江蘇省蘇州市園區(qū)五校聯(lián)考2024-2025學年上學期九年級期中數學試卷

2024-2025學年江蘇省蘇州市園區(qū)五校聯(lián)考九年級（上）期中數學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上．1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+x＝x（x﹣2） C． D．x2＝2x2．（3分）拋物線y＝（x﹣3）2+4的頂點坐標是（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）3．（3分）已知⊙O的半徑為4，平面內有一點M．若OM＝5，則點M與⊙O的位置關系是（）A．在圓內 B．在圓上 C．在圓外 D．不能確定4．（3分）將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+15．（3分）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．相等的圓心角所對的弧相等 D．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸6．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，D，C是劣弧EB的三等分點，那么∠AOE＝（）A．35° B．75° C．80° D．115°7．（3分）如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）（x﹣k）2+h．已知球與O點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，球網與O點的水平距離為9m．高度為2.43m，則下列判斷正確的是（）A．球不會過網 B．球會過球網但不會出界 C．球會過球網并會出界 D．無法確定8．（3分）如圖，已知P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，連接OP，OM，OP＝8，則線段OM的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案直接填在答題卡相對應的位置上．9．（3分）關于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是．10．（3分）已知拋物線y＝x2+bx+c的部分圖象如圖所示，則方程x2+bx+c＝0的解是．11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時，配方后所得的方程為．12．（3分）若點A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在拋物線y＝（x﹣2）2+k上，則y1，y2，y3的大小關系為（用“＞”連接）．13．（3分）某中學組織初三學生籃球比賽，以班為單位，每兩班之間都比賽一場，則共有個班參賽．14．（3分）如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，垂足為M，OM：OC＝3：5cm．15．（3分）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）（不包括這兩點），對稱軸為直線x＝1．下列結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞02＜﹣4a；④．其中正確結論有．（填寫所有正確結論的序號）16．（3分）已知二次函數y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的圖象與x軸的交點A坐標為（n，0），頂點D的坐標為（m，t），則t＝三、解答題：本大題共11小題，共82分．把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．17．（6分）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）（x﹣5）（x+1）＝2x﹣10．18．（6分）已知：關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有一個根為4，求m的值．19．（6分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有實數根．（1）求m的取值范圍；（2）設此方程的兩個根分別為x1，x2，若+＝8﹣3x1x2，求m的值．20．（6分）一個兩位數的個位數字與十位數字的和為11，并且個位數字與十位數字的平方和為85，求這個兩位數．21．（6分）圖1是某奢侈品牌的香水瓶．從正面看上去（如圖2），它可以近似看作⊙O割去兩個弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點B、C在⊙O上），其中BC∥EF，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，求香水瓶的高度h為多少？22．（8分）規(guī)定：若某一個函數圖象上存在一個點的橫坐標與其縱坐標互為相反數，則稱這個函數是“自反”函數，這個點是這個函數的“反點”．（1）若拋物線y＝ax2﹣5x+a﹣3（a為常數）上有且只有一個“反點”，求a的值；（2）若拋物線y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b為常數，a≠1）對于任意的常數b恒有兩個“反點”，求a的取值范圍．23．（8分）近期，考古學家在一次考古工作中發(fā)現了一塊古代圓形殘片玉佩，如圖所示，需要找出其圓心．已知弧上三點A，B，C．（1）請用尺規(guī)作圖畫出該殘片的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm24．（8分）如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．（1）結合函數圖象，當0≤x≤4時，直接寫出y的取值范圍：；（2）若點M是直線AC下方拋物線上一動點，求四邊形ABCM面積的最大值．25．（8分）為進一步落實“雙減增效”政策，某校增設活動拓展課程—開心農場．如圖，準備利用現成的一堵“L”字形的墻面（粗線ABC表示墻面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）（細線表示籬笆，小型農場中間GH也是用籬笆隔開），點D可能在線段AB上（如圖1），也可能在線段BA的延長線上（如圖2）（1）當點D在線段AB上時，①設DF的長為x米，請用含x的代數式表示EF的長；②若要求所圍成的小型農場DBEF的面積為12平方米，求DF的長；（2）DF的長為多少米時，小型農場DBEF的面積最大？最大面積為多少平方米？26．（10分）項目式學習．如何確定隧道中警示燈帶的安裝方案？素材12022年10月，溫州市府東路過江通道工程正式開工，建成后將成為溫州甌江第一條超大直徑江底行車隧道．隧道頂部橫截面可視為拋物線，隧道底部寬AB為10m，高OC為5m．素材2貨車司機長時間在隧道內行車容易疲勞駕駛，為了安全，擬在隧道頂部安裝上下長度為20cm的警示燈帶（如圖2）．為了實效，相鄰兩條燈帶的水平間距均為0.8m（燈帶寬度可忽略）（載貨后高度），貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm．燈帶安裝好后成軸對稱分布．問題解決任務1確定隧道形狀在圖1中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式．任務2探究安裝范圍在你建立的坐標系中，在安全的前提下，確定燈帶安裝點的橫、縱坐標的取值范圍．任務3擬定設計方案求出同一個橫截面下，最多能安裝幾條燈帶，并根據你所建立的坐標系27．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+4（a＜0）的圖象與x軸交于點A（2，0）和點B（﹣4，0）（1）求二次函數的表達式；（2）過點C作x軸的平行線交拋物線于點D，①如圖1，點E為拋物線對稱軸上一點，且∠DEB＝90°；②如圖2，點P為拋物線上一點，連接DP交y軸于點E，若

2024-2025學年江蘇省蘇州市園區(qū)五校聯(lián)考九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上．1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2+x＝x（x﹣2） C． D．x2＝2x【考點】一元二次方程的定義．【分析】根據“含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程”進行求解即可．【解答】解：A、ax2+bx+c＝0，當a＝4時，故不符合題意；B、把x2+x＝x（x﹣2）化簡為5x＝0，該方程不為一元二次方程；C、該方程是分式方程，故不符合題意；D、x2＝3x是一元二次方程，故符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．2．（3分）拋物線y＝（x﹣3）2+4的頂點坐標是（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）【考點】二次函數的性質．【分析】根據函數的解析式可以直接寫出拋物線的頂點坐標，本題得以解決．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，∴該拋物線的頂點坐標是（3，4），故選：C．【點評】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的頂點坐標．3．（3分）已知⊙O的半徑為4，平面內有一點M．若OM＝5，則點M與⊙O的位置關系是（）A．在圓內 B．在圓上 C．在圓外 D．不能確定【考點】點與圓的位置關系．【分析】設圓的半徑為r，點P到圓心的距離OP為d，當d＞r時，則點P在圓外；當d＝r時，點P在圓上；當d＜r時，點P在圓內，根據點P與圓的位置關系的判定方法對點M與⊙O位置關系進行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑為4，OM＝5∴點M到圓心的距離大于圓的半徑，∴點M在圓外．故選：C．【點評】本題考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵是正確推理．4．（3分）將拋物線y＝2x2﹣1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x+1）2+1【考點】二次函數圖象與幾何變換．【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律平移則可．【解答】解：按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律2﹣1向左平移4個單位，再向下平移2個單位2﹣2﹣2，即y＝2（x+8）2﹣3，故選：B．【點評】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．5．（3分）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．相等的圓心角所對的弧相等 D．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸【考點】圓周角定理；軸對稱的性質；圓的認識；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系．【分析】根據圓周角定理、垂徑定理及圓的對稱性分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、等弧所對的圓周角相等，符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，不符合題意；C、同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，不符合題意；D、圓是軸對稱圖形，故原命題錯誤，故選：A．【點評】考查了圓周角定理、垂徑定理及圓的對稱性等知識，解題的關鍵是了解有關性質或定理，難度不大．6．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，D，C是劣弧EB的三等分點，那么∠AOE＝（）A．35° B．75° C．80° D．115°【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】根據題意先求出∠BOE＝3∠BOC＝105°，再利用鄰補角即可求出∠AOE即可．【解答】解：∵D，C是劣弧EB ，∠BOC＝35°，∴∠BOE＝3∠BOC＝105°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝75°，故選：B．【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關系，掌握弧與圓心角的關系是解題的關鍵．7．（3分）如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）（x﹣k）2+h．已知球與O點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，球網與O點的水平距離為9m．高度為2.43m，則下列判斷正確的是（）A．球不會過網 B．球會過球網但不會出界 C．球會過球網并會出界 D．無法確定【考點】二次函數的應用．【分析】利用球與O點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，可得k＝6，h＝2.6，球從O點正上方2m的A處發(fā)出，將點（0，2）代入解析式求出函數解析式；利用當x＝9時，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45，當y＝0時，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，分別得出即可．【解答】解：∵球與O點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，∴拋物線為y＝a（x﹣6）2+6.6過點，∵拋物線y＝a（x﹣6）8+2.6過點（3，2），∴2＝a（6﹣6）2+7.6，解得：a＝﹣，故y與x的關系式為：y＝﹣（x﹣6）2+7.6，當x＝9時，y＝﹣2+2.2＝2.45＞2.43，所以球能過球網；當y＝4時，﹣（x﹣6）4+2.6＝3，解得：x1＝6+3＞18，x2＝6﹣6（舍去）故會出界．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數的應用題，根據題意求出函數解析式是解題關鍵．8．（3分）如圖，已知P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，連接OP，OM，OP＝8，則線段OM的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】點與圓的位置關系；三角形三邊關系；三角形中位線定理．【分析】設OP為⊙O交于點N，連接MN，OQ，如圖，由題意可知ON＝OP，從而可知MN為△POQ的中位線，由三角形中位線的性質可知MN＝OQ＝4；當點M、O、N在一條直線上時，OM有最小值，接下來依據OM＝ON﹣MN求解即可．【解答】解：設OP為⊙O交于點N，連接MN，如圖，∵OP＝8，ON＝4，∴N是OP的中點．∵M是PQ的中點，N是OP的中點，∴MN為△POQ的中位線，∴MN＝OQ＝，∴點M在以N為圓心，2為半徑的圓上．∵當點M在ON上時，OM最小，∴線段OM的最小值為2．故選：A．【點評】本題主要考查的是點與圓的位置關系、三角形的中位線定理，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案直接填在答題卡相對應的位置上．9．（3分）關于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是m＞﹣4且m≠0．【考點】根的判別式．【分析】根據一元二次方程根的判別式即可求解．【解答】解：關于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣3＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（﹣4）4﹣4×m×（﹣1）＝16+8m＞0且m≠0，解得m＞﹣7且m≠0，故答案為：m＞﹣4且m≠4．【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟記根的判別式是解題關鍵．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當Δ＜0時，方程無實數根．10．（3分）已知拋物線y＝x2+bx+c的部分圖象如圖所示，則方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】根據函數圖象，可以得到拋物線的y＝x2+bx+c的對稱軸與x軸的一個交點，從而可以寫出另一個交點，然后即可得到當y＝0時對應的x的值，即方程x2+bx+c＝0的解．【解答】解：由圖象可得，拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣8，∴該拋物線于x軸的另一個交點坐標為（3，0），∴當y＝8時，0＝x2+bx+c對應的x的值是x5＝﹣1，x2＝2，故答案為：x1＝﹣1，x3＝3．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數與一元二次方程的關系，解答本題的關鍵是寫出拋物線與x軸的交點坐標．11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時，配方后所得的方程為（x﹣1）2＝2．【考點】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移項，然后兩邊同時加上一次項系數一半的平方．【解答】解：移項得，x2﹣2x＝6，配方得，x2﹣2x+8＝1+1，（x﹣8）2＝2．故答案為：（x﹣3）2＝2．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．12．（3分）若點A（﹣1，y1），B，C（2，y3）在拋物線y＝（x﹣2）2+k上，則y1，y2，y3的大小關系為y1＞y2＞y3（用“＞”連接）．【考點】二次函數圖象上點的坐標特征．【分析】根據二次函數的性質得到拋物線y＝（x﹣2）2+k的開口向上，對稱軸為直線x＝2，然后根據三個點離對稱軸的遠近判斷函數值的大?。窘獯稹拷猓簓＝（x﹣2）2+k，∵a＝6＞0，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，∵點A（﹣2，y1）離直線x＝2的距離最遠，C（6，y3）在直線x＝2上，∴y4＞y2＞y3．故答案為：y8＞y2＞y3．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數的性質．13．（3分）某中學組織初三學生籃球比賽，以班為單位，每兩班之間都比賽一場，則共有6個班參賽．【考點】一元二次方程的應用．【分析】設共有x個班參賽，根據每兩班之間都比賽一場且計劃安排15場比賽，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【解答】解：設共有x個班參賽，根據題意得：x（x﹣7）＝15，解得：x1＝6，x6＝﹣5（不合題意，舍去）．故答案為：6．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．14．（3分）如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，垂足為M，OM：OC＝3：58cm．【考點】垂徑定理；勾股定理．【分析】由圓的直徑求出半徑，得出OC的長，根據OM與OC的比值求出OM的長，連接OA，由DC垂直于AB，利用垂徑定理得到M為AB的中點，在直角三角形AOM中，由OA與OM的長，利用勾股定理求出AM的長，即可求出AB的長．【解答】解：∵圓O直徑CD＝10cm，∴圓O半徑為5cm，即OC＝5cm，∵OM：OC＝6：5，∴OM＝OC＝3（cm），連接OA，∵AB⊥CD，∴M為AB的中點，即AM＝BM＝，在Rt△AOM中，OA＝5cm，根據勾股定理得：AM＝＝4（cm），則AB＝2AM＝2（cm）．故答案為：8【點評】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．15．（3分）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）（不包括這兩點），對稱軸為直線x＝1．下列結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞02＜﹣4a；④．其中正確結論有①③．（填寫所有正確結論的序號）【考點】二次函數圖象與系數的關系；拋物線與x軸的交點．【分析】根據對稱軸為直線x＝1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據對稱軸得到函數圖象經過（3，0），則得②的判斷；根據圖象經過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關系，從而對②⑤作判斷；利用＜﹣1，可判斷③；從圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤【解答】解：①由拋物線開口向上，則a＞0，∵對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，b＝﹣2a＜5，且2a+b＝0，又∵﹣3＜c＜﹣1，∴abc＞0，故①是正確的；②二次函數y＝ax6+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，3），∴二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸另一交點為（2，0），∴當x＝2時，y＝2a+2b+c＜0，③∵二次函數y＝ax6+bx+c的圖象與y軸的交點在（0，﹣1）的下方，a＞3，∴最小值：＜﹣1，∵a＞0，∴2ac﹣b2＜﹣4a，故③正確；④∵圖象與y軸的交點B在（2，﹣2）和（0，∴﹣3＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣5a＜﹣1，∴＜a＜．故答案為：①③．【點評】此題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系．解題關鍵是注意掌握數形結合思想的應用．16．（3分）已知二次函數y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的圖象與x軸的交點A坐標為（n，0），頂點D的坐標為（m，t），則t＝﹣8．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數的性質．【分析】求出函數與x軸另外一個交點的坐標，則設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6，則﹣3an2＝﹣6，即可求解．【解答】解：函數的對稱軸為直線x＝m＝﹣n，由中點公式得，函數與x軸另外一個交點的坐標為（﹣3n，則設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x8+2nx﹣3n4）＝ax2+bx﹣6即：﹣4an2＝﹣6，解得：an5＝2，當x＝m＝﹣n時，y＝a（x2+5nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，故答案為﹣4．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數圖象上點的坐標特征，要求學生非常熟悉函數與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數特征．三、解答題：本大題共11小題，共82分．把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．17．（6分）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣5＝0；（2）（x﹣5）（x+1）＝2x﹣10．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，x2﹣7x＝5，x2﹣5x+9＝14，即（x﹣3）7＝14，∴x﹣3＝，∴x1＝5+，x2＝3﹣；（2）（x﹣2）（x+1）＝2x﹣10，（x﹣4）（x+1）﹣2（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x+2﹣2）＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝7，∴x1＝5，x5＝1．【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．18．（6分）已知：關于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有一個根為4，求m的值．【考點】根的判別式．【分析】（1）先計算出根的判別式的值得到Δ＝4，則Δ＞0，然后根據根的判別式的意義得到結論；（2）先把x＝4代入方程x2+2mx+m2﹣1＝0得16+8m+m2﹣1＝0，然后解關于m的方程即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝4m2﹣6（m2﹣1）＝4＞0，∴無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）把x＝4代入方程x8+2mx+m2﹣7＝0得16+8m+m6﹣1＝0，整理得m6+8m+15＝0，解得m4＝﹣3，m2＝﹣3，即m的值為﹣3或﹣5．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．19．（6分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有實數根．（1）求m的取值范圍；（2）設此方程的兩個根分別為x1，x2，若+＝8﹣3x1x2，求m的值．【考點】根與系數的關系；根的判別式．【分析】（1）根據方程有實數根結合根的判別式，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出結論；（2）利用根與系數的關系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1?x2＝m2，結合+＝8﹣3x1x2即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣4）x+m2＝0有實數根．∴Δ＝[﹣4（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣7m≥0，解得：m≤．（2）∵關于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣5）x+m2＝0的兩個根分別為x7、x2，∴x1+x3＝2m﹣2，x8?x2＝m2，∵+＝8﹣3x8x2，∴（x1+x8）2﹣2x6?x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，解得：m1＝﹣，m2＝4（舍去），∴實數m的值為﹣．【點評】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，熟練掌握當一元二次方程有實數根時根的判別式Δ≥0是解題的關鍵．20．（6分）一個兩位數的個位數字與十位數字的和為11，并且個位數字與十位數字的平方和為85，求這個兩位數．【考點】一元二次方程的應用．【分析】設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為（11﹣x），根據個位數字與十位數字的平方和為85，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設個位數字為x，則十位數字為（11﹣x），x2+（11﹣x）2＝85，解得：x3＝2，x2＝7．當x＝2時，兩位數為92，當x＝9時，兩位數為29．答：兩位數為92或29．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．21．（6分）圖1是某奢侈品牌的香水瓶．從正面看上去（如圖2），它可以近似看作⊙O割去兩個弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點B、C在⊙O上），其中BC∥EF，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，求香水瓶的高度h為多少？【考點】由三視圖判斷幾何體；勾股定理；矩形的性質；垂徑定理的應用．【分析】如圖2中，過點O作OM⊥BC于點M交EF于點N，連接OC，OF．利用垂徑定理，勾股定理求出OM，ON，可得結論．【解答】解：如圖2中，過點O作OM⊥BC于點M交EF于點N，OF．∵BC∥EF，OM⊥BC，∴ON⊥EF，∴CM＝BC＝，NF＝×4.8＝3.4（cm），∴OM＝＝＝2.4（cm）＝＝0.4（cm），∴h＝AB+OM+ON＝2.6+3.4+0.2＝5.7（cm）．【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構造直角三角形解決問題．22．（8分）規(guī)定：若某一個函數圖象上存在一個點的橫坐標與其縱坐標互為相反數，則稱這個函數是“自反”函數，這個點是這個函數的“反點”．（1）若拋物線y＝ax2﹣5x+a﹣3（a為常數）上有且只有一個“反點”，求a的值；（2）若拋物線y＝（a﹣1）x2+bx+2（a、b為常數，a≠1）對于任意的常數b恒有兩個“反點”，求a的取值范圍．【考點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象上點的坐標特征．【分析】（1）根據定義，可得y＝ax2﹣5x+a﹣3與y＝﹣x只有1個交點，根據判別式即可求解；（2）根據定義聯(lián)立二次函數解析式與y＝﹣x，令Δ1＞0，得到關于b的代數式，根據代數式恒大于0，令Δ2＜0，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得，，∴ax2﹣4x+a﹣3＝0有兩個相等的實數解．∴Δ＝b2﹣7ac＝16﹣4a（a﹣3）＝6，解得：a＝﹣1或a＝4．（2）由題意，∵關于x的二次函數y＝（a﹣6）x2+bx+2（a≠5，n為常數）對于任意的常數b恒有兩個“反點”，∴．∴（a﹣1）x2+（b+7）x+2＝0有兩個不等實數根，∴b5+2b﹣8a+2＞0．∴關于b的二次函數y＝b2+4b﹣8a+9與x軸無交點．∴Δ7＝22﹣5（﹣8a+9）＜2．∴a＜1．【點評】本題主要考查了二次函數的性質、一次函數交點問題、反比例函數與幾何圖形、二次函數與一元二次方程的關系、一元二次方程根的判別式、二次函數的性質，理解新定義并熟練應用是解題的關鍵．23．（8分）近期，考古學家在一次考古工作中發(fā)現了一塊古代圓形殘片玉佩，如圖所示，需要找出其圓心．已知弧上三點A，B，C．（1）請用尺規(guī)作圖畫出該殘片的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm【考點】作圖—應用與設計作圖；等腰三角形的性質；勾股定理；垂徑定理．【分析】（1）作線段AB，AC的垂直平分線交于點O，點O即為所求；（2）連接BC，OA，OC，AO交BC于點T．利用勾股定理規(guī)劃局發(fā)出求解．【解答】解：（1）如圖，點O即為所求；（2）連接BC，OA，AO交BC于點T．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，BT＝CT＝，∴AT＝＝＝6，在Rt△OTC中，R2＝72+（R﹣6）2，∴R＝．答：圓片的半徑R為cm．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程解決問題．24．（8分）如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．（1）結合函數圖象，當0≤x≤4時，直接寫出y的取值范圍：﹣2≤y≤18；（2）若點M是直線AC下方拋物線上一動點，求四邊形ABCM面積的最大值．【考點】二次函數綜合題．【分析】（1）根據拋物線解析數求得拋物線與坐標軸的交點坐標，結合函數圖象作答即可；（2）過點M作MN⊥x軸于點N，設點M（x，x2+x﹣2），則AN＝x+2，ON＝﹣x，OB＝1，OC＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根據S四邊形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．【解答】解：（1）在y＝x2+x﹣2中，令x＝2，則y＝﹣2，﹣2）．令y＝4，則x2+x﹣2＝3，解得x1＝﹣2，x7＝1，所以A（﹣2，4），0）．當x＝4時，y＝42+4﹣2＝18．由函數圖象知，當0≤x≤4時，故答案為：﹣3≤y≤18；（2）由x＝0，得y＝﹣2，∴C（8，﹣2），過點M作MN⊥x軸于點N，設點M（x，x2+x﹣6），則AO＝2，OB＝1，MN＝﹣（x7+x﹣2）＝﹣x2﹣x+5，S四邊形ABCM＝S△AOM+S△OCM+S△BOC＝×2×（﹣x2﹣x+3）+×2×（﹣x）+×1×6＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+4，∵﹣1＜0，∴當x＝﹣4時，S四邊形ABCM的最大值為4．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建二次函數解決最值問題．25．（8分）為進一步落實“雙減增效”政策，某校增設活動拓展課程—開心農場．如圖，準備利用現成的一堵“L”字形的墻面（粗線ABC表示墻面，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝1米）（細線表示籬笆，小型農場中間GH也是用籬笆隔開），點D可能在線段AB上（如圖1），也可能在線段BA的延長線上（如圖2）（1）當點D在線段AB上時，①設DF的長為x米，請用含x的代數式表示EF的長；②若要求所圍成的小型農場DBEF的面積為12平方米，求DF的長；（2）DF的長為多少米時，小型農場DBEF的面積最大？最大面積為多少平方米？【考點】二次函數的應用；一元二次方程的應用．【分析】（1）①根據題意結合圖形即可求解；②根據矩形的面積公式列方程求解即可；（2）設小型農場DBEF的面積為S，求出關于DF的長x的函數關系式，根據二次函數的性質及即可解答．【解答】解：（1）①設DF的長為x米，∵點D在線段AB上，∴EF＝14﹣2x﹣（x﹣1）＝（15﹣7x）米，∵AB＝3，∴EF≤3，即15﹣7x≤3，∴x≥4；②設DF的長為x米，根據題意得：x（15﹣4x）＝12，解得：x1＝4，x8＝1（此時點D不在線段AB上，舍去），∴x＝4，答：小型農場的長DF為4米；（2）設小型農場DBEF的面積為S，DF的長為x米，①點D在線段AB上，由（1）知此時x≥4，則S＝x（15﹣3x）＝﹣5x2+15x＝﹣3（x﹣）2+，∵a＝﹣3＜0，拋物線對稱軸是直線x＝，∴在對稱軸右側，S隨x的增大而減小，∴x＝4時，S有最大值，S最大值＝﹣3×42+15×3＝12（平方米）；②點D在線段BA的延長線上，此時x＜4，則S＝（15﹣3x+3）x＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣7）2+，∵a＝﹣＜0，∴x＝2時，S有最大值，S最大值＝，∴x＝3時，S最大值＝（平方米）；∵＞12，∴小型農場的寬DF為3米時，小型農場DBEF的面積最大平方米．【點評】此題主要考查的是二次函數的應用，一元二次方程的應用，掌握矩形的面積計算方法是解題的關鍵．26．（10分）項目式學習．如何確定隧道中警示燈帶的安裝方案？素材12022年10月，溫州市府東路過江通道工程正式開工，建成后將成為溫州甌江第一條超大直徑江底行車隧道．隧道頂部橫截面可視為拋物線，隧道底部寬AB為10m，高OC為5m．素材2貨車司機長時間在隧道內行車容易疲勞駕駛，為了安全，擬在隧道頂部安裝上下長度為20cm的警示燈帶（如圖2）．為了實效，相鄰兩條燈帶的水平間距均為0.8m（燈帶寬度可忽略）（載貨后高度），貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm．燈帶安裝好后成軸對稱分布．問題解決任務1確定隧道形狀在圖1中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式．任務2探究安裝范圍在你建立的坐標系中，在安全的前提下，確定燈帶安裝點的橫、縱坐標的取值范圍．任務3擬定設計方案求出同一個橫截面下，最多能安裝幾條燈帶，并根據你所建立的坐標系【考點】二次函數的應用；坐標與圖形變化﹣對稱．【分析】任務1：利用待定系數法可得拋物線的函數表達式；任務2：根據普通貨車的高度大約為2.5m，貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm，貨車頂部與警示燈帶底部的距離應不少于50cm，計算懸掛點的縱坐標的最小值是3.2m；任務3：兩種方案：分別掛7條和8條．【解答】解：任務1：以O為原點，以AB所在直線為x軸，∴頂點C為（0，8），∵拋物線過A（﹣5，0），設拋物線的解析式為：y＝ax3+5，把A（﹣5，6）代入解析式得：25a2+5＝