【新教材精創(chuàng)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（導(dǎo)學(xué)案）-(人教A版高二選擇性必修第二冊(cè))含答案及解析

5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)學(xué)案1.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2.能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則解決函數(shù)求導(dǎo)．重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則難點(diǎn)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則解決函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)和差的導(dǎo)數(shù)[f(x)±g(x)]′＝______________．(2)積的導(dǎo)數(shù)①[f(x)·g(x)]′＝____________________；②[cf(x)]′＝________．(3)商的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)＋f(x)g′(x);cf′(x);eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)學(xué)習(xí)導(dǎo)引在例2中，當(dāng)p0=5時(shí)，pt=5×1.05t,這時(shí)，求p關(guān)于二、新知探究探究1：設(shè)fx=x2

，gx=x探究:2：設(shè)fx=x2

，g三、典例解析例3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y=（2）y=例4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y=x3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的策略(1)先區(qū)分函數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)，即函數(shù)的和、差、積、商，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)；(2)對(duì)于三個(gè)以上函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)”函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝eq\f(cosx,x).跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y＝tanx；（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)例5日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需進(jìn)化費(fèi)用不斷增加，已知將1t水進(jìn)化到純凈度為x%所需費(fèi)用（單位：元），為c(x)=5284100?x求進(jìn)化到下列純凈度時(shí)，所需進(jìn)化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：（1）90%

；（2）98%例6(1)函數(shù)y＝3sinx在x＝eq\f(π,3)處的切線斜率為________．(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)．①求f(1)＋f′(1)；②若曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及其解決方法(1)應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要有：求在某點(diǎn)處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點(diǎn)，以及涉及切線問題的綜合應(yīng)用；(2)方法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若已知切點(diǎn)則求出切線斜率、切線方程；若切點(diǎn)未知，則先設(shè)出切點(diǎn)，用切點(diǎn)表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點(diǎn)坐標(biāo)．總之，切點(diǎn)在解決此類問題時(shí)起著至關(guān)重要的作用．1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為()A．1B．eq\r(2)C．－1D．02.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝t2＋eq\f(3,t)(t是時(shí)間，s是位移)，則物體在時(shí)刻t＝2時(shí)的速度為()A.eq\f(19,4)B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D.eq\f(13,4)3.如圖有一個(gè)圖象是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則f(－1)＝ ()A．eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4)y＝x2－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).參考答案：知識(shí)梳理學(xué)習(xí)過程新知探究探究1：設(shè)y=fx?y?x=x+?x2+x+?x?(fx+gx'而fx'=2x,gx'所以fx+gx'同樣地，對(duì)于上述函數(shù)，fx?g探究:2：通過計(jì)算可知，fxgx'=(x3)因此fxg典例解析例3.解：（1）y=(x3)（2）y例4.解：（1）y=(x（2）y跟蹤訓(xùn)練1[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－x·sinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).跟蹤訓(xùn)練2解析：（1）y＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)，故y′＝eq\f(sinx′cosx－cosx′sinx,cosx2)＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x).（2）y＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝sinx，故y′＝cosx.例5解：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；c==（1）因?yàn)閏'(90)=5284

100?902（2）因?yàn)閏'(98)=5284

100?982例6(1)[解析]由函數(shù)y＝3sinx，得y′＝3cosx，所以函數(shù)在x＝eq\f(π,3)處的切線斜率為3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)(2)[解]①由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.②因?yàn)榍€y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，故此時(shí)切線斜率為0，問題轉(zhuǎn)化為在x∈(0，＋∞)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2ax＋eq\f(1,x)存在零點(diǎn)，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq\f(1,x)＝0有正實(shí)數(shù)解，即2ax2＝－1有正實(shí)數(shù)解，故有a<0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)．達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：A2.解析：∵s′＝2t－eq\f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).答案：D3.解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，圖(1)與(2)中，導(dǎo)函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸都是y軸，此時(shí)a＝0，與題設(shè)不符合，故圖(3)中的圖象是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象．由圖(3)知f′(0)＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1－a－1>0，,a＋1a－1＝0，))解得a＝－1.故f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).答案：B4.[解]