《物理光學(xué)》第5章-光的衍射

“光的衍射”就是光可以“繞過”障礙物而在某種程度上傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)。點光源透過圓孔Σ照射屏幕，逐漸改變圓孔的大小:1、圓孔大，光斑大小就是幾何投影。2、圓孔小，圓斑外產(chǎn)生若干同心圓環(huán)。3、圓孔更小，光斑及圓環(huán)不但不跟著變小，反而會增大起來。

第5章光的衍射

按光源、衍射開孔和觀察衍射的幕三者之間距離的大小，分為兩種類型：1、菲涅耳(Fresnel)衍射；

2、夫瑯和費(Fraunhofer)衍射。菲涅耳衍射夫朗和費衍射有限遠(yuǎn)無限遠(yuǎn)入射光為非平行光衍射光為非平行光入射光為平行光衍射光為平行光（利用透鏡達到此要求）目錄§5.1惠更斯—菲涅爾原理§5.3菲涅爾衍射和夫瑯禾費衍射§5.4矩孔和單縫的夫瑯禾費衍射§5.5圓孔的夫瑯禾費衍射§5.6光學(xué)成像系統(tǒng)的衍射和分辨本領(lǐng)§5.8多縫夫瑯禾費衍射§5.9衍射光柵§5.10圓孔和圓屏的菲涅爾衍射5.1.1惠更斯原理：波源S在某一時刻的波陣面為Σ，Σ面上每一點都是一個次波源，發(fā)出球面次波。次波在隨后的某一時刻的包跡面形成一個新的波陣面Σ’波面的法線方向就是波的傳播方向。利用惠更斯原理即可說明衍射現(xiàn)象的存在，但無法確定衍射圖樣中的光強分布§5-1惠更斯—菲涅耳原理5.1.2惠更斯-菲涅耳原理：子波疊加與子波干涉的假設(shè)。

波陣面上各面積元所發(fā)出的球面子波在觀察點P的相干疊加決定了P點的合振動及光強。

衍射為無限多、無限小子波的干涉效應(yīng)。子波相干迭加！S與P之間的任一個波面

上各點所發(fā)出的次波在P點迭加。1、單色點光源S在波面Q產(chǎn)生的光振動復(fù)振幅為:2、Q點元波面dσ的次波源發(fā)出的次波在P點的光振動復(fù)振幅:C為一常數(shù)K(θ)為傾斜因子當(dāng)θ＝0時，K有最大值；隨著θ的增大，K迅速減小，當(dāng)θ≥

π/2時，K＝0。PZRZ’SrQ

惠更斯-菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達式。

P點的光振動的復(fù)振幅為:

單色點光源和觀察點P之間放置一任意形狀的開孔，到達該開孔邊緣的波面只有在開孔范圍內(nèi)的部分Σ對P點產(chǎn)生作用PRrQ

推廣到一般情況波面可以是球面，也可以是其他曲面:P點產(chǎn)生光振動的復(fù)振幅：（1）c沒有具體形式。（2） 的出現(xiàn)沒有理論依據(jù)。 既然 是次波源,發(fā)出球面波,以 為中心的任意方向上波動的性質(zhì)是相同的.亦即, =1因該成立,但實驗證明

1,這就需要找到它的具體形式。一、亥姆霍茲-基爾霍夫積分定理：光波電磁場復(fù)振幅：標(biāo)量場的衍射理論：1、電磁場復(fù)振幅看作是標(biāo)量場；2、用曲面上的 表示面內(nèi)任意點的 。3、利用場論中的格林定理，通過另外一個坐標(biāo)的任意函數(shù)把 與曲面上的值聯(lián)系起來。把曲面內(nèi)任一點P的電磁場值 用曲面上的場值 表示出來。‘V‘

nnP

§5-2基爾霍夫衍射理論二、菲涅爾-基爾霍夫衍射基爾霍夫（Kirchhoff）從波動方程出發(fā)，用場論的數(shù)學(xué)工具導(dǎo)出了比較嚴(yán)格的公式：S(n,r)

PrR1

2l基爾霍夫假設(shè)：1、開孔處E, 由入射波決定；2、不透明屏處，E 為0。S(n,r)

PrR1

2l1、P點的場是由開孔平面的無窮多個虛設(shè)的次波源產(chǎn)生的。2、次波源的復(fù)振幅與入射波在該點的復(fù)振幅成正比，與λ成反比；3、因子 表明，次波源的振動位相超前于入射波90°。4、傾斜因子在各個方向上是不同的，其值在0與1之間。傾斜因子：1、點光源離開孔足夠遠(yuǎn)，使入射光可以看成是垂直入射到開孔的平面波，對于開孔平面上各點都有cos(n,L)=-1，cos(n,r)=cosθ2、當(dāng)θ＝0時，K(θ)＝1；當(dāng)θ＝π時，K(θ)＝0。S(n,r)

PrR1

2l1、當(dāng)開孔很小時，在開孔Σ的范圍內(nèi)θ變化很小，因而傾斜因子可視為常量提出積分號外。2、在開孔Σ的范圍內(nèi)r的變化也不大。對于分母r，它影響的是開孔范圍內(nèi)各次波源發(fā)出的次波在P點的振幅，這種影響微小，故1/r可視為常量；復(fù)指數(shù)中的r，影響次波的位相，它每變化光波波長的一半即λ/2，就相當(dāng)于位相變化π，因而對于P點的次波干涉影響顯著。三、巴俾涅(Babinet)原理互補屏原理：1、開圓孔的無窮大不透明屏；2、大小與圓孔相同的不透明屏； 互補屏單獨放置時p點的復(fù)振幅。 沒有屏?xí)r，p點的復(fù)振幅。互補屏單獨產(chǎn)生的衍射場復(fù)振幅之和，等于沒有屏?xí)r的復(fù)振幅。在復(fù)振幅為0的點，互補屏分別產(chǎn)生的場位相差為，強度相等。弗朗和菲衍射，沒有屏的焦點以外；夫瑯和費衍射互補屏衍射圖樣相同1、離Σ很近的K1處，可看到圓孔的投影。2、在K2上觀察，看到邊緣模糊的略大的圓光斑，光斑內(nèi)有-圈圈的亮暗環(huán)。--菲涅耳衍射或近場衍射。3、距離很遠(yuǎn)，中間亮、邊緣暗，邊緣外有較弱的亮暗圓環(huán)。--夫瑯和費衍射或遠(yuǎn)場衍射?！?-3菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射

根據(jù)衍射障礙物到光源和接收屏的距離分類。1、光源—衍射孔—接收屏距離為有限遠(yuǎn)——菲涅耳衍射；2、光源—衍射孔—接收屏距離為無限遠(yuǎn)——夫瑯和費衍射。根據(jù)菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式：一、旁軸近似：通常，衍射孔徑的線度比觀察屏到孔徑的距離小得多；觀察屏上的考察范圍也比觀察屏到孔徑的距離小得多。KE

xyP0PQC

zr1、cos(n,r)=cos1所以：2、在孔徑范圍內(nèi)，r變化不大。1/r只影響P點的振幅。KE

xyP0PQC

zr二、菲涅爾近似：對具體衍射問題，在相位中對r做進一步更為精確的近似。根據(jù)z值的大小區(qū)分近場與遠(yuǎn)場衍射兩種情況。KE

xyP0PQC

zrz1大到使得上式第三項的后項對kr位相的作用遠(yuǎn)小于

時.即第三項以后的諸項均可忽略,觀察平面上的衍射是近場衍射。把dσ寫作dξdη。上式積分域是孔徑Σ，由于孔徑Σ之外，復(fù)振幅， 所以上式亦可寫成對整個ξ

，η平面的積分。菲涅耳近似所確定的近場衍射稱為菲涅耳衍射區(qū)。衍射場：衍射圖：三、夫瑯和費近似和夫瑯和費衍射公式：在菲涅爾近似的基礎(chǔ)上做進一步的處理。若z足夠大，可以略去上式中的 項，這時遠(yuǎn)場近似―――夫瑯和費衍射公式由夫瑯和費近似所確定的衍射區(qū)稱為夫瑯和費衍射區(qū)，具有最簡單的形式。衍射場：衍射圖：衍射孔菲涅爾衍射區(qū)夫瑯和費衍射區(qū)例：光波長600nm，孔徑寬度2cm，如果：

菲涅爾衍射：夫瑯和費衍射：

TypicalExperimentGeometricProjectionRegion

PointsourceIntensitydistributionFresnelDiffractionRegion

PointsourceDiffractionpatternl0r0DiffractionpatternPointsourcel0r0FraunhoferDiffractionRegion

PointsourcefAsuccessionofdiffractionpatternsatincreasingdistancefromasingleslit;Fresnelatthebottom,goingforwardfraunhoferatthetop.干涉和衍射的區(qū)別與聯(lián)系粗淺認(rèn)識干涉是有限條光束的相干疊加；衍射是無數(shù)多次波(光束)的相干疊加。精確認(rèn)識參與疊加的光束的傳播行為近似為直線傳播，該疊加可認(rèn)為是干涉；參與疊加的光束的傳播行為不符合直線傳播，該疊加可認(rèn)為是衍射；本質(zhì)認(rèn)識干涉和衍射都是波的相干疊加結(jié)果，僅是參與的對象、形成的條件、分布規(guī)律以及數(shù)學(xué)處理上有所不同；干涉和衍射是同時存在的，對每一束光而言都存在著衍射，而各光束間則存在著干涉，亦即干涉條紋的分布要受到單光束衍射因子的調(diào)制。夫瑯和費衍射是光學(xué)儀器中最常見的衍射現(xiàn)象§5-4-1夫瑯和費衍射裝置§5-4矩孔和單縫的夫瑯和費衍射一、衍射系統(tǒng)與透鏡的作用1.透鏡的作用將無窮遠(yuǎn)的衍射圖樣成像在像方焦平面上夫瑯和費衍射對ｚ的要求：２．夫瑯和費衍射公式變化衍射公式可以寫為在無透鏡時觀察點在Ｐ＇，有透鏡時觀察點在焦平面上Ｐ點。右圖可知二、夫瑯和費衍射公式的意義加上透鏡以后，有兩個因子與透鏡有關(guān)1．復(fù)數(shù)因子在近軸情況下，公式中的用代替，計算公式變?yōu)槠渲校航Y(jié)論：若孔徑很靠近透鏡ｒ是孔徑原點Ｏ處發(fā)出的子波到Ｐ點的光程，而kr

則是Ｏ點到Ｐ點的位相延遲。２．位相因子孔徑上其它點發(fā)出的光波與O點的光程差：而相位差恰好是積分中的位相因子，它表示孔徑上各點子波的位相差?！?-4-2

夫瑯和費衍射公式的意義：如果將透鏡L2放在衍射屏上,此時,z1=f（透鏡焦距），則:

垂直照明1、 孔徑坐標(biāo)原點C處的子波到達

P點的位相延遲。(參見菲涅爾近似： ）2、在旁軸近似下：發(fā)自C點和Q點的光波到達P點的位相差。

fP0PL2(x)(x1)

C意義：1表示孔徑面內(nèi)各點發(fā)出的子波在方向余弦l,w代表的方向上的疊加，疊加結(jié)果取決于各點發(fā)出的子波和參考點C發(fā)出的子波的位相差

2除了一個二次項因子外，夫瑯禾費的復(fù)振幅分布是衍射屏平面上復(fù)振幅分布的傅里葉變換研究的問題:*明暗條紋位置分布*條紋強度大小分布夫瑯和費衍射

衍射現(xiàn)象針尖狹縫圓孔圓屏衍射屏(障礙物)入射光波衍射圖樣觀察屏光的衍射現(xiàn)象5.4.3矩孔衍射：矩孔的長和寬分別為b和a，取座標(biāo)原點位在矩孔中央?？p復(fù)振幅分布衍射積分：則P點的光強為:透光軸上的P0點1、I0為光軸上P0點的光強度。2、一個因子依賴于座標(biāo)x或方向余弦l，另一個因子依賴于座標(biāo)y或方向余弦w。表明P點的光強度與坐標(biāo)相關(guān)。２．光強分布特點討論沿Y軸的光強分布在Y軸上，所以：①主極大值的位置當(dāng)β=0時，I有主極大值Imax=I0②極小值的位置當(dāng)β=nπ,n=±1,±2,±3,…時，I有極小值Imax=0此時主極大寬度③次極大值的位置對于其它的極大值點，有即注意：次極大值位置不在兩暗紋的中間β可用作圖法求解1.43π-1.43π2.45π-2.45π④暗條紋的間隔⑤沿X、Ｙ軸衍射分布衍射在X軸呈現(xiàn)與Y軸同樣的分布。在空間的其它點上，由兩者的乘積決定⑥中央亮斑大小分析中央亮斑的角半寬度中央亮斑的半寬尺寸中央亮斑集中了絕大部分光能，以其角半寬度的大小來衡量衍射效應(yīng)的強弱。分析對給定波長，與縫寬成反比，即縫越小隊光束的限制越大，衍射場越彌散；當(dāng)縫很大時光束幾乎自由傳播，，表明衍射場集中在沿直線傳播的方向上，在透鏡焦面上衍射斑收縮為幾何像點。幾何光學(xué)是波動光學(xué)當(dāng)時的極限與波長成正比，波長越長衍射越顯著；波長越短衍射效應(yīng)可以忽略。觀察x軸上的光強分布：1、主極大：在x為0的附近。2、極?。?、次極大：

解此方程可利用作圖法。如圖所示，在同一座標(biāo)系中作出 的曲線和 的直線，它們的交點即為上式的解。

4、相鄰兩個極小值間的距離:a)與波長成正比,相同條件下,波長越長,衍射越明顯；

=0,會導(dǎo)致衍射效應(yīng)消失。 條紋在屏幕上的位置與波長成正比，如果用白光做光源，中央為白色明條紋，其兩側(cè)各級都為彩色條紋。b)與a成反比,a越小,衍射效應(yīng)明顯,反之亦然.5、中央主極大的寬度：半角寬度: 半角尺寸:6、中央亮斑集中了光能的絕大部分。7、光場中,障礙物對波前限制越大（a,b越?。?衍射場越彌散,衍射效應(yīng)越明顯.反之,a,b越大,衍射越不明顯。 當(dāng)a或b中其中一個不動,另一個變?yōu)闊o窮大時,就過渡到單縫衍射.（自學(xué)）單縫衍射

１．光強分布計算矩孔衍射光強分布式中當(dāng)時，矩孔變?yōu)楠M縫。此時入射光在方向上的衍射效應(yīng)可以忽略。因此單縫衍射光強分布為：2．光強分布特點衍射條紋與中央條紋因為較小，中央極大條紋的角半徑半寬度為：（衍射條紋如右圖所示）§5-5 圓孔的夫瑯和費衍射一、圓孔夫瑯和費衍射裝置采用極坐標(biāo)：

稱為零階第一類貝塞爾(Bessel)函數(shù)。

利用零階和一階貝塞爾函數(shù)的性質(zhì),光場分布的一階貝塞爾函數(shù)：衍射圖樣是圓環(huán)形條紋1、當(dāng)Z=0，光軸上P0點的強度I＝I0為一極大強度點。光能主要集中在中央亮斑中，這一亮斑稱為愛里斑，半徑由Z0時，I=0的第一個光強極小值決定2、第一處極小值Z2、當(dāng)Z≠0，而J1(Z)＝0時，I＝0，決定暗紋位置。兩相鄰暗環(huán)的半徑不相等.3、次極大的條件是，決定高次亮紋位置。自函數(shù)表中分別查出J1(Z)＝0和J2(Z)=0所對應(yīng)的Z值，即可求出圓孔衍射的光強度分布?！?-6 光學(xué)系統(tǒng)的衍射和分辨本領(lǐng)

以衍射的角度看光學(xué)儀器成象，任何光學(xué)儀器都不能成清晰的像——衍射像斑。 平行光經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像，有一Aivry斑，而不是幾何光學(xué)所認(rèn)為的一個幾何點。

一個物體的像就是由每一個物點所對應(yīng)的衍射像斑所組成的。5.6.1理想光學(xué)系統(tǒng)的衍射現(xiàn)象一個點物形成一個衍射象斑。這個衍射象斑就是光學(xué)系統(tǒng)的孔徑(例如限制光束的透鏡的外框或?qū)ｉT加進去的光欄)的夫瑯和費衍射圖樣。無窮遠(yuǎn)處點物在焦平面成像：圓孔夫瑯和費衍射點物S象S’L點物象L2L1f2f1A5.6.2近處點物在像平面成像：共軛光學(xué)成像系統(tǒng)的衍射P0P0’MM’用像點處會聚球面波：R夫瑯和費衍射公式：點像在像平面上光場分布：成像系統(tǒng)對點物在他的像面上所成的像是夫瑯和費衍射圖像。5.6.3光學(xué)系統(tǒng)的分辨本領(lǐng):

S1和S2為發(fā)光強度相同的兩個獨立的發(fā)光點，L代表所研究的光學(xué)系統(tǒng)。自S1和S2發(fā)出的光通過L，在其象面上形成衍射圖樣S'1和S'2。S1S2S1’S2’S1’S’由于衍射效應(yīng)，光學(xué)系統(tǒng)的分辨極限決定于系統(tǒng)對點物成像的愛里斑。可分辨恰可分辨S1S2S1S2圓形光欄中心光強為兩邊極大強度的75%?？p型光欄81%。衍射圖樣S‘1的中央極大與衍射圖樣S’2的第一極小重合.瑞利判據(jù)：一物像斑中央極大與另一像斑第一極小重合時，此兩像斑恰能分辨---分辨標(biāo)準(zhǔn)。最小分辨角光學(xué)系統(tǒng)分辨本領(lǐng)表示方法：望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)：兩個恰能分辨的點物對物鏡的張角表示——最小分辨角照相物鏡：用像面上每毫米能分辨的直線數(shù)表示。顯微鏡：用恰能分辨的兩點物的距離表示。(一)望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)：兩個恰能分辨的點物對物鏡的張角。星星最小分辨角：其中，D為望遠(yuǎn)鏡物鏡的圓形通光孔徑的直徑人眼的分辨本領(lǐng)是描述人眼剛能區(qū)分非?？拷膬蓚€物點能力的物理量；瞳孔的分辨極限角

人眼在明視距離處，能分辨的兩點間的極限距離若瞳孔直徑De為2mm，對黃綠光而言，能分辨的極限角為即是人眼對放在明視距離處的物體，比這個距離更小的細(xì)節(jié)就分辨不出來了。望遠(yuǎn)鏡觀察，除了放大作用外，還提高了對物體的分辨本領(lǐng)，提高倍數(shù)為D/De提高分辨本領(lǐng)的途徑望遠(yuǎn)鏡一般望遠(yuǎn)鏡觀測用哈勃望遠(yuǎn)鏡觀測為了充分利用望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)，應(yīng)該使望遠(yuǎn)鏡有足夠大的放大率，使得望遠(yuǎn)鏡物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠(yuǎn)鏡放大后等于眼睛的最小分辨角(二)照相物鏡的分辨本領(lǐng)照相物鏡的分辨本領(lǐng)：像面上每毫米能分辨的直線數(shù)N。底片的位置與物鏡焦面重合。照相機物鏡孔徑為D若取λ=550nm，則N≈1490D/f∝D/fD/f:物鏡的相對孔徑為了充分利用照相物鏡的分辨本領(lǐng)，所使用的感光底片的分辨本領(lǐng)要求大于或等于物鏡的分辨本領(lǐng)。(三)顯微鏡的分辨本領(lǐng)顯微鏡的分辨本領(lǐng)：恰能分辨的兩點物距離。u’

0u

‘S2S1S2’S1’物面—焦點附近像面l對應(yīng)兩點物之間的距離就是分辨本領(lǐng)。顯微物鏡滿足阿貝正弦條件：l為像距，D為物鏡直徑 n，n‘分別為物鏡的物空間和象空間的折射率，而n’＝l，所以：nsinu是物鏡的數(shù)值孔徑。

電子顯微鏡用加速的電子束代替光束，其波長約0.1nm，用它來觀察分子結(jié)構(gòu)。提高分辨本領(lǐng)的途徑電子顯微鏡例5.4一束直徑為2mm的He-Ne激光自地面射向月球，已知月球到地面的距離為376×103km，問月球上接受到的光斑有多大？

若將此激光擴束為0.2m，咋此時月球上接收到的光斑又有多大？解：激光束的衍射發(fā)射角為

則月球上接收到的激光束的直徑為擴束后光束直徑減小100倍例：估算人瞳孔的最小分辨角，若兩物點相距2mm,要能分辨最多離人多遠(yuǎn)？設(shè):例5.6一臺顯微鍛的NA=0.9,求

(1)它的最小分辨距離；2)利用油浸使數(shù)值孔徑增大到1.5，利用紫色濾光片使波長為400nm，問它的分辨本領(lǐng)提高多少？3）為了利用2）中獲得的分辨本領(lǐng)，顯微鏡的放大率設(shè)計多大解：顯微鏡分辨距離：分辨本領(lǐng)提高：3）為了充分利用顯微鏡物鏡的分辨本領(lǐng)，顯微鏡目鏡應(yīng)把最小分辨距離放大到人眼在名師距離能夠分辨人眼在明視距離的最小分辨距離：所以放大率至少應(yīng)為上節(jié)回顧夫瑯禾費衍射公式：矩孔衍射：矩孔的長和寬分別為b和a，取座標(biāo)原點位在矩孔中央?？p復(fù)振幅分布衍射積分：1、I0為光軸上P0點的光強度。2、一個因子依賴于座標(biāo)x或方向余弦l，另一個因子依賴于座標(biāo)y或方向余弦w。表明P點的光強度與坐標(biāo)相關(guān)。觀察x軸上的光強分布：1、主極大：在x為0的附近。2、極?。?、次極大：5、中央主極大的寬度：半角寬度: 半角尺寸:6、中央亮斑集中了光能的絕大部分。7、光場中,障礙物對波前限制越大（a,b越小）,衍射場越彌散,衍射效應(yīng)越明顯.反之,a,b越大,衍射越不明顯。 當(dāng)a或b中其中一個不動,另一個變?yōu)闊o窮大時,就過渡到單縫衍射.（自學(xué)）

4、相鄰兩個極小值間的距離:a)與波長成正比,相同條件下,波長越長,衍射越明顯；

=0,會導(dǎo)致衍射效應(yīng)消失。 條紋在屏幕上的位置與波長成正比，如果用白光做光源，中央為白色明條紋，其兩側(cè)各級都為彩色條紋。

在夫瑯和費衍射的實驗裝置中，衍射屏具有兩個平行狹縫，就是一個夫瑯和費雙縫衍射。ad5.7雙縫夫瑯禾費衍射用夫瑯和費衍射公式導(dǎo)出雙縫衍射的光強度分布，透鏡后焦面上任一點P的復(fù)振幅可寫作：積分域包括兩個縫的兩部分波面。對于b>>a的雙縫情形，沿y1方向的衍射效應(yīng)可以忽略不計。

雙縫衍射圖樣的光強分分布由兩個因子決定：1、表示寬度為a的單縫的夫瑯和費衍射圖樣的強度分布2、表示光強度同為I0而位相相差為δ的兩束光所干涉圖樣的光強度分布。雙縫夫瑯和費衍射乃是單縫衍射和雙縫干涉的組合1、衍射極小條件：2、干涉極小條件：3、干涉極大條件：

某一級干涉極大因與衍射極小重合而不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為缺級。

在夫瑯和費衍射的實驗裝置中，衍射屏具有多個平行狹縫，就是夫瑯和費多縫衍射。ab

這些地方永遠(yuǎn)是極小,－缺級5.8多縫夫瑯禾費衍射

夫朗和費光柵衍射的實驗裝置如圖所示。衍射屏具有多個平行狹縫，每條狹縫均平行于y1方向，沿x1方向的縫寬為a,相鄰狹縫的間距為d。利用平行光照射多縫時，其每一個單縫都要產(chǎn)生自己的衍射，形成各自的一套衍射條紋。當(dāng)每個單縫等寬時，各套衍射條紋在透鏡焦平面上完全重疊，其總光強分布為它們的干涉疊加。多光束干涉計算方法：1、單縫復(fù)振幅：2、雙縫：

3、多縫：

---單縫衍射因子，只與單縫本身性質(zhì)有關(guān)---多縫干涉因子，與單縫本身性質(zhì)無關(guān)，來源于狹縫的周期性排列多縫衍射=單縫衍射+N個單縫多光束干涉P點光強

I0單縫衍射情況下P0點的光強5.8.1強度分布公式I多縫干涉光強曲線單縫衍射光強曲線多縫衍射光強曲線多狹縫干涉受到單狹縫衍射的調(diào)制縫的數(shù)目N增加，衍射圖樣最顯著的改變是亮條紋變細(xì)。

A）多縫干涉因子

1）主極大由多光束干涉因子可以看出，當(dāng)

δ=2mπ（m=0,±1,±2,…）或者

dsinθ=mλ

時，多光束干涉因子為主極大值，數(shù)值為N2

主極大強度為：

是單縫衍射在各級主極大位置上所產(chǎn)生強度的N2倍，其中，零級主極大的強度最大，等于N2I0。各級主極大的相對強度與縫數(shù)N無關(guān)，只與縫寬和縫距之比有關(guān)5.8.2多縫衍射圖樣2）極小當(dāng)Nδ/2等于π的整數(shù)倍、而δ/2不是π的整數(shù)倍，亦即：或者此時強度最小，并且等于零。并且在兩個主極大之間，有(N-1)個極小值。相鄰兩個極小(零值)之間(Δm′=1)的角距離Δθ為：主極大與相鄰的一個零級之間的角間距也為△θ——主極大的角半寬度m=0,±1,±2,…;m′=1,2,…,N-1N=6

3）多縫衍射次極大

由多光束干涉因子可見，在相鄰兩個極小值之間，除了是主極大外，還可能是強度極弱的次極大。在兩個主極大之間，有(N-2)個次極大。次極大的位置可通過求極值確定，近似由下式求得。例如，在m=0和

m=1級主極大之間，次極大位置出現(xiàn)在

共(N-2)個。在Nφ/2≈3π/2時，衍射強度為：即最靠近零級主極大的次極大強度，只有零級主極大的4.5%。此外，次極大的寬度隨著N的增大而減小。當(dāng)N很大時，它們將與強度零點混成一片，成為衍射圖樣的背景。4）多縫衍射主極大角寬度

多縫衍射主極大與相鄰極小值之間的角距離是Δθ，主極大的條紋角寬度為：該式表明：狹縫數(shù)N愈大，主極大的角寬度愈小。（a）單縫（b）雙縫（c）3縫（d）5縫（e）6縫（f）20縫(B)單縫衍射因子主極大：α=0

極小：C.缺級由于多縫衍射是干涉和衍射的共同效應(yīng)，所以存在缺級現(xiàn)象。對于某一級干涉主極大的位置，如果恰有Sinα/α=0，即相應(yīng)的衍射角θ同時滿足：dsinθ=mλm=0,±1,±2,…asinθ=nλ

n=±1,±2,…或者K為整數(shù)則該級主極大將消失，多縫衍射強度變?yōu)榱?，成為缺級。I多縫干涉光強曲線單縫衍射光強曲線多縫衍射光強曲線多狹縫干涉受到單狹縫衍射的調(diào)制縫的數(shù)目N增加，衍射圖樣最顯著的改變是亮條紋變細(xì)。

多縫衍射圖樣：1、相鄰兩個主極大之間的光程差為

，位相差為2

，主極大的強度與N有關(guān)。主條紋寬度2、在第m級主極大明條紋與第m+1級主極大明條紋間有（N-1)個暗條紋。3、在相鄰暗條紋之間必定有明紋，稱為次極大。相鄰主極大之間有(N-2)個次極大。4、當(dāng)N很大時，次極大的個數(shù)很多，在主極大明條紋之間實際上形成一片相當(dāng)暗的背底。5、缺級現(xiàn)象N=65.10在多縫的夫瑯和費衍射實驗中，所用光波的波長632.8nm．透鏡焦距50cm。觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離1.5mm，并且第4級亮紋缺級。試求雙縫的縫距和縫寬？第123級亮紋的相對強度。1、微分得相鄰條紋的角間距：條紋間距：第4級亮紋缺級：2、1、2、3級亮紋對應(yīng)：1、光柵的概念

狹義地講，平行、等寬而又等間隔的多狹縫裝置，叫做光柵。廣義地講，凡是能夠使入射光的振幅或位相，或者兩者同時產(chǎn)生周期性空間調(diào)制的一切光學(xué)元器件，統(tǒng)稱為光柵。

一句話，凡是屏函數(shù)是空間周期函數(shù)的衍射屏，統(tǒng)稱為衍射光柵。

5.9衍射光柵2.光柵的分類（1）.按照空間維度劃分

a.平面上的一維光柵；

b.平面上的二維光柵；

c.空間三維立體光柵。（2）.按照對入射光的反射和透射作用劃分

a.反射光柵：

b.透射光柵：（3）.按照衍射屏屏函數(shù)的類型劃分

a.振幅光柵；

b.相位光柵；

c.振幅—相位混合型光柵。（4）.按照制備光柵的方法劃分

a.刻畫光柵：刀刻光柵和光刻光柵；

b.腐蝕光柵；

c.復(fù)制光柵；

d.全息光柵。5.9.1光柵的分光性能1、光柵方程：決定光柵衍射主極大條件的公式

m=0，1，2，…

sinθ∝λ

分光原理

光柵中，透光縫寬a，不透光縫寬b。相鄰兩縫之間的距離d稱為光柵常量,

d=a+b，d約為10

6m。光柵衍射條紋是單縫衍射和縫間干涉的共同結(jié)果。

αIβI多縫干涉I光柵衍射單縫衍射01-1d01-1d反射光柵： 光柵的劃線改變了入射光波的振幅(或光強)透過率或反射率分布---振幅光柵。 在θ=i的方向即為光強最大的中央零級。這個方向滿足幾何光學(xué)的折射定律(對透射光柵)或反射定律(對反射光柵)。

R1iddsin

dsiniR2

R1iddsin

dsiniR21、入射光與衍射光分居光柵法線兩側(cè)：入射光束R1比R2超前dsini，出射光R2比R1超前dsinθ，光程差為：2、入射光與衍射光在光柵法線同側(cè)：光束總R2比R1超前dsini，dsinθ，光程差為：2、光柵的色散本領(lǐng)光柵主極大的衍射角θ與波長λ有關(guān)。即“色散”現(xiàn)象。光譜儀將不同波長的同級主極大光分開的程度，通常用角色散和線色散表示1、角色散：波長相差1埃的兩條譜線之間的角距離。2、線色散：焦平面上波長相差1埃的兩條譜線之間的距離。3光柵的色分辨本領(lǐng)分辨本領(lǐng)乃是指分辨兩個很靠近的譜線的能力。λ與在該波長附近能被分辨的最小波長差的比值。再由角色散的表達式一般光柵中使用的光譜級數(shù)為1到3級，而光柵縫數(shù)N是一個很大的數(shù)值，所以光柵可得到很高的分辨本領(lǐng)。對比F-P標(biāo)準(zhǔn)距的分辨本領(lǐng)

4.光柵的自由光譜范圍——可以觀察到互相分開的譜線Δλ

與F-P標(biāo)準(zhǔn)距比較0.97mS

討論：1、光柵是分波面干涉裝置；分辨本領(lǐng)正比于：m,N;2、光柵m很??；N受工藝限制--有限；3、F-P分辨本領(lǐng)正比于：F,m;m一般很大；4、色散正比于：

/m5、F-P用于高精度測量；光柵用于寬光譜分析。5。12設(shè)計一塊光柵要求(1)使波長600nm的第二級譜線的衍射角小于30度；(2)色散盡可能大；(3)第三級譜線缺線；(4)對波長600nm的二級譜線處能分辨0.02nm的波長差；選定光柵參數(shù)后，問在透鏡的焦面上可能看到幾條譜線?1、為使波長600nm的二級譜線的衍射角＜30度，光柵d必須滿足色散：三級缺級：2級處的分辨率：光柵寬度：光柵形成的譜線應(yīng)在＜90度的范圍內(nèi)。三級缺級，4級幾乎看不到。所以：級數(shù)：0，

1，2，閃耀光柵整個光柵面都有同樣的反射率，光程的規(guī)則變化對于位相產(chǎn)生了調(diào)制。這種光柵稱為位相光柵。d光柵面法線刻劃面法線i

α

0+1-1

通過控制刻劃面與光柵平面的夾角γ，可以使所要求的光譜級次正好在這個最大光強的方向(閃耀方向)。γ角稱為閃耀角。 的一級光譜就在該方向，與 單槽面的衍射主極大重合， 獲得最大光強。在波長λB的一級光譜(m＝1)閃耀的光柵也對λ/2，λ/3……的二級，三級光譜閃耀。光柵面法線刻劃面法線d0+12

d0+12

夫瑯和費透射式衍射光柵裝置中，以白光入射時，在衍射角為30度的方向上能夠觀測到波長為600nm光的第二級主極強，并且在此處剛可分辨光譜間隔為0.5nm的兩條譜線，問：

（1）該光柵相鄰兩縫的間隔d（光柵常數(shù)）是多少？

（2）該光柵的總寬度D是多少？

（3）若在波長為600nm光的第三級主極強處出現(xiàn)了首次缺級，那么這個光柵透光狹縫的寬度a是多少？

菲涅爾衍射是在菲涅爾近似成立的距離上觀察到的衍射現(xiàn)象。

代數(shù)加法(菲涅耳波帶法)或圖解法(振幅矢量加法)定性或半定量分析菲涅耳衍射現(xiàn)象。光波長600nm，孔徑寬度2cm，菲涅爾衍射：即§5-10

圓孔和圓屏的菲涅爾衍射

5.10.1菲涅爾衍射CP＝Z1。以P0為中心，以Z1+λ/2，Z1+λ，……Z1+jλ/2為半徑，在波面上作圓分波面為許多環(huán)帶。這些環(huán)帶叫做菲涅爾半波帶(或菲涅爾波帶)。

光源在P點產(chǎn)生的光振動，就是波面上所有波帶發(fā)出的次波在P點的光振動的迭加5.10.2菲涅耳波帶法利用菲涅耳波帶法求光源對P0點產(chǎn)生的光作用。同一個環(huán)帶子波對p貢獻，等于一個子波乘波帶面積；1、一個波帶在P0

的振幅：惠更斯——菲涅耳原理：第j個子波帶在P0點的復(fù)振幅：Aj是第j個波帶的面積，波帶半徑：aj,aj-1兩圓面積之差:

2、各波帶在P0點的復(fù)振幅：1）各波帶在P0點的振幅與波帶到P0的距離及傾斜因子有關(guān)。2）j越大，rj、

j越大，振幅隨j增大，單調(diào)減小，但變化緩慢。3）相鄰波帶到P0點的光程差/2，位相差。相鄰波帶，復(fù)振幅大小遞減，位相相反3、P0處的振幅：假設(shè)奇數(shù)波帶在P0處產(chǎn)生的位相是0，偶數(shù)，則：

a1a3a5

aN

a4a2AP

N是偶數(shù)

a1a3a5aN

AP

a6

a4a2

N是奇數(shù)單調(diào)下降、緩慢變化：1）N很大： 孔徑很大或沒孔奇數(shù)光強，偶數(shù)光弱。2）N不大： 孔徑變化，P0出現(xiàn)明暗交替變化。

Z1變化，P0明暗變化。5.10.3圓孔菲涅耳衍射（軸外點）考察P1點。以P1為圓心，分別以Z1+λ/2，Z1+λ……為半徑，(r1為圓孔內(nèi)的波面與SPl連線的交點M1到P的距離)將露出波面劃分成波帶。波帶在P1點所生振動的振幅就不僅取決于它們的數(shù)目，也取決于每個波帶露出部分的多少。

整個圖形具有回轉(zhuǎn)對稱性，所以在P點周圍呈現(xiàn)出亮暗交替的圓形條紋。5.10.4圓屏菲涅耳衍射（軸外點）以P為圓心，分別以Z1+λ/2，Z1+λ，……為半徑(Z1為圓屏邊緣到P點距離)將到達圓屏的波面劃分成波帶。利用互補屏原理：1、圓屏直徑較小，P點是亮點，周圍有一些強度較小亮暗環(huán)。2、半徑很大圓屏，P點實際上是暗點。

5.10.5菲涅耳波帶片

P點劃分的波帶中，奇數(shù)序波帶(或偶數(shù)序波帶)發(fā)出的次波在P點是同位相的。而奇數(shù)序波帶和偶數(shù)序波帶發(fā)出的次波在P點位相相反。設(shè)想：—個特殊的光欄，平行光照明，奇數(shù)序的波帶暢通無阻，偶數(shù)序的波帶完全被遮去，或者反之，觀察點P處的振幅是同位相的諸次波的迭加。這樣就會得到最大的迭加振幅。20波帶： P0點的光強度要比沒有任何障礙而直接照射下的光強度增大數(shù)百倍。 這種將奇數(shù)波帶或偶數(shù)波帶遮去的特殊光欄稱為菲涅爾波帶片。因為它具有透鏡的作用，所以又稱為菲涅耳透鏡。波帶片的聚焦和成像：1、聚焦 波帶片的設(shè)計總是對應(yīng)、距離z1處軸上點P0。以單色平面波照明，P0總是亮點（焦點）。第j個波帶外圓半徑：2、成像：點光源S照明，亮點S’滿足：SS’P0CQajfll’SS’P0CQajfll’S與S’

滿足成像關(guān)系。波帶片使用波帶廣。3特點例5.12考察近點處點光源對圓孔產(chǎn)生的菲涅爾衍射

推導(dǎo)半徑為ρ的圓孔包含的波帶數(shù)的表示式s為點光源，DD’為光闌，其上有一半徑為ρN的圓孔，S為通過圓孔的波面－球冠(球冠的高為h)，P為圓孔對稱由上任意一點。DD’

由幾何知識可得首先考慮通過圓孔N個完整菲涅耳半波帶。圖中

又

由以上兩式可得討論：▲對P點若S恰好分成N

個半波帶時：N為奇數(shù)最大N為偶數(shù)最小▲對P若S中還含有不完整的半波帶時：光強介于最大和最小之間光源無窮遠(yuǎn)R—>∞N=ρ2/(r0λ)與前一致SUMMARY：干涉與衍射的區(qū)別和聯(lián)系：（1）波的相干迭加的結(jié)果（干涉是有限幾束光迭加，衍射是無窮多次波的迭加）；（2）花樣都是明暗相間（但分布上有均勻和集中之不同）；（3）迭加的中心問題都是位相差。

干涉和衍射是本質(zhì)上統(tǒng)一，但形成條件、分布規(guī)律、處理方法上略有不同而又緊密關(guān)聯(lián)的同一類現(xiàn)象。5.10.5菲涅耳波帶片

P點劃分的波帶中，奇數(shù)序波帶(或偶數(shù)序波帶)發(fā)出的次波在P點是同位相的。而奇數(shù)序波帶和偶數(shù)序波帶發(fā)出的次波在P點位相相反。設(shè)想：—個特殊的光欄，平行光照明，奇數(shù)序的波帶暢通無阻，偶數(shù)序的波帶完全被遮去，或者反之，觀察點P處的振幅是同位相的諸次波的迭加。這樣就會得到最大的迭加振幅。20波帶：夫瑯和費單縫衍射多縫衍射——光柵圓孔菲涅爾衍射菲涅爾波帶第五章重點光的衍射

“光的衍射”就是光可以“繞過”障礙物而在某種程度上傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)。分為兩種類型：1、菲涅耳(Fresnel)衍射；2、夫瑯和費(Fraunhofer)衍射。菲涅耳衍射有限遠(yuǎn)夫朗和費衍射無限遠(yuǎn)近場衍射遠(yuǎn)場衍射夫瑯和費單縫衍射夫瑯和費衍射是光學(xué)儀器中最常見的衍射現(xiàn)象一、夫瑯和費衍射裝置

fP0PL1L2(x,y)(x1,y1)

SC縫的寬為a，取座標(biāo)原點位在縫中央。觀察x軸上的光強分布：1、主極大：在x為0的附近。2、極?。?、次極大：

4、相鄰兩個極小值間的距離:

與波長成正比。5、中央主極大的寬度：半角寬度: 半角尺寸:6、中央亮斑集中了光能的絕大部分。7、光場中,障礙物對波前限制越大（a,b越?。?衍射場越彌散,衍射效應(yīng)越明顯.反之,a,b越大,衍射越不明顯。雙縫衍射

雙縫衍射圖樣的光強分分布由兩個因子決定：1、