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2025屆江蘇省常州第一中學高考數(shù)學考前最后一卷預測卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.2.關于函數(shù),有下述三個結論:①函數(shù)的一個周期為;②函數(shù)在上單調遞增;③函數(shù)的值域為.其中所有正確結論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③3.已知,則()A.5 B. C.13 D.4.設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù),當時,,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.5.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.6.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對為()A. B. C. D.7.為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策,某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖,其中各項統(tǒng)計不重復.若該市老年低收入家庭共有900戶,則下列說法錯誤的是()A.該市總有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有1800戶C.在該市無業(yè)人員中,低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學生中,低收入家庭有800戶8.如圖,這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數(shù)學測試的班級平均分的莖葉圖,則下列說法不正確的是()A.甲班的數(shù)學成績平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學成績的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學成績平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學測試的總平均分是1039.如圖是一個算法流程圖,則輸出的結果是()A. B. C. D.10.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學、天文學中都有廣泛的應用,《易經(jīng)》的博大精深,對今天的幾何學和其它學科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.11.在中,D為的中點,E為上靠近點B的三等分點,且,相交于點P,則()A. B.C. D.12.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動,也叫桌球(中國粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國地區(qū)的叫法)控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術,一次臺球技術表演節(jié)目中,在臺球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點E,F(xiàn)處各放一個目標球,表演者先將母球放在點A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點E,F(xiàn)處的目標球,最后停在點C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項和為_____14.已知數(shù)列滿足,,若,則數(shù)列的前n項和______.15.假設10公里長跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時參加10公里長跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________.16.已知向量,若向量與共線,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設是橢圓上且不在軸上的一個動點,為坐標原點,過右焦點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點,求的值.18.(12分)以直角坐標系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸,且兩坐標系取相同的長度單位.已知曲線的參數(shù)方程:(為參數(shù)),直線的極坐標方程:(1)求曲線的極坐標方程;(2)若直線與曲線交于、兩點,求的最大值.19.(12分)某生物硏究小組準備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望(分布列寫出計算表達式即可).注:若,則,,.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程;(2)若射線與曲線C交于點A(不同于極點O),與直線l交于點B,求的最大值.21.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調查市民使用移動支付的年齡結構,隨機對100位市民做問卷調查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為支付方式與年齡是否有關?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調查,從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)22.(10分)如圖,湖中有一個半徑為千米的圓形小島,岸邊點與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點向小島建三段棧道,,,湖面上的點在線段上,且,均與圓相切,切點分別為,,其中棧道,,和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當為何值時,棧道總長度最短.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

畫圖取的中點M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.2、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當時,,,再利用單調性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,而,當時,再求值域.【詳解】因為,故①錯誤;當時,,所以,所以在上單調遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,易知,故當時,,故③正確.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.3、C【解析】

先化簡復數(shù),再求,最后求即可.【詳解】解:,,故選:C【點睛】考查復數(shù)的運算,是基礎題.4、D【解析】構造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調遞減函數(shù),且,當x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛:函數(shù)的單調性是函數(shù)的重要性質之一,它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調性無關,但如果我們能挖掘其內在聯(lián)系,抓住其本質,那么運用函數(shù)的單調性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調性進行全面、準確的認識,并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點,構造一個適當?shù)暮瘮?shù),利用它的單調性進行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.5、B【解析】

由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結果.【詳解】設,則,所以是奇函數(shù),圖象關于原點成中心對稱,排除選項C.又排除選項D;,排除選項A,故選B.【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎知識、基本計算能力的考查.6、B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B7、D【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表,對選項進行逐一判斷,即可得到正確答案.【詳解】解:由題意知,該市老年低收入家庭共有900戶,所占比例為6%,則該市總有低收入家庭900÷6%=15000(戶),A正確,該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有15000×12%=1800(戶),B正確,該市無業(yè)人員中,低收入家庭有15000×29%%=4350(戶),C正確,該市大于18歲在讀學生中,低收入家庭有15000×4%=600(戶),D錯誤.故選:D.【點睛】本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認識和分析,這類題要認真分析圖表的內容,讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.8、D【解析】

計算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,錯誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學生的計算能力和應用能力.9、A【解析】

執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計算結果,故選A.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的結果的計算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.10、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積,再計算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個等腰三角形,頂角為,設三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎題.11、B【解析】

設,則,,由B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,可知,,解得即可得出結果.【詳解】設,則,,因為B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,所以,,所以,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎題.12、D【解析】

過點做正方形邊的垂線,如圖,設,利用直線三角形中的邊角關系,將用表示出來,根據(jù),列方程求出,進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線,如圖,設,則,,則,因為,則,整理化簡得,又,得,.即該正方形的邊長為.故選:D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關系,關鍵是要構造直角三角形,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時,a1=S1=1.當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時,a1=S1=1.當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1.,滿足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項和為2(1)=2(1).故答案為:.【點睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、數(shù)列遞推關系、裂項求和方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.14、【解析】

,求得的通項,進而求得,得通項公式,利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列,∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項,等比數(shù)列求和,熟記等差等比性質,熟練運算是關鍵,是基礎題.15、【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎題.16、【解析】

計算得到,根據(jù)向量平行計算得到答案.【詳解】由題意可得,因為與共線,所以有,即,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù),意在考查學生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)1【解析】

(Ⅰ)由題,得,,解方程組,即可得到本題答案;(Ⅱ)設直線,則直線,聯(lián)立,得,聯(lián)立,得,由此即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)由題可得,即,,將點代入方程得,即,解得,所以橢圓的方程為:;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,設直線,則直線,聯(lián)立,整理得,所以,聯(lián)立,整理得,設,則,所以,所以.【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題,考查學生的運算求解能力.18、(1);(2)10【解析】

(1)消去參數(shù),可得曲線C的普通方程,再根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式,代入即可求得曲線C的極坐標方程;(2)將代入曲線C的極坐標方程,利用根與系數(shù)的關系,求得,進而得到=,結合三角函數(shù)的性質,即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線C的參數(shù)方程為,消去參數(shù),可得曲線C的普通方程為,即,又由,代入可得曲線C的極坐標方程為.(2)將代入,得,即,所以=,其中,當時,取最大值,最大值為10.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程,極坐標方程與直角坐標方程的互化,以及曲線的極坐標方程的應用,著重考查了運算與求解能力,屬于中檔試題.19、(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】

(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的,所以,代入數(shù)值運算即可;(Ⅱ)可判斷均值應為,再結合(1)和題干備注信息可得,進而求解;(Ⅲ)求得,該分布符合二項分布,故,列出分布列,計算出對應概率,結合即可求解;【詳解】(Ⅰ)記這只蜻蜓的翼長為.因為種蜻蜓和種蜻蜓的個體數(shù)量大致相等,所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于兩種蜻蜓的個體數(shù)量相等,的方差也相等,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)設蜻蜓的翼長為,則.由題有,所以.因此的分布列為.【點睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解,二項分布求解離散型隨機變量分布列和期望,屬于中檔題20、(1):,直線:;(2).【解析】

(1)由消參法把參數(shù)方程化為普通方程,再由公式進行直角坐標方程與極坐標方程的互化;(2)由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標方程,求出極徑,把比值化為的三角函數(shù),從而可得最大值、【詳解】(1)消去參數(shù)可得曲線的普通方程是,即,代入得,即,∴曲線的極坐標方程是;由,化為直角坐標方程為.(2)設,則,,,當時,取得最大值為.【點睛

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