BOE=∠BAO,且公共角,證明△OBE∽△ABO,進(jìn)而列出比例式,代入數(shù)值即可求得;(2)延長(zhǎng)OE到點(diǎn)F,使得,連接AF,F(xiàn)B,證明△AOF≌△DOC,進(jìn)而可得,即【詳解】(1)解:∵∠BOE=∠BAO,,∴△OBE∽△ABO,∴,∵AB=,E為AB的中點(diǎn),∴∴,∴(舍負(fù)).(2)線段OE和CD的數(shù)量關(guān)系是:,理由如下,證明:如圖,延長(zhǎng)OE到點(diǎn)F,使得,連接AF,F(xiàn)B.∵∴四邊形AFBO是平行四邊形,∴,,∴,∵∠AOB+∠COD=,∴,∵OB=OC,∴,在△AOF和△DOC中,,∴△AOF≌△ODC,∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定,平行四邊形的性質(zhì)與判定,第(2)小問中,根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.22.證明見解析【分析】由,∠B=90°可得出,再由公共角相等,即可證得.【詳解】∵,∠B=90°,∴.又∵∠C=∠C,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定,常用的判定兩個(gè)三角形相似的方法有1、定義法:三個(gè)角分別相等,三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似.2、平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或其他兩邊的延長(zhǎng)線)所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.3、兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.4、兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.23.【分析】先證明,由相似三角形的性質(zhì)即可求出AE.【詳解】∵DE⊥AB于點(diǎn)E,∠C=90°,∴∠AED=∠C,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴,,AE=.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.24.(1)見解析;(2)①BE=4;②45【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出∠DEB=∠FCE,∠DBE=∠FEC,即可得出結(jié)論;(2)①由平行線的性質(zhì)得出==,即可得出結(jié)果;②先求出=,易證△EFC∽△BAC,由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)果.【詳解】(1)證明:∵DE∥AC,∴∠DEB=∠FCE,∵EF∥AB,∴∠DBE=∠FEC,∴△BDE∽△EFC;(2)解:①∵EF∥AB,∴==,∵EC=BC﹣BE=12﹣BE,∴=,解得:BE=4;②∵=,∴=,∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴=()2=()2=,∴S△ABC=S△EFC=×20=45.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理與性質(zhì).25.(1)詳見解析;(2)【分析】(1)根據(jù)∠ABC=∠ACD,∠A=∠A即可證明,(2)由上一問列出比例式,代入求值即可.【詳解】證明:(1)∵∠ABC=∠ACD,∠A=∠A∴△ABC∽△ACD

(2)解:△ABC∽△ACD∴∵AD=2,AB=5∴∴AC=【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),屬于簡(jiǎn)單題,列比例式是解題關(guān)鍵.26.(1)證明見解析;(2)【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定,由已知可證∠A=∠DCB,又因?yàn)椤螦CB=∠BDC=90°,即證△ABC∽△CBD;(2)根據(jù)勾股定理得到AB=5,根據(jù)三角形的面積公式得到CD=,然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.【詳解】解:(1)∵CD⊥AB,∴∠BDC

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