專(zhuān)題22 多邊形與平行四邊形（講義）

第22講多邊形與平行四邊形目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一多邊形的相關(guān)概念 3題型01多邊形的概念及分類(lèi) 4題型02計(jì)算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積 4題型03計(jì)算多邊形對(duì)角線條數(shù) 6題型04對(duì)角線分三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題 6題型05多邊形內(nèi)角和問(wèn)題 6題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù) 8題型07多邊形的割角問(wèn)題 8題型08多邊形的外角問(wèn)題 9題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的綜合運(yùn)用 9題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運(yùn)用 10題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用 12題型12多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用 14題型13平面鑲嵌 15考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定 17題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解 18題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明 20題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形 22題型04添加一個(gè)條件使四邊形成為平行四邊形 23題型05數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù) 23題型06求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù) 24題型07證明四邊形是平行四邊形 25題型08與平行四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題 28題型09利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解 30題型10利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明 32題型11平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用 34考點(diǎn)三三角形中位線 37題型01三角形中位線有關(guān)的計(jì)算 37題型02三角形中位線與三角形面積計(jì)算問(wèn)題 38題型03與三角形中位線有關(guān)的證明 38題型04三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用 42題型05與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究 42題型06與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖 43題型07構(gòu)造三角形中位線的常用方法 45考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)多邊形的相關(guān)概念了解多邊形的概念及多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角與對(duì)角線.探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.本考點(diǎn)內(nèi)容是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查多邊形的內(nèi)角和、平行四邊形性質(zhì)和判定、與三角形中位線有關(guān)計(jì)算的可能性比較大．中考數(shù)學(xué)中，對(duì)平行四邊形的單獨(dú)考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大，對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用．平行四邊形的性質(zhì)與判定探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理.探索并證明平行四邊形的判定定理.三角形中位線探索并證明三角形中位線定理.

考點(diǎn)一多邊形的相關(guān)概念多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線.

多邊形對(duì)角線條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形，n邊形的對(duì)角線條數(shù)為n(n?3)2多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）.【解題技巧】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類(lèi)問(wèn)題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無(wú)關(guān).正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【解題技巧】1）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為（n?2）×2）正n邊形有n條對(duì)稱(chēng)軸．3）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱(chēng)圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．易混易錯(cuò)：多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2

條對(duì)角線③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．題型01多邊形的概念及分類(lèi)【例1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等邊三角形、正五邊形、正六邊形、正七邊形中，既是軸對(duì)稱(chēng)又是中心對(duì)稱(chēng)的圖形是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形【變式1-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）下列長(zhǎng)度的三條線段與長(zhǎng)度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【變式1-2】（2022·遼寧盤(pán)錦·?？家荒＃┫铝忻}正確的是（

）A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．過(guò)線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分題型02計(jì)算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積【例2】（2022·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)____________．【變式2-1】（2021·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ADB的面積大小關(guān)系為：S△ABC______S【變式2-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考一模）各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（a是多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，b是多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)）計(jì)算，這個(gè)公式稱(chēng)為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個(gè)格點(diǎn)五邊形，則該五邊形的面積S=_____【變式2-3】（2021·山西臨汾·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫(huà)著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn)．一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形．有趣的是，這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來(lái)很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，b任務(wù)：（1）如圖2，是6×6的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長(zhǎng)為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點(diǎn)多邊形的面積是_______．（2）已知：一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積S為19，且邊界上的點(diǎn)數(shù)b是內(nèi)部點(diǎn)數(shù)a的3倍，則a+b=______．（3）請(qǐng)你在圖3中設(shè)計(jì)一個(gè)格點(diǎn)多邊形．要求：①格點(diǎn)多邊形的面積為8；②格點(diǎn)多邊形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．題型03計(jì)算多邊形對(duì)角線條數(shù)【例3】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【變式3-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．3 B．6 C．9 D．18【變式3-2】（2021·云南普洱·統(tǒng)考一模）如圖，從一個(gè)四邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出1條對(duì)角線，從五邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出2條對(duì)角線，從六邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出3條對(duì)角線，……，依此規(guī)律，從n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出的對(duì)角線數(shù)量為（

）A．n B．n?2 C．n?3 D．2n?3【變式3-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)正多邊形的中心角是72°，則過(guò)它的一個(gè)頂點(diǎn)有______條對(duì)角線．【變式3-4】（2022·陜西西安·?？既＃┮粋€(gè)正多邊形的每個(gè)外角為45°，則這個(gè)正多邊形的對(duì)角線共有_________條．題型04對(duì)角線分三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題【例4】（2019·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作多邊形的對(duì)角線，試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點(diǎn)數(shù)、線段數(shù)及三角形個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，推斷f,e,v三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系是:______________多邊形：頂點(diǎn)個(gè)數(shù)f1:456…線段條數(shù)e:579…三角形個(gè)數(shù)v1:234…題型05多邊形內(nèi)角和問(wèn)題【例5】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（

）A．6π B．5π C．4π D．3π【變式5-1】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，則∠D的度數(shù)為（

）A．125° B．130° C．135° D．140°【變式5-3】（2020·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考三模）如圖，多邊形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°，則∠A+∠B的值為（

）A．108° B．72° C．54° D．36°【變式5-4】（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形AMNP的邊AM在正五邊形ABCDE的邊AB上，則∠PAE=__________°．【變式5-5】（2021·陜西·三模）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于_______度．題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)【例6】（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【變式6-1】（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和為720°的是（

）A． B． C． D．題型07多邊形的割角問(wèn)題【例7】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是______．【變式7-1】（2018·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如果一個(gè)正方形被截掉一個(gè)角后，得到一個(gè)多邊形，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是__________．【變式7-2】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，一張內(nèi)角和為1800°的多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到的新多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_________．方法技巧一個(gè)n變形剪去一個(gè)角后，若剪去的一個(gè)角只經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，則剩下的形狀是n邊形，若剪去的一個(gè)角經(jīng)過(guò)兩條鄰邊，則剩下的形狀是（n＋1）邊形，若剪去的一個(gè)角經(jīng)過(guò)兩個(gè)相鄰點(diǎn)，則剩下的形狀是（n－1）邊形．所以遇到相關(guān)題目時(shí)，要分類(lèi)討論．題型08多邊形的外角問(wèn)題【例8】（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是60°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【變式8-1】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B，向左轉(zhuǎn)45°后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C，再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程為（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【變式8-2】（2020·山東濟(jì)寧·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？级＃┱呅蔚耐饨呛蜑椋?/p>

）A．180° B．360° C．720° D．1440°題型09多邊形內(nèi)角和、外角和與平行線的綜合運(yùn)用【例9】（2022·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2的度數(shù)為（）A．41° B．51° C．42° D．49°【變式9-1】（2019·四川宜賓·校聯(lián)考一模）如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線交于點(diǎn)F，則∠DFB=（）A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°【變式9-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，則∠1+∠2+∠3等于（A．100° B．180° C．210° D．270°【變式9-3】（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一束太陽(yáng)光平行照射在正n邊形A1A2A3……A

【變式9-4】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度數(shù)：(2)若∠F=40°，求∠E的度數(shù).題型10多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線的綜合運(yùn)用【例10】（2022·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB∥CD，∠BED=100°，BF、DF分別為∠ABE、∠CDE的角平分線，則∠BFD=（

）A．100° B．120° C．130° D．135°【變式10-1】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．120° B．125° C．130° D．135°【變式10-2】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形ABCDE中，內(nèi)角∠EAB的角平分線與其內(nèi)角∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)P，則∠APB＝_____度．【變式10-3】（2021·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C=210°，則∠P=___________．【變式10-4】（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，過(guò)正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)B作一條射線與其內(nèi)角∠EAB的角平分線相交于點(diǎn)P，且∠ABP=60°，則∠APB=_____度．題型11多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用【例11】（2022·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，由一個(gè)正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1的度數(shù)應(yīng)是（

）A．72° B．84° C．82° D．94°【變式11-1】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是1260°，則這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角等于（

）A．60° B．45° C．72° D．40°【變式11-2】（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，AF∥DG，若∠2=20°，則∠1=（A．60° B．56° C．52° D．40°【變式11-3】（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）正八邊形中，每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比為（

）A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1【變式11-4】．（2023·山西大同·大同一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等邊三角形、正方形及正五邊形各一個(gè)，按下圖放在同一平面內(nèi)，則∠1+∠2+∠3=（

）

A．102° B．104° C．106° D．108°【變式11-5】（2019·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）發(fā)現(xiàn)：如圖1，在有一個(gè)“凹角∠A1A2A3”n邊形A1驗(yàn)證：（1）如圖2，在有一個(gè)“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中，證明：∠ABC=∠A+∠C+∠D．（2）如圖3，有一個(gè)“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中，證明；∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F?360°．延伸：（3）如圖4，在有兩個(gè)連續(xù)“凹角A1A2A3和∠A2A3【變式11-6】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）定義：由n條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做n邊形．相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，一邊和它鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做它的外角．為了探究n邊形的外角和與內(nèi)角和的度數(shù)，小華做了以下實(shí)驗(yàn)：取若干張紙片，分別在紙片上畫(huà)出三角形、四邊形、五邊形等，順次延長(zhǎng)各邊得到各個(gè)外角，然后沿著多邊形的邊和延長(zhǎng)線將它剪開(kāi)，將外角拼在一起，觀察圖形，并進(jìn)行推理．（1）實(shí)驗(yàn)操作．

（2）歸納猜想．多邊形三角形四邊形五邊形…n邊形外角和_________________________________…___________內(nèi)角和_________________________________…___________（3）理解應(yīng)用．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的1008倍，它是多少邊形？_________題型12多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用【例12】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（

）A．α?β=0 B．α?β<0C．α?β>0 D．無(wú)法比較α與β的大小【變式12-1】（2022·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)20米后左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進(jìn)20米，又向左轉(zhuǎn)30°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了（

）A．120米 B．200米 C．160米 D．240米【變式12-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，琪琪沿著一個(gè)四邊形公園小路跑步鍛煉，從A處出發(fā)，當(dāng)她跑完一圈時(shí)，她身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和為_(kāi)_________．題型13平面鑲嵌【例13】（2022·山西太原·一模）如圖，若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是前3個(gè)正五邊形，要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【變式13-1】（2023·北京平谷·統(tǒng)考二模）如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．100° D．120°【變式13-2】（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)校考三模）如圖①是15世紀(jì)藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計(jì)，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為_(kāi)_______度．

【變式13-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）“動(dòng)感數(shù)學(xué)”社團(tuán)教室重新裝修，如圖是用邊長(zhǎng)相等的正方形和正n邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖，則n的值為_(kāi)__________．【變式13-4】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長(zhǎng)記作2a．下面我們來(lái)探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍(lán)畫(huà)了圖①、圖②兩種排列方式，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：_______．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請(qǐng)你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是_______．（用含a的代數(shù)式表示）方法技巧解決幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．

考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號(hào)“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：1)對(duì)邊平行且相等；2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對(duì)角線互相平分；4)平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱(chēng)中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來(lái)解題．3）過(guò)平行四邊形對(duì)稱(chēng)中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng)．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時(shí)，可用“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時(shí)，可選擇“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對(duì)角線時(shí)，可選擇“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明．題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解【例1】（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動(dòng)到△A'B'C'，點(diǎn)A．96 B．963 C．192 D．【變式1-1】（2023·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【變式1-2】（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在?ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分線BM交CD邊于點(diǎn)M，則DM的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-3】（2022·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若∠1=∠2=36°，∠B為（

A．36° B．144° C．108° D．126°【變式1-4】（2023·吉林松原·校聯(lián)考一模）如圖，在?ABCD中，AD=10，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD=22，則△BOC的周長(zhǎng)為_(kāi)_______【變式1-5】（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，CD在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過(guò)第一象限點(diǎn)A，且平行四邊形ABCD的面積為6，則【變式1-6】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合，過(guò)點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．(1)求證：△ABM∽△EBF；(2)當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長(zhǎng)；(3)設(shè)BE=x,△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例2】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC，DF⊥AC，求證：AE＝CF．【變式2-1】（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在CD邊上，CF=AE,連接AF,BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求四邊形BFDE的面積．【變式2-2】（2021·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對(duì)角線AC，OB交于點(diǎn)M，函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

（1）求k的值和點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求?OABC的周長(zhǎng)．【變式2-3】（2022·重慶·重慶八中?？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BCD的平分線，交對(duì)角線BD于點(diǎn)F；（不寫(xiě)作法和證明，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖形中，求證：BE=DF．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程，除題目給的字母外，不添加其它字母或者符號(hào)）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①__________，∴∠ABE=∠CDF∵AE、CF分別平分∠BAD和∠DCB∴∠BAE=12∠BAD，②∵四邊形ABCD是平行四邊形∴③_______________∴∠BAE=∠DCF在△ABE與△CDF中∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE=DF【變式2-4】（2022·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AB>AD．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分線交AB于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接DE交CF于點(diǎn)P，猜想△CDP按角分類(lèi)的類(lèi)型，并證明你的結(jié)論．題型03判斷已知條件能否構(gòu)成平行四邊形【例3】（2022·河南鄭州·一模）如圖1，?ABCD中，AD>AB，∠ABC為銳角．要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（

）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是【變式3-1】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A．對(duì)角線互相平分 B．一組對(duì)邊平行且相等C．兩組對(duì)邊分別平行 D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等【變式3-2】（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)統(tǒng)考二模）在下列條件中，不能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等 B．一組對(duì)邊平行且相等C．兩組對(duì)角相等 D．對(duì)角線互相平分題型04添加一個(gè)條件使四邊形成為平行四邊形【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列條件，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（A．AB=CD B．AD∥BC C．AD=BC 【變式4-1】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是嘉淇不完整的推理過(guò)程．小明為保證嘉淇的推理成立，需在四邊形ABCD中添加條件，下列正確的是(

)A．∠B+∠C=180° B．AB=CDC．∠A=∠B D．AD=BC【變式4-2】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E、F在?ABCD的對(duì)角線AC上，連接BE、DE、DF、BF，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使四邊形BEDF是平行四邊形，那么需要添加的條件是______________________．（只填一個(gè)即可）題型05數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù)【例5】（2020·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．6個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．11個(gè)【變式5-1】（2019·湖北黃石·校聯(lián)考一模）如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)是O，直線EF過(guò)O點(diǎn)，且平行于AD，直線GH過(guò)O點(diǎn)且平行于AB，則圖中平行四邊形共有(

)A．15個(gè) B．16個(gè) C．17個(gè) D．18個(gè)題型06求與已知三點(diǎn)組成平行四邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例6】（2021·河南商丘·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A1,0，B?1,3，C?2,?1，找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)DA．2,4 B．?4,2 C．0,?4 D．?3,2【變式6-1】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A、B、C為一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,3),(6,4),(4,6)．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在△ABC中，求出AB邊上的高．題型07證明四邊形是平行四邊形【例7】（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE=DF，∠ABD=∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式7-1】（2023·山東青島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABDF中，點(diǎn)E，C為對(duì)角線BF上的兩點(diǎn)，AB=DF,AC=DE,EB=CF．連接AE,CD．(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)若AE=AC，求證：AB=DB．【變式7-2】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且ED=BF，連接AF，CE，AC，EF，且AC與EF相交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=【變式7-3】（2020·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△AED，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E、D.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；(2)如圖2，若α=60°時(shí)，點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，求證：四邊形BFDE是平行四邊形. 【變式7-4】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸上．反比例函數(shù)數(shù)y=kx（x>0）的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)D（4，2），且與邊AB，BC分別交干點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF交x軸于點(diǎn)G(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求證:四邊形AEGC是平行四邊形．【變式7-5】（2023·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A4,2，過(guò)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)B為該反比例函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AD．直線BC與

(1)求反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)若BD=2OC，判斷四邊形ACED的形狀，并說(shuō)明理由．題型08與平行四邊形有關(guān)的新定義問(wèn)題【例8】（2023·江西撫州·金溪一中校聯(lián)考二模）定義：在平行四邊形中，若有一條對(duì)角線長(zhǎng)是一邊長(zhǎng)的兩倍，則稱(chēng)這個(gè)平行四邊形叫做和諧四邊形，其中這條對(duì)角線叫做和諧對(duì)角線，這條邊叫做和諧邊．【概念理解】(1)如圖1，四邊形ABCD是和諧四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)G，BD是和諧對(duì)角線，AD是和諧邊．①△BCG是________三角形．②若AD=4，則BD=________．【問(wèn)題探究】(2)如圖2，四邊形ABCD是矩形，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)F，AD=4，AB=k，是否存在實(shí)數(shù)k，使得四邊形ABEC是和諧四邊形，若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【應(yīng)用拓展】(3)如圖3，四邊形ABCD與四邊形ABEC都是和諧四邊形，其中BD與AE分別是和諧對(duì)角線，AD與AC分別是和諧邊，AB=4，AD=k，請(qǐng)求出k的值．【變式8-1】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考二模）定義：有一個(gè)角為45°的平行四邊形稱(chēng)為半矩形．(1)如圖1，若?ABCD的一組鄰邊AB＝4，AD＝7，且它的面積為142．求證：?ABCD為半矩形．(2)如圖2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD內(nèi)）到AB的距離為1，⊙O的半徑＝5，求AD的長(zhǎng)．(3)如圖3，半矩形ABCD中，∠A＝45°，AD=BD=4①求證：CD是△ABD外接圓的切線；②求出圖中陰影部分的面積．【變式8-2】（2021·浙江臺(tái)州·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)統(tǒng)考二模）定義：如圖1，四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在□ABCD四條邊上（不與□ABCD的頂點(diǎn)重合），我們稱(chēng)四邊形EFGH為□ABCD的內(nèi)接四邊形．（1）如圖1，若?ABCD的內(nèi)接四邊形EFGH是平行四邊形，求證：AE＝CG（2）若?ABCD的內(nèi)接四邊形EFGH是矩形．①請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)，在圖2中作出一個(gè)符合要求的矩形EFGH．（不必說(shuō)明作圖過(guò)程，但要保留作圖痕跡）②如圖3，已知sinA=45，AB＝10，H是AD的中點(diǎn)，HG＝2HE（3）已知，?ABCD的內(nèi)接四邊形EFGH是平行四邊形，且S?EFGH=12S?ABCD，求證：點(diǎn)E，F(xiàn)，題型09利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解【例9】（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB=6，BC=8，則四邊形BDEF的周長(zhǎng)是（

）A．28 B．14 C．10 D．7【變式9-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=x+1、y=x?1與雙曲線y=kxk>0分別相交于點(diǎn)A、B、C

A．34 B．22 C．4【變式9-2】（2023上·山東臨沂·九年級(jí)沂水縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知如圖，AB4,2．CD為x軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且CD=1，當(dāng)AC+CD+DB的最小值為_(kāi)_____________【變式9-3】（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10．若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過(guò)程中，AF+FE+EC的最小值為_(kāi)_______．【變式9-4】（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將?ABCD沿著B(niǎo)F（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問(wèn)題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此?ABCD的面積為20，邊長(zhǎng)AB=5，BC=25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM題型10利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明【例10】（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE=1A．4 B．3 C．2 D．1【變式10-1】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段AB上一點(diǎn)，△ADE和△BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)P,F分別是CD,AB的中點(diǎn)．若AB=4，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．PA+PB的最小值為33 B．PE+PF的最小值為C．△CDE周長(zhǎng)的最小值為6 D．四邊形ABCD面積的最小值為3【變式10-2】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3，點(diǎn)B在x軸上，把ΔOAB沿x軸向右平移到ΔECD，若四邊形ABDC的面積為9，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【變式10-3】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，用四根木條釘成矩形框ABCD，把邊BC固定在地面上，向右推動(dòng)矩形框，矩形框的形狀會(huì)發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過(guò)觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段EB由AB旋轉(zhuǎn)得到，所以EB=AB．我們還可以得到FC＝______，EF＝________；(2)進(jìn)一步觀察，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)EF∥AD，請(qǐng)證明這一結(jié)論；(3)已知BC=30cm,DC=80cm，若BE恰好經(jīng)過(guò)原矩形DC邊的中點(diǎn)H，求EF【變式10-4】（2020·浙江舟山·統(tǒng)考中考真題）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進(jìn)行如下研究活動(dòng)．活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結(jié)AE，BD（如圖2），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移．【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長(zhǎng)．活動(dòng)二：在圖3中，取AD的中點(diǎn)O，再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度（0≤α≤90），連結(jié)OB，OE（如圖4）．【探究】當(dāng)EF平分∠AEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型11平行四邊形性質(zhì)與判定的應(yīng)用【例11】（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點(diǎn)H，若S四邊形ADHF=S△HGEA．a(chǎn)+c=2b B．b2+c2=a【變式11-1】（2020·湖北省直轄縣級(jí)單位·中考真題）在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列畫(huà)圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡．

（1）如圖1，在BC上找出一點(diǎn)M，使點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)；（2）如圖2，在BD上找出一點(diǎn)N，使點(diǎn)N是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)．【變式11-2】（2021·天津南開(kāi)·統(tǒng)考二模）如圖，將平行四邊形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知A(3,0),B(0,4)．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（_____，____）；（2）若將平行四邊形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得OFDE，DF交OC于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)F，求△OPF的面積；（3）在（2）的情形下，若再將平行四邊形OFDE沿y軸正方向平移，設(shè)平移的距離為d，當(dāng)平移后的平行四邊形O'F'D'E'與平行四邊形OABC重疊部分為五邊形時(shí)，設(shè)其面積為S【變式11-3】（2023·上海青浦·?？家荒＃┤鐖D，已知∠AOB=90°，∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，且OA=OB=OP=10，過(guò)點(diǎn)B作BC∥AP交AO于點(diǎn)C，OP與BC交于點(diǎn)(1)如果tan∠AOP=34(2)設(shè)AP=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；(3)如果BD=AP，求△PBD的面積．【變式11-4】（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD(1)求證：CE=AD．(2)當(dāng)AC=BC，且D為中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDBE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．(3)求AD∶DB=3∶2，CE=CA=3時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

考點(diǎn)三三角形中位線三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行.數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系.常用結(jié)論：任意一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半.結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形.結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形.結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分.結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等.題型01三角形中位線有關(guān)的計(jì)算【例1】（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BC=4，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則DE=（

）A．14 B．12 C．1【變式1-1】（2023·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB=6，BC=8，則四邊形BDEF的周長(zhǎng)是（

）A．28 B．14 C．10 D．7【變式1-2】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長(zhǎng)為10，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【變式1-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊AO,AB的中點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別是1，4，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是_______．題型02三角形中位線與三角形面積計(jì)算問(wèn)題【例2】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（

）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【變式2-1】（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若SΔADE=2，則S

A．4 B．8 C．2 D．16【變式2-2】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？家荒＃┤鐖D，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N，那么NM:MC=_______，S△DMN:S四邊形題型03與三角形中位線有關(guān)的證明【例3】（2023·新疆和田·和田市第三中學(xué)?？级＃┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使得CF∥AB，連接DC，AF．(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)求證：四邊形BDFC是平行四邊形【變式3-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，求證：DE∥BC，且方法一證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．方法二證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接FC，【變式3-2】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考二模）我們知道，三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，如何證明三角形中位線定理呢？(1)【方法回顧】證明：三角形中位線定理．已知：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．求證：DE∥BC，

證明三角形中位線性質(zhì)定理的方法很多，但多數(shù)都需要通過(guò)添加輔助線構(gòu)圖去完成，下面是其中一種證法的添加輔助線方法，閱讀并完成填空：添加輔助線，如圖1，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．可證△ADE≌_________，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=EF，然后判斷出四邊形BCFD是_________，根據(jù)圖形性質(zhì)可證得DE

(2)【方法遷移】如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠D=120°，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG=3，DF=4，∠GEF=90°(3)【定理應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，CGBG=KK>1，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使DE＝DG，延長(zhǎng)ED交AB【變式3-3】（2023·北京·統(tǒng)考一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)．求證：DE∥BC，且方法一：證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，DC，AF．方法二：證明：如圖，取BC中點(diǎn)G，連接GE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=GE，連接AF．題型04三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用【例4】（2023·廣州市模擬）如圖，為了測(cè)量池塘邊A、B兩地之間的距離，在線段AB的一側(cè)取一點(diǎn)C，連接CA并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，連接CB并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使A、B分別是CD、CE的中點(diǎn)，若DE＝16m，則線段AB的長(zhǎng)度是（）A．12m B．10m C．9m D．8m【變式4-1】（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的A，B兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，測(cè)得DE＝50m，則AB的長(zhǎng)是_______m．題型05與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究【例5】（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，取BC邊的中點(diǎn)E，作ED∥AB交AC于點(diǎn)D，EF∥AC交AB于點(diǎn)F，得到四邊形EDAF，它的面積記作S1取BE邊的中點(diǎn)E1，作E1D1FB交EF于D1，E1F1【變式5-1】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AC，AB，BC邊的中點(diǎn)，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點(diǎn)D1、點(diǎn)E1、點(diǎn)F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點(diǎn)，連接D1E1、E1【變式5-2】（2021·黑龍江·校聯(lián)考三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分別連接AB，AC，BC的中點(diǎn)，得到第1個(gè)等腰直角三角形A1B1C1；分別連接A1B，A1C1，題型06與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖【例6】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）在5×5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺，按要求作圖：

(1)在圖中找一個(gè)格點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；(2)在圖中作△ABC中平行于BC邊的中位線EF．（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）【變式6-1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱(chēng)為格點(diǎn)三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形，那么該網(wǎng)格中所有與△ABC相似且有一個(gè)公共角的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式6-2】（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)，點(diǎn)D為AC上一格點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上任一點(diǎn)，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫(huà)圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中畫(huà)△ABC的中位線DF，使點(diǎn)F在邊AB上．(2)在圖②中畫(huà)以AC為對(duì)角線的?ABCG．(3)在圖③中作射線ED，在其上找到一點(diǎn)H，使DH=DE．【變式6-3】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是8×8的方格紙，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別落在格點(diǎn)上，請(qǐng)按照要求畫(huà)圖：(1)在圖1中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)四邊形APBQ，且AB與PQ互相平分．(2)在圖2中畫(huà)一個(gè)以AB為中位線的格點(diǎn)△DEF．題型07構(gòu)造三角形中位線的常用方法類(lèi)型一連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線【例7】（2021·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG，連接DF，M、N分別是DC、DF的中點(diǎn)，連接MN．若AB＝7，BE＝5，則MN＝（）A．112 B．132 C．6 【變式7-1】（2020·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=14x2?4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)OQA．3 B．412 C．72 【變式7-2】（2023·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE=1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（

）A．62 B．32 C．2?3【變式7-3】（2021·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若AD=3，AB=CF=2，則CG的長(zhǎng)為_(kāi)______．【變式7-4】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(6，0)，B(0，6)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=22，M為線段AC類(lèi)型二已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線【例8】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E為OB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，連接EF，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)________．【變式8-1】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點(diǎn)F為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點(diǎn)，則DM長(zhǎng)度的最小值是(

)A．3 B．2 C．1 D．6-2【變式8-2】（2023·湖北孝感·?？家荒＃┤鐖D，四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，點(diǎn)E是DA中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且∠DEF=45°，則AF:FC的值是（

）A．3 B．5+1 C．22+1【變式8-3】（2024·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在線段EC上取一點(diǎn)F，使EF=AD，連接BF,DE．

(1)如圖1，求證：DE=BF；(2)如圖2，若AD=2，BF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)DE的中點(diǎn)G，求類(lèi)型三利用角平分線垂直構(gòu)造三角形的中位線【例9】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，G分別在AD，BC邊上，且AE=3DE，BG=CG，連接BE、CE，EF平分∠BEC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥EF于點(diǎn)F，連接GFA．5?32 B．5?152 C．【變式9-1】（2022·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E為BC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（

A．2 B．3 C．1.5 D．2.5【變式9-2】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB=90°，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．BF平分∠ABC B．∠CAF=∠BAC?∠DFAC．S△ADE=1【變式9-3】（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，cos∠B=34，AE平分∠BAC，且AE⊥CE于點(diǎn)E，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DEA．2 B．4?7 C．27

第22講多邊形與平行四邊形答案解析考點(diǎn)一多邊形的相關(guān)概念題型01多邊形的概念及分類(lèi)【例1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等邊三角形、正五邊形、正六邊形、正七邊形中，既是軸對(duì)稱(chēng)又是中心對(duì)稱(chēng)的圖形是（）A．等邊三角形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正七邊形【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)的圖形的識(shí)別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由正多邊形的性質(zhì)知，偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，所以正六邊形既是軸對(duì)稱(chēng)又是中心對(duì)稱(chēng)的圖形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)的圖形的識(shí)別，熟知偶數(shù)邊的正多邊形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；奇數(shù)邊的正多邊形只是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）下列長(zhǎng)度的三條線段與長(zhǎng)度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長(zhǎng)邊，由此即可完成．【詳解】A、1+1+1<5，即這三條線段的和小于5，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、1+1+5<8，即這三條線段的和小于8，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、1+2+2=5，即這三條線段的和等于5，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、2+2+2>5，即這三條線段的和大于5，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短即知，此選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間線段最短，類(lèi)比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較短的兩邊的和大于最長(zhǎng)邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條線段的和大于最長(zhǎng)的線段即可．【變式1-2】（2022·遼寧盤(pán)錦·校考一模）下列命題正確的是（

）A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．過(guò)線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分【答案】B【分析】分別根據(jù)正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】解：A.每個(gè)內(nèi)角都相等，各邊都相等的多邊形是正多邊形，故選項(xiàng)A的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,說(shuō)法正確，故選項(xiàng)B符合題意；C.過(guò)線段中點(diǎn)且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項(xiàng)C的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D.三角形的中位線將三角形的面積分成1∶3兩部分，故選項(xiàng)D的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了對(duì)正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關(guān)鍵．題型02計(jì)算網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形面積【例2】（2022·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)____________．【答案】9【分析】由圖可得S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用網(wǎng)格來(lái)計(jì)算兩個(gè)三角形的面積相加即可．【詳解】解：S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=1故答案為：9【點(diǎn)睛】本題是求三角形的面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練對(duì)不規(guī)則三角形進(jìn)行分割．【變式2-1】（2021·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ADB的面積大小關(guān)系為：S△ABC______S【答案】=【分析】分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．【詳解】解：∵SΔABDSΔABC∴SΔABC故答案為：=．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考一模）各頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)（橫豎格子線的交錯(cuò)點(diǎn)）上的多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（a是多邊形內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)，b是多邊形邊界上的格點(diǎn)數(shù)）計(jì)算，這個(gè)公式稱(chēng)為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個(gè)格點(diǎn)五邊形，則該五邊形的面積S=_____【答案】6【分析】根據(jù)題目要求，數(shù)出五邊形內(nèi)部格點(diǎn)的數(shù)量，五邊形邊上格點(diǎn)的數(shù)量，代入S=a+1【詳解】由圖可知：五邊形內(nèi)部格點(diǎn)有4個(gè)，故a=4五邊形邊上格點(diǎn)有6個(gè)，故b=6∴S=a+12故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形的計(jì)算，按題目要求盡心計(jì)算即可．【變式2-3】（2021·山西臨汾·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫(huà)著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點(diǎn)，就是所謂格點(diǎn)．一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形．有趣的是，這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來(lái)很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，b任務(wù)：（1）如圖2，是6×6的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長(zhǎng)為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點(diǎn)多邊形的面積是_______．（2）已知：一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積S為19，且邊界上的點(diǎn)數(shù)b是內(nèi)部點(diǎn)數(shù)a的3倍，則a+b=______．（3）請(qǐng)你在圖3中設(shè)計(jì)一個(gè)格點(diǎn)多邊形．要求：①格點(diǎn)多邊形的面積為8；②格點(diǎn)多邊形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形．【答案】（1）21；（2）32；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）觀察圖形，得到a=16，b=12，再代入計(jì)算即可得到答案；（2）由題意b=3a，然后列出關(guān)于a的方程，求出a=8，再求出答案即可；（3）由格點(diǎn)多邊形的面積為8，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，即可畫(huà)出圖形．【詳解】解：（1）由題意，如圖：多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為：a=16，多邊形邊界的點(diǎn)數(shù)為：b=12，∴S=a+1故答案為：21；（2）設(shè)內(nèi)部點(diǎn)數(shù)是a，則b=3a，∴S=a+1∴a=8，∴b=8×3=24，∴a+b=8+24=32；故答案為：32．（3）答案不唯一，只要符合題意要求即可．例如：【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形，解一元一次方程，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，理解正方形網(wǎng)格紙中多邊形面積的公式S=a+1題型03計(jì)算多邊形對(duì)角線條數(shù)【例3】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式求出這個(gè)多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對(duì)角線計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，由題意得，180×n?2∴n=8，∴這個(gè)多邊形為八邊形，∴這個(gè)多邊形可連對(duì)角線的條數(shù)是8×8?3故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對(duì)角線計(jì)算公式，熟知n邊形的對(duì)角線條數(shù)是nn?3【變式3-1】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是（

）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】A【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系可得n?2?180°=2×360°【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，則n?2?180°=2×360°∴n?2=4，解得：n=6，所以從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有n?3=6?3=3條對(duì)角線，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，多邊形的對(duì)角線問(wèn)題，掌握“利用多邊形的內(nèi)角和為n?2?180°,外角和為360°【變式3-2】（2021·云南普洱·統(tǒng)考一模）如圖，從一個(gè)四邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出1條對(duì)角線，從五邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出2條對(duì)角線，從六邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出3條對(duì)角線，……，依此規(guī)律，從n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出的對(duì)角線數(shù)量為（

）A．n B．n?2 C．n?3 D．2n?3【答案】C【分析】根據(jù)題意可得從n邊型的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引n?3條對(duì)角線．【詳解】解：∵從一個(gè)四邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出4?3=1條對(duì)角線；從五邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出5?3=2條對(duì)角線，從六邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出6?3=3條對(duì)角線，∴從n邊型的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引n?3條對(duì)角線，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類(lèi)的規(guī)律題，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到規(guī)律求解．【變式3-3】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)正多邊形的中心角是72°，則過(guò)它的一個(gè)頂點(diǎn)有______條對(duì)角線．【答案】2【分析】根據(jù)正多邊形的中心角是72°，可得該正多邊形是正五邊形，然后利用過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有n?3對(duì)角線計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n,且正多邊形的中心角是72°，∴72°n=360°，∴n=5，∴過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有n?3條對(duì)角線，即5?3=2條，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的對(duì)角線、正多邊形的中心角等知識(shí)點(diǎn)，要掌握過(guò)n多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有n?3條對(duì)角線、正多邊形的中心角都相等是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022·陜西西安·?？既＃┮粋€(gè)正多邊形的每個(gè)外角為45°，則這個(gè)正多邊形的對(duì)角線共有_________條．【答案】20【分析】根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角都相等，多邊形的邊數(shù)=360°÷45°，進(jìn)而求得多邊形的對(duì)角線條數(shù)．【詳解】解：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)：360°÷45°=8，則對(duì)角線的條數(shù)是：12故答案是：20．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角與外角．解題的關(guān)鍵在于掌握正多邊形的外角和為360°，并且正多邊形的每一個(gè)外角都相等．題型04對(duì)角線分三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題【例4】（2019·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作多邊形的對(duì)角線，試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點(diǎn)數(shù)、線段數(shù)及三角形個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，推斷f,e,v三個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系是:______________多邊形：頂點(diǎn)個(gè)數(shù)f1:456…線段條數(shù)e:579…三角形個(gè)數(shù)v1:234…【答案】f+v-e=1【分析】三角形個(gè)數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減2，線段條數(shù)等于對(duì)角線條數(shù)加邊數(shù)，即可求解；【詳解】解：三角形個(gè)數(shù)v＝f?2，線段條數(shù)e＝f?3＋f＝2f?3，∴f+v-e=1，故答案為f+v-e=1；【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的邊，頂點(diǎn)，三角形個(gè)數(shù)，熟練掌握多邊形對(duì)角線的求法，多邊形分割三角形的方法是解題的關(guān)鍵．題型05多邊形內(nèi)角和問(wèn)題【例5】（2021·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外離，它們的半徑都是2，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（

）A．6π B．5π C．4π D．3π【答案】A【分析】求出五個(gè)扇形的圓心角之和，利用扇形面積公式求解即可．【詳解】∵(5?2)×180°=540°∴S=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，扇形面積公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：A、是一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°；B、是一個(gè)四邊形，其內(nèi)角和為360°；C、是一個(gè)五邊形，其內(nèi)角和為540°；D、是一個(gè)六邊形，其內(nèi)角和為720°；∴內(nèi)角和最大的是六邊形；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，則∠D的度數(shù)為（

）A．125° B．130° C．135° D．140°【答案】B【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠BAD=87°,∠ABC=73°,∠BCD=70°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】∵∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，∠1+∠BAD=180°，∠2∴∠BAD=87°,∠ABC=73°,∠BCD=70°在四邊形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠D=360°∴∠D=130°故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平角的定義及四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2020·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考三模）如圖，多邊形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°，則∠A+∠B的值為（

）A．108° B．72° C．54° D．36°【答案】B【分析】連接CD，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)O，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根據(jù)各角的關(guān)系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根據(jù)對(duì)頂角的相等和三角形的內(nèi)角和定義即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接CD，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)O∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，∠E=∠F=∠G=108°，∠GCB=∠EDA=72°，∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°∴∠ODC＋∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式和對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握多邊形的內(nèi)角和公式和對(duì)頂角相等是解決此題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形AMNP的邊AM在正五邊形ABCDE的邊AB上，則∠PAE=__________°．【答案】18【分析】由正方形的性質(zhì)及正五邊形的內(nèi)角可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形AMNP是正方形，五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠EAB=5?2∴∠PAE=∠EAB?∠PAB=18°；故答案為18．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的定義是解題的關(guān)鍵．【變式5-5】（2021·陜西·三模）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于_______度．【答案】30【分析】先證出內(nèi)部的圖形是正六邊形，求出內(nèi)部小正六邊形的內(nèi)角，即可得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】解：由題意六邊形花環(huán)是用六個(gè)全等的直角三角形拼成，可得BD=AC，BC=AF，∴CD=CF，同理可證小六邊形其他的邊也相等，即里面的小六邊形也是正六邊形，∴∠1=16∴∠2=180°-120°=60°，∴∠ABC=30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的證明、多邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型06已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)【例6】（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為900°，則這個(gè)多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【答案】A【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，列出方程即可求解．【詳解】解：根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，得（n﹣2）?180°=900°，解得n=7，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟記內(nèi)角和公式并列出方程．【變式6-1】（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）下列多邊形中，內(nèi)角和為720°的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用n邊形內(nèi)角和公式為(n-