第01講 分類加法原理與分步乘法原理（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第01講分類加法原理與分步乘法原理（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第14題,6分分步乘法計(jì)數(shù)原理全排列問題解讀寫出基本事件2023年新I卷，第13題,5分分類加法計(jì)數(shù)原理實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題2023年新Ⅱ卷，第3題,5分分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計(jì)算實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題2023年全國(guó)甲卷（理），第9題,5分分類加法計(jì)數(shù)原理排列數(shù)的計(jì)算2023年全國(guó)乙卷（理），第7題,5分分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用排列數(shù)的計(jì)算實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題2020年全國(guó)乙卷（理），第14題,5分分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用相鄰問題的排列問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握分類加法原理與分步乘法原理的定義2.會(huì)分類加法原理與分步乘法原理在實(shí)際問題中的應(yīng)用及計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會(huì)和排列組合結(jié)合在小題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．分類加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．使用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)三個(gè)注意點(diǎn)(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．(3)對(duì)完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定．應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類和分步．分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復(fù)雜的問題可借助圖表完成．考點(diǎn)一、分類加法原理1．（2023·北京東城·二模）某社區(qū)計(jì)劃在端午節(jié)前夕按如下規(guī)則設(shè)計(jì)香囊：在基礎(chǔ)配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將編號(hào)1，2，3，4的小球放入編號(hào)為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號(hào)不能相同，則不同的放球方法有（

）A．16種 B．12種 C．9種 D．6種1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)）有3名同學(xué)同時(shí)被邀請(qǐng)參加一項(xiàng)活動(dòng)，必須有人去，去幾人自行決定，共有種不同的去法.（用數(shù)字回答）2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有個(gè).考點(diǎn)二、分步乘法原理1．（2023·全國(guó)·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種2．（全國(guó)·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A．24 B．18 C．12 D．91．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某商店共有，，三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種2．（2024·山東菏澤·二模）在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學(xué)決定報(bào)考三所高校，則恰有兩人報(bào)考同一高校的方法共有（

）A．9種 B．36種 C．38種 D．45種3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、B兩個(gè)社區(qū)開展活動(dòng)，其中1人到社區(qū)，則不同的選法有（

）A．12種 B．24種 C．30種 D．60種考點(diǎn)三、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用1．（2024·上?！じ呖颊骖}）設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．2．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）從0，1，2，5中取三個(gè)不同的數(shù)字，組成能被5整除的三位數(shù)，則不同三位數(shù)有（

）A．12個(gè) B．10個(gè) C．8個(gè) D．7個(gè)3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）2024屆高三某次聯(lián)考中對(duì)尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有五名屏蔽生總分在前9名，現(xiàn)在確定第一、二、五名是三位同學(xué)，但不是第一名，兩名同學(xué)只知道在6至9名，且的成績(jī)比好，則這5位同學(xué)總分名次有多少種可能（

）A．6 B．12 C．24 D．481．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）用能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個(gè).A．212 B．213 C．224 D．2252．（23-24高二下·廣東中山·期末）用數(shù)字，，，，，組成的有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（

）種.A．10 B．9 C．8 D．121．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有4個(gè)同學(xué)站成一排，將甲、乙2個(gè)同學(xué)加入排列，保持原來4個(gè)同學(xué)順序不變，不同的方法共有（

）種A．10 B．20 C．30 D．602．（2024·河南·二模）將甲，乙等5人全部安排到四個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人只去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排1人，且甲，乙都不能去工廠，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．108種 C．126種 D．144種3．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實(shí)習(xí)時(shí)，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（

）A．112 B．80 C．64 D．324．（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某班派遣五位同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)街道打掃衛(wèi)生．每個(gè)街道至少有一位同學(xué)去，至多有兩位同學(xué)去，且兩位同學(xué)去同一個(gè)街道，則不同的派遣方法有（

）A．18 B．24 C．36 D．485．（23-24高二下·天津北辰·期中）從0，2，4中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．48 B．30 C．24 D．66．（23-24高二下·廣西桂林·期末）從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從2，4中任取1個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．12 C．18 D．727．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）某外商計(jì)劃在5個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有（

）A．36種 B．60種 C．120種 D．180種8．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質(zhì)飲料中選3瓶進(jìn)行購(gòu)買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買1瓶的買法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）9．（24-25高三上·上海黃浦·階段練習(xí)）若甲、乙兩人從門課程中各選修門，則甲、乙所選修的課程中至少有門相同的選法種數(shù)為.10．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）若從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是.1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）用能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個(gè).A．212 B．213 C．224 D．2252．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)對(duì)它們一一測(cè)試，直至找到所有2件次品為止，若至多測(cè)試4次就能找到這2件次品，則共有（

）種不同的測(cè)試方法．A．114 B．90 C．106 D．1283．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）小張同學(xué)喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個(gè)不同顏色的塑料袋，每個(gè)袋子中至少裝1種奶糖．小張同學(xué)希望任意兩個(gè)袋子所包含奶糖種類不完全相同，且每一種奶糖均要在兩個(gè)袋子中出現(xiàn)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．3000 B．3360 C．1440 D．15604．（23-24高二下·浙江杭州·期中）將5名醫(yī)生分配到三個(gè)社區(qū)協(xié)助開展社區(qū)老年人體檢活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少1人，則不同的分配方法有（

）A．50 B．150 C．240 D．3005．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè)，要求每一側(cè)種植3棵，且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（

）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種6．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）若一個(gè)五位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為3，則這樣的五位數(shù)共有個(gè)．7．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）袋子中有數(shù)字“7”的卡片3張和數(shù)字“2”，“3”，“5”的卡片各1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成個(gè)不同的四位數(shù)（用數(shù)字回答）．8．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）有4人到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為.（用數(shù)字作答）9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）用，，，，，這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第個(gè)數(shù)是．10．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）現(xiàn)有名志愿者報(bào)名參加某項(xiàng)暑期公益活動(dòng)，此項(xiàng)公益活動(dòng)為期兩天，每天從這人中安排人參加，則恰有人在這兩天都參加的不同安排方式有種.1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．203．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．4．（北京·高考真題）從0，2中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為A．24 B．18 C．12 D．65．（全國(guó)·高考真題）5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同報(bào)名方法有（