山東省泰安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

試卷類型：A高二年級(jí)考試數(shù)學(xué)試題2024.11注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線在軸上的截距是（）A． B． C． D．2．下列方程所表示的直線中，傾斜角為的是（）A． B．C． D．3．已知點(diǎn)沿著向量的方向移動(dòng)到點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．已知圓，則過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為（）A． B．或C． D．或5．已知正方體中，分別為上底面和下底面的中心，則下列與和共面的向量是（）A． B． C． D．6．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，則與平面所成的角的正弦值為（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)在直線上，若以為圓心，以3為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為上兩動(dòng)點(diǎn)均位于軸上方，且，若與的交點(diǎn)在軸上，且縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，直線，若或，則的值可能為（）A．4 B． C． D．110．已知圓，則（）A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．若點(diǎn)在圓上，則的最大值為C．若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為D．若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上，，則的最小值為11．在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點(diǎn)滿足，其中，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．定義，若向量，向量的模為2，向量與向量的夾角為，則______．13．已知，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____．14．“若點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一．已知橢圓，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線為直線，過(guò)左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為M，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．（1）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程．16．（15分）如圖，在三棱錐中，在線段上，且為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求異面直線所成角的余弦值．17．（15分）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，左焦點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程．18．（17分）如圖，在四面體中，平面分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．（1）求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；（3）在（2）的條件下，若為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，且與平面所成的角最大，試確定點(diǎn)的位置．19．（17分）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作，已知四點(diǎn)，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：有兩個(gè)點(diǎn)滿足“共軛點(diǎn)對(duì)”，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)（2）中的兩個(gè)點(diǎn)分別為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，滿足且點(diǎn)在直線兩側(cè)，求四邊形的面積的最大值．

試卷類型：A高二年級(jí)考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2024.11一、單項(xiàng)選擇題：題號(hào)12345678答案ADCDABBB二、多項(xiàng)選擇題：題號(hào)91011答案BCBCDAC三、填空題：12．613．14．四、解答題：15．（13分）解：（1）設(shè)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱解得的中點(diǎn)為的中垂線方程的中點(diǎn)，且直線的斜率不存在的中垂線方程為：圓心滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2圓心到直線的距離當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為即解得此時(shí)的方程為當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，滿足題意因此，所求直線的方程為或16．（15分）證明：（1）設(shè)與均為正三角形．（2）為的中點(diǎn)，為線段靠近的三等分點(diǎn)，中，異面直線所成角的余弦值為17．（15分）解：（1）由題意可知解得．橢圓的方程為（2）設(shè)直線的方程為由得恒成立設(shè)整理得解得或（舍去）直線的方程為或18．（17分）（1）證明：取中點(diǎn)，連接是的中點(diǎn)，且在線段上取點(diǎn)，使連接且∴四邊形為平行四邊形又平面平面平面（2）取中點(diǎn)，則，又平面，平面以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得設(shè)平面的法向量為則．設(shè)平面的法向量為則即令，解得設(shè)平面與平面的夾角為則（3）由（2）知為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接點(diǎn)為內(nèi)動(dòng)點(diǎn)且平面平面平面平面即點(diǎn)在上設(shè)設(shè)即設(shè)平面的法向量為，則設(shè)與平面所成角為最大即最大當(dāng)，即點(diǎn)位于中位線靠近的八等分點(diǎn)的第3個(gè)點(diǎn)處時(shí)，與平面所成角最大19．（17分）解：（1）由于兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題意知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，顯然不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，且的焦點(diǎn)在軸上設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”定義點(diǎn)的坐標(biāo)滿足所以或于是有兩個(gè)點(diǎn)滿足“共軛點(diǎn)對(duì)”，且點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）設(shè)，則所在的直線的方程為法一：設(shè)點(diǎn)，則兩式相減得又于是，則所以線段的中點(diǎn)在直線上，即線段被直線平分設(shè)點(diǎn)到直線的距離為則四邊形的面積又則有設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為則當(dāng)與相切時(shí)取最大值由