高三數(shù)學試題匯編（第3期）專題08 立體幾何 理

【精選+詳解】2013屆高三數(shù)學名校試題匯編（第3期）專題08立

體幾何理

一.基礎題

1.【安徽省黃山市2013屆高中畢業(yè)班第一次質量檢測】〃八八是不同的直線，a、。、y

是不同的平,面，有以F四命題：

①若a〃4a〃7,則/〃7;②若a_LQ，m〃a,則m_L〃；

③若〃2_l_a，加〃/，則a_L￡;④若m〃小〃u。，則m//a.

其中真命題的序號是()

A.0@B.①④C.(2X3)D.②④

【答案】A

【解析】時于②，也也可能在平面尸內或平行，故錯；時于④，力也可能在平面a內，故

錯；故真命題為①③，答案為A.

2.【廣東省潮州市2012-2013學年度第一學期期末質量檢測】對于平面a和共面的兩直線

"7、〃，下列命題中是真命題的為

A.若m_La,mA.n,則〃〃aB.若mHa,nHa,則血/〃

C.若機ua,nila,則〃?〃〃D.若〃？、〃與。所成的角相等，則相〃〃

【答案】C

【解析】考查空間中線、面的平行與垂直的位置關系的判斷.

3.12012-2013學年云南省昆明市高三（上）摸底調研測試】如圖，若一個空間幾何體的三

視圖中，正視圖和側視圖都是直角三角形，其直角邊均為1,則該幾何體的表面積為（）

【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個四棱錐

底面是一個邊長為1的正方形，故底面積S底=1—

側面有兩個直角邊長為1的等腰直角三角形，和兩個邊長分為1,沈，正的直角三

角形組成，故S*2X1X1X1+2X」X1X&=1_/^

22

???該幾何體的表面積S=SMS*2+加

故選D

4.12012-2013學年遼寧省丹東市四校協(xié)作體高三摸底考試（零診）】已知m、n是兩條不同

直線，a、B是兩個不同平面，則下列命題中正確的是（）

A.若a_LB,n_LB,m〃n,則m〃.a

B.若a_LB,anB=n,m±n,則m_La或m±B

C.若anB=n,m〃n,11Qa,mQB,則m〃a且ni〃B

D.若m不垂直于平面a,則m不可能垂直于平面a內的無數(shù)條直線

【解析】A?n_L。，.??w7a或nua,則m〃a或mua,故A錯?：

B.'.'a±p,anp=n,m_Ln,若有mua或mu。，則或m_Lct,故B錯；

C.*.*an(3=n,m//n,m—a,又,.,ari|J=n,m〃n,mH。，「.m〃仇即m"a

且m〃。，故C正確；

D.由線面垂直的定義知，既使m不垂直干平面a,則m仍可能垂直于平面a內的無

數(shù)條直線，故D錯.

故答案為C.

5.【惠州市2013屆高三第三次調研考試】已知以〃是兩條不同直線，是三個不同

平面，下列命題

中正確的有.

①若機IIa,nIIa,則〃zIIn.②若a_Ly,夕_Ly,則a〃.

③若mHa,mH。,驗aHB.④若m±a,n±a,則〃zUn

【答案】④

【解析】均為直線，其中〃平行a,次,〃可以相交也可以異面，故①不正確；

m-a,nJLa則同垂直于一個平面的兩條直線平行；④正確.

6【2012-2013學年江西省南昌市調研考試】下列命題中,m,n兩條不同的直線，a,￡,y

表示三個不同的平面.

①若m±a,n\\a,則mIn；②若aJ_J_y,則a||/7；③若m||a,n||a,則右||n；

①若。||4,/?||/,6_1_。則〃2_17,正確的命題是(C)

A.①③B.②③C.①④D.@?

【解析】：②中平面a、￡即可平行，也可相交；③中直線〃八〃平行、相交和異面皆可

7.【北京市海淀區(qū)北師特學校2013屆高三第四次月考】在空間，下列命題正確的是

()

A.平行直線在同?平面內的射影平行或重合B.垂直于同?平面的兩條直線平行

C.垂直于同一平面的兩個平面平行D.平行于同一直線的兩個平面平行

【答案】B

【解析】A中的射影也有可能是兩個點，錯誤。C中兩個平面也可能相交，錯誤。D中的

兩個平面也有可能相交，錯誤。所以只有B正確。

8.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測】己知直線L_L平面a,直線mU

平面比則“/〃加”是邛”的

（A）充要條件1B）必要條件（C）充分條件（D）既不充分又不必要條件

【答案】C

【解析】本題考查立體幾何中的線面關系。口山’時，除了可能/〃叫也可能相交或為異

面直線。

9.[2012-2013學年河南省平頂山許昌新鄉(xiāng)三市高三（上）第一次調研考試]（5分）一個幾

何體按比例繪制的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為（）

正（X）祝！90

為祝四

A.73B.93C.73D.93

個41rl

【答案】C

【解析】三視圖復原的幾何體，下都是放倒的四棱柱,

底面是直角梯形，邊長分別為：3,2,1,V2；

高為：1；上部是正方體，

也可以看作是三個正方體和半個正方體的組合體，

所以幾何體的體積為：3xF-lxi3=1

22

故選C.

10.[2012-2013學年河南省中原名校高三（上）第三次聯(lián)考]（5分）已知某個幾何體的三

視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是（）

D.83

互cm

正視圖側視圖

【答案】A

【解析】根據(jù)三視圖的定義，可知正視圖為一個正方形以及內部的一個三角形；側視圖和正

視圖一樣，故答案為A.

2.【廣東省肇慶市中小學教學質量評估2012-2013學年第一學期統(tǒng)一檢測題】

已知某個幾何體的三視圖如圖2所示，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,則這個幾何體的

A.8cw3B.12cv/z3C.24anD.72cnt

【答案】B

【解析】三視圖的直觀圖是有一個側面垂直于底面三棱錐，底面是底邊長為6高為4的等腰

三角形，三棱錐的高為3,所以，這個幾何體的體積〃=2x1x6x4x3=12

3.12012-2013學年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知以下三視圖中有三個同時

表示某一個三棱錐,則不是該三棱錐的三視圖是（

俯視圖俯視圖

俯視圖俯視困

【答案】D

【解析】三棱錐的三視圖均為三角形，四個答案均滿足；

且四個三視圖均表示一個高為3,底面為兩直角邊分別為1,2的棱錐

A與C中俯視圖正好旋轉ISO%故應是從相反方向進行觀察，而其正視圖和側視圖中

三角形斜邊頸斜方向相反，滿足實際情況，故A,C表示同一棱錐

設A中觀察的正方向為標準正方向，以C表示從后面觀察該棱錐

B與D中俯視圖正好旋轉180%故應是從相反方向進行觀察，但側視圖中三角形斜邊

何斜方向相同，不滿足實際情況，故B,D中有一個不與其它三個一樣表示同一個棱

錐，

根據(jù)B中正視圖與A中側視圖相同，側視圖與C中正視圖相同，可判斷B是從左邊

觀察該棱錐

故選D

4.【廣州市2013屆高三年級1月調研測試】已知四棱錐P-A3CD的三視圖如圖1所

示，

則四棱錐。一48CD的四個側面中面積最大的是

A.3B.2&C.6D.8

側視圖

圖?

【答案】C

【解析】三棱錐如圖所示，PM=3,5APDC=-X4X>/5=2V5,

Sv8c=S",m=gx2x3=3,S”八8=gx4x3=6

5.12012-2013學年遼寧省丹東市四校協(xié)作體高三摸底考試（零診）】設某幾何體的三視圖

如圖（尺寸的長度單位為：m）,若該兒何體的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積等

于m?（答案用含有五的式子表示）

【解析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個三棱柱

底面的半徑r滿足2r=.時=6

sin60

則『3

棱柱的高為S

則球心到底面的距離d=4

則球的半徑R=7A^2=5

故此球的表面積S=4nR:=100n

故答案為：lOOn

6.【北京市昌平區(qū)2013屆高三上學期期末理】已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，根

據(jù)圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的全面積為

俯視圖

A10+46+4&R10+26+4&c.14+2百+4&D,14+4^/3+472

【答案】B

?A。、、、

【解析】B

根據(jù)三視圖復原的幾何體是底面為直角梯形，一條側棱垂直直角梯形的直角頂點的四棱錐

其中ABCD是直角梯形，AB±AD,AB=AD=2,BC=4,即PA_L平面ABCD,PA=2,且8=272,,

PD=142,PB=1石-PC=276，底面梯形的面積為Q+”=6,

DPC中的高DO=-函）［=6,「所o

所以S皿="灰巾=邛,所以該幾何體的總面積為

6+2+2+2后+40=10+2招+40,選B.

7.【北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學期期末理】已知三棱錐的底面是邊長為的正三角形，

其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側視圖的面積為

-1yT

正視圖。

3

4

D.

俯視圖，

【答案】c

【解析】由正視圖與俯視圖可知，該幾何體為正三棱錐，側視圖為，側視

圖的高為立，高為JL所以側視圖的面積為Lx走

2224

選C.

8.【北京市東城區(qū)2013屈高三上學期期末理】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

的表面積為

【答案】75-4^

【解析】由三視圖可知，該幾何體是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高為4,

,底面梯形的上底為4,下底為5,腰8=疔工=次,所以梯

形的面積為5=(4+：一二三,梯形的周長為3十4十5+而=函+12,所以四個側

面積為(J6+12)x4=4jl^+48,所以該幾何體的表面積為

4畫+48+2x^-=75+4而.

9.【北京市豐臺區(qū)2013屆高三上學期期末理】如圖，某三棱錐的三視圖都是直角邊為五的

等腰直角三角形，則該三棱錐的四個面的面積中最大的是

(A)V3(E)2百(01(D)2

【答案】A

【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，三棱錐的三個側面都是等腰直角三角形,

所以四個面中面積最大的為ABC。，且ABC。是邊長為為2的

正三角形，所以Sms=；乂2義2乂4=幣，選A.

10.【北京市海淀區(qū)2013屆高三上學期期末理】三楂錐。-A8C及其三視圖中的主視圖和

左視圖如圖所示.則楂“D的長為.

【答案】4&

【解析】取配的中點，連結BE,DE由主視圖可知

EE_AC：BE_DE.DC-ABC且

DC=BE=273:AE=EC=2.所以

BC=4BE、EC：=,(2舟+2、=灰=4,即

BD=jBC：+DC：=Jf+41=岳=4>/2-

11.【北京市石景山區(qū)2013屆高三上學期期末理】設團，〃是不同的直線，夕是不同的平

面，下列命題中正確的是（）

A.若m//a,nt0,m工n,則a_L/?

B.若_L民加_L〃，則a〃￡

C.若P，m/In,則a_L/?

D.若m」/a,nA.B，m//n,則a//6

【答案】C

【解析】C中，當mlla、m〃n,所以，〃//a,或〃ua,當〃_L。，所以a_L￡,所以正

確。

12.【北京市通州區(qū)2013屆高三上學期期末理】一個幾句體的三視圖如圖所示，該幾何體

的表面積是

(A)16+4亞(B)12+4&(C)8+40(D)4+40

【答案】B

【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個平放的直三棱柱，棱柱的底面為等腰直角三角形,

棱柱的高為2,所以該幾何體的底面積為2xLx2x2=4,側面積為

一7

(2+2+272)x2=8+472,所以表面積為8+箱+4=12+44，選B.

13.【北京市西城區(qū)2013屆高三上學期期末理】某四面體的三視圖如圖所示.該四面體的六

條極的長度中，最大的是()

(A)2^5(B)276(C)2幣(D)4&

【答案】C

【解析】由三視圖可知該四面體為V-.iBC,其中

EC=CB=2,HE=N0FC=2,J￡_8￡/C一括E.所以六條棱中，最大的為

VA或者”3.AC2=AEZ+￡C:=(2V3):+22=16,所以

I：r=JC:+rC:=16+2:=20,此時IN=回=2#.

AB?=H+EB2=QW>+41=28,所以4=后=2，>2在，所以棱長最大

的為2，，選C.

14.【北京市朝陽區(qū)2013屆高三上學期期末理】在棱長為1的正方體ABCD-AqCA中，

點、仁6分別是線段AB,80(不包括端點)上的動點，且線段片鳥平行于平面A4OR,

則四面體qP2ABi的體枳的最大值是

62

【答案】A

【解析】過鳥做鳥。_1_底面于0,連結則Oq_L4?,即為三棱錐鳥一片入片的

高，設A[=x，0<x<l，則由題意知。4〃4。，所以有空二駕，即。4二1一工。

ADAB

三角形Sg相=白，所以四面體4片的體積為

1X1x(1-x)=1x(1-x)<|(11*V)2=,當且僅當x=

即X=J時，取等號，所以四面體46AA的體積的最大值為(，選A.

4I

DiG

15、【北京市石景山區(qū)2013屆高三上學期期末理】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的

體積是()

【答案】B

【解析】由三視圖可知該幾何體為三棱錐，三棱錐的高為2,底面三角形的高為3,底面邊

長為3,所以底面積為，x4x3=6,所以該兒何體的體積為，x6x2=4,選B.

23

16.【安徽省2013屆高三開年第一考】一個多面體是由正方體割去兩個三棱錐得到的，其正

視圖、側視圖、俯視圖均是邊長為2的正方形，如圖所示，該多面體的表面積是（)

A.12+4&B.8+2、行C.12+2V3D.8+4石

【答案】A

【解析】由三視圖可得，多面體如圖所示，其面積為

S=12+4G，選A

17.[2013安徽省省級示范高中名校高三聯(lián)考】如圖，L,M,N分別為正方體對應棱的中點,

則平面LMN與平面PQR的位置關系是

A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合

【答案】C

【解析】如圖，分別取另三條棱的中點兒用0將平面工?延

展為平面正六邊形的BNCL,因為PQ〃AL,PR〃AM,

且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面尸然//平面

的B\CL，即平面口N〃平面PQR.

18.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級第一次診斷性測驗試卷】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1

中，E、F是AB的三等分點，G、H是CD的三等分點，M、N分別是BC、EH的中點，則四棱

錐Al-FMGN的側視圖為

【答案】C.

【解析】（略）.

19.【安徽省皖南八校2013屆高三第二次聯(lián)考】已知命題：“如果"工人）'〃z,則/‘z"

是假命題，那么.字母乂）'*在空間所表示的幾何圖形只可能是（）

A.全是直線B.全是平面C.x,z是直線y是平面D.x,y是平面，z是直線

【答案】D

xA.y

【解析】???當x,y是平面,7.是直線時.?)'/〃推不.?.選D

20.【四川省成都市2013屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測】一空間幾何

體的三視圖如圖所示，圖中各線段旁的數(shù)字表示該線段的長度，則該

幾何體的體積為

(A)30(B)27(C)35(D)36

【答案】A

【解析】本題考查立體兒何的三視圖，需要空間想象力。原兒何體是：

下面棱長為3的正方體，上面是高為2(高線也是一側棱，且垂足是棱的中點)的三棱錐。

21.【2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級第一次診斷性測瞼試卷】如圖.

單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在平面A1BC1上，則三棱錐

P-ACD1的體積為

【答案】-

6

【解析】平面48G〃平面「?尸到平面的距離等于平面與平面MCA

間的距離，等于"D=包,而Sgn=工切「8.51160。=也,

???三棱錐P-HC4的體積為lx史x史=L.

3236

22.12012-2013學年云南省昆明市高三(上)摸底調研測試】己知A,B,C,D四點在半徑

為叵的球面上，且AC二BD二萬，AD=BC=5,AB=CD,則三棱錐D-ABC的體積是一

2

【解析】由題意，構造長方體，其面上的對角線構成三棱錐D-ABC,如圖所示

222

a+b+c=29

22

設長方體的長寬高分別為a,b,c,則a+b=13

a2+c2=25

/.a=3,b=2,c=4

，三棱錐D?ABC的體積是2X3X4-4x1x1x2X3X4=20

32

故答案為；20.

23.[2012-2013學年江西省南昌市調研考試】如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)

據(jù)，可得該幾何體的體積是_________.

[【解析】：還原該幾何體的立體圖形如下圖，再將其切割為兩個相同四楂錐和一個三棱柱,

便可求得體積為2乙

/:/_____________________

0.5205

④平行六面體的四個側面兩兩全等，但側棱與底面不垂直時，棱柱為斜四棱柱，故錯

誤；

⑤當三條側棱中僅有一條不與底面邊長相等的情況，側面都是等腰三角形的三棱錐但

不是正三棱錐，故錯誤：

故答案為：①

三.拔高題

1.【北京市東城區(qū)2012-2013學年度第一學期期末教學統(tǒng)一檢測】一個幾何體的三視圖如

口口

正視EB?(左)a?

O

圖所示，則該幾何體的表面積為一.

【答案】75-4^10

【解析】由三視圖可知，該幾何體是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高為4,

,底面梯形的上底為4,下底為5,腰。。=行1二次,所以梯

形的面積為S尸：;3；梯形的周長為3+4+5+而=而+13所以四個側

面積為G^+12)x4=446+48,所以該幾何體的表面積為

4聞+48+2x^-=75+4聞.

2.【北京市東城區(qū)2012-2013學年度第一學期期末教學統(tǒng)一檢測】(本小題共14分)

如圖.，在菱形A3CD中，ND4B=60'，E是A3的中點，加4_1_平面48。。,

且在矩形ADM0中，AO=2,AM=—

7

(I)求證：AC.LBN；

(ID求證：AN//平面MEC；

(III)求二面角時—￡C—。的大小.

AEB

解：(I)連結則AC_L8O.

由已知￡WJ_平面ABCD,

因為￡wno3=o,

所以ACJ?平面NOB.............2分

又因為BNu平面NDB,

所以4CJL8N...............4分

(II)CM與BN交于F,連結EV.

由已知可得四邊形3CNM是平行四邊形，

所以網(wǎng)是AN的中點.

因為E是A3的中點，

所以AN//EF..................7分

又跖u平面MEC,

4Vz平面MEC,

所以A7V〃平面MEC...............9分

(III)由于四邊形.龍8是菱形，上是的中點，可得。

如圖建立空間直角坐標系。一號z,則。(0：0：0),E(Jl0：0),C(0:2s0),

CE=(^r-2.0),百=(0「L乂).

io分

設平面.WEC的法向量為n=(x,ysz).

,|CE-H=0.

則一-

舊/.〃=0.

[y/3x-2y=0,

所以卜‘.2j下o.

令x=2.

所以〃12分

又平面ADE的法向量機=(0,0,1),

所以cos<m,n>=

M同2

所以二面角M—EC—。的大小是60。.14分

3.[2012-2013學年河南省中原名校高三(±)第三次聯(lián)考](12分)如圖一，平面四邊形

ABCD關于直線AC對稱，ZA=60°,NC=90°,CD=2.把AABD沿BD折起(如圖二)，使二

面角A-BD-C的余弦值等于近.對于圖二，完成以下各小題：

3

(I)求A,C兩點間的距離；

(II)證明：ACJ_平面BCD；

(III)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值.

解：3）取BD的中點E,連接AE,CE,

由AB=AD,CB=CD,得：AEJLBD,CE±BD

??.NAEC就是二面角A-BD-C的平面角，

??cos/AEC二彎（2分）

在△ACE中，AE=V6，CE=V2

AC:=AH:-CE:-2AH*CH?cosZAHC

=6+2-2乂顯又如建二4

o

/.AC=2（4分）

（II）由AC二AD二3D二2&，AC=BC=CD=2

AC*-BC~=AB*!AC*-CD*=AD~,

???/ACB=NACD=90°（6分）

.'.AC±BC,AC1CD,

又BCnCD=C.*.AC±￥ffiBCD.（S分）

（III）由（I）知BDJ_平面ACEBDu平面ABD

???平面ACE_L平面ABD（10分）

平面ACEG平面ABD=AE,

作CF_LAE交AE于F,則CF_L平面ABD,NCAF就是AC與平面ABD所成的角，（12分）

,,sinNCAF=sin/CAE二（14分）

At=f3

A

4.[2012-2013學年江西省南昌市調研考試】(本小題滿分12分)

如圖，邊長為a的正方體ABC?！?gG9中，E為CG的中點。

(1)求直線AE與平面所成角的正弦值;

(2)求點E到平面AQB的距離。

【解析】：以DA、DC、1明所在的直線分別為x軸、y軸.、z軸，建立空間直角坐標系如圖,

則D(0,0,0),A(a,0,0).B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,a,—),Ai(a,0,a).3分

2

(1)設直線4f與平面為加方所成的角為a.

因為AC_L平面位所以平面加￡的法向量為

AC=(一a,。,0)，又AE=(-。,a--).

2

AC^E=2a22>/2

?cos<AC,AE>=

lAC\-\XE\~

所?以sina=2^Z

6分

3

(2)設5二(x,)，,l)為平面4陽的法向量，DR=(a,()M),D5=(aM,0)

,/n?DA^=6,n?DB=6：.x=-\,y=\....................................8分

—‘?Cl

?=(-1,1,1)又。E=(O,a,]),11分

即點E.到平面A,DB的距感為J上3a....................................12分

2

5.【惠州市2013屆高三第三次調研考試】如圖，在長方體488—4860中，

AD=AA]=\AB=2,點E在棱A8上移動.

⑴證明：Di￡1

(2)當七點為AB的中點時，求點E到平面的距離；

71

(3)AE等于何值時，二面角"-EC一0的大小為4?

【解析】

⑴證明：如圖，連接印,依題意有：在長方形4從皿中，A0=e=1,

四邊形440。n\DVAD

X=>4。！.平面AA8

乂ABL平面AADR=>AB1A}D?nAQ_L"E

REu平面AR8

AD(yAB-A

4分

(2)解:AC=JAB、+BC?=>/5,AE=AB/2=1,

EC=\IBE2+BC2=5/2

1+2—5

cosZAEC=

2x1x62

EB

=>sinZAEC=—

2

S,wr=-xlx>/2x—=-

6分

匕*22

T￡c=gxlxg=:AD=A//U1+DA=42RC=8C；+CC；=也

?，，

=>sinZD^AC=

10.M'DC2102

設點E到平面ACD]的距離為“，??.%-.'

3263

1

???點到平面）的距離為3.

EAC8分

(3)解：過。作DF-EC交EC于F,連接A戶.由三垂線定理可知，,“口】為二面

角?！窫C-笛的平面角.

NDFD.1=-ZD1.DF=-八八1一八二1

...4,2,AD=1=DF=1.................................］吩

sinzDCF=—=-=zPCF=-ZBCF=-

DC26,??.3..............................12分

tan—==BE=y/3仄

3BC,A￡=AB-BE=2-

71

故,4￡=2_JJ時，二面角A-EC-Q的平面角為.......................14分

6.[2013年烏魯木齊地區(qū)高三年級第一次診斷性測驗試卷】.（本小題滿分12分）

在正四棱錐V-ABCD中，P,Q分別為棱VB,VD的中點，點M在邊BC

上，且BM:BC=1：3,AB=2/3，VA=6.

(I)求證CQJLAP;

（II）求二面角B-AP-M的余弦值.

設正方形A8C7）的中心為。，N為A3的中點，R為的中點，分別以ON,OR,OV

所在直線為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系，.

在及△「OB中，可得?！?亞，

則1（0。亞）：洌JIJloj,

.'.CQ-AP,艮口。。_1_/尸;…6分

\n^AP=0\a-3b-y[i0c=0

（II）設平面B4P的法向量為3=（4,〃,c）,由〈一得，

[nx-AB=0[b=0

故叫=（Vio,O,l）.同理可得平面APM的法向量為%=（3,1,0）,

設二面角B-AP-M的平面角為夕，則cos。=黑黑=之疝.…12分

|nj|n211

7.[2013安徽省省級示范高中名校高三聯(lián)考】（本小題滿分13分）

如圖，三棱柱ABC-ABC的側棱AAi_L平面ABC,ZkABC為正三角形,

且側面AA.C.C

是邊長為2的正方形,E是A,B的中點,F在棱CG上。

（I）當G/=；CF時，求多面體ABCFAi的體積；

（II）當點F使得AF+BF最小時,求二面角A-AF-B的余弦值。

解析：(I)-CiF=-CF,AC=CQ=2^CF=-,S^mFC=-

LJJ

由已知可得A48C的高為且等于四棱錐8-AACF的高.

「?/AMT=-x—xV3=—V3，即多面體A8CFA的體積為空氐

“一位AS339

(II)將側面BCG與展開到側面AACG得到矩形ABB\A，連結AB,交GU于點F，此時

點F使得A/+BF最小.此時FC平行且等于A4的一半，F(xiàn)為C】C的中點.……7分

以AC,A4分別為)，軸，z軸，過點A且與AC垂直的直線為x軸建立空間直角坐標系，則

4(),0,0),8(6,1,0),A(0,0,2)/((),2,1),

顯然平面AAiF的法向量為I=(1,(),());

設平面A,FB的法向量為a=(%Fz),

???襦=(6,1,—2),中二(0,2,—1),???七:。,令…得5⑵

設二面角A-A尸一8為",則cos，=￥2=

I〃iI,I%I4

8.【廣州市2013屆高三年級1月調研測試】(本小題滿分14分)

如圖4,已知四棱錐P-ABCD,底面A8CD是正方形，P2面A8CD

點M是CO的中點，點N是依的中點,連接AM,AN,MN.

(1)求證：MN〃面PAD；

圖4

(2)若MN=5,AD=3,求二面角N?AM-B的余弦值.

(本小題主要考查空間線面位置關系、二面角等基礎知識，考查空間想象、推理論證、抽象

概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數(shù)學思想方法)

(1)證法1：取Q4的中點E,連接DE,EN,

?:點N是PB的中點,

???EN//AB,EN=-AB................1分

2

???點M是CO的中點，底面A3CD是正方形，

???DM//AB,DM=-AB................2分

2

???EN//DM,EN=DM.

???四邊形EDMN是平行四邊形.

:.MNHDE、..................3分D

???￡>￡u平面尸AD,MN0平面PAD,

：?MN〃面PAD...................4分

證法2：連接并延長交4。的延長線于點E,連接莊,

???點M是C力的中點，

???DM//AB,DM=-AB,...............1分

2

???點M是跖的中點...........2分

???點N是心的中點,

???MN//PE.3分

???2石€1面24。，的2平面姑。,

???MN〃面PAD.4分

證法3：取A8的中點心連接NE,ME,

???點M是CO的中點，點N是心的中點,

ME//AD,NE”PA.

???ADu面尸4。，MEz平面PAD，

???ME7/面PAO.................1分

???Q4u面PAO,NEa平面PA。，

:?NE〃面PAD.................2分

VAMu面上CD,

:?NE_AM.................6分

過E作EF_WU,垂足為F,連接NF,

?/XEr\EF=E,AEu面.VEF,EFu面JVEF,

.??，力/—面、*\..........7分

■:NFu面NEF,

：.AM±NF.................8分

.?.NNFE是二面角N-AM-A的平面角...........9分

在KtANEM中，MN=5,ME=AD=3,得NE=7w2-ME2=4,

................10分

在RtZXMEA中，AE=得AM=yjME2+AE2=—,

22

“_AEgME_3石

匕卜=--------=-----

AM5

22

在NE產(chǎn)中,NF=yjNE+EF=,12分

5

EF_3屈

cos?NFE13分

而一89

8的余弦值為宏畫.

???二面角N-AM-14分

89

解法2：:'E〃上T，&八面一立CD,

在RtZX'EU中，\F=5,ME=.AD=3,得\五=y/sfXz-MEZ=4,

.................5分

以點H為原點，.必所在直線為X軸，所左直線為J軸，a產(chǎn)所在直線為Z軸,

建立空間直角坐標系A-xyz,6分

則4(0,0,0),3/3,ioSE\a0Lv0,14

,Z17IZI17

，

/.EX=(0,0,4)，AN=|0,^,4.8分

設平面AMN的法向量為〃=(x,y,z),

由nAM=0,〃AN=0,

r3八

3x+—y=0,

得

3

—y+4z=0.

2'

3

令x=l,得y=-2,z=—.

*4

3

???〃=1,-2,-是平面AMN的一個法向量.

<4，

XE7V=（0,0,4）是平面AA仍的一個法向量，12分

/右An.EN3犧

'4印砌89

???二面角N-AM-8的余弦值為拽3...........14分

89

9.[2012-2013學年四川省成都市高新區(qū)高三（上）統(tǒng)一檢測】如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,

AD=DC=CB=rl,ZABC=60°,四邊形ACFE為矩形，平面ACFE_L平面ABCD,CF=1.

（I）求證：BCJ_平面ACFE；

（II）點M在線段EF上運動，設平面MAB與平面FCB所成二面角的平面角為。（0W90°）,

試求cos0的取值范圍.

【解析】（I）證明：在梯形ABCD中，

?「AB/CD,AD=DC=CB=LNABC=60°,

AB=2

.?.AC:=.AB-BC2-2AB?BC?cos60J3

AB-=AC--BC-

ABC±AC

「平面ACFE_L平面ABCD,平面ACFEG平面ABCD=AC,BCu平面ABCD

???BC_L平面ACFE

（II）由（I）可建立分別以直線CA,CB,CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直

角坐標系，

令FM=人（0＜入＜遙）,則C（0,0,0）,A