人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一5.1 任意角與弧度制（精練）（含答案及解析）

5.1任意角與弧度制（精練）1．（2023春·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以下命題中所表述的角都是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合的角.①小于的角一定是銳角；

②第二象限的角一定是鈍角；③終邊重合的角一定相等；

④相等的角終邊一定重合.其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

3（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．角60和角600是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為第三象限角，則為第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三5（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為1cm）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．6（2023秋·江西）《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計(jì)算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦的長，“矢”是指所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑.若扇形的面積為，扇形的半徑為4，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值為（

）

A． B．C． D．

7．（2023春·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．如圖是書畫家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鴉圖》扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為（

）

A． B． C． D．8．（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，勒洛三角形ABC的周長為π，則該勒洛三角形ABC的面積為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定是銳角 B．終邊相同角一定相等C．小于90°的角一定是銳角 D．鈍角的終邊在第二象限10．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．11．（2023春·云南曲靖·高一校考階段練習(xí)）水滴是劉慈欣的科幻小說《三體II·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱為水滴.如圖所示，水滴是由線段和圓的優(yōu)弧圍成，其中恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為1，點(diǎn)到圓弧所在圓圓心的距離為2，則該封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．12（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┰O(shè)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．13．（2023春·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校ǘ噙x）下列結(jié)論正確的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上的角的集合為D．若角為銳角，則角為鈍角14（2023·全國·高一課堂例題）（多選）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．15．（2022秋·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）下列說法正確的有（）A．B．若角是銳角，則是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，則是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要條件是16．（2023秋·吉林長春·高一長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）（多選）若角是第二象限角，則下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．17（2022秋·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是18．（2023春·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．

19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是20．（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.22．（2023春·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知是邊長為2的等邊三角形.如圖，將的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，在軸上，然后將三角形沿著軸正方向滾動，每當(dāng)頂點(diǎn)再次回落到軸上時，將相鄰兩個點(diǎn)之間的距離稱為“一個周期”，則完成“一個周期”時，頂點(diǎn)的路徑長度為.23．（2023·全國·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．24．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．25．（2023春·江西撫州·高一江西省撫州市第一中學(xué)?？计谥校┠车卣块T欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．26．（2022秋·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．27．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.（1）若，，求扇形的弧長l及面積S；（2）若扇形的周長是一定值C（），當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？并求最大面積；（3）若扇形的面積是一定值S（），當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最小周長？并求最小周長.1．（2023秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的邊長為，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，則圍成的陰影部分的面積為．

2．（2023春·山東濰坊·高一校聯(lián)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長度為的線段，并作等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，；以此類推，得到的螺線如圖所示.當(dāng)螺線與直線有個交點(diǎn)（不含點(diǎn)）時，則螺線長度為（

）

A． B． C． D．3．（2023春·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知扇形的周長為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時，弦長（

）

A． B． C． D．4．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期中）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，則下列結(jié)論錯誤的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為5（2023春·北京海淀·高一北大附中?？计谥校┤鐖D放置的邊長為1的正沿軸滾動．設(shè)頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡對應(yīng)的函數(shù)解析式為，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）①的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；②的圖象關(guān)于直線對稱；③在其兩個相鄰零點(diǎn)間的曲線長度為；④在其兩個相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為．說明：“正沿軸滾動”包括沿軸正方向和負(fù)方向滾動．沿軸正方向滾動指的是先以頂點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)落在軸上時，再以頂點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．類似地，正可以沿軸負(fù)方向滾動．A．1 B．2 C．3 D．46．（2023秋·河南周口·高一校考開學(xué)考試）如圖，等邊三角形的邊長為2，以為圓心，1為半徑作圓分別交，邊于，，再以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作圓交邊于，連接，，那么圖中陰影部分的面積為.

5.1任意角與弧度制（精練）1．（2023春·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以下命題中所表述的角都是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合的角.①小于的角一定是銳角；

②第二象限的角一定是鈍角；③終邊重合的角一定相等；

④相等的角終邊一定重合.其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對于①，的角是小于的角，但不是銳角，所以①錯誤，對于②，的角是第二象限的角，但不是鈍角，所以②錯誤，對于③，的角和的角終邊相同，但不相等，所以③錯誤，對于④，因?yàn)榻嵌际琼旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合的角，所以若角相等，則終邊一定重合，所以④正確，所以真命題的個數(shù)是1，故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】當(dāng)時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．3（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．角60和角600是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】，與終邊不相，故A錯誤；第三象限角的集合為，故B錯誤；終邊在軸上角的集合為，即，即，故C正確；是第二象限角，第一象限角，，故D錯誤；故選：C.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為第三象限角，則為第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【解析】因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以所以?dāng)為偶數(shù)時，記,所以所以為第二象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，記,所以所以為第四象限角，所以為第二或第四象限角，故選:A.5（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為1cm）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】

如圖所示，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)B處，黑螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)C處，此時，即為正三角形，故.故選：A6（2023秋·江西）《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計(jì)算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦的長，“矢”是指所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑.若扇形的面積為，扇形的半徑為4，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)該扇形的圓心角為，由扇形面積公式得，所以，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則，則，，，所以扇形的弧長的近似值為.故選：D

7．（2023春·黑龍江綏化·高一校考階段練習(xí)）中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜歡在扇面上寫字作畫．如圖是書畫家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鴉圖》扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)，，

由弧長公式可得：，解得：，扇形的面積，扇形的面積所以扇面的面積．故選：D．8．（2023春·安徽·高一校聯(lián)考期中）勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.如圖，勒洛三角形ABC的周長為π，則該勒洛三角形ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槔章迦切蜛BC的周長為π，所以每段圓弧長為，解得，即正三角形的邊長為1，由題意可得，故選：C9．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定是銳角 B．終邊相同角一定相等C．小于90°的角一定是銳角 D．鈍角的終邊在第二象限【答案】D【解析】對于A，第一象限角是，第一象限角不一定是銳角，故A錯誤；對于B，終邊相同角不一定相等，它們可能差，故B錯誤；對于C，小于90°的角不一定是銳角，也可能是零角或者負(fù)角，故C錯誤；對于D，鈍角是大于90°且小于180°的角，故D正確；故選：D.10．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？计谥校?shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】萊洛三角形的周長為，可得弧長，則等邊三角形的邊長，分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積均為，等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是.故選：C.11．（2023春·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）水滴是劉慈欣的科幻小說《三體II·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱為水滴.如圖所示，水滴是由線段和圓的優(yōu)弧圍成，其中恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為1，點(diǎn)到圓弧所在圓圓心的距離為2，則該封閉圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)圓弧所在圓的圓心為，連接，依題意得，且，則，所以，所以該封閉圖形的面積為.故選：A.12（2023秋·山東臨沂·高一校考期末）設(shè)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楸硎窘K邊落在軸上角的集合，表示終邊落在軸正半軸上角的集合，表示終邊落在軸負(fù)半軸上角的集合，所以，，正確；，故錯誤.故選：D13．（2023春·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校ǘ噙x）下列結(jié)論正確的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上的角的集合為D．若角為銳角，則角為鈍角【答案】AC【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且為第二象限角，所以是第二象限角，故A正確；對于選項(xiàng)B：第三象限角的集合為，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：終邊在軸上的角的集合為，故C正確；對于選項(xiàng)D：若角為銳角，即，則，所以角不一定為鈍角，例如，則為直角，故D錯誤；故選：AC.14（2023·全國·高一課堂例題）（多選）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】與終邊相同的角可寫為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.15．（2022秋·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）下列說法正確的有（）A．B．若角是銳角，則是第一或第二象限角C．若角是第二象限角，則是第一或第三象限角D．角是第三或第四象限角的充要條件是【答案】AC【解析】由題意A項(xiàng)，∴故A正確.B項(xiàng)，若角是銳角，∴∴∴不僅可能是第一或第二象限角，也可能在軸上，故B錯誤.C項(xiàng)，若角是第二象限角，∴∴則是第一或第三象限角故C正確.D項(xiàng)，若角是第三或第四象限角則，且∴，必要性成立若，則∴角是第三或第四象限角或在軸的負(fù)半軸上充分性不成立故錯誤.故選：AC.16．（2023秋·吉林長春·高一長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）（多選）若角是第二象限角，則下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)榻鞘堑诙笙藿?，所以，，對于A，，，故是第三象限角，故A正確；對于B，，，故是第一象限角，故B不正確；對于C，，，故是第三象限角，故C正確；對于D，,,故是第三象限角或軸負(fù)半軸上的角或第四象限角，故D不正確.故選：AC17（2022秋·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】ABD【解析】對于A,化成弧度是,故A正確，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D正確，故選：ABD18．（2023春·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．

【答案】．【解析】由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為，上側(cè)終邊相同的角為且，所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.故答案為：19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【答案】【解析】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為故答案為：20．（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.【答案】【解析】因?yàn)?，又扇形的圓心角為，半徑為，所以它的弧長為，故答案為：22．（2023春·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知是邊長為2的等邊三角形.如圖，將的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，在軸上，然后將三角形沿著軸正方向滾動，每當(dāng)頂點(diǎn)再次回落到軸上時，將相鄰兩個點(diǎn)之間的距離稱為“一個周期”，則完成“一個周期”時，頂點(diǎn)的路徑長度為.【答案】/【解析】如圖，頂點(diǎn)先以2為半徑繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)弧度，再以2為半徑繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)弧度，其路徑長度為.故答案為：23．（2023·全國·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．又由，當(dāng)時，，此時是第一象限角；當(dāng)時，，此時是第二象限角；當(dāng)時，，此時是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．24．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)扇形的弧長為l．因?yàn)?，即，所以．?）由題設(shè)條件，知，則，所以扇形的面積．當(dāng)時，S有最大值36，此時，所以當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是36．25．（2023春·江西撫州·高一江西省撫州市第一中學(xué)?？计谥校┠车卣块T欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．【答案】(1)；(2)當(dāng)時，y的值最大，最大值為．【解析】（1）根據(jù)題意，弧的長度為米，弧的長度米，，．（2）依據(jù)題意，可知，化簡得：，，當(dāng)，．∴當(dāng)時，y的值最大，且最大值為．26．（2022秋·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長為．(1)已知扇形的周長為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【答案】(1)(2)取得最大值25，此時【解析】（1）由題意得，解得(舍去)，．所以扇形圓心角．（2）由已知得，．所以，所以當(dāng)時，取得最大值25，,解得.當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大為25.27．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.（1）若，，求扇形的弧長l及面積S；（2）若扇形的周長是一定值C（），當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？并求最大面積；（3）若扇形的面積是一定值S（），當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最小周長？并求最小周長.【答案】13.（1），；（2）當(dāng)弧度時，扇形面積最大，為；（3）當(dāng)弧度時，扇形周長最小，為.【解析】（1）若，，則，所以扇形的弧長，扇形的面積；（2）扇形周長，，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，扇形面積有最大值．（3）扇形的面積，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)即時周長取得最小值1．（2023秋·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的邊長為，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，則圍成的陰影部分的面積為．

【答案】【解析】如圖，連接.由題意知，線段的長度都等于半徑，所以，為正三角形，則，故的面積為，扇形的面積為，由圖形的對稱性可知，扇形的面積與扇形的面積相等，所以陰影部分的面積.故答案為：.

2．（2023春·山東濰坊·高一校聯(lián)考期中）某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長度為的線段，并作等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，；以此類推，得到的螺線如圖所示.當(dāng)螺線與直線有個交點(diǎn)（不含點(diǎn)）時，則螺線長度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】第1次畫線：以點(diǎn)為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第2次畫線：以點(diǎn)為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)1次；第3次畫線：以點(diǎn)為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為3，交累計(jì)2次；第4次畫線：以點(diǎn)為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第5次畫線：以點(diǎn)為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)3次；前5次累計(jì)畫線；第6次畫線：以點(diǎn)為圓心，扇形半徑為，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)4次，累計(jì)畫線.故選：A.3．（2023春·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知扇形的周長為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時，弦長（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，扇形的面積最大，此時．因?yàn)?，則扇形的圓心角，取線段的中點(diǎn)，由垂