高等數(shù)學(xué)（工科類）課件匯 蒲冰遠(yuǎn) 第6-10章 向量與空間解析幾何 -數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) - 副本

新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）情景與問題圖6-1分析數(shù)控機(jī)床坐標(biāo)系用右手笛卡兒坐標(biāo)系作為標(biāo)準(zhǔn)確定.對(duì)于數(shù)控車床而言，通常把傳遞切削力的主軸定為Z軸，其中遠(yuǎn)離工件的裝夾部件方向?yàn)閆軸的正方向，接近工件的裝夾部件方向?yàn)閆軸的負(fù)方向.X軸一般平行于工件裝夾面且垂直于Z軸.X軸在工件的徑向上，且平行于橫向滑座，刀具遠(yuǎn)離工件旋轉(zhuǎn)中心的方向?yàn)閄軸的正方向，刀具接近工件旋轉(zhuǎn)中心的方向?yàn)閄軸的負(fù)方向.最后根據(jù)右手定則確定Y軸的正方向，如圖6-1所示.引例1數(shù)控機(jī)床是指采用數(shù)字控制技術(shù)對(duì)機(jī)床的加工過程進(jìn)行自動(dòng)控制的一類機(jī)床.由于數(shù)控機(jī)床的加工是由程序控制完成的，所以坐標(biāo)系的確定與使用非常重要.試了解數(shù)控機(jī)床的坐標(biāo)系確定標(biāo)準(zhǔn).引例2學(xué)校新購置了一批投影儀，需要在教室內(nèi)進(jìn)行安裝，教室長16m、寬8m、高3m.若綜合各種因素，該批次投影儀的最佳投影距離（即投影儀與幕布中心的距離）為5m,且投影儀安裝后支架與墻頂距離為20cm，試問投影儀吊裝到屋頂墻面的什么位置最好？分析

假設(shè)幕布的中心就在教室墻面的正中心，投影儀安裝應(yīng)該在教室屋頂墻面的豎向中心線上.要達(dá)到最佳投影距離，就應(yīng)滿足安裝后投影儀與幕布中心的距離恰好為5m.顯然，教室是空間立體結(jié)構(gòu)，需要考慮如何計(jì)算投影儀和幕布中心兩者間的最佳距離，最終求解出投影儀的最佳安裝位置.下面，我們就通過對(duì)空間直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)來解決如上類似問題.抽象推理6.1.1空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)過空間定點(diǎn)

作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以

為原點(diǎn)且具有相同的長度單位，這三條互相垂直的數(shù)軸分別叫做

軸、

軸和

軸，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，

稱為坐標(biāo)原點(diǎn).坐標(biāo)軸的正向符合右手規(guī)則(見圖6-2)：即以右手拇指指向

軸正向，其余四指從

軸的正向旋轉(zhuǎn)

角度正好轉(zhuǎn)到

軸的正向.這樣就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，稱為右手直角坐標(biāo)系，也稱為

坐標(biāo)系，記作圖6-2在空間直角坐標(biāo)系中，任意兩條坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面，稱作坐標(biāo)面，即面、面、面.這三個(gè)坐標(biāo)面將空間分割成八個(gè)部分，每一個(gè)部分稱作一個(gè)卦限，如圖6-3所示.設(shè)為空間任意一點(diǎn)，過分別作垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸的平面，與三個(gè)坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)、和，這三個(gè)點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為、和，則點(diǎn)唯一確定了有序數(shù)組、和，用表示.反過來，如果給定一有序數(shù)組，和它們分別對(duì)應(yīng)軸、軸和軸上的點(diǎn)、和，過這三點(diǎn)分別作三個(gè)坐標(biāo)軸的垂面，則這三個(gè)平面相交于唯一點(diǎn).這樣,空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.稱為點(diǎn)的坐標(biāo)，其中三個(gè)數(shù)、和分別稱為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)．比如，原點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸、軸和

軸上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、和.、和平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、和，如圖6-4所示.圖6-4圖6-36.1.2空間兩點(diǎn)間距離公式設(shè)和是空間兩已知點(diǎn)，分別過和作平行于三個(gè)坐標(biāo)面的平面，這六個(gè)平面圍成一個(gè)以為對(duì)角線的長方體，如圖6-5所示.假設(shè)之間的距離為，則于是空間兩點(diǎn)間的距離公式為：圖6-5拓展：歐式距離也稱歐幾里得距離，以古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得命名，是最常見的距離度量，衡量的是多維空間中兩個(gè)點(diǎn)之間的絕對(duì)距離，也是我們直觀的“兩點(diǎn)之間直線最短”的直線距離。二維空間中的歐式距離就是平面兩點(diǎn)之間的距離，公式為：

三維空間中的歐式距離的就是空間兩點(diǎn)之間的距離，公式為：

推廣到維空間，若兩點(diǎn)間坐標(biāo)為和，則歐式距離公式就是：

例1

求兩點(diǎn)

，

之間的距離.解例2設(shè)點(diǎn)在軸上，它到的距離為到點(diǎn)距離的倍，求點(diǎn)的坐標(biāo).解因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意有以，，于是

故所求點(diǎn)為或探究：北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是國家重大科技工程，工程自1994年啟動(dòng)，2000年完成北斗一號(hào)建設(shè)，2012年完成北斗二號(hào)建設(shè)，2020年北斗三號(hào)建成并開通服務(wù).至此，我國成為世界上第三個(gè)獨(dú)立擁有全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的國家.隨著北斗系統(tǒng)建設(shè)和服務(wù)能力的發(fā)展，相關(guān)產(chǎn)品逐步滲透到人類社會(huì)生產(chǎn)和人們生活的方方面面，為全球經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展注入新的活力.目前，全球已有120余個(gè)國家使用北斗系統(tǒng).2022年上半年，僅手機(jī)地圖導(dǎo)航中，北斗定位服務(wù)日均使用量已突破1000億次.那么，你知道衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)是如何實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)定位的么？圖6-6衛(wèi)星導(dǎo)航使用的是“三球交匯”原理（如圖6-6所示）.用戶接收機(jī)在某一時(shí)刻同時(shí)接收三顆以上衛(wèi)星信號(hào)，測(cè)量出用戶接收機(jī)至三顆衛(wèi)星的距離，通過星歷解算出衛(wèi)星的空間坐標(biāo)，利用距離交會(huì)法就能解算出用戶接收機(jī)的位置.應(yīng)用與實(shí)踐案例1結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞(圖6-7是食鹽晶胞的示意圖).其中×點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子.建立空間直角坐標(biāo)系后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo).解把圖中的鈉原子分成上、中、下三層來標(biāo)示它們所在位置的坐標(biāo).下層的原子全部在面上，所以這五個(gè)鈉原子所在位置為：，，，，；中層的原子所在的平面平行于面，與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，所以這四個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分是，，，；上層的原子所在的平面平行于面，與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為1，所以這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是

，，

，，.圖6-7案例2引例1的求解.解首先將教室置于空間直角坐標(biāo)系中（如圖6-8所示）.根據(jù)已知，設(shè)所求投影儀坐標(biāo)為，幕布中心點(diǎn)坐標(biāo)為.由空間兩點(diǎn)間距，解得.因此，投影儀的最佳安裝位置為空間坐標(biāo)處.圖6-8情景與問題引例1如果兩個(gè)人共同提一個(gè)重物，為什么夾角越大越費(fèi)力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個(gè)現(xiàn)象么？分析如圖6-9所示，同樣大小的力作用于一個(gè)物體，顯然，夾角越大其向上的分力越小，要想將物體提起就需要更大的力氣.引例2一個(gè)物體在常力作用下，沿直線從移動(dòng)到，求力所作的功.分析根據(jù)物理知識(shí)，假設(shè)物體的位移為，力和位移的夾角為，則力所做的功為.在實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)遇到類似這種形式的運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中把它稱作兩向量的數(shù)量積.圖6-9引例3試分析運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力的作用.分析由中學(xué)的物理知識(shí)知道，如果一個(gè)運(yùn)動(dòng)的單位正電荷在磁場(chǎng)中所受的力為，則它的大是，其中是帶點(diǎn)粒子的速度，是磁場(chǎng)強(qiáng)度，是指與之間的夾角.力的方向垂直于和所決定的平面，且、和三個(gè)向量的方向符合右手螺旋法則（即假定右手的大拇指垂直于食指和中指，當(dāng)食指指向向量的方向，中指指向向量的方向，那么大拇指指向就是的方向）.這個(gè)力稱為洛倫茲力.與洛倫茲力類似的例子在物理學(xué)及其他學(xué)科中還有不少，在數(shù)學(xué)上我們將它稱為向量的向量積.抽象推理定義6.1既有大小，又有方向的量叫做向量.在數(shù)學(xué)上，向量通常用始點(diǎn)到終點(diǎn)的帶有箭頭的線段表示，如或黑體字母或等（如圖6-10）.向量的模：指向量的大小，也稱作向量的長度，通常用、表示向量的大小.單位向量：長度為的向量，稱為單位向量，用

、 表示.零向量：長度為零的向量，記作或.此時(shí)向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)重合，方向不定或方向?yàn)槿我?6.2.1向量的概念圖6-10向量的位置關(guān)系：(1)向量平行：兩個(gè)非零向量的方向相同或相反，稱為兩向量平行，用

表示.由于零向量的方向是任意的，視作零向量與任意向量平行.(2)兩向量共線:兩向量平行時(shí),當(dāng)將起點(diǎn)放在一起時(shí),終點(diǎn)在同一直線上.(3)向量共面:如果有個(gè)空間向量，起點(diǎn)重合時(shí),起點(diǎn)和所有終點(diǎn)在同一平面上.定義6.2

當(dāng)兩個(gè)向量大小相等、方向相同時(shí)，稱兩個(gè)向量相等，記作

.注意：根據(jù)向量的定義，向量只與大小和方向有關(guān)而與始點(diǎn)的位置無關(guān).因此，當(dāng)兩向量相等時(shí)，總可以將這兩個(gè)向量通過平行移動(dòng)的方式達(dá)到完全重合.6.2.2向量的線性運(yùn)算定義6.3從同一始點(diǎn)出發(fā)的兩向量和，作以

、為鄰邊的平行四邊形，則由始點(diǎn)到對(duì)頂點(diǎn)的向量稱為、之和，記為（如圖6-11左）.這種定義法稱為平行四邊形法則，由于向量可以平行移動(dòng)，可將平行移動(dòng)至的終點(diǎn)與的始點(diǎn)重合，則由的始點(diǎn)到的終點(diǎn)的向量也稱為、之和，而其首尾相連構(gòu)成三角形，所以也稱三角形法則（如圖6-11右）.不難看出，三角形法則與平行四邊形法則是等價(jià)的.圖6-11向量的加法運(yùn)算律：(1)交換律：(2)結(jié)合律：定義6.4如果向量加向量等于向量，則稱向量為向量與向量之差，記作：，即（如圖6-12）.圖6-12從圖像上不難看出，當(dāng)兩向量始點(diǎn)重合，它們的差所得到的向量總是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).根據(jù)向量相等的定義平移

、向量至平行四邊形的對(duì)邊，同理可以得出：

定義6.5與向量的模相同但方向相反的向量，稱為向量的負(fù)向量，記作，即.由此可規(guī)定兩個(gè)向量的減法：

.特別地，當(dāng)

時(shí)，有（其中指零向量）.向量與實(shí)數(shù)的乘積記作,規(guī)定:(1)是一個(gè)向量;(2)其模為:;(3)其方向?yàn)?當(dāng)

時(shí)與同向，；

當(dāng)時(shí)與方向相反，；當(dāng)時(shí),

為零向量.同時(shí)規(guī)定：若是零向量，則.數(shù)與向量乘積的運(yùn)算規(guī)律（為實(shí)數(shù)）:(1)結(jié)合律:.(2)分配律:;.證明從略.由運(yùn)算規(guī)律可知，非零向量同方向的單位向量為，因此任意非零向量都可以表示為.例1在中，是邊的中點(diǎn)，設(shè)

，

，試用、表示向量

、

和（如圖6-13）.解由，即，得

，又因?yàn)?/p>

.

所以圖6-136.2.3向量的坐標(biāo)表達(dá)式前面介紹了向量的運(yùn)算，但還只能用圖形表示.下面通過空間直角坐標(biāo)系的引入，實(shí)現(xiàn)向量與空間中點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，從而建立向量與有序數(shù)組的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并最終實(shí)現(xiàn)向量幾何運(yùn)算的代數(shù)化. 設(shè)為空間一點(diǎn)，它的坐標(biāo)為（如圖6-14所示）.根據(jù)向量的運(yùn)算法則，向量

可以分解為：

習(xí)慣上，我們把軸、軸和軸上沿正向的單位向量分別記為，和，稱為坐標(biāo)的單位向量.由數(shù)量與向量的乘積定義有

，

，從而有.圖6-14上式稱為向量的坐標(biāo)表達(dá)式，也可記為

.其中，分別稱為向量沿、、軸方向的分向量.特別地有，，.有了向量坐標(biāo)后，可簡(jiǎn)化向量加法、減法以及向量與數(shù)的乘法的運(yùn)算如下：設(shè)，.則

而向量的長度為：.顯然,;或例2已知向量

的始點(diǎn)為

，終點(diǎn)為

，求的坐標(biāo)表示.解根據(jù)題意如圖6-15所示，有圖6-15注意：通過上例可以看出，空間任意兩點(diǎn)間連線構(gòu)成的向量，其坐標(biāo)可以表示成向量的終點(diǎn)與始點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)之差.例3已知，求解

6.2.4向量的模與方向余弦定義6.6非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱為向量的方向角.如圖6-16所示，向量

與軸、軸和

軸正向的夾角分別為、、（

.方向角的余弦及稱為向量的方向余弦.不妨設(shè)

，由立體幾何知識(shí)得出：

，

得：

，其中為與同向的單位向量.圖6-16例4設(shè)，.求向量的長度及方向余弦，并求的坐標(biāo)表達(dá)式.解

,,

例5設(shè)向量的兩個(gè)方向余弦為

，又

，求向量的坐標(biāo).解假設(shè)所求向量為，因，則所以，或例6已知作用于一質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)力，求其合力的大小和方向余弦.解合力，即

.所以，

，方向余弦6.2.5向量的數(shù)量積與向量積定義6.7兩個(gè)向量的長度與它們之間的夾角余弦的乘積稱作向量的數(shù)量積（也稱點(diǎn)積），記作

，為兩個(gè)向量正方向之間不超過的夾角.根據(jù)數(shù)量積的定義，可以得到：；若與均為非零向量，則.顯然.而由，可知.(2)數(shù)量積滿足下列規(guī)律：交換律:;分配律:;結(jié)合律:

（為實(shí)數(shù)）.證明從略.下面對(duì)兩個(gè)向量數(shù)量積的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)：設(shè)

.則

.即

.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，對(duì)任意向量還有如下性質(zhì)：(1)如果

則由

可得

；(2)如果

均為非零向量，有

；(3).例7設(shè)

.求與之間的夾角余弦.解

；

例8已知三點(diǎn)

、

、

,求.

解從到的向量記為，從到的向量記為，則就是向量與的夾角.

所以

.從而，.例9求在坐標(biāo)面上與向量

垂直的單位向量.解設(shè)所求向量為

.又因?yàn)槭菃挝幌蛄壳遗c垂直，所以

.即有，解得

或

.探究：互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，信息的采集、傳播的速度和規(guī)模達(dá)到空前水平，實(shí)現(xiàn)了全球的信息共享與交互.互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)成為信息社會(huì)必不可少的基礎(chǔ)設(shè)施.借助互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，每天在我們所生活的這個(gè)世界出現(xiàn)了海量的信息，我們稱之為"信息爆炸".那么，我們?nèi)绾卫糜?jì)算機(jī)將這些海量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)分類呢？通過建立實(shí)詞詞庫，并按某篇信息中實(shí)詞出現(xiàn)的頻率賦值為，從而將實(shí)詞詞庫向量化，形成特征向量表達(dá)

.類似地，計(jì)算出另一篇信息的特征向量

，通過余弦公式判斷兩篇信息是否重復(fù)或相似（越相似，值越接近1），就可以進(jìn)行信息判斷和處理了.定義6.8設(shè)向量由兩個(gè)向量滿足下列條件所確定：(1)的模等于；

的方向規(guī)定為：，并且按順序符合右手法則（見圖6-17）.則稱向量為向量的向量積（也稱為叉積），記作

.圖6-17引例3中，洛倫茲力可表示為.注意：兩個(gè)向量向量積的模有直觀幾何解釋，即是以（始點(diǎn)重合）為鄰邊的平行四邊形的面積.由向量積的定義可得：（1）；（2）若

均為非零向量，則.例如.另外，由定義易得

而.對(duì)于任意向量

，滿足如下向量積運(yùn)算規(guī)律：反交換律：

；分配律：

；數(shù)乘結(jié)合率：(為實(shí)數(shù)）.證明從略.下面討論向量積的坐標(biāo)表示式.設(shè).則利用二階行列式，可將上式改寫為（6.1）為了便于記憶，利用三階行列式的計(jì)算規(guī)律把（6.1）式記為（6.2）進(jìn)一步可得，兩向量平行的充要條件為

，其中分母不同時(shí)為零.例10已知

，問

與平行嗎？解

.顯然有

，所以.例11已知的頂點(diǎn)分別是，，，求的面積.解由向量積的定義有，=.而，所以

=.例12求同時(shí)垂直于向量

和的單位向量.解由向量積的定義可知，若

，則同時(shí)垂直于

和.因此，

與平行的單位向量為：

6.2.6空間平面與空間直線的方程1.空間平面如果一個(gè)非零向量垂直于一平面．則稱此向量為該平面的法線向量，簡(jiǎn)稱法向量．易知，平面上的任一向量均與該平面的法向量垂直，而一個(gè)平面的法向量有無窮多個(gè).設(shè)平面通過一定點(diǎn)且其法向量為下面來建立該平面的方程.設(shè)點(diǎn)

為平面上任意一點(diǎn)（如圖6-18），則點(diǎn)

在平面上的充要條件是即

由于圖6-18故.（6.3）由點(diǎn)的任意性，平面上的任一點(diǎn)都滿足方程（6.3）.反之，不在該平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程（6.3）.因此，方程（6.3）就是所求的平面的方程，稱為平面的點(diǎn)法式方程.

方程（6.3）整理后可得到一個(gè)三元一次方程.（6.4）其中.反過來，可證明任何一個(gè)三元一次方程都代表了某一平面方程.于是，方程（6.4）便被稱為平面的一般式方程，且為其法向量.特殊地，若，則平面過原點(diǎn)；若

或或，則平面分別平行于軸、軸、軸；若或

或，則平面分別過軸、軸、軸.例13求過點(diǎn)

且以為法向量的平面的方程.解根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程,得所求平面的方程為:

,即

.例14求與平面

平行且過點(diǎn)的平面的方程.解因所求平面與已知平面平行，因而所求平面的法向量便可取為已知平面的法向量：

.由點(diǎn)法式，可得所求的平面方程為：

即例15已知平面上三點(diǎn)

，求此平面方程.解

所求平面的法向量為.由點(diǎn)法式得平面方程:,即.例16平面過三定點(diǎn)

，且

，求該平面的方程.解根據(jù)題意可知，，.所以平面的法向量

可取為

.又根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)可求得所以,

取定點(diǎn)為，代入平面的點(diǎn)法式方程并化簡(jiǎn)便可得由于1，上式兩邊除以，得圖6-19（6.5）注意：式(6.5)稱為平面的截距式方程，分別稱為平面在軸、軸和軸上的截距.設(shè)兩平面

和的法向量分別為，稱這兩個(gè)平面法向量的夾角（銳角）為這兩個(gè)平面的夾角（如圖6-20），則：

易知，（1）（2）圖6-20例17求兩平面

和

的夾角.解兩平面的法向量分別為：

，因此

所以，所求夾角為.2.空間直線空間直線可看作兩平面的交線，于是直線方程可以通過這兩個(gè)平面的方程聯(lián)立獲得.即

（6.7）其中，

與不成比例.（6.7）式稱為直線的一般式.我們都清楚，過定點(diǎn)且與一條非零向量平行的直線可以被唯一確定下來.假設(shè)定點(diǎn)為

，非零向量為

，又設(shè)直線上任意一點(diǎn)為(如圖6-21)，則

.顯然向量與向量平行，滿足

.（6.8）圖6-21式（6.8）稱為直線的點(diǎn)向式方程，又稱為直線的對(duì)稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，其中稱為直線的方向向量.注意：我們約定當(dāng)分母為時(shí)，其對(duì)應(yīng)分子也為.顯然，直線的點(diǎn)向式可以轉(zhuǎn)化為一般式.其實(shí)，式(6.8)可以改寫為兩個(gè)平面方程的聯(lián)立:

同時(shí)，設(shè)

，可得

（6.9）式(6.9)稱為直線的參數(shù)方程，其中為參變量.例18已知直線的一般式為求此直線的對(duì)稱式與參數(shù)方程.解法一：對(duì)一般式方程利用消元法，消去，得

,

即.同樣的，對(duì)一般式方程利用消元法，消去，得.所以對(duì)稱式方程為:

又令

，則可得直線的參數(shù)方程為例19求過點(diǎn)

且過直線

的平面方程.解由直線方程易知，點(diǎn)為已知直線上的點(diǎn).同時(shí)，直線的方向向量為.設(shè)所求平面的法向量為，顯然

，.所以所求平面方程為:

,即.稱兩條直線相交所形成的銳角為兩直線的夾角.設(shè)兩直線和的方向向量分別為，于是（6.10）易知：（1）（2）類似地，直線和平面的夾角可以由直線的方向向量和平面的法向量之間的夾角（銳角）獲得（如圖6-22）.設(shè)直線的方向向量為

，平面的法向量為，則

易知：（1）（2）圖6-22例20已知直線

和平面

.求

和的夾角.解由題意可知直線的方向向量為

，平面的法向量為，則即應(yīng)用與實(shí)踐案例1長方體中，

，

，，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱

上，且

，點(diǎn)，分別是

，的中點(diǎn)（如圖6-23左），求證：.

圖6-23解建立空間直角坐標(biāo)系(如圖6-23右)，則長方體頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

，

，，.由此，已知

，有

，所以同理可得：.因而

.顯然，

.又因?yàn)?/p>

，所以案例2已知正方體

中，、

是棱、的中點(diǎn)，求直線

和所成角的余弦值（如圖6-24左）．

解設(shè)正方體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖6-24右），則，，

，

，.由此，設(shè)和成的角為，則所以，直線

和

所成角的余弦值是圖6-24案例3如圖6-25，質(zhì)量為的小滑塊，由靜止開始從傾角為的固定光滑斜面頂端A滑至底端B，A點(diǎn)距離水平地面的高度為，求滑塊滑到B點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率.解重力的功率也是向量的數(shù)量積，即

，其中速度

，為重力與速度之間的夾角，由圖6-25可知

，因此滑塊滑到B點(diǎn)時(shí)重力的瞬時(shí)功率.圖6-25案例4剛體以等角速度

繞軸旋轉(zhuǎn)，試表示剛體上一點(diǎn)的線速度.解

設(shè)點(diǎn)

到旋轉(zhuǎn)軸

的距離為，再在軸上任取一點(diǎn)作向量，并以表示與的夾角，那么.設(shè)線速度為，那么由物理學(xué)可知

，垂直于與，且的指向是使、、符合右手法則，如圖6-26，因此有.圖6-26情景與問題引例1

雙曲冷卻塔(如圖6-27)是火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風(fēng)冷卻的一種構(gòu)筑物.由于其具有占地面積小，布置緊湊，水量損失小、冷卻效果不受風(fēng)力影響、維護(hù)相對(duì)簡(jiǎn)便、節(jié)約能源等特點(diǎn)而得到廣泛使用.試分析雙曲冷卻塔外表面的數(shù)學(xué)模型.分析雙曲冷卻塔的外表面是由空間中滿足特定特征的點(diǎn)匯集而成.從側(cè)平面觀察，塔身呈雙曲線型，可以看作是由雙曲線繞豎軸旋轉(zhuǎn)而成，數(shù)學(xué)上稱作單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面.它是如何旋轉(zhuǎn)而成的呢？空間表達(dá)式如何表示呢？本節(jié)就來介紹一些典型空間曲面方程.圖6-276.3.1球心在點(diǎn)、半徑為的球面方程已知一個(gè)以點(diǎn)

為球心、為半徑的空間球面，設(shè)點(diǎn)

是球面上任一點(diǎn).由空間兩點(diǎn)間距離公式，有方程即

（6.12）式（6.12）就是球面上點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程.反之，不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)就不能滿足這個(gè)方程，故方程（6.12）即為球心在，半徑為的球面的方程，并稱此方程為球面標(biāo)準(zhǔn)方程.其特點(diǎn)是缺、

項(xiàng)，且平方項(xiàng)各系數(shù)相同.將上式整合簡(jiǎn)記為方程

該方程便被稱作球面的一般方程.例1方程表示怎樣的曲面？解原方程可以改寫為因此，它表示一個(gè)球心在

，半徑為的球面.6.3.2母線平行于坐標(biāo)軸的柱面定義6.9設(shè)有一條曲線，過上每一點(diǎn)作與平行的直線，這些直線所形成的面稱為柱面，稱為柱面的準(zhǔn)線，這些相互平行的直線稱為柱面的母線.如圖6-28左圖所示.

圖6-28我們僅討論準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上，而母線垂直于該坐標(biāo)面的柱面(如圖6-28右圖).例2分析方程表示什么曲面？分析：在坐標(biāo)面上，方程表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓.在空間直角坐標(biāo)系中，由于方程缺

，這意味著不論空間中點(diǎn)的坐標(biāo)怎樣，凡坐標(biāo)和坐標(biāo)滿足這方程的點(diǎn)，都在方程所表示的曲面上；反之，凡是點(diǎn)的坐標(biāo)和坐標(biāo)不滿足這個(gè)方程的，不論坐標(biāo)怎樣，這些點(diǎn)都不在曲面上，即點(diǎn)在曲面上的充要條件是點(diǎn)

在圓

上.而是在過點(diǎn)

且平行于軸的直線上，這就是說方程表示：由通過坐標(biāo)面上的圓上每一點(diǎn)且平行于軸（即垂直于坐標(biāo)面）的直線所組成，即方程表示柱面，該柱面稱為圓柱面(如圖6-29).圖6-29注意：一般地，如果方程中缺，即

，表示準(zhǔn)線在

坐標(biāo)面上，母線平行于軸的柱面.類似地，方程表示母線平行于軸的柱面方程，表示母線平行于軸的柱面方程.例3作方程的圖形.解因方程缺，所以它表示母線平行于軸，準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的拋物線的柱面.該柱面稱為拋物柱面（如圖6-30）.圖6-30例4方程表示什么曲面？解由于方程中缺

，所以它表示母線平行于軸的柱面.它的準(zhǔn)線是

坐標(biāo)面上的橢圓.方程表示一個(gè)橢圓柱面（如圖6-31）.

圖6-316.3.3旋轉(zhuǎn)曲面定義6.10一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.下面我們討論旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程.設(shè)在坐標(biāo)面上曲線的方程為

.求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程.設(shè)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸的平面(見圖6-32)，交軸于點(diǎn)，交曲線于，由于點(diǎn)是由點(diǎn)

繞軸而得到，因此有而所以又在曲線上，即點(diǎn)滿足從而得到旋轉(zhuǎn)曲面方程為.

圖6-32同理，平面曲線：，繞

軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為（6.14）注意：若平面曲線

繞著軸（軸）旋轉(zhuǎn)，方程中的變量（）就不變，而把方程中的另一個(gè)變量（）置換為（），就得到曲線繞軸（

）軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程.其他幾種旋轉(zhuǎn)曲面方程可類似得到.例5求坐標(biāo)面上的雙曲線

分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解繞軸旋轉(zhuǎn)：不變，置換為，便生成雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面：，見圖6-33;繞軸旋轉(zhuǎn)：不變，置換為

，便生成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面：，見圖6-34.圖6-34圖6-33探究：為什么電廠冷卻塔是雙曲線型？電廠冷卻塔的作用是將攜帶熱量的冷卻水在塔內(nèi)和空氣進(jìn)行熱交換，使冷卻水的熱量傳輸給空氣并散入大氣使冷卻水溫度降低.早期的冷卻塔有各種形狀，如圓柱形，八邊筒形等.為什么現(xiàn)在電廠冷卻塔多是雙曲線型的呢？上個(gè)世紀(jì)，隨著電站裝機(jī)增大的需求發(fā)展，需要建設(shè)更大規(guī)模的冷卻塔.然而圓柱型結(jié)構(gòu)很不穩(wěn)定，建設(shè)成本也很高。通過研究發(fā)現(xiàn)，雙曲冷卻塔的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、抗變形能力強(qiáng)，同時(shí)塔的框架由直鋼梁組成，更經(jīng)濟(jì)、更容易施工，而塔型的下粗中細(xì)結(jié)構(gòu)更容易讓空氣流通換熱.因此，自1915年Iterson第一次發(fā)明了雙曲面型塔后，這種構(gòu)型在熱點(diǎn)站中迅速流行開來.經(jīng)過多年的工程實(shí)踐，這種結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和防風(fēng)性能得到了很好的檢驗(yàn)，成為了最普遍的冷卻塔形式.當(dāng)然，實(shí)際工程實(shí)踐中不是完全按照曲面的幾何形狀去施工，如今的塔形是優(yōu)化設(shè)計(jì)、工程實(shí)踐和施工習(xí)慣相互影響的結(jié)果，和幾何上的雙曲面會(huì)有差異.應(yīng)用與實(shí)踐案例1橄欖球運(yùn)動(dòng)是由足球運(yùn)動(dòng)派生出來的一項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng).因形似橄欖，在中國稱為“橄欖球”.橄欖球運(yùn)動(dòng)分為英式橄欖球和美式橄欖球兩大類，其中英式橄欖球相較于美式橄欖球更大、更短，近似一個(gè)橢球形，如圖6-35所示.試根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面原理建立橄欖球的空間曲面方程.解將橄欖球視作橢球形，那么它是由橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)橢圓方程為

，在方程中保持坐標(biāo)不變，用代替，便得到將橢圓繞其長軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程：.注意：與上同理，繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：.而更一般的方程稱為橢球面方程.圖6-35案例2將救生圈(如圖6-36)的橫截面看成是一個(gè)圓，那么救生圈就是這個(gè)圓繞中心軸旋轉(zhuǎn)而成的.試建立救生圈的空間曲面方程.解救生圈可以視作將圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面.由于繞

軸旋轉(zhuǎn)，所以在方程

中保留不變，而用替代，就得圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程

，即

圖6-36新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）知識(shí)目標(biāo)了解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)極限及連續(xù)的概念，掌握二元函數(shù)極限的求法．理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)（一階及高階）的計(jì)算，會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．理解全微分的概念，掌握全微分的計(jì)算方法．理解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線等概念，并掌握它們的方程的求解方法．理解多元函數(shù)極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值．理解二重積分的概念及二重積分的性質(zhì)，掌握二重積分的簡(jiǎn)單計(jì)算．第七章多元函數(shù)微積分

第一節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)情景與問題

引例1身體質(zhì)量指數(shù)BMI是國際上衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個(gè)常用指標(biāo)，它的計(jì)算與體重

(單位：千克)和身高

(單位：米)相關(guān)：BMI=

，BMI由19世紀(jì)中期比利時(shí)的通才凱特勒最先提出．BMI正常值在20至25之間，低于18.5為體重不足，超過25為超重，30以上則屬肥胖．引例2由物理學(xué)知識(shí)，運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)能

與物體的質(zhì)量

和運(yùn)動(dòng)的速度

兩個(gè)量之間滿足以下的關(guān)系：．引例3在周長為

的所有三角形中，求出面積最大的三角形．分析設(shè)三角形的三邊長分別為

則面積為

于是，所討論問題便轉(zhuǎn)化為：在

條件下求函數(shù)的最大值問題．

上述各例所討論的函數(shù)都涉及到了多個(gè)自變量，去掉它們的具體實(shí)際意義，只保留數(shù)量關(guān)系，便可抽象出多元函數(shù)的概念．抽

象

推

理7.1.1二元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1．二元函數(shù)的概念

定義7.1設(shè)有三個(gè)變量

和

，如果當(dāng)變量

在它們的變化范圍

中任意取一對(duì)值

時(shí)，按照給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系

，變量

都有唯一確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng)，則稱

是關(guān)于

的二元函數(shù)，記為

其中

稱為自變量，

稱為因變量．

稱為函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值的集合

稱為函數(shù)的值域．

類似地可以定義三元函數(shù)

以及

元函數(shù)

．多于一個(gè)自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)．引例1、2得到的BMI=，是二元函數(shù)，引例3是三元函數(shù)．同一元函數(shù)一樣，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是二元函數(shù)定義的兩要素．對(duì)于以解析式表示的二元函數(shù)

其定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．

一般來說一元函數(shù)的定義域往往是一個(gè)或者幾個(gè)區(qū)間，而二元函數(shù)的定義域通常是平面上的某個(gè)區(qū)域.二元函數(shù)定義域的區(qū)域可能是全部

坐標(biāo)面，可能是一條直線，也可能是由曲線所圍成的部分平面等等．圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界，包含全部邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域；不包括邊界上任何點(diǎn)的區(qū)域稱為開區(qū)域．能被包含在以原點(diǎn)為圓心的某一圓內(nèi)的區(qū)域稱為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域.例1求下列函數(shù)的定義域

，并畫出的

圖形

．(1)；解當(dāng)根式內(nèi)的表達(dá)式非負(fù)時(shí)函數(shù)才有意義，所以定義域?yàn)?/p>

表示在平面上以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓以及圓的內(nèi)部全部點(diǎn)構(gòu)成的閉區(qū)域(圖7-1)．圖7-1所以函數(shù)的定義域是

以為

邊界的矩形閉區(qū)域(圖7-2).圖7-2

解因?yàn)橐?/p>

有意義，應(yīng)有即(2).例2求用形如

或

的不等式組來表示平面閉區(qū)域

，

由

所圍成．解先作出區(qū)域

的圖形(圖7-3)，再將

投影到

軸上，得到區(qū)間

，則區(qū)域

內(nèi)任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足不等式

．在

內(nèi)任取一點(diǎn)

，作平行于

軸的直線，則由對(duì)于所給的

，

內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)

滿足：，因此區(qū)域

可以用不等式組表示為圖7-3另一方面，若將

投影到

軸上，則在

軸上得到區(qū)間

．在區(qū)間

內(nèi)任取一點(diǎn)

，作平行于

軸的直線，則由圖可知，對(duì)于所給的

，

內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)

滿足：

，因此區(qū)域

可以用不等式組表示為圖7-3

一元函數(shù)一般表示平面上的一條曲線，二元函數(shù)

在幾何上通常表示空間曲面(圖7-4)．設(shè)點(diǎn)

是二元函數(shù)的定義域

內(nèi)的任一點(diǎn)，則相應(yīng)的函數(shù)值是

，于是，有序數(shù)組

確定了空間一點(diǎn)

．當(dāng)點(diǎn)

在

內(nèi)變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

就在空間變動(dòng)，一般形成一張曲面，即為二元函數(shù)

的圖像，其定義域

就是空間曲面在

面的投影．圖7-42．二元函數(shù)的極限與連續(xù)定義7.2設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某一鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)

可以除外），如果當(dāng)點(diǎn)

以任意方式無限趨向于點(diǎn)

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

趨向于一個(gè)確定的常數(shù)

，則稱

為函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限．記為或．注意：與一元函數(shù)的極限不同的是二元函數(shù)極限要求點(diǎn)

以任意方式趨向于點(diǎn)

時(shí)，函數(shù)值

都趨向于同一個(gè)確定的常數(shù)

．因此，如果當(dāng)

沿著兩條不同的路徑趨向于

時(shí)，函數(shù)

趨向于不同的值，那么可以斷定函數(shù)極限一定不存在．例3求極限：(1)(2)解(1)令

，則，(2)．本例表明，二元函數(shù)的極限問題有時(shí)可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題．例4討論函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限．解當(dāng)點(diǎn)

沿

趨向于點(diǎn)

時(shí)．顯然當(dāng)

取不同的值時(shí)，

也不同，所以函數(shù)的極限不存在．

啟迪：一元函數(shù)與二元函數(shù)的極限研究方法具有很大的不同.在研究一元函數(shù)時(shí)，自變量在鄰域內(nèi)（區(qū)間）趨于某點(diǎn)的方式只有左右兩種，分別對(duì)應(yīng)左極限和右極限，但對(duì)于二元函數(shù)來說，自變量的鄰域是在二維平面內(nèi)的區(qū)域，它趨于某點(diǎn)的方式是任意的，有無窮多種，我們就需要從整體的角度，去觀察函數(shù)值的變化情況.推展開來，我們?cè)趯?shí)際生活中也不能用孤立、片面的觀點(diǎn)來看問題，要通過持續(xù)學(xué)習(xí)來獲得足夠的判斷力，從而能整體、全面地去觀察、了解和認(rèn)識(shí)事物.下面給出二元函數(shù)連續(xù)性的定義.定義7.3設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)

趨向于點(diǎn)

時(shí)，函數(shù)

的極限存在，且等于它在點(diǎn)

處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)．在上邊的定義中，若令

，則得到連續(xù)的另一個(gè)等價(jià)定義：定義7.3’

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量

的增量

趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的全增量

也趨于零，即，

則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)．同一元函數(shù)一樣，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；同時(shí)也有結(jié)論“多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)”．與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)也有以下結(jié)論．定理7.1

最值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得到最大值和最小值．定理7.2

介值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)可取得介于它的最大值和最小值之間的任何值至少一次．

以上關(guān)于二元函數(shù)極限與連續(xù)的討論可以推廣到三元及以上的函數(shù)．7.1.2偏導(dǎo)數(shù)1．一階偏導(dǎo)數(shù)

在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們?cè)?jīng)研究過函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)

對(duì)于自變量

的變化率

．對(duì)于多元函數(shù)，我們也常常遇到研究它對(duì)某個(gè)自變量的變化率問題，這就產(chǎn)生了偏導(dǎo)數(shù)的概念．定義7.4設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某一鄰域內(nèi)有定義．若存在，則稱此極限值為函數(shù)

在點(diǎn)

處對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)，記為或或;即同理，可定義

在點(diǎn)

處對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)每一點(diǎn)

處對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)都存在，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是

的函數(shù)，稱為函數(shù)

對(duì)自變量

的偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)，記為或．類似地，可定義函數(shù)

對(duì)自變量

的偏導(dǎo)數(shù)，記為

或偏導(dǎo)數(shù)

也稱為一階偏導(dǎo)數(shù)．上述二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義可以推廣到多元函數(shù)．如

元函數(shù)

對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)被定義為：方法：從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，求二元函數(shù)對(duì)某一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，實(shí)際上只需將另一個(gè)自變量看成常數(shù)，再按照一元函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可．例5求函數(shù)

在點(diǎn)

處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)．解因?yàn)?/p>

所以例6求函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)．解按偏導(dǎo)數(shù)定義有例7求

的偏導(dǎo)數(shù)．解把

和

看成是常數(shù)，對(duì)