2023年河南開封二模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2023年河南開封二?！?shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.－2023的絕對值是（）A．－2023B．12023C．?1D．20231.D【解析】|－2023|＝2023.2.“一片甲骨驚天下”，甲骨文是我國目前發(fā)現(xiàn)最早的文字，其圖畫性強的特點非常明顯．下列甲骨文圖畫是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．2.D【解析】選項A、B、C的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．選項D的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．3.世界最大的單口徑球面射電望遠鏡被譽為“中國天眼”，在其新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中有一顆毫秒脈沖星的自轉(zhuǎn)周期為0.00519秒．數(shù)據(jù)0.00519用科學記數(shù)法可以表示為（）A．5.19×10－2 B．5.19×10－3C．0.519×10－2 D．0.519×10－33.B【解析】0.00519＝5.19×10－3．4.下列運算正確的是（）A．4=±2 B．（ab2）3＝a3bC．5a2－3a2＝2a2 D．（a－b）2＝a2－b24.C【解析】4=2，故A選項不符合題意；（ab2）3＝a3b6，故B選項不符合題意；5a2－3a2＝2a2，故C選項符合題意；（a－b）2＝a2－2ab+b2，故D選項不符合題5.將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示擺放在直尺上，若∠1＝30°，則∠2等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°5.B【解析】如圖所示，∵∠ACE＝∠1+∠CDE，∠ACE＝90°，∠1＝30°，∴∠CDE＝60°，∵AB∥DE，∴∠2＝∠CDE＝60°．6.不等式組

?x+2＞0A．B．C．D．6.A【解析】?x+2＞0①3x?2≤7②，解①得x7.下列條件中能判定一個平行四邊形為矩形的是（）①對角線互相平分②對角線互相垂直③對角線相等④一組鄰邊相等⑤一個角為直角A．①④ B．②④ C．①② D．③⑤7.D【解析】①兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；③對角線相等的平行四邊形是矩形；④一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；⑤一個角是直角的平行四邊形是矩形．∴能判定一個平行四邊形為矩形的是③⑤.8.若關(guān)于x的一元二次方程（k－1）x2+4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜5 B．k＞5C．k≤5，且k≠1 D．k＜5，且k≠18.D【解析】根據(jù)題意得k－1≠0且b2-4ac＝42－4（k－1）×1＞0，解得k＜5，且k≠1．9.如圖，在平面直角坐標系中，按如圖所示放置正方形OABC，D為OA上一點，其坐標為D（1，2）．將正方形OABC繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)2023秒后點D的對應(yīng)點D'的坐標為（）A．（2，1） B．（－2，1） C．（－1，－2） D．（－1，2）9.B【解析】∵正方形OABC繞坐標原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)90°，∴旋轉(zhuǎn)4秒恰好旋轉(zhuǎn)360°．∵2023÷4＝505……3，∴旋轉(zhuǎn)2023秒，即點D旋轉(zhuǎn)了505圈后，又旋轉(zhuǎn)了3次．∵3×90°＝270°，∴此時點D對應(yīng)的位置即如圖中點

D′所在的位置，過點D，D'分別作DE⊥x軸于點E，D'F⊥x軸于點F，∴∠D′FO＝∠OED＝90°，∴∠EOD+∠EDO＝90°，∵四邊形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，∴∠FOD′+∠DOE＝90°，∴∠D′OF＝∠ODE．在△D′OF和△DOE中，

∠D′FO=∠OED∠D′OF=∠ODEOD=OD′，∴△D′FO≌△OED（AAS），∵點D的坐標為（1，2），∴OF＝DE＝2，D10.如圖，等邊△ABC的邊長為1，D是BC邊上的一動點，過點D作AB邊的垂線，交AB于點G，設(shè)線段AG的長度為x，△GBD的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象正確的是（）A．

B．

C．

D．10.A【解析】當

12≤x≤1時，BG＝1－x，DG

=3（1－x），y

=12BG?DG

=12?（1－x）?

3（1－x）

=32x2

二、填空題11.請寫出一個小于

5的正整數(shù)

．11.1（答案不唯一）【解析】∵

4＜5＜9，∴2

＜5＜3，∴12.化簡（a

?b2a）÷a+12.a－b【解析】（a

?b2a）÷a+ba=13.如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、B，轉(zhuǎn)盤分成3個大小相同的扇形，甲乙兩個人做游戲，游戲規(guī)則：轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次，當轉(zhuǎn)盤停止后，指針所在區(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)時甲獲勝：數(shù)字之和為奇數(shù)時乙獲勝，若指針落在分界線上，則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，甲獲勝的概率是

．13.5【解析】畫樹狀圖如下，由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中指針所在區(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有5種，∴甲獲勝的概率是

5914.如圖，扇形AOB的圓心角∠AOB＝60°，半徑OA＝4，點P為扇形內(nèi)一點，且OP⊥BP，延長OP交

AB?于點C，當AP+BP取最小值時，則圖中陰影部分的周長為14.6－2

3+【解析】如圖，由題意可知，當A、P、B共線時，AP+PB取最小值，∵OP⊥BP，OA＝OB，∴AP＝BP，∠BOP

=12∠AOB＝30°，∵AO＝4，∴

BC?的長

=30π×4180=23π，∵∠AOB＝60°，AO＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝4，OP

=32AO，∴OP＝2

3，PB

=12AB＝2，∴PC＝OC－PO＝4－2

3，∴陰影的周長

15.如圖，Rt△ABC中∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點D為邊AC上的中點，點E為邊BC上一個動點，將∠C沿DE折疊，點C的對應(yīng)點為點F，DF交△ABC

的直角邊于點G，當點G為直角邊的中點時，則BE長為

．15.32或

【解析】分兩種情況：①如圖①，當點G是直角邊AB的中點，∵點D是AC的中點，∴DG是△ABC的中位線，∴DG∥CB，∴∠FDE＝∠CED，∵△FDE是由△CDE折疊得到的，∴∠CDE＝∠FDE，∴CE＝CD，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴由勾股定理，得AC

=AB2+BC2=3∴BE＝BC－CE＝BC－CD＝4

?52=32；②如圖②，當點G是直角邊BC的中點，則CG＝BG

=12BC＝2，∵點D是AC的中點，∴DG是△ABC的中位線，∴DG

=12AB

=32，DG∥AB，∵∠B＝90°，∴∠DGC＝90°，∴∠FGE＝90°，△EFG是直角三角形，∴DF＝CD

=52，EF＝EC＝CG－EG＝2－EG，∴FG＝DF－DG

=52?32=1，在Rt△EFG中，由勾股定理，得EF2＝EG2+FG2，即（2－EG）2＝EG2+12，解得EG

=34，答案圖①

答案圖②三、解答題16.（1）計算：

|1（2）解方程：

1x16.解：（1）原式=

2?1－2

×

=2?1

＝2；（2）

1x

1x+

3＝2x－3（x+1），

x＝－6，檢驗：當x＝－6時，3（x+1）≠0，∴x＝－6是原方程的根．17.為弘揚勞動精神，提升勞動技能，某校開展了“勞動教育”主題活動，活動結(jié)束后，隨機抽取20名學生每周的勞動時間情況進行了調(diào)查統(tǒng)計，并將統(tǒng)計結(jié)果進行收集、整理和分析，給出部分信息如下：收集數(shù)據(jù)：學生每周參與勞動時間t（單位：分鐘）：15，25，20，80，90，95，25，30，35，40，45，50，60，45，40，50，50，60，70，75．整理數(shù)據(jù)：列出頻數(shù)分布表如下：分組范圍頻數(shù)A0≤t＜201B20≤t＜405C40≤t＜607D60≤t＜804E80≤t＜100根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）請把上面的頻數(shù)分布表中的空白處和頻數(shù)分布直方圖補充完整；（2）在本次調(diào)查中，眾數(shù)為

，中位數(shù)為

；（3）若該年級有500名學生，試估算調(diào)查中每周勞動時間不低于1小時的人數(shù)；（4）若要求學生每周勞動時間不低于1小時．請根據(jù)以上信息提出一條合理化建議．17.解：（1）E組頻數(shù)為：20－1－5－7－4＝3，補全頻數(shù)分布直方圖如下：頻數(shù)分布表中的空白處為3；（2）50，47.5；【解法提示】本次調(diào)查中，50出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)為50，把隨機抽取20名學生每周的勞動時間從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)是45和50，∴中位數(shù)為

45+50（3）500×7答：調(diào)查中每周勞動時間不低于1小時的人數(shù)約175名；（4）建議學校多組織有關(guān)勞動教育的活動，提高勞動技能．（答案不唯一）．18.家用電滅蚊器的發(fā)熱部分使用了PTC發(fā)熱材料，電阻R（單位：kΩ）隨溫度t（單位：℃）（在一定范圍內(nèi)）變化而變化，通電后該表記錄了發(fā)熱材料溫度上升到30℃的過程中，發(fā)現(xiàn)電阻與溫度有如下關(guān)系：t（℃）10152030R（kΩ）6432（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在圖中描出實數(shù)對（t，R）的對應(yīng)點，猜測并確定R與t之間的函數(shù)表達式并畫出其圖象；（2）當t≥30時，R與t間的函數(shù)表達式為R

=415t－6．在圖中畫出該函數(shù)（3）根據(jù)以上信息，家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在什么范圍內(nèi)發(fā)熱材料的電阻不超過6kΩ．18.解：（1）由題意得，當10≤t≤30時，設(shè)R和t的函數(shù)的表達式為R=把（10，6）代入R=kt

中，解得k∴反比例函數(shù)的表達式為R=畫出其圖象如下：（2）∵當t≥30時，R與t間的函數(shù)表達式為R

=415t－∴當t＝30時，R＝2；當t＝45時，R＝6．∴（30，2），（45，6）在函數(shù)R

=415t－∴畫出函數(shù)圖象如圖所示；（3）根據(jù)圖上信息，家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在10°C≤t≤45°C

時發(fā)熱材料的電阻不超過6kΩ．19.開封電視塔位于黃河大街中段，是河南省第二座建成的電視塔，是市內(nèi)最高建筑物．某數(shù)學活動預測量電視塔的高度，設(shè)計了如下的測量方案：課題測量電視塔AB的高度實物圖

測量工具卷尺、測角儀……測量示意圖

說明AB表示電視塔，點C，E，B在同一直線上，測角儀的高度CD＝EF＝1.5m測量數(shù)據(jù)測量項目第一次第二次平均值∠ADF的度數(shù)33.05°32.95°33°∠AFG的度數(shù)45.07°44.93°45°D，F(xiàn)之間的距離143.60m143.40m143.50m參考數(shù)據(jù)sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65請幫助該小組的同學根據(jù)該表中測量數(shù)據(jù)的平均值，計算出電視塔的高度．（結(jié)果精確到0.1m）19.解：如圖，延長DF交AB于點G，由題意得，CD＝EF＝1.5m，DF＝143.50m，四邊形EFGB為矩形．∵∠AGD＝90°，∠AFG＝45°∴∠FAG＝45°＝∠AFG，∴FG＝AG，在Rt△ADG

中，∠AGD＝90°，∠ADG＝33°，tan∠ADG

=A∴DG

≈A∵DF＝DG－FG，∴

AGtan∴AG

≈266.50m，∴AB＝AG+BG＝266.50+1.5=268.0m，答：電視塔的高度AB約為268.0m．20.花生糕是開封市的一種名吃，香甜利口，含口自化，令人回味無窮，深受老百姓喜愛．已知甲，乙兩店都以20元/盒的價格銷售同一種花生糕，且同時做優(yōu)惠活動.甲店：辦理本店會員卡（50元/張），可享受每盒七折銷售；乙店：購買一定數(shù)量的花生糕后，超過的部分打折銷售．活動期間，若游客購買花生糕x盒，在甲，乙兩店所需費用分別為

y1元、

y2元，

y2與x間的函數(shù)圖象如圖（1）分別求出

y1、

y2與x間的函數(shù)（2）當游客購買多少盒花生糕時，兩家店花費一樣；（3）若游客準備購買18盒花生糕，你認為在哪家店購買更劃算？20.解：（1）由題意得

y1＝50+0.7×20x＝14x+50由圖可知，當0≤x≤10時，設(shè)

y2＝kx（k

≠將（10，200）代入上式，200＝10x，解得x＝20，∴

y2＝20x當x＞10時，設(shè)

y2＝k'x+b'（k'≠0由題意得

10k解得

k’∴

y2＝12x+80綜上，

y1與x間的函數(shù)關(guān)系式為

y1＝14x+50，y2與x間的函數(shù)關(guān)系式為

（2）由題意得，14x+50＝20x或14x+50＝12x+80，解得

x=253

或x∵x為整數(shù)，∴x＝15，故當顧客購買15盒花生糕時，在兩家店的花費一樣；（3）當x＝18時，

y1＝14×18+50＝302y2＝12×18+80＝296∴

y2＜

y∴在乙店購買更劃算．21.如圖①是清明上河園中的日晷，它是古代的計時儀器．日晷的表面是以點O為圓心的圓形，OA為某時刻晷針的影長，示意圖如圖②所示，AO的延長線交⊙O于點E，與DB交于點B，BD與⊙O相切于點D，連接DE，過點O作OC∥DE交⊙O于點F．交BD的延長線于點C．（1）求證：∠A＝∠C；（2）若點F為OC的中點，⊙O的半徑為2，求BE的長．21.（1）證明：如圖，連接OD，∵直線BC與⊙O相切于點D，∴OD⊥BC，∠CDO＝∠BDO＝90°，∴∠EDO+∠EDB＝90°．∵AE為圓O直徑，∴∠EAD+∠AED＝90°．∵EO＝DO，∴∠ODE＝∠DEO．∴∠DAE＝∠BDE，∵DE∥OC，∴∠C＝∠BDE．∴∠A＝∠C；（2）解：∵BC是⊙O的切線，點F是OC的中點，OD＝2，在Rt△ODC中，OD＝2，OC＝4，由勾股定理得，

DC∵sin∠C

=O∴∠C＝∠DAE＝∠BDE＝30°．∵∠ADE＝90°，∠DAE＝30°，∴∠DEA＝60°．∵OE＝OD＝2，∴DE＝OE＝OD＝2．∵∠DEA＝∠B+∠BDE，∴∠B＝30°,∴∠B＝∠EDB．∴BE＝ED＝2．即BE的長為2．22.如圖，拋物線y＝－x2－bx+c與x軸，y軸分別交于點A（5，0），B（0，5），點C為拋物線的頂點．（1）求拋物線的表達式及頂點C的坐標；（2）設(shè)點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點D，平移原拋物線，設(shè)新拋物線的頂點為點M，使點M始終在射線CB上，過點D作DE∥y軸交x軸于點E，若新拋物線的對稱軸為直線x＝m，當新拋物線與線段DE有交點時，求m的取值范圍．22.解：（1）將點A（5，0）、B（0，5）代入

y＝－x2－bx+c

中，得

?25解得

b=∴該拋物線的表達式是

y＝－x2+4x+5＝－（x－2）2+9，∴拋物線的頂點C的坐標為（2，9）；（2）∵拋物線的頂點C的坐標為（2，9），B（0，5），設(shè)直線BC的表達式為y＝kx+b1(k≠0)，將點C（2，9），B（0，5）代入y＝kx+b1中，2k解得k=∴直線BC的表達式為y＝2x+5，∵拋物線的頂點坐標在射線CB上，∴設(shè)平移后的新拋物線的頂點M的坐標為（m，2m+5）（m

≤2則平移后的新拋物線的表達式為y＝－（x－m）2+2m+5，由題意得，點D、E坐標分別為（4，5），（4，0），∴平移后的新拋物線與線段DE只有一個交點，∴當經(jīng)過點D時，－（4－m）2+2m+5＝5，解得m＝2或m＝8（舍去），當經(jīng)過點E時，－（4－m）2+2m+5＝0，解得

m=5?14∴m的取值范圍為

5?23.下面是某數(shù)學興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線討論片段，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．活動探究小明：如圖①，可以用尺規(guī)作圖；①分別以點A，B為圓心，以大于

12AB長為半徑作弧，兩弧相交于C②作直線CD，CD就是所求作的直線．小剛：我認為小明的作圖方法很好，但是這四條弧可以半徑不一樣，如圖②；①分別以點A，B為圓心，以大于

12AB長為半徑作弧，兩弧在AB②分別以點A，B為圓心，改變半徑的大小，仍保證大于

12AB的長為半徑作弧，兩弧在AB的下方相交于Q③作直線PQ．PQ就是所求作的直線．（1）小剛作圖得到的直線PQ是線段AB的垂直平分線嗎？請作出判斷，并說明理由．拓展應(yīng)用（2）如圖③，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以A，D為圓心，以大于

12AD長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：四邊形AEDF問題解決（3）小剛在作圖中發(fā)現(xiàn)（如圖④所示），像這樣滿足PA＝PB，QA＝QB的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．如圖⑤在Rt△ABC中，