等差數(shù)列教案(教師版)

第1課時(shí)等差數(shù)列一、知識(shí)要點(diǎn)1.等差數(shù)列的定義：．等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）⑴．公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；⑵．對(duì)于數(shù)列{},若－=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：【或】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是d，則據(jù)其定義可得：即：即：即：……由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：二、經(jīng)典例題例1．若a≠b,數(shù)列a,x1,x2,b和數(shù)列a,y1,y2,b都是等差數(shù)列，則 （）A． B． C．1 D．例2．在等差數(shù)列中，公差＝1，＝8，則＝（） A．40 B．45 C．50 D．55例3．等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （）A． B．C． D．例4．等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n為()A．48B．49C．50D．51例5.等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)；例6.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______；例7．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為31,若此數(shù)列從第16項(xiàng)開始小于1，則此數(shù)列的公差d的取值范圍是 A．(－∞,－2)B．[－,－2]C．(－2,+∞)D．(—,－2)變式1.a1，a2，a3，a4成等差數(shù)列，且a1，a4為方程2x2-5x-2=0的兩根，則a2＋a3等于（）-1(B)、(C)-(D)不確定變式2.等差數(shù)列中，首項(xiàng)a1=,a8＞6,a7≤6,則此數(shù)列的公差d的取值范圍是（）(A)d＞(B)d＜(C)＜d＜(D)、＜d≤變式3.已知命題甲是“△ABC的一個(gè)內(nèi)角B為60°”，命題乙是“△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列”，那么（）A．甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件B．甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件C、甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是必要條件3.等差數(shù)列的性質(zhì)1：已知，則，注意：例如：，在等差數(shù)列中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即為等差數(shù)列，公差為.例8.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，求，的值。例9.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，求的值。變式4.等差數(shù)列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，則a6+a7=()（A）9（B）12（C）15（D）、16性質(zhì)2：在等差數(shù)列中，為前n項(xiàng)和，為前2n項(xiàng)和，為前3n項(xiàng)和，則、、也是等差數(shù)列。例10.等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為10，前2n項(xiàng)和為40，求數(shù)列前3n項(xiàng)和為多少？例11.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（）A.130 B.170 C.210 D.2603、等差數(shù)列的前和公式：，例12：設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.例13.在等差數(shù)列{an}中，S5＝28，S10=36，則S15等于（）A24

B．44C．64

D．80例14、數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和，則＝＿，＝；例15、首項(xiàng)為18，公差為-3的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n等于（）A．5或6

B．6C．7

D6或7變式5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n－49,則Sn達(dá)到最小值時(shí),n的值是()（A）23（B）、24（C）25（D）26變式6.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an＋1－an＋1=0，(n∈N)，則此數(shù)列的通項(xiàng)an等于（）(A)n2＋1(B)n＋1(C)1－n(D)、3－n變式7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝2n-47，那么當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝_____練習(xí)1.數(shù)列是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù)。 （1）求數(shù)列公差；（2）求前項(xiàng)和的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值。練習(xí)2.在等差數(shù)列{an}中，Sm=Sn,則Sm+n的值為 （）（A）0（B）Sm+Sn（C）2(Sm+Sn)（D）練習(xí)3.在等差數(shù)列{an}中，Sp=q,Sq=q,Sp+q的值為 （）（A）p+q（B）-(p+q)（C）p2-q2（D）p2+q2等差數(shù)列解答題綜合運(yùn)用

【例1】等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125，求其第6項(xiàng)．解依題意，得解得a1=113，d=－22．∴其通項(xiàng)公式為an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135∴a6=－22×6＋135＝3說明本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法．在本課中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而即a6＝3．可見，在做題的時(shí)候，要注意運(yùn)算的合理性．當(dāng)然要做到這一點(diǎn)，必須以對(duì)知識(shí)的熟練掌握為前提．【例2】在兩個(gè)等差數(shù)列2，5，8，…，197與2，7，12，…，197中，求它們相同項(xiàng)的和．解由已知，第一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為an＝3n－1；第二個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為bN=5N－3若am＝bN，則有3n－1＝5N－3若滿足n為正整數(shù)，必須有N＝3k＋1(k為非負(fù)整數(shù))．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40n=1，6，11，…，66∴兩數(shù)列相同項(xiàng)的和為2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】選擇題：實(shí)數(shù)a，b，5a，7，3b，…，c組成等差數(shù)列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，則a，b，c的值分別為[]A．1，3，5 B．1，3，7C．1，3，99 D．1，3，9又∵14＝5a＋3b，∴a＝1，b＝3∴首項(xiàng)為1，公差為2∴a50=c=1＋(50－1)·2=99∴a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之間插入2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為2的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前半部分的和同后半部分的和之比為9∶13，求插入的數(shù)的個(gè)數(shù)．解依題意2＝1＋(2n＋2－1)d ①由①，有(2n＋1)d=1 ⑤∴共插入10個(gè)數(shù)．【例5】在等差數(shù)列{an}中，設(shè)前m項(xiàng)和為Sm，前n項(xiàng)和為Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．且Sm＝Sn，m≠n∴Sm+n＝0【例6】已知等差數(shù)列{an}中，S3=21，S6=64，求數(shù)列｛|an|｝的前n項(xiàng)和Tn．d，已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d，再對(duì)數(shù)列的前若干項(xiàng)的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出Tn來．解方程組得：d＝－2，a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11其余各項(xiàng)為負(fù)．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為：∴當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝－n2＋10n當(dāng)n＞6時(shí)，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50說明根據(jù)數(shù)列{an}中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類討論思想可求｛|an|｝的前n項(xiàng)和．【例7】在等差數(shù)列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20項(xiàng)之和．解法一由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34＝20a1＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a20∴a1＋a20=17S20＝170【例8】已知等差數(shù)列{an}的公差是正數(shù)，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20項(xiàng)的和S20的值．解法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＞0，由已知可得由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20＝180解法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是遞增數(shù)列∴a3＝－6，a7=2【例9】等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若[]∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199解法二利用數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件：Sn＝an2＋bn可設(shè)Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k說明該解法涉及數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2＋bn，由k是常數(shù)，就不對(duì)了．【例10】解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；(2)在19與89中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；(4)已知：等差數(shù)列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．分析與解答a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它們的下標(biāo)有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25(4)∵an=33－3n∴a1＝30∵n∈N，∴當(dāng)n=10或n=11時(shí)，Sn取最大值165．【例11】求證：前n項(xiàng)和為4n2＋3n的數(shù)列是等差數(shù)列．證設(shè)這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn-1∴an＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=4＋3=7由以上兩種情況可知，對(duì)所有的自然數(shù)n，都有an=8n－1又an+1－an＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴這個(gè)數(shù)列是首項(xiàng)為7，公差為8的等差數(shù)列．說明這里使用了“an=Sn－Sn-1”這一關(guān)系．使用這一關(guān)系時(shí)，要注意，它只在n≥2時(shí)成立．因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，Sn-1=S0，而S0是沒有定義的．所以，解題時(shí)，要像上邊解答一樣，補(bǔ)上n＝1時(shí)的情況．【例12】證明：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn＝an2＋bn(a、b為常數(shù))是這個(gè)數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件．由Sn＝an2＋bn，得當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴對(duì)于任何n∈N，an＝2na＋b－a且an－an-1=2na＋(b－a)－2(n－1)a－b＋a＝2a(常數(shù))∴{an}是等差數(shù)列．若{an}是等差數(shù)列，則Sn=an2＋bn綜上所述，Sn=an2＋bn是{an}成等差數(shù)列的充要條件．說明由本題的結(jié)果，進(jìn)而可以得到下面的結(jié)論：前n項(xiàng)和為Sn=an2＋bn＋c的數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是c＝0．事實(shí)上，設(shè)數(shù)列為{un}，則：【例13】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝m，前m項(xiàng)和Sm＝n(m＞n)，求前m＋n項(xiàng)和Sm+n．解法一設(shè){an}的公差d按題意，則有=－(m＋n)解法二設(shè)Sx＝Ax2＋Bx(x∈N)①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m∵m≠n∴A(m＋n)＋B=－1故A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)即Sm+n＝－(m＋n)說明a1，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒．解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設(shè)Sx=Ax2＋Bx．(x∈N)【例14】在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則n之值是多少？解∵S偶項(xiàng)－S奇項(xiàng)=nd∴nd=90－75=15又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27【例15】在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值．解法一建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最大值．∵a1=25，S17＝S9解得d＝－2∴當(dāng)n=13時(shí)，Sn最大，最大值S13＝169解法二因?yàn)閍1=25＞0，d＝－2＜0，所以數(shù)列{an}是遞減等∵a1＝25，S9＝S