第19講 圓錐曲線中的光學(xué)性質(zhì)（高階拓展、競賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page圓錐曲線中的光學(xué)性質(zhì)（高階拓展、競賽適用）（3類核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的形式2.理解、掌握圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)問題及其相關(guān)計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解拋物線的光學(xué)性質(zhì)如圖1所示,從拋物線的焦點F發(fā)出的光線,被拋物線反射后,得到的是一系列的與拋物線對稱軸平行(或重合)的光線;如圖2所示,設(shè)拋物線在P處的切線l交對稱軸于點Q,PM⊥上切線l交對稱軸于點M,則焦點F圖1圖2

2.橢圓的光學(xué)性質(zhì)如圖3所示,從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線,被橢圓反射后,必定經(jīng)過另一個焦點;如圖4所示,橢圓在點P處的切線為l,直線PQ⊥l交直線F1F2于點Q,則PQ平分∠F1PF2,由角平分線性質(zhì)定理,P如圖5所示,從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線,被雙曲線反射后,反射光線的反向延長線交于另一個焦點;如圖6所示,雙曲線在點P處的切線/與直線F1F2相交于點Q,則PQ平分∠F1P圖5圖6考點一、橢圓中的光學(xué)性質(zhì)1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義和光的反射定理，以及角平分線定理可得【詳解】由已知得，，由橢圓定義可得，根據(jù)光的反射定理可得為的角平分線，由正弦定理，所以，，又所以即.故選：D.2．（22-23高三·安徽六安·階段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內(nèi)心，記直線OP，PI（O為坐標(biāo)原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為．【答案】33/【分析】根據(jù)橢圓的焦點三角形以及內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點距離公式化簡得，由等面積法可得，由斜率關(guān)系即可代入化簡求值.【詳解】不妨設(shè)點在第二象限，的內(nèi)切圓與各邊的切點分別為,設(shè),則，故，，，由于點在第二象限，，所以，故，，因此，，當(dāng)代入得（負(fù)值舍去），故答案為：3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.已知橢圓：的左?右焦點分別為，，左?右頂點分別為，，一光線從點F1?1,0射出經(jīng)橢圓上點反射，法線（與橢圓在處的切線垂直的直線）與軸交于點，已知，.求橢圓的方程.【答案】【分析】根據(jù)題中所給的性質(zhì)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)、橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的定義知，則.由光學(xué)性質(zhì)可知是的角平分線，所以.因為，所以，得，從而，故橢圓的方程為.1．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）班級物理社團(tuán)在做光學(xué)實驗時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則（

）（注：若的角平分線交于點，則）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由光反射的性質(zhì)易得平分，再由橢圓的定義及已知即可求比例.【詳解】由題設(shè)，則平分，故，而，，則，所以.故選：A2．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）橢圓具有光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓E交與點A，B，過點A作橢圓的切線l，點B關(guān)于l的對稱點為M，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題目所給信息及圖形可得，后由橢圓定義及條件可得，.最后由可得答案.【詳解】如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點共線.設(shè)，則，.故，解得.又，所以，.所以.故選：A.3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）費馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)，如：點為橢圓（為焦點）上一點，則點處的切線平分外角.已知橢圓為坐標(biāo)原點，是點處的切線，過左焦點作的垂線，垂足為，則為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【分析】先求得直線的方程，然后求得直線的方程，進(jìn)而求得點坐標(biāo)，從而求得.【詳解】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入得，整理得，由于直線和橢圓相切，則，整理得，所以直線的方程為，對于橢圓，，所以，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：A

考點二、雙曲線中的光學(xué)性質(zhì)1．（2023·山西·模擬預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線射向上的點后，被反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出點，進(jìn)而求出，利用余弦定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)在第一象限，，，，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于一般題目.2．（21-22高三上·全國·階段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過沿傾斜角120°出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線右支反射，若反射光線的傾斜角為30°，則該雙曲線的離心率為.【答案】【分析】依題意畫出圖形，則，，即可得到，再利用銳角三角函數(shù)及雙曲線的定義計算可得；【詳解】解：設(shè)反射點為，則，，所以，設(shè)，因為，所以，所以，又，所以，即，所以.故答案為：.3．（2023·湖南邵陽·三模）（多選）已知雙曲線C的左?右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點，如圖所示.若雙曲線C的一條漸近線的方程為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線C的方程為B．若，則C．若射線n所在直線的斜率為k，則D．當(dāng)n過點M（8，5）時，光由所經(jīng)過的路程為10【答案】AC【分析】利用雙曲線的漸近線方程及勾股定理，結(jié)合雙曲線的定義及兩點間的距離公式即可求解.【詳解】對于A，由題意可知，因為雙曲線C的一條漸近線的方程為，所以，即，所以雙曲線的方程為故A正確；對于B，由，得，解得，在中，，由勾股定理及雙曲線的定義知，，即，解得，故B錯誤；對于C，由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的性質(zhì)可得射線所在直線的斜率范圍為，故C正確；對于D，由題意可知，，當(dāng)過點時，由雙曲線定義可得光由所經(jīng)過的路程為，故D錯誤.故選：AC.1．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，過雙曲線上任意一點的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點，設(shè)的內(nèi)心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．.【答案】C【分析】利用切線長定理求得直線的方程，再借助雙曲線的切線方程求出點的橫坐標(biāo)，結(jié)合面積關(guān)系求解即得.【詳解】令圓切分別為點，則，，令點，而，因此，解得，又，則點橫坐標(biāo)為，同理點橫坐標(biāo)為，即直線的方程為，設(shè)，依題意，直線的方程分別為：，，聯(lián)立消去得：，整理得，令直線的方程為，于是，即點的橫坐標(biāo)為，因此，所以雙曲線的離心率.故選：C【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）“雙曲線新聞燈”的研制是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點.已知一個“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，其方程為，離心率為，為其右焦點.若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上的點和反射，，為反射光線，且滿足，則.【答案】/【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合解三角形的知識，分別求出、和的各邊長，即可求出，進(jìn)而求出.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，則.因為離心率為，所以，所以.不妨設(shè)，則.因為，所以，把代入，解得：（舍去）.所以.在直角中，.所以.在中，.設(shè)，則.由余弦定理得：,即，把代入解得：.所以.在直角中，.所以.所以.故答案為：.3．（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過的右支上的兩點反射后，分別經(jīng)過點和，其中共線，則（

）A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為B．當(dāng)點的坐標(biāo)為時，光線由經(jīng)過點到達(dá)點所經(jīng)過的路程為6C．當(dāng)時，的面積為12D．當(dāng)時，【答案】ABD【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線的斜率，可得判定A正確；根據(jù)雙曲線的定義，求得由經(jīng)過點到達(dá)點所經(jīng)過的路程，可判定B正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算，得到，得到，設(shè)，列出方程，求得，進(jìn)而可判定C錯誤；在直角中，結(jié)合，可判定D正確．【詳解】如圖所示，過點分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為和，對于A中，由圖可知，當(dāng)點均在的右支時，或，所以A正確；對于B中，光線由經(jīng)過點到達(dá)點所經(jīng)過的路程為，所以B正確；對于C中，由，得，即，所以，設(shè)，則，因為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面積，所以C錯誤；對于D項，在直角中，，所以，所以D正確．故選：ABD．考點三、拋物線中的光學(xué)性質(zhì)1．（2022·福建莆田·三模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，一條平行于x軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線E上的點B反射后，與拋物線E交于點C，若的面積是10，則(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)AB∥x軸知B點縱坐標(biāo)為2p，代入拋物線方程可求B點橫坐標(biāo)，利用B和F求出直線BC的方程，代入拋物線方程消去y可得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)拋物線焦點弦長公式可求BC長度，利用點到直線距離公式可求A到直線BC的距離d，根據(jù)即可求出p．【詳解】由題知拋物線焦點為，AB∥x軸，將y=2p代入得x=2p，則B為(2p，2p)，由題可知B、F、C三點共線，BC方程為：，即，代入拋物線方程消去y得，，設(shè)方程兩根為，則，則，又到BC：的距離為：，∴由得．故選：D．2．（23-24高二上·廣東廣州·期末）（多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標(biāo)原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點Ax1,y1反射后，再經(jīng)上另一點Bx2,y2反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點，則（

）A．當(dāng)時，延長交直線于點，則、、三點共線B．當(dāng)時，若平分，則C．的大小為定值D．設(shè)該拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，則【答案】AD【分析】對AB，可代入條件求出拋物線方程后計算出相應(yīng)的點的坐標(biāo)，A選項驗證三點縱坐標(biāo)可得，B選項中結(jié)合條件得到計算即可得；對CD，設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得出兩點橫縱坐標(biāo)關(guān)系后，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系即可得.【詳解】設(shè)Ax

對AB選項：直線平行于軸，當(dāng)，時，拋物線的方程為，過點，即有，則，即，直線經(jīng)過焦點，直線的方程為，即，由消去x得，由，得，于是，顯然直線的方程為，直線交直線于點，顯然直線軸，由光學(xué)性質(zhì)知，軸，因此、、三點共線，A正確；由光學(xué)性質(zhì)知軸，而軸，則，有，又平分，即，則，于是，即，解得，B錯誤；對CD選項：設(shè)直線的方程為，由消去得：，顯然，則，，，設(shè)，由斜率坐標(biāo)公式得，，于是，即，而不是定值，因此不是定值，C錯誤；點，直線斜率，直線斜率，即，因此，D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.3．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）（多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為為拋物線上兩個動點，且三點不共線，拋物線在兩點處的切線分別為在上的射影點分別為，則（

）A．點關(guān)于的對稱點在上 B．點在上C．點為的外心 D．【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)及定義知，從而的垂直平分線為，的垂直平分線為，即可判斷選項AC，再利用三點共線時，得到點在上和判斷CD.【詳解】如圖：由拋物線定義知，，，根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)知：從F發(fā)出的光線經(jīng)拋物線的反射光線AD、BC與y軸平行，又拋物線在兩點處的切線分別為，結(jié)合平行線性質(zhì)及對頂角相等得，即的垂直平分線為，的垂直平分線為，所以，，所以點為的外心，故選項C正確；點關(guān)于的對稱點在上，故選項A正確；假設(shè)三點共線，設(shè)Ax1,y1，Bx因為，即，所以，所以，，所以的方程分別為，，即，，聯(lián)立，所以，所以，則，所以，說明三點共線時，點才落在，因為三點不共線，所以點不在上，所以選項B錯誤；當(dāng)三點共線時，，當(dāng)時，直線AB方程為，直線FT方程為，此時，當(dāng)時，，此時，故只有三點共線時，才有，因為三點不共線，所以與不垂直，故選項D錯誤.故選：AC【點睛】結(jié)論點睛：拋物線的切線相關(guān)結(jié)論：拋物線C：的焦點為F，直線l過焦點F與拋物線相交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩切線交于點G，則點G在拋物線的準(zhǔn)線上，且GF⊥AB.1．（2023·江西·模擬預(yù)測）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點．用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸與軸重合，頂點與原點重合，如圖，若拋物線的方程為，平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過上的點反射后，再從上的另一點射出，則（

）

A．6 B．8 C． D．29【答案】C【分析】依題意設(shè)，代入拋物線方程，求出，即可得到直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程求出點坐標(biāo)，即可求出.【詳解】由，可得的縱坐標(biāo)為，設(shè)，則，解得，由題意反射光線經(jīng)過拋物線的焦點，所以直線的方程為，整理可得，由消去整理得，解得，，則，所以，所以.故選：C2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點是，鏡銅可以很短而觀察天體運動又很清楚．某天文儀器廠設(shè)計制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個分支．已知是雙曲線的兩個焦點，其中同時又是拋物線的焦點，且，的面積為10，，則拋物線方程為．

【答案】【分析】設(shè)，由，解出得點坐標(biāo)，結(jié)合得拋物線方程.【詳解】以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．由，則有，解得，又，解得，，則有，故拋物線方程為．故答案為：3．（23-24高三上·山東濱州·期末）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標(biāo)原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一個點反射，沿直線射出，經(jīng)過點，則（

）A．B．C．延長交直線于點，則，，三點共線D．若平分，則【答案】BCD【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得出兩點縱坐標(biāo)關(guān)系后可判斷A；由選項A求出點可得可判斷B；結(jié)合題意求得，由的橫坐標(biāo)相同得三點共線可判斷C；由平分，根據(jù)平面幾何的知識可證得，可判斷D.【詳解】對于A，由題意點，解得，即點，拋物線焦點F0,1所以直線的方程為，即，將其代入可得，由韋達(dá)定理可得到，故A錯誤；對于B，由知，因為，所以，代入可得，解得：，所以，所以，故B正確；對于C，易得的方程為，聯(lián)立，故，又軸，所以三點的橫坐標(biāo)都相同，則三點共線，故C正確；對于D，若平分，所以，又因為軸，軸，所以，故，所以，則，故，，則，故D正確.故選：BCD.一、單選題1．（23-24高二上·福建福州·期中）班級物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實驗時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由入射光線與反射光線的關(guān)系，結(jié)合角平分線定理可解.【詳解】由橢圓定義可得，由光學(xué)性質(zhì)可知，為的角平分線，所以.故選：C2．（2022·新疆·三模）拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質(zhì)在實際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛．如圖所示，從拋物線的焦點F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸的夾角均為，且兩條反射光線和之間的距離為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】依題意設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，即可求出，同理求出，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：可設(shè)，與聯(lián)立消元得，解得、，∴，同理，與聯(lián)立消元得，解得、，∴，∴，∴故選：C3．（23-24高二上·山東青島·期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo)即得.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，由點在拋物線上，則，直線方程為：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，所以的周長為.故選：D

4．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點和．且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，由雙曲線的定義可得，，在直角三角形中，在中，運用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理和余弦定理，化簡整理，結(jié)合離心率公式，可得所求值．【詳解】解：設(shè)，，由雙曲線的定義可得，，由，可得，在直角三角形中，，①，②在中，可得③由①②可得，，代入③可得，即為，則，故選：D．5．（22-23高二下·貴州·階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，拋物線內(nèi)部平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，一條光線沿射出，經(jīng)過拋物線上的點（異于點）反射，反射光線經(jīng)過點，若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立其與拋物線方程求出，代入拋物線方程可求出，再運用拋物線焦點弦公式可得，解方程即可.【詳解】如圖所示，，設(shè)，，直線AB的方程為，，則，解得：，將代入得，又因為，即：，即：，又因為，所以，即：，所以拋物線方程為.故選：B.6．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】使用題設(shè)條件得到的比值，然后引入?yún)?shù)并得到等量關(guān)系，最后使用余弦定理即可得到齊次方程并求解.【詳解】連接，根據(jù)題意，三點共線，三點共線.而，且由知，故.所以，故可設(shè)，，.由于，故.從而，，故，.而，結(jié)合余弦定理得.故，解得，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于在求得線段間比例后引入?yún)?shù)，方便后續(xù)的研究.7．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過點，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點睛】方法點睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.二、多選題8．（23-24高二上·湖北武漢·期末）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光的反向延長線經(jīng)過另一個焦點．如圖，已知雙曲線為雙曲線的左、右焦點．某光線從出發(fā)照射到雙曲線右支的點，經(jīng)過雙曲線的反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過．雙曲線在點處的切線與軸交于點，且反射光線所在直線的斜率為．則以下說法正確的是（

）

A．點到直線和直線的距離相等B．C．雙曲線的離心率為2D．若過點的直線與雙曲線交于兩點，則點不可能是線段的中點．【答案】ABD【分析】對于A，可由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)得到為的角平分線；然后由角平分線的性質(zhì)以及雙曲線定義求出和可判斷B；再由直線的斜率求出,根據(jù)余弦定理判斷C；對于D，假設(shè)直線存在，利用點差法導(dǎo)出矛盾.【詳解】對于A：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，為的角平分線，故A正確；對于B：由角平分線性質(zhì)可知，又，解得，，故B正確；對于C：設(shè)，由直線的斜率為可得，又，解得，由余弦定理可知，整理得：解得或(舍去)，故C錯誤；對于D：假設(shè)存在滿足條件的直線AB，設(shè)，由可知點的坐標(biāo)為，為AB中點可知，，把點的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，，兩式作差得，等式右邊等于0，等式要想成立只能左邊也等于0，即，因為，此時兩點關(guān)于軸對稱，即AB垂直于軸，顯然AB與雙曲線不相交，不滿足題意，故D正確；故選：ABD9．（2023·湖南長沙·模擬預(yù)測）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．點關(guān)于x軸的對稱點在直線上C．直線與直線相交于點D，則A，O，D三點共線D．直線與間的距離最小值為4【答案】ACD【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，然后利用韋達(dá)定理即可求出和直線與間的距離，從而可確定AD兩項；表示出直線和的斜率即可確定C項；假設(shè)B項正確反推條件，從而可確定B項.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB過拋物線的焦點，

設(shè)直線AB的方程為，將直線AB的方程代入中，得，所以由韋達(dá)定理得，，所以，故選項A正確；若點關(guān)于x軸的對稱點在直線上，則，所以，即，不一定成立，故不合題意，選項B錯誤；直線與相交于點，所以直線OD的斜率為，又直線OA的斜率為，所以，所以A，O，D三點共線，故選項C正確；直線與間的距離，當(dāng)時，d取最小值4，故選項D正確；故選：ACD.10．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點反射，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B． C． D．與之間的距離為5【答案】ABD【分析】利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得，即可計算出B正確；聯(lián)立直線與拋物線方程可得A正確；由拋物線定義可得C錯誤，根據(jù)與兩直線平行可得D正確.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過拋物線的焦點，又是水平的，所以可得，因此，即選項B正確；易知直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線，消去可得，由韋達(dá)定理可知，故A正確；由可得，所以點的坐標(biāo)為，利用拋物線定義可知，即C錯誤；因為與兩直線平行，所以與之間的距離為，即D正確.故選：ABD11．（2023·河南·模擬預(yù)測）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對稱軸與x軸重合，頂點與原點重合.若拋物線C：的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，一條平行于x軸的光線從點M射入，經(jīng)過C上的點反射，再經(jīng)過C上另一點反射后，沿直線射出，則（

）

A．C的準(zhǔn)線方程為B．C．若點，則D．設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點為N，則點N在直線上【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定B錯誤；根據(jù)，求得，可判定C錯誤；由，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，所以A正確；由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過焦點F，且斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以B錯誤；若點，則，所以，所以，，所以，所以C錯誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點N在直線上，所以D正確.故選：AD.

12．（2023·河北保定·一模）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個焦點．假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個焦點出發(fā)，到首次回到該焦點所經(jīng)過的路程可能為（

）A．2 B．8 C．10 D．12【答案】ACD【分析】根據(jù)已知，光線自出發(fā)，可以沿方向傳播，也可以沿方向傳播，也可以不沿軸傳播.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，分別得出光線傳播的路徑，結(jié)合橢圓的定義，即可得出答案.【詳解】設(shè)橢圓左焦點為，右焦點為，左頂點為，右頂點為.由已知可得，，，所以.①當(dāng)光線從出發(fā)，沿方向傳播，到達(dá)后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，第一次經(jīng)過，此時所經(jīng)過的路程為，故A項正確；②當(dāng)光線從出發(fā)，沿方向傳播，到達(dá)后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，過點后，繼續(xù)傳播第一次經(jīng)過，此時所經(jīng)過的路程為，故C項正確；③當(dāng)光線從出發(fā)后，不沿軸傳播，如圖2光線開始沿傳播，到達(dá)點后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，過點后，繼續(xù)傳播到達(dá)點后，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，光線沿方向傳播，第一次經(jīng)過，此時所經(jīng)過的路程為.根據(jù)橢圓的定義可知，，，所以，故D項正確.故選：ACD.13．（2023·湖北·模擬預(yù)測）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點，則（

）A．的漸近線方程為 B．C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為【答案】ABD【分析】對于A選項，求出雙曲線的漸近線，故A正確；對于B選項，證明為雙曲線的切線，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，AM平分，故B正確；對于C選項，延長，與的延長線交于點，則AH垂直平分，即點為的中點．又是的中點，求出，故C錯誤；對于D選項，利用基本不等式求出四邊形面積的最小值為，故D正確.【詳解】對于A選項，由已知可得，，∴C的漸近線方程為，故A正確；對于B選項，由題意得，AM的直線方程為，所以，∴為雙曲線的切線，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，AM平分，故B正確；對于C選項，延長，與的延長線交于點，則AH垂直平分，即點為的中點．又是的中點，∴，故C錯誤；對于D選項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．∴四邊形面積的最小值為，故D正確.故選：ABD．14．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過（如圖1）；當(dāng)異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分（如圖2）.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時，的面積為C．當(dāng)時，若，則雙曲線的離心率為D．存在點，使雙曲線在點處的切線經(jīng)過原點【答案】ABC【分析】利用直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷A，利用雙曲線的定義求解焦點三角形面積判斷B，構(gòu)造齊次方程求解離心率判斷C，利用反證法判斷D即可.【詳解】因為雙曲線的方程為，所以漸近線方程為，對于A選項，因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，故A正確；對于B選項，由雙曲線的定義知，，若，則因為，所以，解得，所以的面積為，故B正確；對于C選項，當(dāng)時，因為，，，，所以，求得，故C正確；對于D選項，假設(shè)雙曲線在點處的切線經(jīng)過原點，因為平分，由角分線定理知，，所以，又，所以假設(shè)不成立，故D錯誤；故選：ABC.三、填空題15．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）費馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．點P為橢圓（，為焦點）上一點，點P處的切線平分外角．已知橢圓，O為坐標(biāo)原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則線段的長為．【答案】【分析】先求得直線l的方程，然后求得直線的方程，進(jìn)而求得M點坐標(biāo)，進(jìn)而求解.【詳解】由題意，設(shè)直線l的方程為，即，聯(lián)立，整理得，所以，解得，所以直線l的方程為，對于橢圓，，，則，即，，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，則.故答案為：.

16．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲線的方程為，其左、右焦點分別是，，直線與橢圓切于點，且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點，則【答案】【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，運用橢圓的定義和光線反射定律，以及角平分線定理和橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分，可得，即可得到所求值．【詳解】曲線C的方程為，即，即有，，由橢圓的定義可得且，過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點M，結(jié)合光線的反射定律可得為的角平分線，即有．故答案為：17．（23-24高二上·河北張家口·期末）圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學(xué)性質(zhì).我們知道，拋物線的光學(xué)性質(zhì)是平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后匯聚于其焦點；雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.卡式望遠(yuǎn)鏡就是應(yīng)用這些性質(zhì)設(shè)計的.下圖為卡式望遠(yuǎn)鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡，副鏡是雙曲線左支的旋轉(zhuǎn)面型凸雙曲面鏡，主鏡對應(yīng)拋物線的頂點與副鏡對應(yīng)雙曲線的中心重合，當(dāng)平行光線投射到主鏡上時，經(jīng)過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點處，但光線尚未匯聚時，又受到以為焦點的凸雙曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個焦點處.以的中點為原點，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.若米，凹拋物面鏡的口徑為米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡的中央孔洞，則孔洞直徑最小為米.【答案】【分析】根據(jù)拋物線C的焦點坐標(biāo)為，求得其方程；根據(jù)，求得的坐標(biāo)，由，