專題19 直角三角形（講義）（3考點(diǎn)+22題型+7類型）

第19講直角三角形目錄TOC\o"1-2"\h\u考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定 3題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解 3題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形 4題型03與直角三角形有關(guān)的面積計(jì)算 4考點(diǎn)二勾股定理 6題型01利用勾股定理求線段長(zhǎng) 7題型02利用勾股定理求面積 7題型03已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離 8題型04判斷勾股數(shù)問題 9題型05利用勾股定理解決折疊問題 10題型06勾股定理與網(wǎng)格問題 11題型07勾股定理與無理數(shù) 12題型08以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積 13題型09利用勾股定理求兩條線段的平方和（差） 15題型10利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系 16題型11勾股定理的證明方法 18題型12以弦圖為背景的計(jì)算題 22題型13利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題 23題型14利用勾股定理解決實(shí)際問題 25題型15勾股定理與規(guī)律探究問題 30考點(diǎn)三勾股定理逆定理 32題型01圖形上與已知兩地構(gòu)成直角三角形的點(diǎn) 32題型02在網(wǎng)格中判定直角三角形 32題型03利用勾股定理逆定理求解 33題型04利用勾股定理解決實(shí)際生活問題 34

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)直角三角形的性質(zhì)與判定理解直角三角形的概念.探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理:直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.該模塊內(nèi)容在中考中一直是較為重要的幾何考點(diǎn)，考察難度為中等偏上，?？伎键c(diǎn)為:直角三角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點(diǎn).出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.結(jié)合以上考察形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?勾股定理探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.勾股定理逆定理

考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個(gè)銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。面積公式：S=12ab=12題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解【例1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，直線l1∥l2，AB⊥CD，∠2=68°

A．68° B．58° C．22° D．32°【變式1-1】（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若CP=4，則AD的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式1-2】（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測(cè)）風(fēng)鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國(guó)傳統(tǒng)建筑屋檐下（如圖①），如圖②，是六角形風(fēng)鐸的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形ABCDEF，連接AC，CF，則∠ACF的度數(shù)為___________°．

【變式1-3】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長(zhǎng)為_________________題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形【例2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，③∠A=90°?∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2-1】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．AB2+BCC．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【變式2-2】（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（

）A．a(chǎn)=5,b=12,c=13 B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．∠A=∠B?∠C D．a(chǎn)=1,b=2,c=【變式2-3】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7題型03與直角三角形有關(guān)的面積計(jì)算【例3】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，點(diǎn)A，B在x軸上，且PA⊥PB，垂足為P，PA交y軸于點(diǎn)C，AO=BO=BP，△ABP的面積是2．則k的值是（

A．1 B．32 C．3 【變式3-1】（2023·河北邢臺(tái)·邢臺(tái)三中?？家荒＃┤鐖D，將兩個(gè)全等的正方形ABCD與APQR重疊放置，若∠BAP=30°，AB=63，則圖中陰影部分的面積是（

A．48 B．54 C．81?183 D．【變式3-2】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，AD⊥BD,∠A=30°,BD=3，則?ABCD的面積等于_____________．【變式3-3】（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若重疊部分的面積是12cm2，則AB的長(zhǎng)是___________

考點(diǎn)二勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=c2?b2，b勾股定理的證明方法（常見）：方法一（圖一）：4SΔ+方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2=方法三（圖三）：S梯形=12 圖一 圖二 圖三勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個(gè)正整數(shù)a，b，c；2）確定最大的數(shù)c；3）計(jì)算較小的兩個(gè)數(shù)的平方a2+b易混易錯(cuò)：1.勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形.2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．3.應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．4.每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍也是勾股數(shù).題型01利用勾股定理求線段長(zhǎng)【例1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，AB切⊙O于C，點(diǎn)D從C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)OD=2cm，運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)ODA．5cm B．6cm C．7cm【變式1-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若直角三角形的三邊的長(zhǎng)是連續(xù)的正整數(shù)，則這樣的直角三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=2，AC=23，∠C=30°，則線段BCA．4 B．22 C．4或22 D．2題型02利用勾股定理求面積【例2】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）若一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形的面積相等，則正三角形與正六邊形的邊長(zhǎng)比為（

）A．6:1 B．1:6 C．3【變式2-1】（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），點(diǎn)M是⊙P上的一動(dòng)點(diǎn)，那么△ABM面積的最大值為（）

A．64 B．48 C．32 D．24【變式2-2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，大等邊三角形中有n個(gè)全等的等邊三角形，若大等邊三角形的面積為S1，n個(gè)小等邊三角形的面積的和為S2，則S1與SA．S1=n2S2 B．S【變式2-3】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=BC=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則△BDE的面積與△ABC的面積之比為（

A．1:8 B．1:4 C．1:2 D．2:5題型03已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離【例3】（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3，則AC長(zhǎng)為（

）A．13 B．7 C．5 D．4【變式3-1】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線y=14x2與一次函數(shù)y=2x+6交于A，A．202 B．203 C．40【變式3-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1,2,B?3,b，當(dāng)線段AB最短時(shí)，bA．2 B．3 C．4 D．0【變式3-3】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是3,4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．5,4 B．5,3 C．8,3 D．8,4題型04判斷勾股數(shù)問題【例4】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)．《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5，后人簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若某個(gè)此類勾股數(shù)的勾為16，則其弦是___________．【變式4-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且32(1)當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，2n，n2?1，(2)當(dāng)n是大于1的奇數(shù)時(shí)，若n，n2?12，x是勾股數(shù)，x>n，x>n2【變式4-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）我們把滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b(1)當(dāng)b=n+7，c=n+8時(shí)，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示a2，并直接寫出n取何值時(shí)，a(2)當(dāng)b=2n2+2n，c=b+1時(shí)，用含nabc9406061【變式4-3】（2019·山西呂梁·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，解決所提的問題：勾股定理a2+b2=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，我們知道這個(gè)方程有無數(shù)組解，滿足該方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．關(guān)于勾股數(shù)組的研究我國(guó)歷史上有非常輝煌的成就，根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，在約公元前1100年，人們就已經(jīng)知道“勾廣三、股修四、徑隅五”（古人把較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，而斜邊則為弦），即知道了勾股數(shù)組（3，4，5）．類似地，還可以得到下列勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，這些數(shù)組也叫做畢達(dá)哥拉斯勾股數(shù)組．上述勾股數(shù)組的規(guī)律，可以用下面表格直觀表示：觀察分析上述勾股數(shù)組，可以看出它們具有如下特點(diǎn)：特點(diǎn)1：最小的勾股數(shù)的平方等于另兩個(gè)勾股數(shù)的和；特點(diǎn)2：____________________________________________________________________．學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）請(qǐng)你再寫出上述勾股數(shù)組的一個(gè)特點(diǎn)：________________；（2）如果n表示比1大的奇數(shù)，則上述勾股數(shù)組可以表示為（n，______，______）（3）請(qǐng)你證明（2）的結(jié)論．題型05利用勾股定理解決折疊問題【例5】（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，將Rt△ABC沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，tan∠ADC的值是（A．2+3 B．2+32 C．3【變式5-1】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為BC上一點(diǎn)，將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在AB邊上，則折痕AD

A．5 B．34 C．35 D．【變式5-2】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，將直角邊AC=6cm，BC=8cm的直角△ABC紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于

題型06勾股定理與網(wǎng)格問題【例6】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，若BC=2133，則ACA．13 B．4133 C．213【變式6-1】（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）

A．101313 B．91313 C．【變式6-2】（2021·陜西·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．32 D．題型07勾股定理與無理數(shù)【例7】（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將含有30°角的直角三角板ABC放置在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是1，2，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧與點(diǎn)B右側(cè)的數(shù)軸交于D，點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，則a的取值范圍是（

）A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6【變式7-1】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，以1為邊長(zhǎng)的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)在點(diǎn)A處，以點(diǎn)A為圓心，正方形對(duì)角線AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．2 B．2+1 C．2?1 【變式7-2】（2022·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，在數(shù)軸上找出表示?1的點(diǎn)A、表示2的點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l⊥OB，在l上取點(diǎn)C，使BC=2，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作弧，弧與數(shù)軸交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D表示的數(shù)是（）A．13 B．?13 C．?1?13 【變式7-3】（2019·河北·模擬預(yù)測(cè)）為了比較5+1與10的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通過計(jì)算可得5+1_____10．（填“＞”或“＜”或“=”）題型08以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，分別以三條邊BC，AC，AB為一邊，在△ABC的外部作正五邊形，三個(gè)五邊形的面積分別記作S1，SA．S1+S2=S3 B．【變式8-1】（2019·廣東佛山·佛山市南海石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．（1）如圖1，是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式：（2）如圖2，在RtΔABC中，∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c，以RtΔABC的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為S1,（3）如圖3，如果以RtΔABC的三邊長(zhǎng)a,b,c為直徑向外作半圓，那么第2問的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（4）如圖4，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，三邊分別為【變式8-2】（2023·湖北孝感·校考模擬預(yù)測(cè)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”，……，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積之和為．

題型09利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【例9】（2022·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE．(1)若AC=3，BC=4，求CD的長(zhǎng)；(2)求證：BD(3)求證：CE=12AB【變式9-1】（2021·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，ΔABC中，∠BAC≥120°，AB=AC，點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，CD．（1）求證：四邊形ABDC是菱形；（2）延長(zhǎng)CA到E，使得AB=BE．求證：BC2-AC·CE=AC2；（3）在（2）小題條件下，可知E，B，D，C四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，設(shè)其半徑為a(定值），若BC=kAB，問k取何值時(shí)，BE·CE的值最大？【變式9-2】（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，我把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；②如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)M、N分別是AC、AP中點(diǎn)連接MN．若MN＝23，則S△ABC＝_

題型10利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系【例10】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．(1)判斷∠ACD與∠BCE間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)直接寫出線段AD、AE、AC間滿足的數(shù)量關(guān)系．

【變式10-1】（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）在△ABC中，BD⊥AC，E為AB邊中點(diǎn)，連接CE，BD與CE相交于點(diǎn)F，過E作EM⊥EF，交BD于點(diǎn)M，連接CM．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：∠EMF=∠ACF；(3)判斷BM、【變式10-2】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中點(diǎn)，作∠POQ=90°．分別交AC，BC于點(diǎn)P，Q，連接(1)【嘗試探究】如圖1，若AC=BC，求證AP(2)【深入研究】如圖2，試探索（1）中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；(3)【解決問題】如圖3，若AC=6，BC=8，點(diǎn)C，P，O，Q在同一個(gè)圓上，求△PCQ面積的最大值．題型11勾股定理的證明方法【例11】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+

(1)如圖2、3、4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1(2)如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+b②b與c的關(guān)系為______，a與d的關(guān)系為______．【變式11-1】（2022·福建龍巖·校考模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料，回答問題：(1)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》（如圖1）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，那么斜邊的長(zhǎng)為5．”上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，(2)對(duì)于這個(gè)數(shù)量關(guān)系，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”（如圖2，它是由八個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)正方形），利用面積法進(jìn)行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵S△ABC=12∴a+b整理得a2∴_____．(3)如圖3，把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，如果AB=4，BC=8，求BE的長(zhǎng)．【變式11-2】（2021·河北·模擬預(yù)測(cè)）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，直接寫出（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2②b與c的關(guān)系為_______，a與d的關(guān)系為_______．題型12以弦圖為背景的計(jì)算題【例12】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）圖1、圖2的兩個(gè)正方形網(wǎng)格的面積分別為S1、S2，正方形ABCD、MNPQ滿足S正方形ABCD

A．S1=36 C．S正方形MNPQ=【變式12-1】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會(huì)．如圖是某次大會(huì)的會(huì)徽，選定的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國(guó)在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚(yáng)了我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化．如圖，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cosθ的值等于___________________

【變式12-2】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，一塊飛鏢游戲板由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成，若a=1，b=2，游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），擊中陰影部分的概率是______．

【變式12-3】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）魏朝時(shí)期，劉徽利用下圖通過“以盈補(bǔ)虛，出入相補(bǔ)”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類”證明了勾股定理．如圖，四邊形ABCD、四邊形BFGH和四邊形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，則BF的長(zhǎng)為__________．

【變式12-4】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．現(xiàn)假設(shè)可在如圖2的弦圖區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，若正方形ABCD中，AF=4,BF=3，則這個(gè)點(diǎn)落在陰影部分的概率為______．題型13利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題【例13】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知a，b均為正數(shù)，且a2+b2，a2+4A．32ab B．a(chǎn)b C．12【變式13-1】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考一模）一個(gè)門框的尺寸如圖所示，下列長(zhǎng)×寬型號(hào)（單位：m）的長(zhǎng)方形薄木板能從門框內(nèi)通過的是(

)A．2.6×2.5 B．2.7×2.4 C．2.8×2.3 D．3×2.2【變式13-2】（2021·安徽阜陽·阜陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎猘、b為兩正數(shù)，且a+b=12，則代數(shù)式4+a2+A．12 B．13 C．14 D．15【變式13-3】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）慶?；⒛?，小明將一副七巧板拼成了如圖的“回頭虎”，則圖中AB=_________．【變式13-4】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知圓柱形瓶子的底面半徑為12π（1）如圖1，若裝飾帶水平環(huán)繞，則瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為______cm2；（2）如圖2，若裝飾帶斜貼側(cè)面環(huán)繞，裝飾帶的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)高度差為4cm，則瓶子側(cè)面被裝飾帶覆蓋的面積為________cm2．【變式13-5】（2021·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）黔東南州某校楊老師組織數(shù)學(xué)興趣小組開展探究代數(shù)式x2+1+(4?x)2+4(x≥0)的最小值，王老師巧妙的運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”的思想，具體做法是：如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=1，（1）我們知道當(dāng)A、C、E在同一直線上時(shí)，AC+CE的值最小，于是可求得x2+1+（2）請(qǐng)你利用上述方法和結(jié)論，試構(gòu)圖求出代數(shù)式：x2（3）請(qǐng)你用構(gòu)圖的方法試求(x+4)2題型14利用勾股定理解決實(shí)際問題類型一求梯子滑落高度【例14】（2020·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一根長(zhǎng)5米的竹竿AB斜靠在豎直的墻上，這時(shí)AO為4米，若竹竿的頂端A沿墻下滑2米至C處，則竹竿底端B外移的距離BD（

）

A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不對(duì)【變式14-1】（2021·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端為A，梯子的頂端B距地面的垂直距離為BC的長(zhǎng)．（1）若梯子的長(zhǎng)度是10m，梯子的頂端B距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m（2）設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，且a>b，請(qǐng)思考，梯子在滑動(dòng)的過程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動(dòng)的距離相等的情況?若存在，請(qǐng)求出這個(gè)距離；若不存在，說明理由．類型二求旗桿高度【例15】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》勾股章有一個(gè)問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時(shí)繩索用盡，請(qǐng)問：繩索有多長(zhǎng)？若設(shè)木柱長(zhǎng)x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．82+xC．82+x【變式15-1】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，他發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，從而測(cè)得繩子比旗桿長(zhǎng)a米，小明將這根繩子拉直，繩子的末端落在地面的點(diǎn)C處，點(diǎn)C距離旗桿底部b米（b>a），則旗桿AB的高度為__________米（用含a，b的代數(shù)式表示）．類型三大樹折斷前高度【例16】（2021·湖南婁底·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺類型四解決水杯中的筷子問題【例17】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考三模）小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點(diǎn)短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的內(nèi)徑6cm，口杯內(nèi)部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（

）cm．A．9 B．10 C．11 D．12【變式17-1】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時(shí)，繩索用盡．問繩索長(zhǎng)為多少．繩索長(zhǎng)為_______尺．類型五選址到兩地距離相等【例18】（2020·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了解決A、B兩個(gè)村的村民飲水難，計(jì)劃在筆直的河邊l修建一個(gè)水泵站，為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，該水泵站與兩村的水管線總長(zhǎng)力求做到最短，已知A村到河邊的距離為1km，B村到河邊的距離為2km，AB=4km，則水管線最短要_______km(結(jié)果保留根號(hào)）．【變式18-1】（2020·河北·模擬預(yù)測(cè)）要在馬路邊設(shè)一個(gè)共享單車投放點(diǎn)，向A、B兩家公司提供服務(wù)，投放點(diǎn)應(yīng)設(shè)在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？小明根據(jù)實(shí)際情況，以馬路為y軸建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A點(diǎn)的坐標(biāo)為1,2，B點(diǎn)的坐標(biāo)為4,7，則從A、B兩點(diǎn)到投放點(diǎn)距離之和的最小值是__________，投放點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．類型六最短路徑【例19】（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤鐖D，是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體紙盒，若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面，從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B去覓食，則需要爬行的最短路程是（

）A．3 B．2 C．5 D．3【變式19-1】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．5 B．5+22 C．25【變式19-2】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，已知AB=4，DE=2，BD=8，設(shè)BC=x．線段AC+CE的長(zhǎng)可表示為x2+16+8?x2+4，當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，

A．11 B．13 C．111 D．193【變式19-3】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)類型七航海問題【例20】（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為___________海里（結(jié)果保留根號(hào)）．【變式20-1】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，一艘海警船在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°方向相距12海里的B處有一艘可疑貨船，該艘貨船以每小時(shí)10海里的速度向正東航行，海警船立即以每小時(shí)14海里的速度追趕，到C處相遇，求海警船用多長(zhǎng)時(shí)間追上了貨船？題型15勾股定理與規(guī)律探究問題【例21】（2023·廣東東莞·校聯(lián)考二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S

A．122018 B．122020 C．【變式21-1】（2023·遼寧阜新·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，OA1=OB1，∠A1OB1=120°，將△A1OB1繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為120°的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形A2OB2，點(diǎn)A1A．?22021,?C．?20232,?2023【變式21-2】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，已知OA1=1，以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以O(shè)A

考點(diǎn)三勾股定理逆定理勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2易混易錯(cuò)1.勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，時(shí)，以a，2.定理中a，b，c及a2+b2題型01圖形上與已知兩地構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)【例1】（2022·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的7個(gè)正六邊形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上．若再選擇一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是直角三角形，且每個(gè)直角三角形邊長(zhǎng)均大于1，則符合條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2021·浙江紹興·統(tǒng)考一模）同一平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)之間的距離為5cm，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有題型02在網(wǎng)格中判定直角三角形【例2】（2022·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則∠ACB的度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．40° D．60°【變式2-1】（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考二模）如圖，在2×3的正方形方格中，每個(gè)小正方形方格的邊長(zhǎng)都為1，則∠1和∠2的關(guān)系是（）A．∠2=2∠1 B．∠2?∠1=90° C．∠1+∠2=180° D．∠1+∠2=90°【變式2-2】（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1的5×5網(wǎng)格中，有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓半徑長(zhǎng)是_____題型03利用勾股定理逆定理求解【例3】（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則△DEF的面積等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【變式3-1】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，在半徑為1的⊙O中有三條弦，它們所對(duì)的圓心角分別為60°，90°，120°那么以這三條弦長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的三角形的面積是（

）A．2 B．1 C．32 D．【變式3-2】（2023·天津西青·校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA,OB，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖，若△ABC是等邊三角形，OA=5，OB=12，△BAO旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OC,OD，已知OC=13．(1)求OD的長(zhǎng)；(2)求∠AOB的大?。咀兪?-3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，BC=2CD，AB=8，CD=23，AD=2，則BD的長(zhǎng)為_______題型04利用勾股定理解決實(shí)際生活問題【例4】（2022·河北石家莊·校考一模）A，B，C三地兩兩的距離如圖所示，B地在A地的正西方向，下面說法不正確的是（）A．C地在B地的正北方向上 B．A地在B地的正東方向上 C．C地在A地的北偏西60°方向上 D．A地在C地的南偏東30°方向上【變式4-1】（2021·江西宜春·?？家荒＃┪覈?guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？則該沙田的面積為多少里．【變式4-2】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）一塊木板如圖所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，求此木板的面積_______．【變式4-3】（2022·廣東東莞·湖景中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知在一高速公路L邊上有一測(cè)速站點(diǎn)P，現(xiàn)測(cè)得PC=24米，PD=26米，CD=10米．一輛汽車在公路L上勻速行駛，測(cè)得此車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B所用的時(shí)間為1秒，并測(cè)得∠PBD=60°，∠PAD=30°，計(jì)算此車是否超過了每秒25米的限制速度．

第19講直角三角形答案解析題型01利用直角三角形的性質(zhì)求解【例1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，直線l1∥l2，AB⊥CD，

A．68° B．58° C．22° D．32°【答案】C【分析】由兩直線平行同位角相等得到∠2=∠3，再由AB與CD垂直，利用垂直的定義得到∠BMC為直角，得到∠1與∠3互余，由∠3的度數(shù)求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵直線l1∴∠2=∠3=68°，∵AB⊥CD，∴∠CMB=90°，∴∠1＋∠3=90°，又∴∠1=22°，故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，垂直定義、直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟知平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式1-1】（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若CP=4，則AD的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由題意推出AD=BD，在Rt△BCD中，PC=12BD，即可求出【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A，∴AD=BD，∵P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，∴PC=1∴BD=2CP=8，∴AD=8．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測(cè)）風(fēng)鈴，又稱鐵馬，古稱“鐸”，常見于中國(guó)傳統(tǒng)建筑屋檐下（如圖①），如圖②，是六角形風(fēng)鐸的平面示意圖，其底部可抽象為正六邊形ABCDEF，連接AC，CF，則∠ACF的度數(shù)為___________°．

【答案】30【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠B=∠BAF=∠AFE=180°?360°6=120°，AB=CB，求出，∠CAF=90°【詳解】解：在正六邊形ABCDEF中，∠B=∠BAF=∠AFE=180°?360°6=120°∴∠BAC=∠ACB=30°，∴∠CAF=90°，∵CF是正六邊形的一條對(duì)稱軸，∴∠AFC=60°，∴∠ACF=90°?∠AFC=30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角和的公式，直角三角形的性質(zhì)，正確掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長(zhǎng)為_________________【答案】3【分析】根據(jù)垂直定義可得∠AEB=90°，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得DE=AD=12AB=3，AE=DE=CE=3【詳解】解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵CD是△ABC的中線，AB=6，∴DE是△ABE斜邊上的中線，∴DE=AD=1∵∠DAC=90°，E是CD的中點(diǎn)，∴AE=DE=CE=3，∴CD=6，由勾股定理得AC=C故答案為：33【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形【例2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，③∠A=90°?∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，能證明有一個(gè)角是90度即可確定△ABC是直角三角形．【詳解】解：由三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠B+∠C=180°，①當(dāng)∠A+∠B=∠C時(shí)，2∠C=180°，∠C=90°，能確定△ABC是直角三角形；②當(dāng)∠A:∠B:∠C=1:5:6時(shí)，∠C=61+5+6×180°=90°③當(dāng)∠A=90°?∠B時(shí)，∠A+∠B=∠C=90°，能確定△ABC是直角三角形；④當(dāng)∠A=∠B=∠C時(shí)，∠A+∠B=∠C=60°，不能確定△ABC是直角三角形；綜上可知，能確定△ABC是直角三角形的條件有3個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理．【變式2-1】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．AB2+BCC．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷A和B即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理判斷C和D即可．【詳解】解：A．∵AB∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵A∴AC∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵∠A：∴最大角∠C=5∴△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容和三角形的內(nèi)角和定理等于180°是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩條邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，即a2【變式2-2】（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（

）A．a(chǎn)=5,b=12,c=13 B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．∠A=∠B?∠C D．a(chǎn)=1,b=2,c=【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及勾股定理的逆定理分別判斷，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：A、52+122=132，故△ABC是直角三角形，不符合題意．B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°×53+4+5C、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故是直角三角形，不符合題意；D、12+22=（5）2，故是直角三角形，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，求出各選項(xiàng)中的最大角是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊組成銳角三角形的條件進(jìn)行判斷可得答案．【詳解】解：在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形．A項(xiàng)，因?yàn)?2+42>42，所以這三條線段組成銳角三角形，故A項(xiàng)符合題意；B項(xiàng)，因?yàn)?2+42=52，所以這三條線段組成直角三角形，故B項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)，因?yàn)?2+42<62，所以這三條線段組成鈍角三角形，故C項(xiàng)不符合題意；D項(xiàng)，因?yàn)?+4=7，所以這三條線段不滿足組成三角形的條件，故D項(xiàng)不符合題意．故應(yīng)選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的基本概念和直角三角形，其中在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形；掌握直角三角形的判斷條件是解題的關(guān)鍵．題型03與直角三角形有關(guān)的面積計(jì)算【例3】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，點(diǎn)A，B在x軸上，且PA⊥PB，垂足為P，PA交y軸于點(diǎn)C，AO=BO=BP，△ABP的面積是2．則k

A．1 B．32 C．3 【答案】A【分析】連接OP，過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，證明△OPB為等邊三角形，設(shè)OB=a，利用求出PD=32a，得到點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)△ABP的面積是2，列出方程，求出a2=43【詳解】解：如圖，連接OP，過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，

∵AO=BO=BP，∴OP=OB=BP，即△OPB為等邊三角形，∴∠DPB=30°，設(shè)OB=a，則AB=2a，∴BD=1∴PD=PB2∵△ABP的面積是2，∴12∴12解得：a2∴k=1故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)表達(dá)式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線，勾股定理，解題的關(guān)鍵是判斷出△OPB為等邊三角形，得到點(diǎn)P坐標(biāo)．【變式3-1】（2023·河北邢臺(tái)·邢臺(tái)三中?？家荒＃┤鐖D，將兩個(gè)全等的正方形ABCD與APQR重疊放置，若∠BAP=30°，AB=63，則圖中陰影部分的面積是（

A．48 B．54 C．81?183 D．【答案】D【分析】設(shè)CD與PQ交于G，連接AG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AP=AD，∠BAD=∠P=∠D=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PAG=∠DAP=30°，根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)CD與PQ交于G，連接AG，∵四邊形ABCD和正方形APQR是正方形，∴AB=AP=AD，∠BAD=∠P=∠D=90°，∵∠BAP=30°，∴∠PAD=60°，在Rt△APG與RtAP=ADAG=AG∴Rt△APG?∴∠PAG=∠DAG=30°，∵AD=AP=AB=63∴PG=DG=63∴圖中陰影部分的面積=正方形APQR的面積?△APG的面積?△ADG的面積=63故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，AD⊥BD,∠A=30°,BD=3，則?ABCD的面積等于_____________．

【答案】9【分析】根據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半求出AB=6，根據(jù)勾股定理求出AD，計(jì)算出△ABD的面積，即可得解；【詳解】∵AD⊥BD，∠A=30°，BD=3，∴AB=3×2=6，∴AD=A∴S△ABD∴S平行四邊形故答案是：93【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，準(zhǔn)確根據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半求解是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若重疊部分的面積是12cm2，則AB的長(zhǎng)是___________【答案】4【分析】根據(jù)重疊部分的面積求出AC，利用直角三角形30°角的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵∠ACB=∠AED=90°，∴CB∥∴∠AFC=∠D=45°，∴∠DAC=∠AFC=45°，∴AC=CF，∵重疊部分的面積=1∴AC=26∵∠ACB=90°,∠B=30°，∴AB=2AC=46故答案為：46【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，等角對(duì)等邊證明邊相等，直角三角形30°角的性質(zhì)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二勾股定理題型01利用勾股定理求線段長(zhǎng)【例1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖，AB切⊙O于C，點(diǎn)D從C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)OD=2cm，運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)A．5cm B．6cm C．7cm【答案】C【分析】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理，掌握切線性質(zhì)是關(guān)鍵．先證得∠OCD=90°，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵AB切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∵點(diǎn)D從C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CB∴運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)CD=1cm又∵運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)OD=2cm∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC=∵運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)CD長(zhǎng)為2cm∴此時(shí)OD=O故選：C．【變式1-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若直角三角形的三邊的長(zhǎng)是連續(xù)的正整數(shù)，則這樣的直角三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】先設(shè)出直角三角形的三邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理解答即可.【詳解】設(shè)中間的一個(gè)為x，則另兩邊為(x?1)和(x+1)，根據(jù)勾股定理得：(x?1)2解得：x=4或x=0（舍去），∴這樣的直角三角形的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，三邊為3，4，5，故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理及一元二次方程的解法，解答此問題時(shí)，注意連續(xù)整數(shù)的特點(diǎn)，要能夠熟練解方程.【變式1-2】（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=2，AC=23，∠C=30°，則線段BCA．4 B．22 C．4或22 D．2【答案】D【分析】分兩種情況討論：①∠B為銳角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC，分別在Rt△ACD和Rt△ABD中求出CD，BD從而可求出BC；②【詳解】解：分兩種情況討論：①∠B

過點(diǎn)A作AD⊥BC，在Rt△ACD∵AC=23，∠C=30°∴AD=3∴CD=ARt△ABD∵AB=2，AD=3∴BD=A∴BC=BD+CD=1+3=4；②∠B

過點(diǎn)A作AD⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，同①可求得：CD=3，BD=1，∴BC=CD?BD=3?1=2，綜上，BC的長(zhǎng)為2或4，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，含30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是需要注意分情況求解．題型02利用勾股定理求面積【例2】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）若一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形的面積相等，則正三角形與正六邊形的邊長(zhǎng)比為（

）A．6:1 B．1:6 C．3【答案】A【分析】設(shè)正三角形和一個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)分別為a、b．構(gòu)建面積相等構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：設(shè)正三角形邊長(zhǎng)分別為a，如圖，作AD⊥BC于D，

則BD=CD=a2，∴正三角形的面積為12設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)b，同理正六邊形的面積為6×3由題意：3a∴a=6∴a:故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．【變式2-1】（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），點(diǎn)M是⊙P上的一動(dòng)點(diǎn)，那么△ABM面積的最大值為（）

A．64 B．48 C．32 D．24【答案】C【分析】過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接PC，PA易得PC=PA=5，PD=3，然后由垂徑定理，即可求得AD的長(zhǎng)，繼而求得AB的長(zhǎng)，繼而求得答案．【詳解】解：過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，在AB上方，PD與⊙P的交點(diǎn)即△ABM面積最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，連接PC，PA，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3)，∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)C，∴PC=5，PD=3，∴PC=PA=5，DM=PD+PM=8在Rt△PAD中，AD=P∵PD⊥AB，∴AB=2AD=8，當(dāng)點(diǎn)M位于(3,8)時(shí)，△ABM面積最大，最大值為：12故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理．此題難度適中，添設(shè)輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，大等邊三角形中有n個(gè)全等的等邊三角形，若大等邊三角形的面積為S1，n個(gè)小等邊三角形的面積的和為S2，則S1與S

A．S1=n2S2 B．S【答案】B【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)AB=BC=AC=x，則BD=12x，利用勾股定理求出AD=32x，則S1=1【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)AB=BC=AC=x，∴BD=1∴AD=A∴S1由題意得，n個(gè)全等的等邊三角形的邊長(zhǎng)為BCn∴S2∴S1故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確求出S1，S【變式2-3】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=BC=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，則△BDE的面積與△ABC的面積之比為（

A．1:8 B．1:4 C．1:2 D．2:5【答案】A【分析】連接AD，易證△ABC為等邊三角形，從而得出∠BDE=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出BE=12BD，再根據(jù)勾股定理得出DE=32S△ABC【詳解】解：連接AD

∵AB=BC=AC∴△ABC為等邊三角形∴∠B=60°∵DE⊥AB∴∠BDE=30°∴BE=∴DE=∴∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=∴AD=∴S∴△BDE的面積與△ABC的面積之比為故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)、含30度角的直角三角形，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型03已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離【例3】（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3，則AC長(zhǎng)為（

）A．13 B．7 C．5 D．4【答案】A【分析】首先連接OB，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得OB，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB=AC，即可求得AC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖：連接OB，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3，∴OB=又∵四邊形OABC是矩形，∴AC=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線y=14x2與一次函數(shù)y=2x+6交于A，A．202 B．203 C．40【答案】A【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到14【詳解】解：∵拋物線y=14x2與一次函數(shù)∴聯(lián)立y=14x∴x∴AB=======20故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中求線段長(zhǎng)問題，涉及函數(shù)圖像交點(diǎn)問題、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間距離公式及完全平方公式等知識(shí)，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點(diǎn)之間距離公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1,2,B?3,b，當(dāng)線段AB最短時(shí)，bA．2 B．3 C．4 D．0【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得b的值．【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得：AB=(?3?1)當(dāng)b=2時(shí)，AB有最小值，最小值為4．因此當(dāng)b=2時(shí)，AB最短，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)問題、二次函數(shù)的最值，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是3,4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．5,4 B．5,3 C．8,3 D．8,4【答案】D【分析】先利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得OA=5，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB∥OC,AB=OA=5，由此即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,4，∴OA=(3?0)∵四邊形OABC是菱形，∴AB∥OC,AB=OA=5，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+5=8，縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，即為4，即B(8,4)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型04判斷勾股數(shù)問題【例4】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)．《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5，后人簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若某個(gè)此類勾股數(shù)的勾為16，則其弦是_______．【答案】65【分析】根據(jù)題意可得，勾為m(m為偶數(shù)且m≥4，根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意可得，勾為m(為偶數(shù)且m≥4)，則另一條直角邊m22?1則弦為．162故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且32(1)當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，2n，n2?1，(2)當(dāng)n是大于1的奇數(shù)時(shí)，若n，n2?12，x是勾股數(shù)，x>n，x>n2【答案】(1)是，理由見解析；(2)x=n【分析】（1）由2n2+n2?12=（2）由n，n2?12，x是勾股數(shù)，x>n，x>【詳解】（1）解：是理由如下：當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，2n，n2?1，∵2n2∴2n，n2?1，（2）由題意，得x2∵x是正整數(shù)，∴x=n【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的定義，完全平方公式，正確理解勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）我們把滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b(1)當(dāng)b=n+7，c=n+8時(shí)，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示a2，并直接寫出n取何值時(shí)，a(2)當(dāng)b=2n2+2n，c=b+1時(shí)，用含nabc9406061【答案】(1)當(dāng)n=5時(shí)，a為滿足題意的最小整數(shù)5(2)見解析【分析】（1）根據(jù)a2+b2=（2）根據(jù)a2+b2=c2變形式a2=c2?b【詳解】（1）a2把b=n+7，c=n+8代入a2得a2∵n為正整數(shù)，∴當(dāng)n=5時(shí)，滿足題意的最小整數(shù)a=2n+15（2）a2b=2nc=b+1=2na=9，b=40，c=ab=60，c=61，a=c補(bǔ)全勾股數(shù)表如下：abc94041116061【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵.【變式4-3】（2019·山西呂梁·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，解決所提的問題：勾股定理a2+b2=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，我們知道這個(gè)方程有無數(shù)組解，滿足該方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．關(guān)于勾股數(shù)組的研究我國(guó)歷史上有非常輝煌的成就，根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，在約公元前1100年，人們就已經(jīng)知道“勾廣三、股修四、徑隅五”（古人把較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，而斜邊則為弦），即知道了勾股數(shù)組（3，4，5）．類似地，還可以得到下列勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，這些數(shù)組也叫做畢達(dá)哥拉斯勾股數(shù)組．上述勾股數(shù)組的規(guī)律，可以用下面表格直觀表示：觀察分析上述勾股數(shù)組，可以看出它們具有如下特點(diǎn)：特點(diǎn)1：最小的勾股數(shù)的平方等于另兩個(gè)勾股數(shù)的和；特點(diǎn)2：____________________________________．…學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）請(qǐng)你再寫出上述勾股數(shù)組的一個(gè)特點(diǎn)：________________；（2）如果n表示比1大的奇數(shù)，則上述勾股數(shù)組可以表示為（n，______，______）（3）請(qǐng)你證明（2）的結(jié)論．【答案】（1）最小的勾股數(shù)與比它大1的整數(shù)的乘積等于各個(gè)勾股數(shù)的和；（2）n2?12【分析】（1）由3×4=3+4+5，5×6=5+12+13，7×8=7+24+25，……可得最小的勾股數(shù)與比它大1的整數(shù)的乘積等于各個(gè)勾股數(shù)的和，即可得答案；（2）由32?12=4，32+12=5；（3）根據(jù)整式的運(yùn)算得出n2+(n2?12)2=(n【詳解】（1）3×4=3+4+5，5×6=5+12+13，7×8=7+24+25，……∴最小的勾股數(shù)與比它大1的整數(shù)的乘積等于各個(gè)勾股數(shù)的和．故答案為：最小的勾股數(shù)與比它大1的整數(shù)的乘積等于各個(gè)勾股數(shù)的和（2）32?1252?1272?12……∴股數(shù)等于勾數(shù)的平方減1的一半，弦數(shù)等于勾數(shù)的平方加1的一半，∴勾數(shù)為大于1的奇數(shù)時(shí)，股數(shù)等于勾數(shù)的平方減1的一半，弦數(shù)等于勾數(shù)的平方加1的一半，∴n為比1大的奇數(shù)時(shí)，上述勾股數(shù)組可以表示為（n，n2?12故答案為：n2?1（3）∵n=4=n=n2∴（n，n2?12【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類變化及勾股定理，正確得出各數(shù)的變化規(guī)律并熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型05利用勾股定理解決折疊問題【例5】（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，將Rt△ABC沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，tan∠ADCA．2+3 B．2+32 C．3【答案】A【分析】設(shè)BC=x，求得AB=2BC=2x，AC=3x，由折疊的性質(zhì)可知，AE=AC=3x，DE=DC，∠AED=∠BED=∠C=90°，在Rt△BDE【詳解】解：設(shè)BC=x，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴AB=2BC=2x，∴AC=A由折疊的性質(zhì)可知，AE=AC=3x，DE=DC，在Rt△BDE中，D則DC解得DC=2∴tan∠ADC=故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了折疊性質(zhì)、勾股定理、求正切函數(shù)值、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為BC上一點(diǎn)，將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在AB邊上，則折痕AD

A．5 B．34 C．35 D．【答案】C【分析】由勾股定理得AB=10，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到CD=C'D，AC=AC'=6，∠C=∠AC【詳解】解：如圖，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上C'∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=A由折疊的性質(zhì)可知，CD=C'D，AC=A∴∠BC'D=90°設(shè)CD=C'D=x在Rt△BC'∴8?x解得：x=3，即CD=3，在Rt△ACD中，AD=故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解方程，熟練掌握勾股定理和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，將直角邊AC=6cm，BC=8cm的直角△ABC紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于

【答案】7【分析】設(shè)CD=x，先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得到AD=BD，則AD=8?x，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)CD=x，則DE=8?x，∵△BDE是△ADE沿直線DE翻折而成，∴AD=BD=8?x，∵△ACD是直角三角形，∴AC2=A解得x=故答案為：74【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，關(guān)鍵是理清出翻折以后哪些線段是對(duì)應(yīng)相等的，哪些角是對(duì)應(yīng)相等的．題型06勾股定理與網(wǎng)格問題【例6】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上，若BC=2133，則A．13 B．4133 C．213【答案】B【分析】利用勾股定理求出AB，再減去BC可得AC的長(zhǎng)．【詳解】解：由圖可知：AB=62+4∵BC=213∴AC=AB-BC=213?2故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，勾股定理與網(wǎng)格問題，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出線段AB的長(zhǎng)．【變式6-1】（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）

A．101313 B．91313 C．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積和差關(guān)系可求△ABC的面積，由三角形的面積法求高即可．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝22+3∵S△ABC＝3×3﹣12×1×2?1∴12∴13?∴BD＝713故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2021·陜西·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．32 D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)，再利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：BC=4∵SΔABC∴12∴AD=2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型07勾股定理與無理數(shù)【例7】（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將含有30°角的直角三角板ABC放置在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是1，2，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧與點(diǎn)B右側(cè)的數(shù)軸交于D，點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為a，則a的取值范圍是（

）A．2<a<3 B．3<a<4 C．4<a<5 D．5<a<6【答案】B【分析】據(jù)勾股定理求出BC=BD=3，得到AD的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵AB=1,∠ACB=30°，∴AC=2，∴BC=BD=3，∴AD=AB+BD=1+3則a=2+3∵1<3∴3<2+3故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，以1為邊長(zhǎng)的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)在點(diǎn)A處，以點(diǎn)A為圓心，正方形對(duì)角線AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．2 B．2+1 C．2?1 【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求出點(diǎn)P表示的數(shù)即可．【詳解】解：由題意得，AB=1∵數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為?1+2故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，正確求出AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2